Exercices de mécanique (2e période 3/) - s.o.s.Ryko

2009-2010 Exercices - Mécanique ∣ PTSI
Le vecteur position −−→ OM est orthogonal à tout instant à −→ L O , donc à −→ e z , direction fixe de l’espace :
la trajectoire est donc plane, contenue dans le plan (Oxy)⊥ −→ e z .
2) Lors d’un déplacement élémentaire de M, le travail de la force −→ F est : δW = − a r 3 ver ▪(d−→ e r +
rd −→ e r ) = − a r 3 dr = −dE p, avec E p = − a (en choisissant l’énergie potentielle nulle à l’infini).
2r2 ThmE m : dE m = δW NC = 0, soit E m = Cte : le système est conservatif.
Le système {M, m} a pour énergie mécanique :
E m = E k + E p = 1 2 mv2 M/R + E p(r) = 1 2 m( ˙r2 + r 2 ˙θ2 ) + E p (r) = 1 m ˙r2 + 1 mC 2
} 2 {{ } 2 r 2 + E p (r)
} {{ }
E k,r E p,eff (r)
D’où E p,eff (r) = 1 mC 2
2 r 2 + E p (r) = mr2 0 v2 0 sin2 α − a
2r 2
3) L’énergie potentielle s’annule à l’infini. Le système est donc dans un état de diffusion si son
énergie mécanique est positive, ce qui se traduit par :
E m = Cte = E m (0) = 1 2 mv2 0 −
a
2r 2 0
√ a
> 0 ⇔ v 0 >
mr 2 0
4.a) Comme la constante des aires s’écrit : C = L O
m = r2 ˙θ = r0 v 0 sin α = r 0 v 0 pour α = π 2 ,
on a : ˙r = dr
dθ ˙θ = r ( )
⎫
0v 0 dr
( ) r 2 dθ
⎪⎬
1 Soit : ˙r = −r 0 v 0 u ′
d
θ
Comme u ′ θ = r
= − 1 dr dr
dθ r 2 ,on a :
dθ dθ = −r2 u ′ ⎪⎭
θ
Alors E m = E k,r + E p,eff = 1 2 m ˙r2 + mr2 0 v2 0 − a
2r 2 = 1 2 mr2 0v0(u 2 ′ θ )2 + mr2 0 v2 0 − a u 2
2
4.b) Puisque E m = Cte
0 = mr0 2v2 0 u′′ θ .u′ θ + (mr2 0 v2 0 − a)u.u′ θ
en dérivant
−−−−−−−−−→
par rapport à θ
Comme le cas u ′ θ
= 0 ne nous intéresse pas (on étudie le mouvement de M), on obtient :
(
u ′′
θ + 1 − a )
√
mr0 2 u = 0 ⇔ u ′′
v2 θ + η2 u = 0 avec η = 1 − a
0
mr0 2v2 0
Rq : η est bien défini puisque 1 −
a
mr 2 0 v2 0
> 0 d’après la condition sur la vitesse établie en 3).
4.c) La solution générale de l’équation est : u(θ) = A cos(ηθ) + B sin(ηθ)
À t = 0, θ 0 = 0 (puisque −−−→ OM 0 = −→ 0 ), donc −→ e r (0) = −→ e x , −→ e θ (0) = −→ e y
Soit −→ {
v0
−→ 4.d)
ey
v 0 =
˙r(0) −→ e r + r 0 ˙θ(0)
−→ eθ = ˙r(0) −→ e x + r 0 ˙θ(0)
−→ ey
Donc ⎧: ˙r(0) = 0 = −r 0 v 0 u ′ (θ 0 ) (d’après 4.a)).
⎨
u(0) = 1 = A
D’où r
⎩
0
u ′ θ (0) = 0 = −Bη
Cl : u(θ) = 1 cos(ηθ) ⇔ r = (
r 0
√
)
cos θ 1 − a
mr0 2v2 0
r 0
–6 –4 –2 0 2
8
6
4
2
–2
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