Traitement Numérique du Signal Le Filtrage Recursif - PRIMA

Filtrage Récursif. Séance 11Fonction de Transfert :La ratio de la sortie sur l'entrée :H(z) = Y(z)X(z)On peut écrire :Y(z) = X(z) + Y(z) a z -1 =>Y(z) (1 – a z -1 ) = X(z)et donc :H(z) =Y(z)X(z)=11 – a z –1Note que cette ratio a une pôle (valeur infinie) à : 1 – a z -1 = 0ou bien quand a z –1 = 1 ou z –1 = 1 a ou z = aLa réponse impulsionnelle est donnée parh(n) = a nExemple : a = 0.910.90.80.70.60.50.40.30.20.101 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 3111-5

Filtrage Récursif. Séance 11Stabilité d'un filtre de premier ordre :La stabilité d'un filtre est définit par :∞∑ | h(n) | < ∞n=0La filtre recursif de premier ordre a :Elle est stable quand | a |< 1.0.Ih(n) = a nZRLe condition de stabilité est que les racines du denominator (les pôles) se trouveà l'intérieur du cercle : | z | = 1.0.(un compte banquaire est stable si sa solde reste bornée :-) )Filtrage RécursifLes filtres récursifs sont définis par une équation de récurrence.Le filtre est spécifié par deux jeux de coefficients a(m), 1 ≤m

Filtrage Récursif. Séance 11Sauf quelques exceptions, les filtres récursifs ont une réponse impulsion de duréeinfinie (RII ou “IIR”). Il est possible de réaliser certain filtre RIF par un calculrécursif, mais ceci est rare et plutôt difficile.L’intérêt des filtres récursifs est1) leur faible coût en calcul.2) leur faible retard (Tres outil pour les communications)Les inconvénients des filtres récursifs sont1) leur non-linéairité en phase et2) leur instabilité numérique.Soit h(n), la réponse impulsionnelle d'un filtre recursif.Pour le filtre d'être réalisable, h(n) doit respecterh(n) = 0 n < 0et∞∑ | h(n) | < ∞n=0Mais la réponse impulsionnelle, h(n), n'est pas directement accessible.Il faut passer par la transformée en Z.11-7

Filtrage Récursif. Séance 11La transformée en ZDéfnition : Soit un signal discrèt x(n).La transformée en Z (bilatérale) est définie parX(z) = Z{x(n)} =∞∑ x(n) z –nn=–∞ou z est une variable complexe et où X(z) est un fonction complexe de la variable z.Domaine de Convergence :Le transformée en z n’a pas de sens que si l’on précise le domaine des valeurs de zpour lesquelles cette série existe : son région de convergence.Pour un signal donnée, l'ensemble de valeur de z pour lequelles la série convergeest appellé "région de convergence".Considére une série :∞∑ un = u o + u 1 + u 2 + u 3 + ...n=0Une série de ce type converge siLimn→∞ { |u n| 1/n } < 1Pour appliquer ce critère, on peut decomposer la série de X(z) en deux séries.X(z) =∞∑ x(n) z –n =n=–∞–1 ∞∑ x(n) z –n + ∑ x(n) z –n = X 1 (z) + X 2 (z)n=–∞n=0X 2 (z) converge si Limn→∞ { | x(n) z–n | 1/n } < 111-8

Filtrage Récursif. Séance 11Soit R z– = Limn→∞ { | x(n) | 1/n }. Alors X 2 (z) converge si |z| > R z–Pour X 1 (z), on fait un changement de variables m = -n–1 ∞∑ x(n) z –n → ∑ x(–m) z mn=–∞m=1et X 1 (z) converge pout | z | < R x+1R x+ =Limm→∞ |(x–m)| 1/m ]Ainsi la domaine de convergence de X(z) est en général dans un anneau du plancomplexe des z donné par constitué de l’intersection des domaines de convergences.Si cette intersection existe, on a une coronne de convergence :0 ≤ R x- < |z| < R x+ ≤ ∞Im{z}Im{z}R x-R x+Re{z}Re{z}Domains de convergence pour X 1 (z)Domaines de convergence pour X 2 (z)11-9

