Sujet - Lycée Roland Garros

T-S 123 DS n o 5 3 heures
Le sujet comporte 3 exercices indépendants à traiter dans l’ordre de son choix.
La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l’appréciation des copies.
Exercice 1 — 6 POINTS
On considère la fonction f définie surRpar f (x)= 1 (
x+ (1− x)e
2x ) .
2
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( O ; ⃗ı, ⃗j ) .
(1) (a) Déterminer les limites de f en−∞ et en+∞.
(b) Montrer que la droite ∆ d’équation y = x est asymptote à C .
2
Étudier la position de C par rapport à ∆.
(2) Calculer f ′ (x) pour x∈R.
(3) Soit u la fonction définie surRpar u(x)=1+(−2x+ 1)e 2x .
(a) Étudier le sens de variation de u.
(b) Montrer que l’équation u(x) = 0 possède une solution unique α dans l’intervalle
[0;1]. Déterminer une valeur décimale approchée par excès de α à 10 −2 près.
(c) Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x.
(4) Étudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation.
Exercice 2 — 4 POINTS
On définit :
• la suite (u n ) par u 0 = 13 et, pour tout entier naturel n :
u n+1 = 1 5 u n+ 4 5
• la suite (S n ) pour tout entier naturel n, par :
n∑
S n = u k = u 0 + u 1 + u 2 +···+u n
k=0
(1) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n = 1+ 12
5 n .
En déduire la limite de la suite (u n ).
(2) (a) Déterminer le sens de variation de la suite (S n ).
(b) Calculer S n en fonction de n.
(c) Déterminer la limite de la suite (S n ).
Lycée Roland Garros 1
jeudi 18 novembre 2010

2
Exercice 3 — 10 POINTS
Les 3 parties de cet exercice sont dépendantes.
Cependant, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder
les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Partie A - 3 POINTS
On note f la fonction définie surR par : f (x)=x− e −x .
(1) Étudier le sens de variations de la fonction f surR.
(2) En déduire que l’équation[ f (x)=0possède ]
une unique solution surR, notée α, telle que
1
α appartient à l’intervalle
2 ; 1 .
(3) Étudier le signe de f sur l’intervalle [0 ; α].
Partie B - 4 POINTS
On note g la fonction définie surRpar : g (x)= 1+ x
1+e x .
(1) Montrer que : ∀x ∈R, g (x)− x = −ex
1+e x × f (x).
(2) Démontrer que l’équation f (x)=0 est équivalente à l’équation g (x)= x.
(3) En déduire que α est l’unique réel vérifiant : g (α)=α.
(4) Calculer g ′ (x) et l’écrire en fonction de f (x).
En déduire que la fonction g est croissante sur l’intervalle [0 ; α].
Partie C - 3 POINTS
On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = 0 et, pour tout entier naturel n, par :
u n+1 = g (u n )
(1) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : 0⩽u n ⩽ u n+1 ⩽ α.
(2) En déduire que la suite (u n ) est convergente. On note l sa limite.
(3) Justifier l’égalité : g (l)=l. En déduire la valeur de l.