Traitement du Signal Echantillonnage des Signaux - PRIMA

Traitement du Signal
James L. Crowley
Deuxième Année ENSIMAG 2000/2001
Séance 5 : 20 octobre 2000
Echantillonnage des Signaux
Formule du Jour :............................................... 1
Echantillonnage des Signaux ................................. 2
Le modèle général d'un échantillonneur idéal.............................3
La transformée de Fourier d'une suite de deltas..........................4
Schéma de l'échantillonage .......................................................6
Théorème de Shannon..............................................................7
Rappel du modèle idéal d'un échantillonneur..............................9
Schématiquement.....................................................................10
Filtre Anti-repliement..............................................................11
Schèma d'un dispositif de traitement numérique du signal
s(t)
A/N DFT F(ω) IDFT N/A
F{s(t)}
Formule du Jour :
La Fréquence Nyquist : f N = f e
2 = 1
2T e

Echantillonnage des Signaux Séance 5
Echantillonnage des Signaux
Soit un signal continu :
x(t)
t
Si l'on veut traiter un signal par voie numérique à l'aide d'un calculateur, il faut le
représenter au préalable par une suite de valeurs numériques ponctuelles prélevées
régulièrement ou irrégulièrement. Un tel prélèvement est appelé échantillonnage.
Une échantillonage représent un signal par une suite de valeurs ponctuelles :
x(t)
t
La représentation numérique des échantillons requiert une opération
complémentaire de quantification et de codage, dont la nature et les conséquences
sont examinées dans le prochaine séance. L'ensemble réalise une fonction de
conversion analogique-numérique A/N, (Dite Analog to Digital ou A/D en Anglais).
4∆
3∆
2∆
∆
0
–1∆
–2∆
x(n)
t
Reversibilité : Seules les conditions théoriques, irréalisables parfaitement dans la
pratique (voir théorème de Paley-Wiener), permettent une reconstitution exacte du
signal analogique à partir de ses échantillons. La procédure d'échantillonnage
introduit toujours une distorsion quil convient de limiter à un niveau acceptable.
5-2

Echantillonnage des Signaux Séance 5
Le modèle général d'un échantillonneur idéal
Le modèle général d'un échantillonneur idéal est :
x(t)
x ei (t)
δ Te (t)
x ei (t) = x(t) . δ Τe (t) = ∑
∞
x(t) δ(t – nT e )
n=∞
par convention on dit que T e = 1, et que x ei (n) = x ei (nT e )
On peut assimiler théoriquement la suite idéale d'échantillons prélevés avec une
cadence fixe f e = 1 T
à un signal x ei (t) obtenu par la multiplication du signal
e
analogique x(t) par une fonction d'échantillonnage idéalisée :
Le fonction peigne ("Unit Impulse Train" or "Sampling Function")
∞
∞
e i (t) = δ Τe (t) = ∑ δ(t – nT e ) = ∑
n=-∞
n=-∞
δ(t – n f e
)
5-3

Echantillonnage des Signaux Séance 5
La Transformée de Fourier d'une suite de deltas
La transformée de Fourier d'une fonction peigne est une fonction peigne,
de poids f e = 1 T e
.
∞
{δ Τe (t)} = { ∑
n=-∞
δ(t – n f e
)} = f e δ fe (f) = f e
∞
∑
k=–∞
La forme de la transformée de Fourier X e (f) = X e (ω/2π) devient :
X e (f) = X(f) * f e δ fe (f) = f e ∑
∞
X(f – kf e )
k=–∞
δ(f – k f e )
Note : Une échantillonnage en temps implique une périodicité en fréquence.
En général, le spectre X(ω) du signal échantilloné est noté entre –π ≤ ω ≤ π.
et le spectre X(f) du signal échantilloné est noté entre – 1 2 ≤ f ≤ 1
2 .
Demonstration : Par suite de Fourier :
∞
∑ δ(t – nT e ) =
n=-∞
∞
∑
α n e jnω ο t
n=-∞
∞
f(x) = ∑ α n e jn2πf o x
n=-∞
ω o = 2π
T e
les coeficients sont determiné par l'integrale dans la periode [ -T e
2 , T e
2 ].
α n = 1 T e
T e /2
∫
δ(t) e –jnω ο t dt = 1 T
-T e /2
e
∞
Donc : ∑ δ(t – nT e ) = 1 T n=-∞
e
∞
∑
n=-∞
e jnω ο t = 1 T e
∞
∑ e
j n(2π/T e ) t
n=-∞
ou bien δ(t – nT e ) =
1
T e
δ(t) e jn(2π/T e )t
(Rétard en phase par n 2π
T e
)
5-4

Echantillonnage des Signaux Séance 5
∞
{ ∑
n=-∞
δ(t – nT e )} = 1 T e
∞
∑
n=-∞
{e j2π n/T e } =
1
T e
∞
∑
n=-∞
δ(ω – 2πn
T e
)
∞
{ ∑ δ(t – nT e )} =
n=-∞
1
T e
∞
∑
n=-∞
δ(ω – 2πn
T e
)
ou en f avec f e = 1 T e
∞
{ ∑ δ(t – n 1 ∞
f
)} = f e
n=-∞
e
∑
n=–∞
δ(f – n f e ) = f e δ fe (f)
5-5