Filtrage Récursif. Séance 11Im{z}R x-R x+Re{z}région de convergenceStabilitéLa fonction de transfert d'un filtre RII estH(z) = Y(z)X(z) = ∞∑ h(n) z –n =n=0M∑ b(m) z –mm=0N1+ ∑ a(n) Z -nn=1N–1Le condition de stabilité est que les N pôles (racines de 1 + ∑ a(n) Z -n )n=1se trouve à l'intérieur du cercle :| z | = 1.0.IZRExemple :G(z) =1+z –1(1+0.5z -1 ) (1-0.4 z –1 )a des pôles à z = -0.5, 0.4. il est stable.11-10

Filtrage Récursif. Séance 11Exemplesa) L’impulsion unité : δ(n) =⎪⎧ 1 pour n = 0⎨⎩⎪ 0 sinonX(z) = Z[δ(n)] =∞∑ δ(n) z –n = 1n=0Avec convergence pour tout z.b) L’échelon unité u(n) =⎪⎧ 1 pour n ≥ 0⎨⎩⎪ 0 sinon∞Z[u(n)] = U(z) = ∑ u(n) z –n = 1 + z –1 + z –2 + ... =n=011 – z –1Démonstration :Avec convergence pour | z | > 1. Donc R x- = 1 R x+ = ∞∞∑ u(n) z –n – z -1 ∞( ∑ u(n) z –n ) = ( 1 + z –1 + z –2 + ...)–z -1 ( 1 + z –1 + z –2 + ...)n=0n=0donc(1 – z -1 ∞)( ∑ u(n) z –n ) = 1 - z –∞ = 1n=0∞∑ u(n) z –n =n=01 + z –∞1 – z –1 = 11 – z –1Note que la racine de la denominator est |z| = 1.Il s'agit d'un "pôle" du U(z). La domaine de convergence est borné par le plusgrand pole.11-11

Filtrage Récursif. Séance 11c) La Rampe : r(n) =⎪⎧ n pour n ≥ 0⎨⎩⎪ 0 sinon∞R(z) = ∑ r(n) z –n = 1 z –1 + 2 z –2 + ... =n=0Convergence pour |z| > 1 R x– = 1 et R x+ = ∞z -1(1 – z –1 ) 2d) Exponentiel x(n) = a n u(n)X(z) =∞∑ a n u(n) z –n =n=–∞∞∑ a n z –n ∞= ∑ ( a z -1 ) n =n=0 n=011–a z -1Avec convergence pour |z| > |a|On a R x– = |a| et R x+ = ∞Im{z}R x-Re{z}e) Exponentiel x(n) = a nR x– = |a| et R x+ =|a| et donc la serie ne converge pas.11-12

Filtrage Récursif. Séance 11Les Propriétés de la Transformée en ZPropriété de Linéaritésoit x(n) = a x 1 (n) + b x 2 (n)Alors X(z) = a X 1 (z) + b X 2 (z) avec convergence au moins dans lesrégions de convergence de X 1 (z) et X 2 (z).R x– = max{ R x1 –, R x2 –}R x+ = min{ R x1 +, R x2 +}Si les zéros éventuels introduits par la combinaison linéaire compensent certainpôles, la région de convergence de X(z) peut être plus grande.11-13

Filtrage Récursif. Séance 11Rétard d'un signalsi y(n) = x (n – n o )alors Y(z) = z –n o X(z) pour R x– < |z| < R x+Commentaires :Le produit avec z -1 correspond à un retard d'une échantillon n o = 1.x(n)z –1x(n–1)Dérivée de la transformée en zdX(z)dz∞= ∑ (-n) x(n) z -n-1n=–∞en multipliant les deux coté par –z on obtient–z dX(z)dz∞= ∑ n x(n) z -nn=–∞La derivée d'une tranformée en z multiplié par -zest la transformtion en z du signal multiplié par le signal y(n) = n.Convolution de deux signaux discretLa convolution est définie par∞x(n) * y(n) = ∑ x(k) y(n-k)k=-∞La transformé en z estZ{x(n) * y(n) } = X(z) Y(z)11-14