simulation numerique de la combustion diphasique - cerfacs
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Ecole Doctorale Energétique et Dynamique <strong>de</strong>s Flui<strong>de</strong>s<br />

DEA Energétique et Transferts<br />

(Systèmes et Procédés)<br />

SIMULATION NUMERIQUE<br />

DE LA COMBUSTION DIPHASIQUE<br />

Rapport <strong>de</strong> stage<br />

Ref : TR/CFD/03/49<br />

Matthieu BOILEAU<br />

Juillet 2003<br />

Responsable : Bénédicte CUENOT<br />

Equipe CFD - Combustion<br />

Centre Européen <strong>de</strong> Recherche et <strong>de</strong> Formation Avancée en Calcul Scientifique

Résumé<br />

La <strong>combustion</strong> <strong>diphasique</strong> dans les moteurs aéronautiques et automobiles fait aujourd’hui l’objet<br />

d’étu<strong>de</strong>s et <strong>de</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong>s numériques poussées. Les principaux enjeux rési<strong>de</strong>nt dans le<br />

contrôle <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>combustion</strong> et dans <strong>la</strong> réduction <strong>de</strong>s émissions polluantes. Dans cette optique,<br />

il est nécessaire <strong>de</strong> caractériser l’injection <strong>de</strong> carburant liqui<strong>de</strong>, son évaporation et sa <strong>combustion</strong>.<br />

Ce stage a pour but <strong>de</strong> modéliser le phénomène d’évaporation/<strong>combustion</strong> à travers <strong>la</strong> configuration<br />

simplifiée d’une f<strong>la</strong>mme monodimensionnelle <strong>diphasique</strong>. La réalisation <strong>de</strong> cet objectif s’est<br />

faite en quatre étapes. En premier lieu, une étu<strong>de</strong> bibliographique a permis <strong>de</strong> comprendre <strong>la</strong><br />

modélisation eulérienne <strong>de</strong>s écoulements à phase dispersée, en vue <strong>de</strong> leur <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> numérique<br />

par le co<strong>de</strong> <strong>de</strong> calcul AVBP TPF du CERFACS. En second lieu, le traitement par ce co<strong>de</strong> <strong>de</strong>s<br />

conditions aux limites caractéristiques dans un champ <strong>diphasique</strong> a été validé afin <strong>de</strong> préparer<br />

à <strong>la</strong> mise en oeuvre <strong>de</strong> calculs monodimensionnels. La troisième étape a mis en évi<strong>de</strong>nce le<br />

bon comportement d’AVBP TPF dans une situation d’évaporation monodimensionnelle pour<br />

<strong>la</strong>quelle il existe une solution analytique. Enfin, l’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>diphasique</strong> a permis <strong>de</strong><br />

retrouver les résultats théoriques par le calcul numérique.<br />

Ces travaux constituent une première validation du co<strong>de</strong> dans l’optique <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> d’écoulements<br />

physiquement et géométriquement plus complexes, représentatifs <strong>de</strong>s situations industrielles.<br />

Remerciements<br />

J’exprime tout d’abord ma reconnaissance à Bénédicte Cuenot pour l’attention qu’elle a portée<br />

à l’encadrement <strong>de</strong> ce stage.<br />

Ces remerciements s’adressent également aux autres membres <strong>de</strong> l’équipe <strong>diphasique</strong>. Pour <strong>la</strong><br />

générosité <strong>de</strong> leur ai<strong>de</strong> et <strong>la</strong> finesse <strong>de</strong> leurs conseils, merci à André Kaufmann, Jean-Baptiste<br />

Mossa, Stéphane Pascaud et Eléonore Riber.<br />

Je n’oublie pas l’ensemble <strong>de</strong>s doctorants, en particulier Antoine Dauptain et Alois Sengissen,<br />

post-doctorants et permanents qui contribuent à rendre l’atmosphère chaleureuse.<br />

Je remercie enfin Thierry Poinsot pour m’avoir donné l’opportunité d’effectuer ce stage au sein<br />

<strong>de</strong> l’équipe CFD du CERFACS.<br />

3

Table <strong>de</strong>s matières<br />

Introduction 7<br />

CERFACS : Centre Européen <strong>de</strong> Recherche et <strong>de</strong> Formation Avancée en Calcul Scientifique<br />

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />

Contexte d’étu<strong>de</strong>s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />

Objectifs du stage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />

1 Equations du modèle eulérien à <strong>de</strong>ux flui<strong>de</strong>s 10<br />

1.1 Rappel <strong>de</strong>s équations locales instantanées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />

1.2 Approche statistique : définition <strong>de</strong>s opérateurs <strong>de</strong> moyenne . . . . . . . . . . . . 10<br />

1.3 Equations en gran<strong>de</strong>urs moyennes principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />

1.4 Ecriture simplifiée <strong>de</strong>s équations du modèle à <strong>de</strong>ux flui<strong>de</strong>s . . . . . . . . . . . . . 14<br />

1.5 Description et modélisation <strong>de</strong>s termes <strong>de</strong> coup<strong>la</strong>ge . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />

1.6 Outil numérique : AVBP TPF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />

2 Interaction <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s avec les conditions aux limites dans un écoulement<br />

<strong>diphasique</strong> 23<br />

2.1 Description <strong>de</strong>s conditions aux limites caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />

2.2 Etu<strong>de</strong> du comportement <strong>de</strong>s conditions aux limites<br />

caractéristiques dans le co<strong>de</strong> AVBP TPF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />

2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />

3 Evaporation dans un écoulement monodimensionnel 33<br />

3.1 But <strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />

3.2 Description <strong>de</strong> <strong>la</strong> configuration étudiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />

