Représenter l'espace en logique modale : un panorama - IRIT

0-0
Représenter l’espace en logique
modale : un panorama
Odile PAPINI,
LSIS umr CNRS 6168
Université du Sud Toulon Var
papini@univ-tln.fr
Semaine de la connaissance,
Atelier RTE :
Nantes, 27 juin 2006

Plan de l’exposé
• Introduction
• Généralités sur les logiques modales
• Logique modale pour la topologie
• Logique modale de l’ailleurs
• Logique modale de la proximité
• Logiques modales de la distance
• Logiques modales de l’inférence spatiale
• Logiques modales de la géométrie
• Autres logiques modales pour l’espace
1

Introduction
Quel(s) formalisme(s) ? :
• représenter qualitativement l’espace
• mettre en oeuvre le raisonnement spatial
critères de choix :
• expressivité
• représentabilité
• complétude
• décidabilité
• complexité
2

Généralités sur les logiques modales
• introduction
• langage
• sémantique
• système formel
• raisonnement en logique modale
3

Introduction
La logique modale : extension de la logique classique
(propositionnelle ou des prédicats)
□ : nécessité
♦ : possibilité
modalités :
♦A = def
¬□¬A
4

□ A
♦ A
il est nécessaire que A
il est possible que A
il sera toujours vrai que A
il sera parfois vrai que A
il faut que A
il est permis que A
A est su
l’inverse de A n’est pas su
A est connu
l’inverse de A n’est pas connu
A est cru
l’inverse de A n’est pas cru
toute exécution du programme
produit A
il y a une exécution du programme
qui produit A
5

Le langage (propositionnel)
un ensemble infini dénombrable de propositions
les constantes : 0 (Faux) et 1 (Vrai)
les connecteurs : ¬, , ∧, ∨, →, ↔
les modalités : □,
♦
• 0 et 1 sont des formules
Les formules bien formées :
• une variable propositionnelle est une formule
• si A et B sont des formules alors ¬ A, A ∧ B, A ∨ B,
A → B, A ↔ B , □A, ♦A sont des formules
6

Sémantique
sémantique des “mondes possibles” [KRIPKE 63]
une formule modale évaluée dans un “univers” de mondes
possibles
une relation d’accessibilité lie les mondes possibles entre eux :
informellement :
□A est vraie dans un monde possible ω si A est vraie dans
tous les mondes possibles accessibles à partir de ω
⋄A est vraie dans un monde possible ω si A est vraie dans au
moins un monde possible accessible à partir de ω
7

Exemple 1 : on lance une pièce de monnaie
p : ”on obtient PILE”
f : ”on obtient FACE”
p est possible
f est possible
p ∨ f est nécessairement VRAI
p ∧ f est impossible : nécessairement FAUX
p
f
p
¬f
¬p
¬f
¬p
f
mondes possibles
8

Exemple 2 : on lance deux pièces de monnaie 1 et 2
p i : ”on obtient PILE pour i” ¬p i : ”on obtient FACE pour i”
p 1
¬p 2
p 2
p 1
ω 2
ω 1
ω 4 ¬p 1
¬p 1 ω 3
¬p 2
Relation d’accèssibilité
p 2
ω i R ω j ssi d HAMMING (ω i , ω j ) = 1
9

W : l’ensemble des interprétations du langage
relation d’accessibilité : R
ω, ω ′ ∈ W, ωRω ′ : ω ′ est accessible à partir de ω
valuation : v
W × P → {0, 1} associe une valeur de vérité v(ω, p) à la variable
p dans l’interprétation ω
modèle : M = (W, R, v)
M, ω |= F : F est vraie dans le monde possible ω pour le modèle
M
10

la relation de conséquence est définie par :
M, ω |= p ssi v(ω, p) = 1
M, ω |= ⊤
M, ω ̸|= ⊥
M, ω |= ¬A ssi M, ω ̸|= A
M, ω |= A → B ssi M, ω ̸|= A ou M, ω |= B
M, ω |= A ∧ B ssi M, ω |= A et M, ω |= B
M, ω |= □A ssi ∀ ω ′ ∈ W tq ωRω ′ , M, ω ′ |= A
M, ω |= ♦A ssi ∃ ω ′ ∈ W tq ωRω ′ , M, ω ′ |= A
11

