FUNKTIONENTHEORIE AUF KOMPLEXEN MANNIGFALTIGKEITEN ...

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viele komplexe Strukturen, darunter die von den eben zitierten Autoren entdeckten funktionsarmen Strukturen. Somit müssen wir, um auf einer -äK" Funktionentheorie treiben zu können, besondere Forderungen an Sßt 1 stellen. Hierzu ist von K. Stein der Begriff der holomorph vollständigen (komplexen) Mannigfaltigkeit eingeführt worden 19 ). Eine komplexe Mannigfaltigkeit SUI 71 heisst eine holomorph vollständige Mannigfaltigkeit, wenn die Bedingungen 1) — 3) von B. erfüllt sind und ausserdem W n eine abzählbare Basis hat. Die Bedingung 2 ist dabei in folgendem Sinne auf mehrere Veränderliche zu übertragen: Zu jedem Punkte P ± eSSRP 1 muss es n in SSSÌ? 1 holomorphe Funktionen geben, die eine Umgebung U(P) eineindeutig auf ein Gebiet im C n abbilden. Das Abzählbarkeitsaxiom können wir hier nicht vermeiden. T. Rado 20 ) hatte ja in seiner viel beachteten Arbeit gezeigt, dass es auf einer 3J1 1 entbehrlich ist. Andererseits haben H. Hopf und auch L. Calabi und M. Rosenlicht 21 ) Beispiele von komplexen Mannigfaltigkeiten angegeben, die keine abzählbare Basis besitzen 22 ). Auf den holomorph vollständigen Mannigfaltigkeiten gilt wieder ein Approximationssatz : Ist ® n eine holomorph vollständige Mannigfaltigkeit, die Teil einer holomorph vollständigen Mannigfaltigkeit SSRJ 1 ist, und ist © n auf SJt 71 halbstetig über lauter holomorph vollständige Mannigfaltigkeiten ausdehnbar, so lässt sich jede in © n holomorphe Funktion im Innern von & n durch in SK" holomorphe Funktionen approximieren 23 ). 19 ) Vergi. K. Stein, Analytische Funktionen mehrerer komplexer Ver ander liehen und das zweite Cousin'sche Problem, Math. Ann. 123 (1951), pp. 201-222, und die Arbeiten von H. Cartan, Seminaire 1951/52, Exposé IX, H. Cartan, Variétés analytiques complexes et cohomologie, Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, (Brüssel 1953), J. P. Serre, Quelques problèmes globaux relatifs aux variétés de Stein, Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, (Brüssel 1953). 20 ) vergi. T. Rado, a.a.O. 4 ). In dem neuen Buch von R. Nevanlinna wird ein weiterer von A. Pfluger angegebener Beweis durchgeführt. 21 ) E. Calabi und M. Rosenlicht, Complex analytic manifolds without countable base, Proc. of the American Math. Soc. 4, 335-340 (1953). 22 ) Die konstruierten Gegenbeispiele sind keine holomorph vollständigen Mannigfaltigkeiten. Es ist zur Zeit noch offen, ob es solche gibt. Zus z. Korr.: Das Problem konnte inzwischen von H. Grauert gelöst werden. Vgl. Math. Ann. 129 (Juni 1955). 23 ) H. Behnke, Généralisation du théorème de Runge pour les fonctions multiformes de variables complexes, Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, (Brüssel, 1953). 50
Ferner gilt die erste Cousinsche Aussage. K. Oka 24 ) hatte dieses schon 1936 für den speziellen Fall schlichter endlicher Holomorphiegebiete im C n bewiesen. Bei diesem Beweis trat zum ersten Mal ein neuer sehr fruchtbarer Gedanke auf. Holomorphiegebiete können von innen approximiert werden durch analytische Polyeder 21, das sind Gebiete im C n , die charakterisiert werden können durch f t (z v . . ., z n ) e Sfc jf j = 1, . . ., n (Sllj ein Gebiet im C 1 , f j holomorph in ffi, 2ï Ê S C C n ). Solche analytischen Polyeder 9Ï werden als analytische Flächen in einen höherdimensionalen Zylinderbereich eingebettet. Dadurch gelingt es, die in 9Ï gegebenen Funktionen in einfacher Weise zu approximieren. Dieses Prinzip ist später dann noch sehr ausgebaut worden. H. Cartan hat die Gültigkeit der ersten Aussage von Cousin auf allen holomorph vollständigen Mannigfaltigkeiten nachgewiesen 25 ). Die Frage, ob zu allen möglichen Nullstellen vert eilungen, die den Verträglichkeitsbedingungen genügen, auf einer gegebenen holomorph vollständigen Mannigfaltigkeit holomorphe Funktionen existieren, ist schwerer zu beantworten. Schon 1917 hat T. Gr on wall 26 ) in einem ersten Gegenbeispiel gezeigt, dass es Zylindergebiete im C n gibt, die zu vorgegebenen Nullstellenflächen keine holomorphen Funktionen aufweisen. Diese Zylindergebiete sind selbst holomorph vollständige Mannigfaltigkeiten. K. Oka hat dann später nachgewiesen, dass, wenn es zu einer vorgegebenen Nullstellenverteilung in einem endlichen Holomorphiegebiet (und das ist immer eine holomorph vollständige Mannigfaltigkeit) eine stetige Funktion gibt, auch dort eine holomorphe Funktion mit den vorgegebenen Nullstellen konstruiert werden kann 27 ). Daraus folgt, dass die zusätzlichen Bedingungen, die erforderlich sind, damit in einem gegebenen Holomorphiegebiet die zweite Aussage von Cousin für eine dort vorgegebene Nullstellen Verteilung gilt, nur topologischer Natur sind. K. Stein hat solche topologischen Bedingungen angegeben, die teils notwendig und teils hinreichend sind 28 ). H. Cartan und J. P. Serre haben neuer- 24 ) Vergi. K. Oka, Sur les fonctions de plusieurs variables. I-Domaines convexes par rapport aux fonctions rationelles, Ser. A, Vol. 6, Nr. 3 (1936). II — Domaines d'holomorphie, Ser. A, Vol. 7, Nr. 2 (1937). Beides: Journal of Science of the Hirosima University. 2B ) H. Cartan, a.a.O. 19 ). 26 ) Vergi. T. H. Gronwall, On the expressibility of a uniform function of several complex variables as the quotient of two functions of entire character, Americ. M. S. Trans. 18, 50-64 (1917). 27 ) Vergi. K. Oka, Sur les fonctions de plusieurs variables. III — Deuxième problème de Cousin, Journ. of Science of the Hiros. Univ. 19, 7-19. 28 ) Vergi. K. Stein, Topologische Bedingungen für die Existenz analytischer Funktionen komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Nullstellen, Math. Ann. 117 (1940/41), pp. 727-757. 51
Seite 1 und 2: FUNKTIONENTHEORIE AUF KOMPLEXEN MAN
Seite 3 und 4: B. Funktionen auf Riemannschen Flä
Seite 5: Das vorstehende lässt sich auch al
Seite 9 und 10: wieder diese Ideale der erwähnten
Seite 11 und 12: Falls ein solches SR k existiert, i
Seite 13: Eine solche Modifikation heisst ein

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