3.3 Résultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />

3.4 Vérification <strong>de</strong>s hypothèses du modèle <strong>diphasique</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />

3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />

4 F<strong>la</strong>mme <strong>la</strong>minaire monodimensionnelle <strong>diphasique</strong> 42<br />

4.1 But <strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />

4.2 C<strong>la</strong>ssification <strong>de</strong>s mo<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />

4.3 Description <strong>de</strong> <strong>la</strong> configuration étudiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />

5

4.4 Résultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />

4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />

Conclusion et perspectives 53<br />

Bibliographie 55<br />

ANNEXES 56<br />

A Solution analytique du problème d’évaporation 57<br />

B Profils <strong>de</strong>s Variables <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme monophasique prémé<strong>la</strong>ngée d’éthanol 59<br />

6

Introduction<br />

CERFACS : Centre Européen <strong>de</strong> Recherche et <strong>de</strong> Formation<br />

Avancée en Calcul Scientifique<br />

Le CERFACS, créé en 1987, est un centre <strong>de</strong> recherche internationalement reconnu dans le domaine<br />

du calcul scientifique à haute performance. Il héberge une cinquantaine <strong>de</strong> chercheurs<br />

permanents et post-doctorants <strong>de</strong> toutes nationalités, ainsi que <strong>de</strong> nombreux stagiaires, doctorants<br />

et visiteurs.<br />

Le CERFACS est constitué <strong>de</strong> cinq équipes <strong>de</strong> recherche :<br />

– Climatologie et Changement Global ;<br />

– Traitement du Signal ;<br />

– Electromagnétisme ;<br />

– Algorithmique et Calcul Parallèle ;<br />

– Mécanique <strong>de</strong>s Flui<strong>de</strong>s Numérique (CFD).<br />

Cette <strong>de</strong>rnière équipe est elle-même divisée en <strong>de</strong>ux pôles <strong>de</strong> recherche : Aérodynamique et<br />

Combustion.<br />

Ce stage a été effectué au sein <strong>de</strong> l’équipe Combustion dont les principales activités sont :<br />

– La Simu<strong>la</strong>tion Numérique Directe (DNS) pour l’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s intéractions f<strong>la</strong>mme/turbulence<br />

avec chimie complexe ;<br />

– <strong>la</strong> Simu<strong>la</strong>tion aux Gran<strong>de</strong>s Echelles (LES) pour étudier le mé<strong>la</strong>nge, les instabilités <strong>de</strong> <strong>combustion</strong><br />

et les interactions f<strong>la</strong>mme/paroi, en <strong>combustion</strong> gazeuse et <strong>diphasique</strong> gaz/liqui<strong>de</strong>.<br />

Contexte d’étu<strong>de</strong>s<br />

Aujourd’hui, <strong>la</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> numérique <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>combustion</strong> dans les écoulements monophasiques<br />

gazeux commence à fournir <strong>de</strong>s prédictions réalistes <strong>de</strong> phénomènes tels que les instabilités <strong>de</strong><br />

<strong>combustion</strong> et <strong>la</strong> génération <strong>de</strong> polluants.<br />

Cependant, dans <strong>de</strong> nombreuses situations <strong>de</strong> <strong>combustion</strong>, le caractère <strong>diphasique</strong> <strong>de</strong> l’écoulement<br />

doit être pris en compte pour rendre le calcul numérique réellement applicatif. C’est le cas<br />

en particulier dans les chambres <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> <strong>de</strong>s turbines aéronautiques, dans les moteurs à<br />

<strong>combustion</strong> interne (diesel et injection directe essence), dans certains brûleurs industriels, etc.<br />

La figure 1 présente un exemple schématisé <strong>de</strong> configuration industrielle faisant intervenir les<br />

écoulements <strong>diphasique</strong>s réactifs. Dans <strong>la</strong> plupart <strong>de</strong>s cas où le carburant est injecté sous forme<br />

<strong>de</strong> gouttelettes liqui<strong>de</strong>s, on s’attend à ce que les aspects <strong>diphasique</strong>s jouent un rôle important<br />

dans l’écoulement.<br />

Paradoxalement, <strong>la</strong> <strong>combustion</strong> <strong>diphasique</strong> a été beaucoup moins étudiée <strong>de</strong> façon théorique que<br />

7

Injecteur<br />

Chambre <strong>de</strong> <strong>combustion</strong><br />

Compresseur<br />

Turbine<br />

Gouttelettes <strong>de</strong> carburant<br />

F<strong>la</strong>mme<br />

Fig. 1 – Exemple <strong>de</strong> situation <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> <strong>diphasique</strong> : chambre <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> d’un turboréacteur.<br />

<strong>la</strong> <strong>combustion</strong> gazeuse en raison <strong>de</strong>s difficultés supplémentaires 1 <strong>de</strong> modélisation <strong>de</strong>s écoulements<br />

à phase dispersée.<br />

En 2001, l’équipe Combustion a décidé <strong>de</strong> s’orienter vers l’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> ce type d’écoulements en<br />

mettant au point un module <strong>diphasique</strong> (TPF) pour le co<strong>de</strong> <strong>de</strong> calcul AVBP. Ce co<strong>de</strong> <strong>de</strong> recherche<br />

parallèle, développé au CERFACS <strong>de</strong>puis 1992, est dédié à <strong>la</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> aux gran<strong>de</strong>s<br />

échelles <strong>de</strong>s écoulements gazeux réactifs en géométrie complexe.<br />

Dans <strong>la</strong> résolution <strong>de</strong> l’écoulement <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>, <strong>de</strong>ux approches sont envisageables : l’approche<br />