M |= A
une formule A est valide dans un modèle M = (W, R, v) ssi A est
vraie dans tous les mondes possibles du modèle
(W, R) |= A
une formule A est valide dans un système (W, R) ssi A est vraie
dans tout modèle M = (W, R, v)
|= A
une formule A est valide (ou est une tautologie ), ssi A est vraie
dans tout système (W, R)
12

Exemple 2 : on lance deux pièces de monnaie 1 et 2
M, ω 1 |= p 1 M, ω 2 |= p 1 M, ω 3 ̸|= p 1
M, ω 1 |= □(p 1 ∨ p 2 ) M, ω 2 ̸|= □(p 1 ∨ p 2 )
M, ω 2 |= ♦(p 1 ∨ p 2 )
ω 1
ω 3
p 1
p 1
¬p 2
p 2
ω 2
ω 4
13
¬p 1
¬p 1
¬p 2
Relation d’accèssibilité
p 2
ω i R ω j ssi d HAMMING (ω i , ω j ) ≤ 1

classification selon les propriétés de R
• K: logique modale la plus faible, □(A → B) → (□A → □B)
• T : systèmes réflexifs, R est réflexive, □A → A
• K4 : systèmes transitifs, R est transitive, □A → □□A
• S4 : systèmes réflexifs et transitifs, R est réflexive et transitive
• KB : systèmes symétriques, R est symétrique, □A → □♦A
• B : systèmes réflexifs et symétriques, R est réflexive et
symétrique
• S5: systèmes réflexifs, symétriques et transitifs R est une
relation d’équivalence, ¬□A → □¬□A
14

Système formel (système K)
les axiomes
A, B, C : formules de la logique modale propositionnelle
A1) (A → (B → A))
A2) ((A → (B → C)) → (A → B) → (A → C)))
A3) ((¬ A → ¬ B) → (B → A)
K) (□(A → B) → (□A → □B))
15

ègles de déduction
A, B : formules, Γ, ∆ : ensemble de formules
modus ponens
nécéssitation (règle N)
Γ ⊢ A, ∆ ⊢ A → B
Γ, ∆ ⊢ B
régularité (règle R)
Γ ⊢ A
Γ ⊢ □ A
Γ ⊢ A → B
Γ ⊢ □ A → □ B
16

déduction :
F : formule
Γ : ensemble de formules
une K-dérivation de F à partir de Γ :
séquence de formules se terminant par F , dont chaque formule est :
• soit une axiome
• soit un membre de Γ
• soit obtenu par l’application des règles de substitution, de
modus ponens ou de nécessitation
une K-preuve de F est une K-dérivation de F à partir de ∅
17

Les systèmes formels modaux
axiomes, A1, A2, A3, K
Système formel K :
Système formel KT :
axiomes, A1, A2, A3, K et T :
□ A → A
Système formel KT4 ou S4 :
axiomes : A1, A2, A3, K, T et 4 :
□ A → □ □ A
Système formel KT45 ou S5 :
axiomes : A1, A2, A3, K, T, 4 et 5 :
♦ A → □ ⋄ A
18

ésultats de correction et de complétude
le système formel K
⊢ A ssi |= A (les formules qui sont des théorèmes du système K
sont des tautologies pour la classe K)
système formel T
□A → A est une tautologie ssi R est réflexive
système formel S4
□A → □□A est une tautologie ssi R est transitive
système formel S5
¬□A → □¬□A est une tautologie ssi R est euclidienne
19

K, T , S4, S5 sont décidables
résultats de décidabilité
Mise en oeuvre du raisonnement en logique modale
• tableaux sémantiques
[LoTREC 01], [TWB 03], [KSAT 96], [FaCT 98]
• séquents de Gentzen
20

Logique modale de la topologie
[TARSKI & Mc KINSLEY 44]
• interprétation topologique de S4
• sémantique
• système formel
• traduction de RCC8 en logique modale
21

