Courbes et surfaces gauches - Ecole Nationale Supérieure d ...

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Courbes et surfaces gauches
Notions et définitions
I – Courbes gauches
Une courbe est un ensemble à une dimension de points de
l’espace. Une courbe qui n’est pas contenue dans un plan est
dite « gauche ».
Exemples : trajectoire d’une mouche volant autour d’une lampe,
d’une feuille dans un tourbillon d’air.
Sous certaines conditions de continuité des dérivées (que l’on
supposera réalisées sans les préciser dans cet exposé), en tout
point M d’une courbe gauche G, on définit les notions
suivantes :
- Tangente :
Position limite d’une sécante MM’ lorsque M’ tend vers M le
long de la courbe; c’est aussi la direction de la trajectoire que
suivrait un mobile astreint à se déplacer sur la courbe gauche à
l’instant où il se trouverait libéré de cette astreinte (en supposant
qu’il ne soit soumis à aucune force). On calcule le vecteur
tangent T r
en un point en dérivant le vecteur position par
rapport à la variable définissant sa position.
- Plan normal :
Plan perpendiculaire en M à la tangente; par M et dans ce plan
passent une infinité de “normales” à la courbe (toutes les droites
perpendiculaires à la tangente).
- Plan osculateur :
Position limite, lorsque M’ tend vers M le long de la courbe, du
plan formé par la tangente en M et le point M’. C’est en fait le
plan qui contient “au mieux” la courbe au voisinage de M, il
varie le long de la courbe. Pour une courbe plane, le plan
osculateur est le plan de la courbe.
- Normale principale :
C’est l’intersection du plan normal et du plan osculateur; parmi
toutes les normales en M, c’est celle qui est dans le plan
osculateur. Notons N r un vecteur normal.
- Binormale :
C’est la perpendiculaire commune à la tangente et à la normale
principale; elle est dans le plan normal et perpendiculaire au
plan osculateur. Parmi toutes les normales, c’est celle qui est
perpendiculaire au plan osculateur. Notons B r
un vecteur
binormal. Le produit vectoriel de T r et N r
est un vecteur
binormal ( B r =T r ∧ N r )
- Plan rectifiant :
C’est le plan contenant la tangente et la binormale; il est
perpendiculaire au plan osculateur et au plan normal.

- Trièdre de Frenet :
Trièdre tri-rectangle mobile formé par la tangente, la normale principale et la binormale.
- Abscisse curviligne : s
Fixons une origine O sur une courbe gauche ainsi qu’un sens de parcours. La mesure
algébrique de la longueur de la courbe entre O et un point M de la courbe, définit
l’abscisse curviligne notée s du point M. Il s’agit d’une généralisation de la notion
d’abscisse sur une droite orientée.
- Courbure : ρ
La courbure d’une courbe gauche est égale à la courbure de sa projection (plane) sur le
plan osculateur. La courbure d’une courbe plane mesure la limite du rapport de la
variation de direction de la tangente à la variation de l’abscisse curviligne.
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La courbure ρ est l’inverse du rayon de courbure R soit :
1 dω
ρ = = R ds
dω
ds
angle de 2 tangentes infiniment voisines
variation de l’abscisse curviligne entre 2 points infiniment voisins
- Cercle osculateur :
Cercle situé dans le plan osculateur et dont le rayon est égal au rayon de courbure. C’est
le cercle qui « épouse » au mieux la projection de la courbe sur le plan osculateur en un
point donné.
- Torsion : τ
La torsion d’une courbe gauche mesure la limite du rapport de la variation de direction
du plan osculateur à la variation de longueur curviligne.
1 dθ
La torsion τ est l’inverse du rayon de torsion T soit : τ = = T ds
dθ angle de 2 plans osculateurs infiniment rapprochés
ds longueur curviligne entre 2 points infiniment voisins
- Sphère osculatrice :
C’est la sphère qui « épouse » au mieux la courbe en un point donné. Cette sphère
contient le cercle osculateur mais n’a pas le même centre (à cause de la torsion).
Eléments caractéristiques en un point P d’une courbe gauche. D’après, Hilbert et Cohn-Vossen.