<strong>la</strong>grangienne et l’approche eulérienne. L’approche <strong>la</strong>grangienne suit chaque particule<br />

dans son mouvement et calcule sa trajectoire par un bi<strong>la</strong>n <strong>de</strong> forces. Même en regroupant statistiquement<br />

les particules en c<strong>la</strong>sse <strong>de</strong> gouttes, cette métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>man<strong>de</strong> <strong>de</strong>s ressources calcu<strong>la</strong>toires<br />

telles qu’elle reste pour l’instant peu applicable aux types <strong>de</strong> calculs visés par AVBP. L’approche<br />

eulérienne semble donc mieux adaptée car elle utilise une formu<strong>la</strong>tion continue, résolue<br />

par les mêmes algorithmes que <strong>la</strong> phase gazeuse. Elle introduit cependant <strong>de</strong> nouveaux termes<br />

à modéliser.<br />

Outre <strong>la</strong> connaissance précises du jet liqui<strong>de</strong>, <strong>de</strong> ses mécanismes d’atomisation et <strong>de</strong> dispersion,<br />

<strong>la</strong> prédiction <strong>de</strong>s écoulements réactifs à phase dispersée nécessite <strong>la</strong> prise en compte du processus<br />

d’évaporation qui contrôle les interactions possibles entre <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme et <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>.<br />

La complexité qui en résulte est illustrée par <strong>la</strong> figure 2.<br />

Dans le cas a), où l’on parle <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> homogène, <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> est totalement évaporée<br />

avant d’atteindre le front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme. Les caratéristiques <strong>de</strong> cette f<strong>la</strong>mme sont faiblement influencées<br />

par <strong>la</strong> distribution <strong>de</strong> taille et <strong>de</strong> vitesse <strong>de</strong>s gouttelettes <strong>de</strong> carburant. Dans le cas c)<br />

où <strong>la</strong> plupart <strong>de</strong>s gouttes brûlent <strong>de</strong> façon isolée, on parle <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> hétérogène. Enfin,<br />

le cas b) est une situation intermédiaire qui présente à <strong>la</strong> fois <strong>de</strong>s zones <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> dans<br />

un mé<strong>la</strong>nge purement gazeux et sous forme <strong>de</strong> gouttelettes isolées ou regroupées en paquets.<br />

Par ailleurs, les instationnarités <strong>de</strong> l’écoulement turbulent peuvent conduire à <strong>de</strong>s passages d’un<br />

mo<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> à un autre.<br />

Dans l’optique <strong>de</strong> traiter cette complexité, on découpe le problème général en sous-problèmes<br />

plus simples. On traite donc séparément les mécanismes <strong>de</strong> dispersion turbulente <strong>de</strong> gouttes et<br />

le processus d’évaporation/<strong>combustion</strong>.<br />

Le premier problème fait l’objet du stage <strong>de</strong> DEA Dynamique <strong>de</strong>s Flui<strong>de</strong>s d’Eléonore Riber [17] ;<br />

le second est étudié dans le cadre <strong>de</strong> ce stage.<br />

1 La modélisation <strong>de</strong> <strong>la</strong> turbulence et <strong>de</strong> <strong>la</strong> cinétique <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> représentant déjà un défi scientifique<br />

respectable.<br />

8

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Vapeur pure<br />

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Zone <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme<br />

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Gouttelettes<br />

qui s’evaporent<br />

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Combustion<br />

<strong>de</strong> gouttelettes<br />

isolees<br />

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¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£<br />

a)<br />

b)<br />

c)<br />

Fig. 2 – Trois types <strong>de</strong> jets turbulents <strong>diphasique</strong>s réactifs (d’après Yule et Bo<strong>la</strong>do [29]).<br />

Objectifs du stage<br />

Le problème d’évaporation/<strong>combustion</strong> est lui-même réduit à une configuration simple : une<br />

f<strong>la</strong>mme p<strong>la</strong>ne <strong>la</strong>minaire en <strong>combustion</strong> homogène.<br />

Ce problème a déjà été étudié au CERFACS, <strong>de</strong> façon théorique par C. Saulnier [18] et numérique<br />

par S. Pascaud [14] lors <strong>de</strong> leur stage <strong>de</strong> DEA. Cependant, les résultats n’étaient pas entièrement<br />

satisfaisants et restaient limités à une représentation simplifiée <strong>de</strong> <strong>la</strong> thermochimie.<br />

L’apport principal <strong>de</strong> ce stage par rapport aux travaux précé<strong>de</strong>nts est <strong>de</strong> généraliser ces étu<strong>de</strong>s<br />

à <strong>la</strong> formu<strong>la</strong>tion multi-espèces et thermochimie détaillée telle qu’elle est prise en compte dans <strong>la</strong><br />

<strong>de</strong>rnière version d’AVBP. Une partie du travail a consisté à adapter à cette nouvelle formu<strong>la</strong>tion<br />

le programme <strong>de</strong> résolution analytique <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme p<strong>la</strong>ne <strong>diphasique</strong> mis au point par C.<br />

Saulnier. D’autre part, <strong>la</strong> configuration choisie comportant <strong>de</strong>s entrées/sorties, un travail détaillé<br />

<strong>de</strong>s conditions aux limites a été mené.<br />

Chaque chapitre <strong>de</strong> ce rapport correspond à une étape vers <strong>la</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> numérique <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme<br />

monodimensionnelle <strong>la</strong>minaire <strong>diphasique</strong> :<br />

– Le chapitre 1 présente les éléments théoriques <strong>de</strong> l’approche eulérienne <strong>de</strong>s écoulements à<br />

phase dispersée, son application au cas mondimensionnel ainsi que les modèles <strong>de</strong> transfert<br />

entre phases et par <strong>la</strong> chimie.<br />

– Le chapitre 2 décrit l’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s conditions aux limites dans AVBP TPF par <strong>la</strong> propagation<br />

d’on<strong>de</strong>s dans un écoulement <strong>diphasique</strong>. Cette étape a permis une prise en main et une exploration<br />

d’AVBP.<br />

– Le chapitre 3 étudie l’évaporation monodimensionnelle en comparant les résultats d’AVBP<br />

