Traitement du Signal Le Filtrage Recursif - PRIMA

Traitement du SignalJames L. CrowleyDeuxième Année ENSIMAG première Bimestre 2002/2003Séance 12 : 13 décembre 2002Le Filtrage RecursifFormule du Jour du Jour...........................................................1Filtrage Récursif..........................................................................2Stabilité d'un filtre recursif .....................................................3Transformation en Z inverse ....................................................3Développement par division.............................................4Relation Intégrale...........................................................4Developpement en série de Puissance................................5Méthodes de Conception des Filtres Récursif.......................6Conception par placement des pôles et zéros...............................6Structure des filtres Récursifs...................................................8Decomposition en Série :..........................................................8Linéairité de phase par renversement du temps....................9

Filtrage Récursif. Séance 12Filtrage Récursif(Formule du Jour)Les filtres récursifs sont définis par une équation de récurrence.Le filtre est spécifié par deux jeux de coefficients a(m), 1 ≤m

Filtrage Récursif. Séance 12Stabilité d'un filtre recursifun filtre, H(z) est stable si :∞∑ | h(n) | < ∞n=0Le condition de stabilité est que les pôles sont à l'intérieur du cercle | z | = 1.0.Les pôles sont les racines deN1 + ∑ a(n) Z -n = 0n=1IZRExemple : considérons h(n) = a n (avec |a| < 1)(le filtre de premier ordre vue la semaine derrièra.H(z) =∞∑ a n z –n =n=011 – az –1 z z=zz – aDonc un zéro pour z = 0 et un pôle pour p = a.12-3

Filtrage Récursif. Séance 12Transformation en Z inverseIl y a 3 methodes de découvrir h(z) à partire de H(z) :1) Développement par division2) Relation Intégrale3) Développement en série de PuissanceDéveloppement par divisionOn exprime :M(z – zm )∏H(z) = Y(z) m=1X(z) = =N∏ (z – pn )n=1b 0 + b 1 z –1 + ... + b N z –N1 + a 1 z –1 +...+ a N z –NEnsuite on fait le division de Y(z) par X(z). La suite de coefficients est h(n)NH(z) = ∑ h(n) z –nn=0Relation Intégralex(n) = Z -1 {X(z)} = 12πj∫ΓX(z) z n-1 dzValable pour tout les valeur de n, le contour d'intégration Γ doit être dans la régionde convergence. Il doit être fermé et il foi entourer l'origine du plan des z dans lesens positif (sens invers des aiguilles d'une montre).On evalue l'intégrale par la méthode des résidus. La théoreme de Cauchy surl'intégrale le long d'un contour indique quex(n) = 12πj∫ΓX(z) z n-1 dz = Σ résidus de X(z) z n-1 dans Γ.à un pôle (z=a) d'ordre 1, la résidu du fonction [X(z) z n-1 ] est donnée par12-4

Filtrage Récursif. Séance 12Res a1 =Lim {z→a (z – a) X(z) xn-1 }à un pôle (z=a) d'ordre q, la fonction [X(z) z n-1 ] est donnée parRes aq =Lim { 1z→a(q–1)!d q-1dz q-1 { X(z) x n-1 (z – a) q }}En calculant tous les résidus aux pôles de la contion [X(z) z n-1 ] à l'intérieur ducontour Γ, on obtient par sommation le signal x(n).Developpement en série de PuissanceComme la transformé X(z) est une fonction analytique de z dans la région deconvergence, on peut développe en série de Taylor en fonction de z -1 .On peut, ensuite, trouver les series par identification avec les series connu.Exemple :Considérons une transformée en zX(z) = exp{z -1 } (1 + z -1 )Le dévelopement en série de Taylor donne :X(z) = exp{z -1 } (1 + z -1 ∞ n+1) = ∑n=0n!z -non comparant sa avec la définition d'une transformée en z, on deduitx(n) = (n+1)n!u(n)12-5