Logique modale de la topologie :
espace topologique : (X , O)
O : famille de sous-ensembles de X contenant X et ∅
fermé pour l’union et un nombre fini d’intersections.
modèle M: espace topologique muni d’une fonction de valuation v
de l’ensemble des variables propositionnelles P vers l’ensemble des
parties de X
□A : A est localement vraie
M, x |= A : A est vraie dans un voisinage de x pour le modèle M
• M, x |= □A ssi ∃o ∈ O et ∀y ∈ o : M, y |= A.
• M, x |= ♦A ssi ∀o ∈ O : si x ∈ o, alors ∃y ∈ o : M, y |= A.
22

toute formule de S4 correspond à région de l’espace topologique
modélisé.
(1) (1) (2) (3)
(4) (5)
(6)
(1) : p, (2) : □p , (3) : ♦p ∧ ♦¬p,
(4) : ♦□p, (5) : p ∧ ¬♦□p, (6) ♦□p ∧ ♦(p ∧ ¬♦□p)
23

Traduction de RCC8 en logique Modale S4 [BENNET 94] :
EC
T P P
T P P −1
DC
NT P P
NT P P −1
P O
EQ
24

Traduction de RCC8 en logique Modale S4 [BENNET 94] :
modalité I : intérieur d’une région
propriété de I conduisent aux axiomes :
1) I X → X
2) I I X ↔ I X
3) I T ↔ T
3) I (X ∧ Y ) ↔ I X ∧ I Y
Ils correspondent aux axiomes de S4
25

traduction des relations RCC8 en logique modale S4 :
relations contraintes de modèle contraintes d ′ inférence
DC(X, Y ) ¬(X ∧ Y ) ¬X, ¬Y
EC(X, Y ) ¬(I X ∧ I Y ) ¬X ∨ ¬Y, ¬X, ¬Y
P O(X, Y ) ¬(I X ∧ I Y ), X → Y, Y → X,
¬X, ¬Y
T P P (X, Y ) X → Y X → I Y, Y → X, ¬X, ¬Y
T P P −1 (X, Y ) Y → X Y → I X, X → Y, ¬X, ¬Y
NT P P (X, Y ) X → I Y Y → X, ¬X, ¬Y
NT P P −1 (X, Y ) Y → I X X → Y, ¬X, ¬Y
EQ(X, Y ) X ↔ Y ¬X, ¬Y
26

Logique modale de l’ailleurs :
[VON WRIGHT 79]
interprétations des modalités :
□ A : partout ailleurs on a A
♦ A : quelque part aileurs on a A
27

sémantique de la logique modale de l’ailleurs :
sémantique des “mondes possibles” [KRIPKE 63]
□ A : est vraie à la position i si A est vraie pour toute autre
position qui peut être atteinte à partir de i.
♦ A : est vraie à la position i si A est vraie en certaines
positions qui peut être atteinte à partir de i.
• M, ω |= □A ssi ∀ω ′ ∈ W\{ω}, M, ω ′ |= A.
• M, ω |= ♦A ssi ∃ω ′ ∈ W\{ω}, M, ω ′ |= A.
relation d’accèssibilité : ωRω ′ ssi ω ≠ ω ′ :
symétrique et faiblement transitive
28

Logique modale de l’ailleurs : système formel
Axiomes du calcul propositionnel A 1 , A 2 , A 3 et K, A, S :
K :
(□(A → B) → (□A → □B)),
A : □A ∧ A → □□A,
S : A → □♦A.
Règles d’inférence : modus ponens, nécéssitation
la logique modale de l’ailleurs :
complète et décidable
mise oeuvre : tableaux, complexité : NP-complet
U A = A ∧ □A : Partout on a A
E A = A ∨ ♦A : quelque part on a A
29