TPF à ceux <strong>de</strong> <strong>la</strong> solution théorique.<br />

– Le chapitre 4 présente le calcul <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>diphasique</strong> monodimensionnelle et le compare à<br />

<strong>la</strong> solution théorique.<br />

9

Chapitre 1<br />

Equations du modèle eulérien à <strong>de</strong>ux<br />

flui<strong>de</strong>s<br />

1.1 Rappel <strong>de</strong>s équations locales instantanées<br />

Tout mé<strong>la</strong>nge <strong>diphasique</strong> peut être vu comme l’union <strong>de</strong> régions purement monophasiques donc<br />

continues, séparées par <strong>de</strong>s interfaces supposées infiniment minces et sans masse (cf. Viollet et<br />

Simonin [25]). Dans chacune <strong>de</strong> ces régions, les équations locales <strong>de</strong> <strong>la</strong> mécanique <strong>de</strong>s flui<strong>de</strong>s<br />

s’appliquent :<br />

Conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> masse :<br />

Conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement :<br />

Conservation <strong>de</strong> l’enthalpie :<br />

∂<br />

∂t ρ +<br />

∂<br />

∂t (ρu i) +<br />

∂ (ρu i u j ) =<br />

∂x j<br />

∂<br />

∂t ρh +<br />

∂<br />

∂x j<br />

(ρu j ) = 0 (1.1)<br />

∂<br />

∂x j<br />

σ ij + ρg i (1.2)<br />

∂ (ρu j h) = − ∂ q j + S (1.3)<br />

∂x j ∂x j<br />

où les variables sont définies <strong>de</strong> <strong>la</strong> manière suivante :<br />

– ρ est <strong>la</strong> masse volumique du flui<strong>de</strong> considéré ;<br />

– u j , sa vitesse dans <strong>la</strong> direction j ;<br />

– σ ij = −pδ ij + τ ij , le tenseur <strong>de</strong>s contraintes ;<br />

– τ ij , <strong>la</strong> partie visqueuse du tenseur <strong>de</strong>s contraintes ;<br />

– p, <strong>la</strong> pression ;<br />

– g i l’accélération <strong>de</strong> <strong>la</strong> pesanteur ;<br />

– h l’enthalpie massique du milieu ;<br />

– q j = −λ ∂T<br />

∂x j<br />

le flux <strong>de</strong> chaleur conductif qui suit <strong>la</strong> loi <strong>de</strong> Fourier ;<br />

– T <strong>la</strong> température ;<br />

– λ <strong>la</strong> conductivité thermique ;<br />

– S <strong>la</strong> somme <strong>de</strong>s termes source volumiques d’énergie dus aux transferts radiatifs, aux réactions<br />

chimiques et aux éventuels apports complémentaires d’énergie.<br />

1.2 Approche statistique : définition <strong>de</strong>s opérateurs <strong>de</strong> moyenne<br />

Dans le cas où une phase dispersée constituée <strong>de</strong> millions <strong>de</strong> gouttes est contenue dans une phase<br />

continue gazeuse, il est difficile voire impossible <strong>de</strong> résoudre les équations locales dans chaque<br />

10

égion, même si les gouttes sont considérées comme <strong>de</strong>s particules ponctuelles et indéformables.<br />

On adopte donc une approche statistique afin <strong>de</strong> résoudre <strong>la</strong> phase disperée avec les équations<br />

<strong>de</strong>s milieux continus.<br />

On décrit brièvement dans cette partie le cadre mathématique du modèle eulérien à <strong>de</strong>ux flui<strong>de</strong>s.<br />

Les développements présentés ci-<strong>de</strong>ssous ont été proposés par Gray, Howes et Whitaker ([5], [8],<br />

[26] et [27]) et analysés par Simonin [21].<br />

1.2.1 Fonction caractéristique <strong>de</strong> phase<br />

Définition<br />

Le système local est composé <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux phases distinctes. Les différentes phases sont <strong>de</strong>s flui<strong>de</strong>s<br />

purs non miscibles. On i<strong>de</strong>ntifie chaque phase φ par <strong>la</strong> fonction caractéristique χ φ telle que :<br />

χ φ (M, t) = 1 si le point M est dans <strong>la</strong> phase φ à l’instant t<br />

= 0 sinon (cf. figure 1.1)<br />

Fig. 1.1 – Schéma <strong>de</strong> définition <strong>de</strong> <strong>la</strong> fonction caractéristique <strong>de</strong> phase : cas d’une phase continue<br />

(φ = c) contenant <strong>de</strong>s inclusions dispersées (φ = d).<br />

Re<strong>la</strong>tions <strong>de</strong> commutation avec <strong>la</strong> dérivation<br />

On démontre <strong>la</strong> commutativité <strong>de</strong> l’opérateur <strong>de</strong> moyenne avec <strong>la</strong> dérivation pour une fonction<br />

f dérivable (cf. Kaufmann [9]) :<br />

( )<br />

D<br />

D<br />

Dt (χ φf) =<br />

Dt f χ φ + (w i,φ − u i,φ )n i,φ δ ξ,φ f (1.4)<br />

( )<br />

∂<br />

∂<br />

∂t (χ φf) =<br />

∂t f χ φ + w i,φ n i,φ δ ξ,φ f (1.5)<br />

∂<br />

∂x i<br />

(χ φ f) =<br />

( ∂<br />

∂x i<br />

f<br />

- w i,φ est <strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong> l’interface dans <strong>la</strong> direction i,<br />