- Définition analytique :
On peut définir une courbe
• Comme intersection de 2 surfaces (ce qui est le cas de la droite vue comme
intersection de 2 plans). Chaque équation définit une surface par une relation
entre les 3 coordonnées des points lui appartenant :
⎧f
(x, y,z) = 0
⎨
⎩g (x, y,z) = 0
• Ou par 3 équations avec un paramètre (cf. représentation paramétrique de la
droite). Le paramètre t peut être interprété comme la variable temps en
cinématique où la courbe est l’ensemble des points M d’une trajectoire en
fonction du temps.
⎧x
= f(t)
⎪
⎨y
= g(t)
⎪
⎩z
= h(t)
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• Ou encore en coordonnées semi-polaires
⎧ θ = θ
⎪
⎨ρ
= f( θ ) Ou avec un paramètre
⎪
⎩z
= g( θ )
⎧θ
= f( t)
⎪
⎨ρ
= g( t)
⎪
⎩z
= h( t)
Dans le cas des formulations paramétriques en fonction de t, un vecteur tangent (non
unitaire) en M se calcule en dérivant le vecteur OM par rapport au paramètre t :
T = d OM / dt
Un vecteur du plan osculateur (contenant T et N ) est : d 2 OM / dt 2
On en déduit qu’un vecteur binormal (non unitaire) est :
B = T ∧ d 2 OM / dt 2
Puis qu’un vecteur normal (non unitaire) est :
N = T ∧ B
II – Surfaces gauches
Une surface gauche est un ensemble à deux dimensions de points de l’espace. Une
surface qui n’est pas plane est dite “gauche”.
Elle peut être définie par une propriété géométrique (ex: sphère comme ensemble des
points situés à une distance donnée d’un point donné ou comme surface dont la normale
en tout point passe par un point fixe) ou par une relation analytique entre les
coordonnées d’un point :
• z = f(x,y) (forme explicite) ou g(x,y,z)= 0 (forme implicite)
⎧x
= f(u,v)
⎪
• ou encore ⎨y
= g(u, v) u et v étant 2 paramètres indépendants
⎪
⎩z
= h(u, v)
• en coordonnées semi-polaires :
z = f(θ,ρ) θ et ρ angle polaire et rayon-vecteur (indépendants)

- Plan tangent en un point :
Sous réserve de certaines conditions de continuité et de dérivation, on peut tracer sur une
surface des courbes (planes ou non) passant par un point donné de cette surface. En ce
point, chaque courbe admet une tangente et les tangentes aux différentes courbes sont
toutes contenues dans un même plan appelé plan tangent à la surface au point considéré.
- Normale :
En tout point M d’une surface, la normale est la perpendiculaire au plan tangent donc la
perpendiculaire commune aux tangentes aux différentes courbes passant par M et tracées
sur la surface.
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III – Cas particuliers de surfaces
Plan tangent et normale en un point M d’une surface.
(D’après Alain Chassagnoux.)
III.1 - Surfaces cylindriques
Une surface cylindrique est engendrée par une droite (G) dite génératrice qui reste
parallèle à une direction fixe δ et qui s’appuie sur une courbe D (dite directrice et qui
n’est pas nécessairement plane). Le plan tangent est le même tout le long d’une
génératrice.
III.2 - Surfaces coniques
Une surface conique est engendrée par une droite (G) dite génératrice qui passe par un
point fixe S et qui s’appuie sur une courbe D (dite directrice et qui n’est pas
nécessairement plane). Le plan tangent est le même tout le long d’une génératrice.
III.3 - Surfaces de révolution
(S) est une surface de révolution d’axe (D) si, pour tout point M de (S), le cercle d’axe
(D) passant par M appartient entièrement à (S).
Une surface de révolution peut être engendrée par la rotation autour de (D) de n’importe
quelle ligne (plane ou gauche) tracée sur elle. Cette ligne peut être considérée comme
une génératrice.
Exemples de surfaces de révolution : sphère, tore, cône de révolution, cylindre de
révolution, hyperboloïde de révolution.
Tore : Un tore est obtenu par la rotation d’un cercle situé dans un plan contenant l’axe
(D). Le centre du cercle ne doit pas passer par l’axe (Si le centre du cercle est sur l’axe
on obtient une sphère). Le cercle peut couper l’axe.