Logique modale de la proximité :
[VON WRIGHT 79]
interprétations des modalités :
□ A : partout à proximité de A
♦ A : quelque à proximité de A
30

sémantique de la logique de la proximitè :
sémantique des “mondes possibles” [KRIPKE 63]
□ A : est vraie à la position i si A est vraie pour toute autre
position qui peut être atteinte à partir de i.
♦ A : est vraie à la position i si A est vraie en certaines
positions qui peut être atteinte à partir de i.
• M, ω |= □A ssi ∀ω ′ ∈ W tq ωRω ′ , M, ω ′ |= A.
• M, ω |= ♦A ssi ∃ω ′ ∈ W tq ωRω ′ , M, ω ′ |= A.
relation d’accèssibilité : ωRω ′ ssi ω est proche de ω ′ :
rèflexive et symétrique mais pas transitive
31

Logique modale de la proximité : système formel
Axiomes du calcul propositionnel A 1 , A 2 , A 3 et K, A, S :
K :
(□(A → B) → (□A → □B)),
A : □A ∧ A → □□A,
S : A → □♦A.
Règles d’inférence : modus ponens, nécéssitation
la logique modale de la proximité :
complète et décidable
critiques:
expressivité
n∧
♦♦(□(p i ∧ ¬( ∨ p j )))
i=1 i≠j
cohérentes mais pour n = 6, pas de configuration dans le plan
32

P 3
33
P 4
P 1
P 6
P 5
P 2
[LEMMON & PRATT 98]
Limites de la logique modale de proximité

Logique modale de la distance :
[WOLTER, KUTZ & al. 00]
représentation qualitative de la distance :
A ≤a : partout dans un voisinage de rayon > a
A >a : partout à l’extérieur d’un voisinage de rayon > a
E ≤a : quelque part dans un voisinage de rayon > a
E >a : quelque part à l’extérieur d’un voisinage de rayon > a
34

sémantique de la logique modale de la distance
sémantique des “mondes possibles”
W : ensemble de points
v : P → 2 W
R : distance entre deux points d
A ≤a φ : φ est vraie en un point si φ est vraie en tout autre point à
une distance inférieure ou égale a de ce point.
E ≤a φ : φ est vraie en un point si φ est vraie en certains points à
une distance inférieure ou égale a de ce point.
35

sémantique de la logique modale de la distance
M, ω |= φ : φ est vraie au point ω pour le modèle M
relation d’accèssibilité :
ω R a ω ′ ssi d(ω, ω ′ ) ≤ a
ω Rā ω ′ ssi d(ω, ω ′ ) > a
• M, ω |= A ≤a φ ssi ∀ω ′ ∈ W tel que ω R a ω ′ , M, ω ′ |= φ.
• M, ω |= A >a φ ssi ∀ω ′ ∈ W tel que ω Rā ω ′ , M, ω ′ |= φ.
• M, ω |= E ≤a φ ssi ∃ω ′ ∈ W tel que ω R a ω ′ , M, ω ′ |= φ.
• M, ω |= E >a φ ssi ∃ω ′ ∈ W tel que ω Rā ω ′ , M, ω ′ |= φ.
36

nouvelles modalités
□ a φ = A ≤a φ ∧ A >a φ : modalité universelle
♦ a φ = E ≤a φ ∧ E >a φ : modalité existentielle
D φ = E >0 : modalité de différence
1) d(x, y) = 0 ssi x = y,
2) d(x, y) < d(x, y) + d(y, z),
3) d(x, y) = d(y, x).
Selon les propriétés de d : différentes logiques modales (M ⊆ R + )
MS(M) : 1), MS t (M) : 1) et 2), MS m (M) : 1), 2) et 3)
37

Logique modale de la distance : système formel (MS(M))
Axiomes du calcul propositionnel A 1 , A 2 , A 3 et : (a ∈ M)
K’ A
≤ : A ≤a (φ → ψ) → (A ≤a φ → A ≤a ψ),
K’ A
> : A >a (φ → ψ) → (A >a φ → A >a ψ),
T A ≤0 : A ≤0 φ → φ,
T c :
A ≤0 φ → A ≤0 φ,
Diff : E ≤a A >0 φ → A >a φ,
U 1 : □ 0 φ → □ a φ,
U 2 : □ a φ → □ 0 φ,
4 □ : □ a φ → □ a □ a φ,
B □ : φ → □ a ♦ a φ,
38