- u i,φ <strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase φ dans <strong>la</strong> direction i,<br />

- δ ξ,φ <strong>la</strong> fonction <strong>de</strong> Dirac sur <strong>la</strong> surface ξ <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase φ.<br />

)<br />

χ φ − n i,φ δ ξ,φ f (1.6)<br />

11

Ces re<strong>la</strong>tions sont démontrées dans les publications <strong>de</strong> Whitaker ([8], [26] et [27]) et <strong>de</strong> Gray [5].<br />

1.2.2 Opérateur <strong>de</strong> moyenne <strong>de</strong> phase<br />

Définition<br />

A l’instant t, on considère un volume <strong>de</strong> contrôle Ω constitué <strong>de</strong> l’union <strong>de</strong>s volumes Ω φ occupés<br />

par les phases φ. On définit l’opérateur <strong>de</strong> filtrage en espace < . > par : < f >= 1 ∫<br />

Ω Ω fdΩ.<br />

Propriétés<br />

L’opérateur <strong>de</strong> filtrage doit vérifier un certain nombre <strong>de</strong> propriétés nécessaires à <strong>la</strong> mise en<br />

équation du problème : les axiomes <strong>de</strong> Reynolds (cf. Viollet et Simonin [25]). Pour <strong>de</strong>s variables<br />

a et b quelconques et λ une constante, on doit avoir :<br />

– <strong>la</strong> linéarité : < a + b >=< a > + < b > et < λa >= λ < a > ;<br />

– l’i<strong>de</strong>mpotence : >=< a > ;<br />

〈<br />

– <strong>la</strong> commutativité avec les opérateurs <strong>de</strong> dérivation : ∂<br />

∂x i<br />

a<br />

〉<br />

= ∂<br />

∂x i<br />

< a > et 〈 ∂<br />

∂t a〉 = ∂ ∂t < a > .<br />

On peut alors décomposer une variable locale instantanée quelconque a en <strong>la</strong> somme d’une valeur<br />

filtrée < a > et d’une fluctuation a ′ qui vérifient : a =< a > +a ′ avec < a ′ >= 0.<br />

1.2.3 Définition <strong>de</strong>s gran<strong>de</strong>urs moyennes sur chaque phase<br />

Fraction volumique<br />

On définit <strong>la</strong> fraction volumique (ou taux d’occupation) <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase φ dans le volume <strong>de</strong> contrôle<br />

Ω :<br />

α φ =< χ φ >= 1 ∫<br />

χ φ dΩ (1.7)<br />

Ω<br />

Moyenne <strong>de</strong> Favre<br />

La moyenne eulérienne phasique c<strong>la</strong>ssique d’une gran<strong>de</strong>ur quelconque f est notée F φ et définie<br />

par :<br />

F φ = 1 < fχ φ >= 1 ∫<br />

fχ φ dΩ<br />

α φ α φ Ω Ω<br />

On définit alors l’écart à <strong>la</strong> moyenne f ′<br />

par : f ′ χ φ = (f − F φ )χ φ<br />

Cependant, pour les problèmes à masse volumique variable, il est plus pratique <strong>de</strong> formuler<br />

une moyenne pondérée par <strong>la</strong> masse volumique, appelée moyenne <strong>de</strong> Favre (cf. Viollet et Simonin<br />

[25]) :<br />

Ω<br />

F φ = 1<br />

α φ ρ φ<br />

< ρfχ φ > et f ” χ φ = (f − F φ )χ φ (1.8)<br />

1.3 Equations en gran<strong>de</strong>urs moyennes principales<br />

1.3.1 Principe <strong>de</strong> <strong>la</strong> métho<strong>de</strong><br />

Le modèle eulérien à <strong>de</strong>ux flui<strong>de</strong>s est obtenu en appliquant les étapes suivantes aux équations<br />

<strong>de</strong> conservation (Eq. (1.1), (1.2) et (1.3)) :<br />

1. Multiplication par <strong>la</strong> fonction caractéristique <strong>de</strong> phase χ φ à gauche ;<br />

12

2. Application <strong>de</strong>s re<strong>la</strong>tions <strong>de</strong> commutation (Eq. (1.4), (1.5) et (1.6)) ;<br />

3. Filtrage sur le volume <strong>de</strong> contrôle.<br />

1.3.2 Bi<strong>la</strong>n <strong>de</strong> masse<br />

L’application <strong>de</strong> cette démarche à l’équation 1.1 fournit l’équation <strong>de</strong> conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> masse<br />

en gran<strong>de</strong>urs moyennées :<br />

∂<br />

∂t α φρ φ +<br />

∂ (α φ ρ φ U j,φ ) = Γ φ (1.9)<br />

∂x j<br />

avec les définitions suivantes :<br />

– ρ φ est <strong>la</strong> masse volumique <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase φ ;<br />

– U j,φ , <strong>la</strong> vitesse moyenne <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase φ dans <strong>la</strong> direction j ;<br />

– Γ φ , <strong>la</strong> <strong>de</strong>nsité volumique <strong>de</strong>s apports <strong>de</strong> masse dans <strong>la</strong> phase φ résultant <strong>de</strong>s échanges aux<br />

interfaces. Γ φ représente le taux <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> masse dû à l’évaporation/con<strong>de</strong>nsation. Il<br />

s’écrit :<br />

– Γ φ vérifie <strong>de</strong> plus l’équation <strong>de</strong> bi<strong>la</strong>n surfacique à interface :<br />