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Tore d’axe Oz. D’après A. Gheorghiu et V. Dragomir.
L’hyperboloïde de révolution à une nappe (HR) peut être engendré par une droite
(génératrice) tournant autour d’un axe non coplanaire avec la droite (Si la droite était
coplanaire avec l’axe de révolution on génèrerait un cône de révolution (droites sécantes)
ou un cylindre de révolution (droites parallèles)). La section d’une surface de révolution
par un plan méridien (passant par l’axe de rotation) est une courbe plane (méridienne).
La section méridienne de l’HR est une hyperbole.
Cette surface a la propriété d’être doublement réglée. Les deux systèmes de génératrices
sont symétriques par rapport au plan contenant le cercle de gorge (cercle défini par les
point les plus proches de l’axe). Le plan tangent en un point est perpendiculaire au plan
méridien en ce point. Il contient une génératrice de chaque système.
Hyperboloïde de révolution : Représentation de 16 génératrices obtenues par rotation autour de
l’axe D=Oz (à gauche), représentation des méridiens hyperboliques, du deuxième système de
génératrices et des cercles (à droite). D’après A. Gheorghiu et V. Dragomir.
III.4 - Surfaces de translation
Une surface de translation résulte de la translation d’une courbe, génératrice, dont un
point s’appuie constamment sur une autre courbe, directrice. Les rôles des deux courbes
peuvent être intervertis, la surface obtenue étant la même.
Exemples de surfaces de translation. D’après A. Gheorghiu et V. Dragomir.

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III.5 - Surfaces réglées
Géométriquement, une surface réglée est engendrée par une droite qui se déplace dans
l’espace en s’appuyant sur trois courbes directrices, en général gauches.
Pour comprendre comment construire point par point une surface réglée considérons
dans un premier temps le cas particulier où les 3 directrices sont des droites :
D’un point A de la première droite, on peut tracer toutes les droites qui s’appuient sur la
seconde droite; on engendre ainsi un plan; en général, ce plan est coupé par la troisième
droite en un point B; pour chaque point A, on obtient ainsi une droite (AB). L’ensemble
de ces droites constitue la surface réglée.
On peut généraliser ce raisonnement à 3 directrices gauches (C 1 , C 2 et C 3 ) en
considérant pour un point A de C 1 la surface conique de sommet A s’appuyant sur la
directrice C 2 . Cette surface peut alors couper C 3 en un certain nombre de points (B i )
(peut-être aucun) définissant autant de génératrices (AB i ) de la surface réglée.
Analytiquement, on définit une surface réglée en se donnant une courbe directrice sur
laquelle s’appuient les génératrices et un vecteur variable donnant une direction pour
chaque génératrice. Précisons que se donner la directrice revient à se donner une courbe,
c’est-à-dire 3 fonctions d’un même paramètre u : x(u), y(u), z(u). Quant au vecteur, on se
donne aussi ses 3 composantes en fonction du même paramètre u. A chaque valeur de u
correspondent donc un point précis et une direction précise donc une génératrice
parfaitement déterminée.
III.5.1 - Plan tangent
En tout point d’une génératrice, la surface réglée admet un plan tangent qui contient cette
génératrice mais qui varie (exception faite des surfaces développables) suivant la
position du point sur la génératrice. Lorsque le point s’éloigne à l’infini le long d’une
génératrice, la position limite du plan tangent est appelée plan asymptote.
III.5.2 - Plan central, point central
Le point de la génératrice où le plan tangent à la surface réglée est perpendiculaire au
plan asymptote est appelé point central de la génératrice. Le plan tangent en ce point est
le plan central. L’ensemble des points centraux des différentes génératrices est appelé
ligne de striction.
III.5.3 - Cône directeur d’une surface réglée
Soit u r le vecteur donnant la direction de la génératrice. Posons OH = u
r . H décrit une
courbe (C H ). Le cône de sommet O et de directrice (C H ) est engendré par les parallèles
aux génératrices de la surface réglée. Le plan tangent à ce cône le long de OH donne la
direction du plan asymptote relatif à la génératrice associée à OH.
III.6 - Surfaces réglées particulières : Conoïdes et cylindroïdes
Un conoïde est une surface réglée dont deux des directrices sont des droites et la
troisième une courbe. Si l’une des droites est à l’infini, le conoïde est à plan directeur,
l’autre droite est l’axe (ou l’arête) ; un conoïde à plan directeur peut être engendrée par
une droite G assujettie à s’appuyer sur une droite A (axe ou arête du conoïde), à rester
parallèle à un plan P (plan directeur) qui coupe A et à une autre condition (par exemple,
la droite G s’appuie sur une courbe directrice donnée). Les droites G sont les
génératrices du conoïde.