Logique modale de la distance : système formel (MS s (M))
Axiomes supplémentaires :
B A ≤ : φ → A ≤a E ≤a φ (a ∈ M),
B A > : φ → A >a E >a φ (a ∈ M),
Logique modale de la distance : système formel (MS t (M))
Axiomes supplémentaires :
Tr1 : A ≤a+b φ → A ≤a A ≤b φ (a, b ∈ M),
Tr2 : E ≤a A >b φ → A >a+b (a, b ∈ M),
Logique modale de la distance : système formel (MS m (M))
Axiomes supplémentaires : B A ≤, B A >, Tr1 , Tr2
39

Règles d’inférence :
modus ponens, règles de nécéssitation pour A ≤a et pour A >a , avec
(a ∈ M)
(règle N1 ) :
Γ⊢φ
Γ⊢A ≤a φ
(règle N2 ) :
Γ⊢φ
Γ⊢A >a φ . 40

les logique modales de la distance, MS(M), MS s (M),
MS t (M), MS m (M): sont complètes
les logique modales de la distance, MS(Q + ), MS s (Q + ),
MS t (Q + ), MS m (Q + ): sont décidables
mise oeuvre : tableaux, complexité : EXPTIME-complet
critiques:
expressivité
n∧
♦♦(□(p i ∧ ¬( ∨ p j )))
i=1 i≠j
cohérentes mais pour n = 6, pas de configuration dans le plan
41

Logique modale de l’inférence spatiale :
[JEANSOULIN & MATHIEU 94]
interprétations des modalités :
□ i A : partout à l’intérieur, on a A
♦ i A : quelque part à l’intérieur, on a A
□ v A : partout autour, on a A
♦ v A : quelque part autour, on a A
42

sémantique de l’inférence spatiale :
sémantique des “mondes possibles”
W : ensemble de régions (ouverts de R × R)
v : P → 2 W
R i : relation d’inclusion
R v : relation de voisinage
□ i A : est vraie en une région si A est vraie partout à l’intérieur.
♦ i A : est vraie en une région r si A est vraie quelque part à
l’intérieur.
□ v A : est vraie en une région si A est vraie partout autour,
♦ v A : est vraie en une région si A est vraie quelque part autour.
43

sémantique de la logique modale de l’inférence spatiale
modèle : M = (W, {R i , R v }, v)
R i : réflexive, anti-symétrique, transitive, reproductive et
faiblement dense
R v : irreflexive, symétrique, transitive, reproductive et faiblement
dense
M, ω |= φ : φ est vraie pour la région ω pour le modèle M
• M, ω |= □ i A ssi ∀ω ′ ∈ W tel que ω R i ω ′ , M, ω ′ |= A.
• M, ω |= ♦ i A ssi ∃ω ′ ∈ W tel que ω R i ω ′ , M, ω ′ |= A.
• M, ω |= □ s A ssi ∀ω ′ ∈ W tel que ω R s ω ′ , M, ω ′ |= A.
• M, ω |= ♦ s A ssi ∃ω ′ ∈ W tel que ω R s ω ′ , M, ω ′ |= A.
44

Logique modale de l’inclusion : système formel
Axiomes du calcul propositionnel A 1 , A 2 , A 3 et K, T, 4 :
K :
(□ i (A → B) → (□ i A → □ i B)),
T : □ i A → A,
4 : □ i A → □ i □ i A.
Règles d’inférence : modus ponens, nécéssitation
(règle N i ) :
Γ⊢A
Γ⊢□ i A .
la logique modale de l’inclusion :
complète et décidable
critiques:
expressivité
45

Logique modale des voisinages : système formel
Axiomes du calcul propositionnel A 1 , A 2 , A 3 et K, 5 :
K :
(□ v (A → B) → (□ v A → □ v B)),
5 : ♦ v A → □ v ♦ v A.
Règles d’inférence : modus ponens, nécéssitation
(règle N v ) :
Γ⊢A
Γ⊢□ v A .
la logique modale des voisinages :
complète et décidable
critiques:
expressivité
46