Γ φ = − < (u j − w j )n j,φ δ ξ,φ ρ φ > (1.10)<br />

∑<br />

Γ φ = 0 (1.11)<br />

φ<br />

Notons qu’en l’absence d’échange <strong>de</strong> masse entre phases, les vitesses u j et w j sont égales et<br />

Γ φ = 0.<br />

1.3.3 Bi<strong>la</strong>n <strong>de</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement<br />

L’application <strong>de</strong> <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> filtrage à l’équation (1.2) donne :<br />

∂<br />

∂t (α φρ φ U i,φ ) +<br />

∂<br />

∂<br />

(α φ ρ φ U i,φ U j,φ ) = −α φ P φ + α φ ρ φ g i<br />

∂x j ∂x j<br />

+ ∂<br />

∂x j<br />

[<br />

αφ T ij,φ − < ρu ′′<br />

i u ′′<br />

j χ φ > ] + I ′ i,φ + [U i,σ − U i,φ ] Γ φ (1.12)<br />

avec les définitions suivantes :<br />

- P φ est <strong>la</strong> pression moyenne <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase φ,<br />

- T ij,φ <strong>la</strong> moyenne du tenseur <strong>de</strong>s contraintes visqueuses sur <strong>la</strong> phase φ,<br />

- I ′ i,φ<br />

représente toutes les forces dues à l’intéraction entre les <strong>de</strong>ux phases :<br />

[<br />

]<br />

I ′ i,φ < −p ′ δ ij + τ ij n φ,j δ φ >,<br />

- U i,σ <strong>la</strong> vitesse moyenne du flux <strong>de</strong> masse à travers l’interface :<br />

U i,σ Γ φ =< {−ρu i [u j − w j ]} n j,φ δ φ >.<br />

13

1.3.4 Bi<strong>la</strong>n d’énergie<br />

Lorsqu’on applique le filtrage à l’équation (1.3), on obtient :<br />

∂<br />

∂t α φρ φ H φ +<br />

∂ (α φ ρ φ U j,φ H φ ) = − ∂ [<br />

αφ Q j,φ + < ρu ′′<br />

j h ′′ χ φ > ] + α φ S φ + Π φ (1.13)<br />

∂x j ∂x j<br />

avec :<br />

– H φ l’enthalpie moyenne <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase φ et h ′′ <strong>la</strong> fluctuation correspondante ;<br />

– Q j,φ le flux moyen <strong>de</strong> chaleur par conduction dans <strong>la</strong> direction j, qui s’écrit :<br />

Q j,φ = − λ α φ<br />

∂<br />

∂x j<br />

(α φ T φ ) (1.14)<br />

– λ <strong>la</strong> conductivité thermique ;<br />

– T φ , <strong>la</strong> température moyenne <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase φ ;<br />

– S φ , <strong>la</strong> moyenne <strong>de</strong>s termes sources volumiques d’énergie ;<br />

– Π φ , <strong>la</strong> <strong>de</strong>nsité volumique <strong>de</strong>s apports d’enthalpie à <strong>la</strong> phase φ résultant <strong>de</strong>s échanges aux<br />

interfaces, qui s’écrit :<br />

Π φ = − < {q j + ρh [u j − w j ]} n φ,j δ φ > (1.15)<br />

– Π φ vérifie également l’équation <strong>de</strong> bi<strong>la</strong>n surfacique à l’interface :<br />

∑<br />

Π φ = 0 (1.16)<br />

1.3.5 Remarques<br />

φ<br />

Le traitement statistique <strong>de</strong>s équations locales instantanées a permis d’écrire les équations <strong>de</strong><br />

gran<strong>de</strong>urs moyennes principales séparément pour chaque phase mais entraîne l’apparition <strong>de</strong><br />

nouvelles inconnues :<br />

– Les corré<strong>la</strong>tions <strong>de</strong> <strong>la</strong> forme < ρu ′′<br />

i u′′ j χ φ > et < ρu ′′<br />

j h′′ χ φ > correspon<strong>de</strong>nt à un terme <strong>de</strong><br />

transport par <strong>la</strong> partie fluctuante <strong>de</strong> <strong>la</strong> vitesse u ′′<br />

j . Elles s’expriment à partir <strong>de</strong>s gran<strong>de</strong>urs<br />

moyennes principales à l’ai<strong>de</strong> d’hypothèses simplificatrices ou <strong>de</strong> fermeture <strong>de</strong> modèles <strong>de</strong> turbulence.<br />

– Les termes Γ φ , I ′ φ et Π φ, caractéristiques <strong>de</strong>s écoulements <strong>diphasique</strong>s, correspon<strong>de</strong>nt aux<br />

apports <strong>de</strong> masse, quantité <strong>de</strong> mouvement et enthalpie du fait <strong>de</strong>s échanges entre phases aux<br />

interfaces.<br />

Ces quantités sont liés par les re<strong>la</strong>tions <strong>de</strong> bi<strong>la</strong>n interfacial et s’expriment à partir <strong>de</strong>s gran<strong>de</strong>urs<br />

moyennes principales à l’ai<strong>de</strong> d’hypothèses simplificatrices et <strong>de</strong> lois <strong>de</strong> comportement. Ces<br />

termes <strong>de</strong> coup<strong>la</strong>ge sont décrits en détail dans <strong>la</strong> section 1.5.<br />

1.4 Ecriture simplifiée <strong>de</strong>s équations du modèle à <strong>de</strong>ux flui<strong>de</strong>s<br />

1.4.1 Principales hypothèses simplificatrices<br />

Les écoulements <strong>diphasique</strong>s étudiés dans le cadre <strong>de</strong> ce stage ont les propriétés suivantes :<br />

– dans tous les cas :<br />

14

– une seule dimension spatiale ;<br />

– régime d’écoulement <strong>la</strong>minaire ;<br />

– plusieurs espèces chimiques dans <strong>la</strong> phase gazeuse ;<br />

– une seule espèce chimique dans <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> ;<br />

