Exercices de mécanique (2e période 3/) - s.o.s.Ryko

2009-2010 Exercices - Mécanique ∣ PTSI
3) Déterminer la vitesse v de l’électron en fonction de r, m e , h et du nombre quantique principal
n (n entier ≥ 1).
4) Les trajectoires stables de l’électron sont des cercles de rayons r quantifiés par n tel que :
r = n 2 r 0 .
Calculer (en pm) le rayon de Bohr noté r 0 .
5) En déduire l’énergie totale de l’électron quantifiée sous la forme : E n = − E 0
n 2 .
6) En supposant l’électron dans son état fondamental (n = 1), calculer sa vitesse v 0 et l’énergie
d’ionisation de l’atome (l’exprimer en eV : 1 eV = 1, 6.10 −19 J).
L’électron est-il relativiste ?
7) Déterminer l’expression littérale de la constante de Rydberg R H relative à l’atome d’hydrogène
et calculer sa valeur sachant que :
1
= ν (
n→m 1
= R H
λ n→m c m 2 − 1 )
n 2 (avec n > m et c la vitesse de la lumière dans le vide).
Solution DL n o 11
• Système étudié : {M, m, −e}, électron dans le référentiel terrestre supposé galiléen R g .
• Bilan des forces : le poids et l’interaction électrostatique exercée par le proton (O). Le poids
étant négligeable devant cette dernière force, on a :
−→ F ext = −→ F =
−e2 −→ er
4πε 0 r 2 .
• Cette force est centrale, donc M O ( −→ F ) = −−→ OM × −→ F = −→ 0 .
1) • Le Principe Fondamental de la Dynamique appliqué à l’électron donne :
m e
−→ a M/Rg =
−e2
4πε 0 r 2 −→ er
• La base adaptée à une trajectoire circulaire (r = Cste) et plane est la base polaire ( −→ e r , −→ e θ ).
−→ er + dv −→ eθ
dt
L’accélération de l’électron dans cette base est : −→ a M/Rg = −r ˙θ 2−→ e r + r¨θ −→ e θ = − v2
r
Le P.F.D. s’écrit donc : − v2 −→ er + dv −→ eθ =
−e2 −→ er
r dt 4πε 0 r 2 , soit :
↩→ En projection selon −→ e θ : dv
dt = 0 ⇔ v = r ˙θ = Cste : l’électron a un mouvement circulaire
uniforme autour du noyau.
↩→ En projection selon −→ e r : − v2
r =
−e2
4πε 0 r 2 ⇔ v = e
√ 4πε0 m e r
2) • L’énergie cinétique de l’électron dans R g est :
E k (M) = 1 2 mv2 =
e2
8πε 0 r = E k(r)
• Pour déterminer l’énergie potentielle électrostatique, il faut revenir au travail élémentaire fourni
par la force électrostatique −→ F :
δW ( −→ F ) = −→ F ▪ d −−→ OM = −
e2 −→ er
4πε 0 r 2 ▪ (dr −→ e r + rdθ −→ e θ ) = −
e2
4πε 0 r 2 dr = −dE p(r)
e2
D’où : E p (r) = −
4πε 0 r 2 + Cste, soit, en prenant E p(r → ∞) = 0 :
• L’énergie totale de l’électron est donc :
e2
E p (r) = −
4πε 0 r 2 = −2E k(r)
1
E(r) = E k (r) + E p (r) = −E k (r) = E p(r)
2
= − e2
8πε 0 r
(★)
jpqadri@gmail.com http ://atelierprepa.over-blog.com/ 57