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EXERCICES, SÉRIE 2 5
mouvement s’inverse. Écrire la nouvelle équation différentielle pour t > t 1 . En déduire x(t)
pour t > t 1 .
c) Cette expression est valable jusqu’au temps t 2 et la position x 2 où la masse s’arrête
et repart vers la gauche. Exprimer x 2 en fonction de x 0 , f, g et ω 0 . En déduire les positions
successives x 2n et x 2n+1 où le sens du mouvement s’inverse, en fonction de x 0 , f, g, ω 0 et n.
d) Quand la masse va-t-elle s’immobiliser ? Représenter graphiquement l’évolution de
x en fonction du temps.
II. 5
Oscillateur forcé
Une masse m est accrochée à deux ressorts de même raideur k, dont les autres extrrémités
sont fixées aux points A et B. Lorsque la masse est située en x = 0, les deux ressorts sont
au repos. On néglige la force de pesanteur et les forces de frottement. À l’instant t = 0, on
lâche la masse sans vitesse initiale depuis le point d’abscisse x 0 .
a) Représenter sur la figure les forces qui s’exercent sur la masse m.
b) Écrire la loi de Newton pour la masse m. En déduire une équation différentielle
vérifiée par x. De quel type d’équation s’agit-il ?
c) Résoudre cette équation en tenant compte des conditions initiales. On notera ω 0 la
pulsation propre de l’oscillateur, dont on donnera l’expression en fonction des données.
A
+
+
O
+
x
+ B
A + • + •
+ +
+ +
x A O x x B
Les extrémités des ressorts sont maintenant soumises à un mouvement oscillant de pulsation
ω. On désigne x A et x B les écarts entre les points A et B et ces extrémités, respectivement.
On suppose que
B
x A (t) = a cos(ωt) , x B (t) = a cos(ωt + φ) .
d) Donner l’expression vectorielle des forces qui s’exercent sur la masse.
e) Montrer que x vérifie l’équation différentielle
ẍ + ω0 2 x = aω2 0 cos(φ/2) cos(ωt + φ/2) ,
en utilisant cosa + cosb = 2 cos((a + b)/2) cos((a − b)/2).
f) Écrire cette équation différentielle sous forme complexe. Chercher des solutions du
type x(t) = ˆx exp(iωt) et montrer que l’expression de l’amplitude complexe des oscillations
de la masse est
ˆx = aω2 0 cos(φ/2)
ω 2 0 − ω 2 exp(iφ/2) ,