– transfert mutuel <strong>de</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement entre les <strong>de</strong>ux phases par <strong>la</strong> force <strong>de</strong> traînée ;<br />

– dans certains cas :<br />

– transfert <strong>de</strong> masse, <strong>de</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement et <strong>de</strong> chaleur par évaporation ;<br />

– réaction chimique <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> dans <strong>la</strong> phase gazeuse .<br />

On y associe les hypothèses supplémentaires suivantes :<br />

– l’écoulement est dilué : α l et<br />

< ρu ′′<br />

j h′′ χ φ >.<br />

Note :<br />

Pour alléger l’écriture, <strong>la</strong> moyenne eulérienne <strong>de</strong>s vitesses U φ définie dans <strong>la</strong> section 1.3.2 est<br />

dorénavant notée u φ .<br />

Phase gazeuse<br />

Conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> masse<br />

∂<br />

∂t (α gρ g ) + ∂<br />

} {{ } ∂x (α gρ g u g ) = Γ g<br />

} {{ } }{{}<br />

évaporation<br />

variation temporelle convection<br />

(1.17)<br />

1 Les prendre en compte dans le modéle d’évaporation reviendrait à ajouter une contribution radiative dans<br />

le terme source Π l <strong>de</strong> l’équation <strong>de</strong> conservation <strong>de</strong> l’enthalpie liqui<strong>de</strong> (Eq. (1.24)). En pratique, Sirignano [22]<br />

montre que ces effets sont nettement inférieurs à <strong>la</strong> précision <strong>de</strong>s modèles d’évaporation.<br />

15

Conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> masse <strong>de</strong>s espèces<br />

∂<br />

∂t (α gρ g Y k ) + ∂<br />

} {{ } ∂x (α gρ g (u g + V c )Y k )<br />

} {{ }<br />

variation temporelle<br />

convection<br />

= ∂ (<br />

)<br />

∂Y k<br />

α g ρ g D k<br />

∂x ∂x<br />

} {{ }<br />

diffusion molécu<strong>la</strong>ire<br />

+ α g ˙ω k<br />

} {{ }<br />

+ δ kF Γ g<br />

} {{ }<br />

réaction chimique évaporation du carburant<br />

(1.18)<br />

où :<br />

– ˙ω k le taux <strong>de</strong> réaction <strong>de</strong> l’espèce k (cf. section 1.5.2).<br />

– V c est <strong>la</strong> correction <strong>de</strong> vitesse qui permet d’assurer <strong>la</strong> conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> masse totale lorsque le<br />

flux diffusif <strong>de</strong> masse est calculé avec <strong>la</strong> loi <strong>de</strong> Fick (cf. Poinsot et Veynante [16]). On l’ajoute<br />

à <strong>la</strong> vitesse convective dans chaque équation <strong>de</strong> l’espèce k. Elle vaut :<br />

V c =<br />

N∑<br />

k=1<br />

D k<br />

∂Y k<br />

∂x<br />

(1.19)<br />

Conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement<br />

∂<br />

∂t (α gρ g u g ) + ∂<br />

} {{ } ∂x (α gρ g u 2 g)<br />

} {{ }<br />

variation temporelle convection<br />

= − ∂<br />

∂x (p g)<br />

} {{ }<br />

pression<br />

+ α g<br />

∂<br />

∂x (τ g)<br />

} {{ }<br />

force visqueuse<br />

+ α g ρ g g x<br />

} {{ }<br />

gravité<br />

+ I g<br />

}{{}<br />

traînée + évaporation<br />

(1.20)<br />

où :<br />

– τ g est l’unique composante non nulle du tenseur visqueux newtonien qui s’écrit :<br />

τ g = 4 3 ρ gν g<br />

∂u g<br />

∂x<br />

– le terme <strong>de</strong> gravité est annulé en orientant <strong>la</strong> direction x suivant l’horizontale.<br />

– le terme I g reprèsente l’échange <strong>de</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement avec <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> et se décompose<br />

en :<br />

I g = F d + u l Γ g<br />

avec F d <strong>la</strong> force <strong>de</strong> traînée (cf. section 1.5.1) et u g Γ g <strong>la</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement apportée par<br />

l’évaporation <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>.<br />

16

Conservation <strong>de</strong> l’énergie<br />

On définit l’énergie totale non chimique du gaz multi-espèces par E g = u 2 g/2 + ∫ T g<br />

T 0<br />

C v (T ) = ∑ N<br />

k=1 C vk(T )Y k . La conservation <strong>de</strong> l’énergie s’écrit :<br />

∂<br />

∂t (α gρ g E g ) + ∂<br />

} {{ } ∂x (α gu g (ρ g E g + p g )) = +<br />

} {{ }<br />

variation temporelle<br />

convection<br />

où :<br />

– <strong>la</strong> pression est obtenu par <strong>la</strong> loi d’état <strong>de</strong>s gaz parfaits :<br />

∂<br />

∂x (α gτ g u g )<br />

} {{ }<br />

travail <strong>de</strong>s forces visqueuses<br />

C v (T )dT où<br />

(1.21)<br />

∂<br />

−<br />

∂x (α gq g ) + α g ρ g g x u g<br />

} {{ }<br />

} {{ }<br />

travail <strong>de</strong>s forces <strong>de</strong> gravité<br />

diffusion <strong>de</strong> <strong>la</strong> chaleur<br />

+ u g I g<br />

}{{}<br />

travail <strong>de</strong>s forces exercées par <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong><br />