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Exemples de conoïdes à plan directeur. D’après A. Gheorghiu et V. Dragomir.
- L’hyperboloïde réglé général a trois directrices droites à distance finie non
coplanaires deux à deux (la courbe est dégénérée en droite).
- Le paraboloïde hyperbolique (PH) a deux directrices droites non coplanaires à
distance finie et une directrice droite à 1’infini (définissant un plan directeur).
Paraboloïde hyperbolique : Représentation des deux directrices droites (AD) et (BC) et des
génératrices obtenues par intersection avec des plans parallèles au plan directeur (à gauche),
représentation des paraboles, et du deuxième système de génératrices (à droite). D’après A.
Gheorghiu et V. Dragomir.
Le paraboloïde hyperbolique possède deux propriétés particulières :
- Il est doublement réglé. Avec les notations de la figure ci-dessus (à gauche) un premier
système de génératrices est défini en considérant les directrices (AD) et (BC) le plan
directeur est parallèle aux droites (AB) et (DC). Un deuxième système de génératrices
peut être défini en inversant les rôles et en considérant donc les directrices (AB) et (DC),
le plan directeur est parallèle aux droites (AD) et (BC).
- On peut prouver analytiquement que le paraboloïde hyperbolique est aussi une surface
de translation d’une parabole sur une autre parabole (Voir figure ci-après).

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Paraboloïde hyperbolique : représentation des paraboles définissant cette surface de translation
(à gauche) d’après A. Gheorghiu et V. Dragomir. Application dans architecturale (à droite)
pour la couverture du laboratoire d’étude des rayons cosmiques, Université de Mexico, 1951.
Architectes : Jorge Gonzales Reyna, Felix Candela.
Un cylindroïde est une surface réglée dont deux des directrices sont des courbes et la
troisième une droite (axe du cylindroïde). Si la droite directrice est à l’infini, le
cylindroïde devient à plan directeur.
Cette classification est inclusive, c’est-à-dire que les conoïdes sont des cas particuliers de
cylindroïdes.
Exemples de cylindroïdes s’appuyant sur deux courbes (sinusoïde et ellipse) et une droite :1) à
distance finie parallèle à OY et passant par ω (à gauche) et 2) à plan directeur parallèle à OXZ
(à droite) quand ω est à l’infini sur OZ. D’après A. Gheorghiu et V. Dragomir.
Exemple de cylindroïde s’appuyant sur deux arcs de cercles et une droite à distance finie (à
gauche) d’après A. Gheorghiu et V. Dragomir. Application à l’arrière voussure de Marseille
(à droite), d’après J.-L. Gauthier