Logiques modales de la géométrie
• Introduction
• Généralités sur les logiques modales
• Logique modale de l’incidence
• Logique modale de la géométrie projective
• Logique modale du parallélisme
• Logique modale de la géométrie affine
47

Introduction
• objets : points et droites
Géométrie affine :
• relations entre objets : incidence, colinéarité,
parallélisme, orthogonalité · · ·
notations :
P o : ensemble de points : X, Y, · · ·
Li : Ensemble de lignes : x, y, · · ·
in : relation d’incidence
‖ : relation de parallélisme
⊥ : relation d’orthogonalité
48

Logique modale de l’incidence :
[BALBIANI 97, VENEMA 99]
interprétations des modalités :
□ P a : tout point est incident à a
♦ P a : il existe un point qui est incident à a
□ d A : toute droite passe par A
♦ d A : il existe une droite qui passe par A
49

sémantique de la logique modale de l’incidence :
sémantique des “mondes possibles”
modèle : M =< P o, Li, in, m >
W : < P o, Li >
R : in relation d’incidence
m valuation : m(P i ) ⊆ P o
m(p i ) ⊆ Li
• M, X |= □ P a ssi ∀x ∈ Li tel que X in x, M, x |= a.
• M, x |= □ d A ssi ∀X ∈ P o tel que X in x, M, X |= A.
• M, X |= ♦ P a ssi ∃x ∈ Li tel que X in x, M, x |= a.
• M, x |= ♦ d A ssi ∃X ∈ P o tel que X in x, M, X |= A.
50

Logique modale de l’incidence : système formel
Axiomes du calcul propositionnel A 1 , A 2 , A 3 et les axiomes :
□ P (a → b) → (□ P a → □ P b),
□ d (A → B) → (□ d A → □ d B),
□ P a → ♦ P a,
□ d A → ♦ d A,
A → □ P ♦ d A,
a → □ d ♦ P a.
Règles d’inférence : modus ponens, nécéssitation
(règle N P ) :
Γ⊢a
Γ⊢A
Γ⊢□ P a
et (règle N d ) :
Γ⊢□ d A
la logique modale de l’incidence :
complète et décidable
complexité : NEXPTIME-complet
51

Logique modale du parallélisme :
[BALBIANI 02]
Cette logique porte sur les droites
interprétations des modalités :
□ ‖ a : toute droite est paralléle à a
♦ ‖ a : il existe une droite qui est paralléle à a
52

sémantique de la logique modale parallélisme :
sémantique des “mondes possibles”
modèle : M =< Li, ‖, m >
W : Li
m valuation : m(p i ) ⊆ Li
R : ‖ relation de parallélisme : irréflexive, symétrique,
pseudo-transitive
• M, x |= □ ‖ a ssi ∀y ∈ Li tel que si x ‖ y, M, y |= a.
• M, x |= ♦ ‖ a ssi ∃y ∈ Li tel que si x ‖ y, M, y |= a.
53

Logique modale du parallélisme : système formel
Axiomes du calcul propositionnel A 1 , A 2 , A 3 l’axiome K, et des
axiomes supplémentaires :
a → □ ‖ ♦ ‖ a
a ∧ □ ‖ a → □ ‖ □ ‖ a
Règles d’inférence : modus ponens, nécéssitation et une règle
d’irréflexivité de □ ‖ :
(□ ‖ ∧¬p)→a, pour une variable p ne figurant pas dans a
a
la logique modale de l’incidence :
complète et décidable
complexité : NP-complet
54

autres logiques modales de la géométrie
la logique modale dela géométrie projective
[BALBIANI 98], [VENEMA 99]
la logique modale de la géométrie affine
[BALBIANI 02]
autres logiques modale pour l’espace
Logique modale basée sur la morphologiemathématique
[BLOCH 02]
55

Conclusion
diversité des approches
limites
expressivité
complexité théorique
références
chapitre 2 dans le traité sur le raisonnement spatio-temporel
(à paraître chez Hermes)
http://www.univ-tln.fr/papini/sources/RTE-06
56