Filtrage Récursif. Séance 12Méthodes de Conception des Filtres RécursifIl y a trois méthode de conception des filtres récursifs :1) Conception par placement des Pôles et Zéros dans le plan z.2) Conception assisté par ordinateur utilisant l'optimisation linéaire.3) Transposition d'un filtre analogique.Pour faire une conception par placement des pôles, il faut calculer la transfomationen Z inverse.Conception par placement des pôles et zérosConsidérons H(z) = Z{h(n)}.Les pôles de H(z) sont les valeurs de z pour lesquelles H(z) tend vers l'infini.Les zéros de H(z) sont les valeurs de z pour lesquelles H(z) est null.Si H(z) possède M zéros z m et N pôles, p n , on peut la mettre sous la forme :∏H(z) = Y(z)X(z) = P(z) m=1Q(z) =M(z – zm )N(z – pn )∏n=1=b 0 + b 1 z –1 + ... + b N z –N1 + a 1 z –1 +...+ a N z –NLes racines de P(z) sont des racines de H(z), Les racines de Q(z) sont de poles deH(z). La région de convergence ne contient aucun pôle.Afin de connaître les la réponse impulsionnell, h(n) on fait le divisionH(z) = b 0 + b 1 z –1 + ... + b N z –N N1 + a 1 z –1 +...+ a N z –N = ∑ h(n) z –nn=0On peut toujours écrire une transformée en z sous cette forme, et représenter lesignal par les listes de pôles et zéros.Les zéros et les pôles complexes de H(z) sont du type α ± jβ.Exemple : considérons h(n) = a n u(n). (avec |a| < 1)12-6

Filtrage Récursif. Séance 12H(z) =∞∑ a n z –n =n=011 – az –1 = zz – aDonc un zéro pour z 1 = 0 et un pôle pour p 1 = a.Im{Z}ω oθaϕRe{Z}On note que z = r e jωDonc, La transformé de Fourier est une transformée de z pour lesquelle |z| = 1.H(ω ο ) = Ae jω oe jω o – aLa numérateur est un vecteur joignant l'origine au point z = e jω oLa dénominateur est la différance de deux vecteurs.La module de X(ω ο ) est la rapport des modules de | e jω o| et | e jω o – a|La phase et la différence d'angles fait par ce deux vecteurs avec l'axe réel.On note que la module est proportional à l'inverse de la distance avecla pôle (parce que la zéro est à l'origine.12-7

Filtrage Récursif. Séance 12Structure des filtres RécursifsOn appelle "structure d'un filtre" la manière dont on va implanter sa fonction detransfert. Il y a autant de structures que de façons d'écrire un fonction de transfert.Exemple :M-1 N-1y(k) = ∑ b(m) x(k-m) – ∑ a(n) y(k-n)m=0n=1Un structure directe est de la forme suivante :z –1 ...z –1 z –1b 1 b 2 b Mx(n)b o...y(n)a N a N-1 a 1z –1z –1z –1Decomposition en Série :Une autre structure est obtenu par la forme :H(z) = Y(z)X(z) = K∏ Hi (z)i=1Ce qui donne une structure en cascade de filtre de 1 iere et 2 ieme ordre.x(n)H 1 (z) H 2 (z) ... H K (z)y(n)H 1 (z) = 1 + b 1z –11 + a 1 z –1 ou bien H 2(z) = 1 + b 1z –1 + b 2 z –21 + a 1 z –1 + a 2 z –2Le filtre de premier order aura ses pôles et zéros sur l'axe reél du plan z.Un filtre de deuxieme ordre permet d'avoir les pôles et les zéros complexepour la fonction de transfert globale, tout en restant avec les coefficient réel.12-8

Filtrage Récursif. Séance 12Linéairité de phase par renversement du tempsLinéairité implique H(z) = H(z –1 )On peut l'obtenir par deux passages du filtre avec une renversement du temps.∞soit : X(z) = ∑ x(n) z –nn=0Renversement de temps : r(n) = x(-n)En zR(z) =∞ ∞ ∞∑ r(n) z –n = ∑ x(-n) z –n = ∑ x(n) z n = X(z -1 )n=0n=0n=0x(n)Renversementr(n)H(z)s(n)Renversementw(n)H(z)y(n)Étapes :1) Renversement de temps : pour 0 ≤ n < D r(n) = x(D-n)M N2) Passe 1 : s(n) = ∑ b(m) r(n-m) – ∑ a(m) s(n-m)m=0m=13) Renversement de temps : pour 0 ≤ n < D w(n) = s(D-n)M N4) Passe 2 : y(n) = ∑ b(m) w(n-m) – ∑ a(m) y(n-m)m=0m=1En Z :R(z) = X(z -1 )S(z) = H(z) R(z) = H(z) X(z -1 )W(z) = S(z -1 ) = H(z -1 ) X(z)Y(z) = H(z) H(z -1 ) X(z)et F(z) = H(z) H(z -1 ) = Y(z)X(z)aura une phase null.12-9