FUNKTIONENTHEORIE AUF KOMPLEXEN MANNIGFALTIGKEITEN ...

B. Funktionen auf Riemannschen Flächen.
Im folgenden werden wir uns weiterhin nur noch mit der Funktionentheorie
auf komplexen Mannigfaltigkeiten 10 ) beschäftigen (also wie üblich die
kritischen Punkte herauslassen). Wir beschränken uns dabei fast immer auf
nicht kompakte komplexe Mannigfaltigkeiten, weil die kompakten Mannigfaltigkeiten
zu besonderen umfangreichen Theorien, nämlich der der Kählerschen
und der der algebraischen Mannigfaltigkeiten Anlass gegeben haben.
Die Funktionentheorie auf nicht kompakten komplexen Mannigfaltigkeiten
sei hier zunächst für n = 1 behandelt und zwar in der modernen
Sprache, in der wir sie dann auf n > 1 verallgemeinern können. Dabei wird
ausschliesslich von eindeutigen Funktionen auf den jeweils betrachteten
Mannigfaltigkeiten gesprochen.
Seit Poincaré ist bekannt, dass auf jeder 3J1 1 eine meromorphe Funktion
existiert. Dass es aber zu jeder offenen Riemannschen Fläche eine auf ihr
holomorphe Funktion gibt, die nicht zu den trivialen konstanten Funktionen
zählt, ist eine Aussage, die erst neuerdings bewiesen ist n ).
Das gelingt mit Hilfe der verallgemeinerten Integralformel:
(1) f(z)=±J A(Ç,z)f(C)dÇ,
wobei A (f, z) dÇ ein meromorphes Differential mit einem Pol erster Ordnung
und dem Residuum 1 für £ = z in der Produktmannigfaltigkeit *© X *© ist.
Dabei stehen die Bereiche 12 ) ©, *© und die Riemannsche Fläche #t in der
Beziehung © (£ *© (^ 9î 13 ). §1C 93 heisst, dass 91 eine relativkompakte Teilmenge
von 35 ist.
Das Integral in (1) wird ebenso wie das Cauchysche Integral beim Beweis
des Rungeschen Satzes behandelt. So kommen wir zu dem Satz über die
Approximation von Funktionen, die holomorph in gegebenen Bereichen © sind,
durch Funktionen, die noch in © umfassenden Bereichen holomorph bleiben.
(Approximationssatz). Es sei f in © holomorph, es sei © in bezug auf *©
10 ) Der Begriff der komplexen Mannigfaltigkeit taucht, so weit bekannt ist, zum ersten
Mal in einer Arbeit von O. Teichmüller über „Veränderliche Riemannsche Flächen" auf,
vergi. Deut. Math. 1944, pp. 344-359. Die Aufmerksamheit der Fachwelt wurde auf diesen
Begriff durch die Vorträge und Aufsätze der Herren Heinz Hopf und Charles Ehresmann
1947 und ff. Jahre gelenkt.
11 ) H. Behnke und K. Stein, Entwicklung analytischer Funktionen auf Riemannschen
Flächen, Math. Ann. 120 (1947/49;, pp. 430-461.
12 ) Unter einem Bereich sei hier eine offene, nicht notwendig zusammenhängende Punktmenge
in SR verstanden.
13 ) Selbstverständlich wird vom Rande von Ob vorausgesetzt, dass er rektifizierbar ist.
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