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III.7 - Surfaces développables
Une surface développable est une surface réglée qui admet le même plan tangent le long
d’une génératrice, et ceci pour chaque génératrice. C’est l’enveloppe géométrique d’une
famille de plans dépendant d’un paramètre. Elle peut être appliquée sur un plan sans
déchirure ni repli.
Les cônes et cylindres sont des surfaces développables. Les surfaces d’égale pente le
sont aussi : les génératrices sont les lignes de plus grande pente (exemple : surface de tas
de matériau granulaires pulvérulents comme le sable ou les poudres secs).
Les tangentes à une courbe gauche fixe engendrent en général une surface développable
La courbe de départ est appelée arête de rebroussement de la surface développable (on
parle alors de surface tangentale).
La figure ci-dessous donne un exemple de surface tangentale construite sur une hélice.
Hélicoïde développable représenté par l’hélice et ses tangentes (à gauche) et son application à
l’escalier du Louvre (à droite).
IV – Contour apparent
IV.1 Contour apparent d’une surface (S) vue d’un point Mo
On appelle contour apparent de (S) vue du point Mo l’ensemble des points de (S) où
peuvent venir se confondre 2 des points communs à (S) et à une droite variable issue de
Mo.
IV.2 Contour apparent en perspective (parallèle ou centrale) sur le plan H de la
surface (S) vue du point Mo
C’est la perspective sur le plan H du contour apparent de (S) vue du point Mo (l’oeil est
en le tableau est le plan H).

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V – Courbure d’une surface
Soit une surface (S), un point M de (S), et la normale N M à (S) en M. Soit P un plan
tournant autour de la normale. Il coupe (S) suivant une courbe (C).
On montre que lorsque P tourne autour de N M , le rayon de courbure de (C) varie entre 2
valeurs extrêmes appelées rayons de courbure principaux de (S) en M, R 1 et R 2 . Les
1
valeurs correspondantes de la courbure sont K 1 =
R et K 1
2=
1
R2
Les plans correspondants sont dits plans principaux et sont perpendiculaires.
Les deux directions principales de courbure de la surface au point M et les cercles osculateurs
correspondants. R 1 = O 1 M, R 2 = O 2 M. Figure d’après Alain Chassagnoux.
Si en un point les rayons de courbure principaux sont de signes contraires, la surface
admet en ce point 2 sections normales (c’est-à-dire contenant la normale) à rayon de
courbure infini c’est-à-dire 2 courbes admettant en M un point d’inflexion ou
exceptionnellement 2 droites.
La courbure représente l’inverse du rayon de courbure orienté (par rapport à la normale).
On définit :
K 1 + K 2
- La courbure moyenne : c’est la moyenne des courbures principales C =
2
Les surfaces dont la courbure moyenne est nulle en chaque point sont appelées surfaces
minimales. Ce sont les surfaces d’aire minimales reliant les points d’une courbe gauche
quelconque de l’espace.
L’hélicoïde droit à plan directeur est la seule surface gauche réglée minimale.
Les surfaces minimales peuvent être formées par des films d’eau savonneuse sur contour
fermé. En architecture, elles peuvent servir à définir la géométrie de structures tendues.
(Robert le Ricolais, Frei Otto).
Exemples de surfaces minimales formées par des films d’eau savonneuse. A gauche, hélicoïde
droit à plan directeur, au centre, caténoïde. D’après, Hilbert et Cohn-Vossen (p210).
Application aux structures tendues de Frei OTTO (à droite)

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K= K 1 .K
- La courbure gaussienne, dite aussi courbure totale : 2
C’est le produit des courbures principales.
La notion de courbure totale permet de décrire le comportement local de la surface en un
point M en fonction du signe de K.
Point elliptique : K>0 Point parabolique : K=0 Point hyperbolique : K

