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EXERCICES, SÉRIE 3 7 III III. 1 Exercices : oscillations couplées Couplage capacitif a) Des masses sont accrochées aux extrémités du ressort central. Introduire des notations et écrire les équations couplées pour le système ci-contre. b) Écrire les équations couplées pour les charges q 1 et q 2 des condensateurs C 1 et C 2 . Quelles sont les pulsations propres si L 1 = L 2 , R 1 = R 2 = 0 et C 1 = C 2 = C ? Quelle est la forme de la solution générale ? • • R 1 C 1 L1 C R 2 C 2 L2 III. 2 Couplage résistif a) On reprend 1.a) en remplaçant le ressort central par un amortisseur. Écrire les équations, sans les résoudre. b) On reprend 1.b) en remplaçant le condensateur C par une résistance R. On ne demande pas la résolution explicite des équations. III. 3 Couplage inertiel a) Écrire les équations couplées de ce circuit. Noter que le premier circuit reçoit un flux propre C 1 L 1 L 2 C 2 L 1 I 1 qui s’ajoute au flux MI 2 M envoyé par le second circuit. De même, le second reçoit L 2 I 2 +MI 1 .
8 IUT, ONDES ET VIBRATIONS, EXERCICES b) Le charriot de masse M glisse sans frottement et oscille entre les deux murs, par l’effet des ressorts K. La masse interne m oscille entre les deux ressort k. Écrire d’abord les équations quand M ≫ m. On pourra utiliser la force d’inertie d’entraînement. On notera x le déplacement de m par rapport au charriot et X le déplacement d’ensemble du charriot. Chercher les pulsations propres pour m = M = 1 kg et K = 3k/2. Écrire explicitement les solutions si ω 0 = (k/m) 1/2 = 1 rad/s et si, à t = 0, i) x(0) = X(0) = 1 cm et ẋ(0) = Ẋ(0) = 0, ii) x(0) = X(0) = 0 cm et ẋ(0) = −Ẋ(0) = 1 cm/s. K k •m M k K III. 4 Énergie d’un système couplé On considère le dispositif k m k m k a) Écrire les équations du mouvement. x 1 x 2 b) Montrer qu’elles peuvent se recombiner en ) ( ) (ẍ1 + ẍ 2 x1 + x 2 (2m) + (2k) = 0 , 2 2 ( m ) ( ) 3k (ẍ 1 − ẍ 2 ) + (x 1 − x 2 ) = 0 . 2 2 (III.1) et interpréter physiquement. b) Vérifier l’identité 1 2 mẋ2 1 + 1 2 kx2 1 +1 2 mẋ2 2 + 1 2 kx2 2 + k(x 1 − x 2 ) 2 = ) 2 1 (ẋ1 2 (2m) + ẋ 2 + 1 ( m ) (ẋ 1 − ẋ 2 ) 2 + 1 ( 3k 2 2 2 2 2 et donner l’interprétation physique. ) (x 1 − x 2 ) 2 . (III.2) c) Décrire qualitativement comment évoluerait le système une fois lancé s’il y avait un léger amortissement – uniquement sur le ressort central, – uniquement sur les ressorts extérieurs ?
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