Echantillonnage des Signaux Séance 5
Schéma de l'échantillonage
Spectre d'un échantillonneur idéal :
X(f)
f
–2f –f e 0 e
f e 2f e
Spectre du signal analogique :
X(f)
f
Spectre du signal après échantillonnage (idéalisé) :
Replié autour du fréquence de “Nyquist”.
X(f)
f N = f e
2 = 1
2T e
–2 f N –f e
– f N 0 f N
f e 2 f N 2f e
5-6
f

Echantillonnage des Signaux Séance 5
Théorème de Shannon
Un signal analogique x(t) ayant une largeur de bande finie limité à 2F hz ne peut
être reconstitué exactement à partir de ses échantillons x(n∆t) que si ceux-ci ont été
prélevés avec une période T e = 1 1
f
≤ e 2F .
Spectre du signal analogique :
x(t)
X(f)
–F
N
–F F F
N
f
Pour que la répétition périodique de ce spectre ne déforme pas le motif répété, Il
1
faut et il suffit que la fréquence de répétition f e =
T
(la fréquence
e
d'échantillonnage) soit égale ou supérieure à 2 fois la fréquence maximum F du
signal.
F ≤ f N = f e
2
5-7

Echantillonnage des Signaux Séance 5
Exemple :
Pour une sinusoïde, Cos(2πf o t), la fréquence d'échantillonnage minimale est deux
échantillons par cycle. T e = λ 2 = 1
1
2f
ou f =
o 2T
(Cycle/échantillon)
e
Soit une fréquence d'échantillonage f e.
Si la fréquence du signal, f o, est supérieure à f e
2
f e
c-à-d : si f o =
2
+ ∆f tel que ∆f > 0
par ∆f :
alors, la séquence d'échantillons est assimilée à une suite de fréquence f alias tel que
:
f alias = f e
2 – ∆f.
c-à-d :
E 2 { Cos( 2πt ( f e
2 + ∆f))} = Cos( 2πt (f e
2 – ∆f)) 5-8

Echantillonnage des Signaux Séance 5
Rappel du modèle idéal d'un échantillonneur
Le modèle général d'un échantillonneur idéal E 2 {} est :
x(t)
x ei (t)
x ei (t) = x(t) . δ Τe (t) = ∑
δ Te (t)
∞
x(t) δ(t – nT e )
n=∞
par convention on dit que T e = 1, et que x ei (n) = x ei (nT e )
La transformée de Fourier d'une fonction peigne est une fonction peigne,
de poids f e = 1 T
. e
∞
{δ Τe (t)} = { ∑
n=-∞
δ(t – n f e
)} = f e δ fe (f) = f e
∞
∑
k=–∞
δ(f – k f e )
La forme de la transformée de Fourier X e (f) = X e (ω/2π) devient :
X e (f) = X(f) * f e δ fe (f) = f e ∑
∞
X(f – kf e )
k=–∞
Note : Une échantillonnage en temps implique une périodicité en fréquence.
En général, le spectre X(ω) du signal échantilloné est noté entre –π ≤ ω ≤ π.
et le spectre X(f) du signal échantilloné est noté entre – 1 2 ≤ f ≤ 1
2 . 5-9

Echantillonnage des Signaux Séance 5
Schématiquement
Spectre d'un échantillonneur idéal :
X(f)
f
–2f –f e 0 e
f e 2f e
Spectre du signal analogique :
X(f)
f
Spectre du signal après échantillonnage (idéalisé) :
Replié autour du fréquence de “Nyquist”.
X(f)
f N = f e
2 = 1
2T e
–2 f N –f e
– f N 0 f N
f e 2 f N 2f e
5-10
f

Echantillonnage des Signaux Séance 5
Filtre Anti-repliement
Afin d'éviter ce repliement de spectre, Il est indispensable d'introduire un
préfiltrage du signal analogique avant de procéder à l'échantillonnage.
x(t)
g (t)
x e (nT e )
δ T e(t)
Le filtre Anti-repliement (ou filtre de garde) parfait serait un filtre passe-bas idéal
de bande passante B = f e
2
. Tout filtre anti-repliement réel comporte une bande de
transition qui reporte la bande passante limite B M au delà de la bande passante
effective.
Spectre Réel
Spectre Idéel
–F max
F max
Nous allons voir dans les séances suivants qu'on spécifie les caractéristique d’un
filtre avec un gabarit en donnant des paramètres:
δ p :
ω p
ω a :
δ a :
L’ondulation en bande passant
Dernière fréquence passante
première fréquence atténuée
L’ondulation en bande atténuée.
| H(ω) |
1 + δ p
1 – δ p
1 + δ a
ω p
ω a
1 – δ a
π
ω
ω c
5-11