Surfaces à courbure totale nulle : L’une des courbures principales au moins est
nulle; elles sont réglées et développables (tous cônes et cylindres, tangentales).
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Les cylindres (à gauche) et les cônes (à droite) sont des surfaces à points paraboliques.
Figure d’après Alain Chassagnoux.
Surfaces à courbure totale positive : Elles sont à double courbure de même sens :
sphères, ellipsoïdes, surfaces de révolution à méridien convexe. Elles ne peuvent être ni
réglées ni développables.
Certaines surfaces peuvent être d’un type hybride et changer de signe pour leur courbure
totale suivant les zones. Par exemple, surfaces de révolution dont le méridien possède un
point d’inflexion.
VI – Classement de quelques types de surfaces
Le tableau récapitulatif ci-dessous fait un classement des surfaces présentées en fonction
leurs modes de génération (réglées, de révolution) et propriétés (minimales,
développables, courbure totales négative).
Réglées
Développables
(K=0)
De révolution
Minimales
(C=0)
à K

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VII – Lignes remarquables d’une surface
VII.1 - Lignes de niveau
Courbes planes parallèles à un plan de référence.
Exemple : plan de référence horizontal (en cartographie) : z = cte
VII.2 - Lignes de plus grande pente
Trajectoires orthogonales des lignes de niveau, c’est-à-dire toute courbe qui en chacun
de ses points est orthogonale à la ligne de niveau passant par ce point.
VII.3 - Lignes isoparamétriques
Famille de courbes u = cte et v = cte
VII.4 - Lignes asymtotiques
Lignes qui admettent en tout point un plan osculateur qui est le plan tangent à la surface.
VII.5 - Lignes de courbure
Lignes le long desquelles les normales à la surface engendrent une surface développable.
En tout point passent 2 lignes de courbure orthogonales dont les tangentes sont
conjuguées harmoniques par rapport aux tangentes aux lignes asymptotiques.
VII.6 - Lignes géodésiques
Lignes admettant en chaque point un plan osculateur normal à la surface. Elles
représentent le plus court chemin sur la surface pour aller d’un point à un autre.
VIII – Repères bibliographiques
Ce cours a été rédigé initialement par François Plaut. Il a été complété par Thierry
Ciblac. Les illustrations sont tirées principalement de l’ouvrage de Gheorghiu et
Dragomir et du cours d’Alain Chassagnoux de l’ENSA de Nantes.
LARGER J.C. Théorie des coques : application au calcul des résilles p. 10 à 20 in
Introduction au calcul des structures en résilles, CSFTA, édition Brémo Boulogne 1978
Contient une définition rigoureuse des notions de courbure normale, courbure
géodésique, torsion géodésique.
BOURGUIGNON J.P, LAWSON H.B, MARGERIN C., Les surfaces minimales p.29 à
39 in Les Mathématiques aujourd’hui édition Pour la Science, Belin
Illustration des notions de courbure moyenne et totale
LELONG-FERRAND J., ARNAUDIES J.M. Cours de mathématiques Tome 3,
Géométrie et cinématique, édition Dunod Université, Paris 1979.
Etude théorique très complète des notions de courbure, de torsion, de directions
principales avec démonstrations à partir des concepts de l’algèbre linéaire.
GHEORGHIU A. & DRAGOMIR V., La représentation des structures constructives,
1968, Paris, Eyrolles.
Etude théorique et classification des surfaces suivant leur courbure totale en relation
avec le domaine de l’architecture.

CHASSAGNOUX A., Cours de géométrie constructive, Ecole Nationale d’Architecture
de Nantes, 2002.
HILBERT D. & COHN-VOSSEN S., Geometry and the imagination, Chelsea publishing
company, New York, 1952.
Ouvrage de mathématicien de référence.
MIMRAM M., Structure et formes. Etude appliquée à l’oeuvre de Robert le Ricolais.
Dunod. Presses des Ponts et Chaussées, 1983.
PETIT J.-P., « Le géométricon » et le « topologicon » dans la série « Les aventures
d’Anselme Lanturlu. »
Bandes dessinées de vulgarisation.
Téléchargeables gratuitement :
http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/free_downloads.htm
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IX – Internet
http://www.mathcurve.com/
Site en français dédié aux formes mathématiques (notamment aux courbes et surfaces).
On y trouvera de nombreux cas définis, étudiés et illustrés notamment par des exemples
architecturaux. Ce site renvoie à de nombreux autres liens dédiés aux formes.