+ Π g<br />

}{{}<br />

échange avec <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong><br />

+ α g ˙ω T<br />

} {{ }<br />

dégagement <strong>de</strong> chaleur<br />

p g = ρ g<br />

R<br />

W T g<br />

– le flux <strong>de</strong> chaleur conductif q g est calculé par <strong>la</strong> loi <strong>de</strong> Fourier :<br />

q g = −λ g<br />

∂<br />

∂x (T g)<br />

– Π g est <strong>la</strong> chaleur échangée avec <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> par évaporation et conduction (cf. section<br />

1.5.3) ;<br />

– ˙ω T est <strong>la</strong> chaleur dégagée par <strong>la</strong> réaction chimique <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> (cf. section 1.5.2).<br />

Phase liqui<strong>de</strong><br />

Conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> masse<br />

Conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement<br />

∂<br />

∂t (α lρ l ) + ∂<br />

∂x (α lρ l u l ) = Γ l = −Γ g (1.22)<br />

∂<br />

∂t (α lρ l u l ) + ∂<br />

∂x (α lρ l u 2 l ) = α lρ l g x + I l (1.23)<br />

où le terme d’échange <strong>de</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement avec <strong>la</strong> phase gazeuse se décompose en :<br />

I l = −I g = −F d − u l Γ g .<br />

17

Conservation <strong>de</strong> l’enthalpie<br />

Pour <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>, on néglige le terme <strong>de</strong> transport <strong>de</strong> <strong>la</strong> pression gazeuse qui apparaît dans<br />

<strong>la</strong> dérivation exacte <strong>de</strong> l’équation et on applique <strong>la</strong> conservation <strong>de</strong> l’enthalpie sensible :<br />

∂<br />

∂t (α lρ l h l ) + ∂<br />

∂x (α lρ l u l h l ) = Π l (1.24)<br />

1.5 Description et modélisation <strong>de</strong>s termes <strong>de</strong> coup<strong>la</strong>ge<br />

Les différents phénomènes physiques présents dans les écoulements étudiés se traduisent par <strong>de</strong>s<br />

termes <strong>de</strong> coup<strong>la</strong>ge dans les équations présentées ci-<strong>de</strong>ssus. On décrit ici les modèles choisis pour<br />

évaluer ces quantités.<br />

1.5.1 Coup<strong>la</strong>ge par <strong>la</strong> force <strong>de</strong> traînée<br />

Dans le cas général, l’équation <strong>de</strong> <strong>la</strong> trajectoire d’une goutte dans un champ flui<strong>de</strong> est obtenue<br />

en faisant le bi<strong>la</strong>n <strong>de</strong>s forces exercées sur <strong>la</strong> goutte :<br />

ρ l V l<br />

D<br />

Dt u l(t) = ∑ k<br />

F k (1.25)<br />

Plusieurs analyses théoriques ont montré que dans le cadre d’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>combustion</strong> <strong>diphasique</strong><br />

( ρ l<br />

ρ g<br />

>> 1 et diamètre <strong>de</strong> l’ordre <strong>de</strong> 50 µm) <strong>la</strong> trajectoire <strong>de</strong>s gouttes est essentiellement contrôlée<br />

par <strong>la</strong> force <strong>de</strong> traînée.<br />

Celle-ci dépend <strong>de</strong> Re d , le nombre <strong>de</strong> Reynolds caractéristique <strong>de</strong>s gouttes :<br />

Re d = |u g − u l |d<br />

ν g<br />

(1.26)<br />

En faisant l’hypothèse que ce nombre est inférieur à un, on peut appliquer <strong>la</strong> loi <strong>de</strong> Stokes :<br />

F D = 1 τ p<br />

(u g − u l ) (1.27)<br />

où τ p représente le temps <strong>de</strong> re<strong>la</strong>xation <strong>de</strong> <strong>la</strong> particule, c’est-à-dire le temps caractéristique <strong>de</strong><br />

<strong>la</strong> réponse <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> aux fluctuations <strong>de</strong> vitesse <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase gazeuse. Avec l’hypothèse<br />

d’écoulement <strong>de</strong> Stokes, il vaut :<br />

On peut alors définir le nombre sans dimension <strong>de</strong> Stokes :<br />

τ p = ρ l<br />

ρ g<br />

d 2<br />

18ν g<br />

(1.28)<br />

St = τ p<br />

τ L<br />

(1.29)<br />

où τ L représente le temps caractéristique <strong>de</strong> l’écoulement gazeux (par exemple, le temps convectif<br />

sur <strong>la</strong> distance L).<br />

Lorsque St ≪ 1, <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> suit fidèlement les fluctuations du gaz caractérisées par τ L :<br />

elle joue le rôle <strong>de</strong> traceur. Lorsque St ≫ 1, <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> est insensible à ces fluctuations : on<br />

18

parle <strong>de</strong> trajectoire “boulet <strong>de</strong> canon”. Ce <strong>de</strong>uxième cas sort du domaine <strong>de</strong> validité du modèle<br />

eulérien.<br />

Le calcul <strong>de</strong> τ p nécessite <strong>la</strong> connaissance du diamètre <strong>de</strong> goutte qui s’exprime en fonction <strong>de</strong> α l<br />

et du nombre <strong>de</strong> gouttes par unité <strong>de</strong> volume n :<br />

d =<br />

( ) 1<br />

6αl 3<br />

πn<br />

(1.30)<br />

où n est fourni par l’équation <strong>de</strong> transport suivante :<br />

∂<br />

∂t n + ∂<br />

∂x (nu l) = 0 (1.31)<br />

La validation <strong>de</strong>s phénomènes <strong>de</strong> traînée et <strong>de</strong> dispersion dans le co<strong>de</strong> AVBP TPF font l’objet<br />

d’un autre stage <strong>de</strong> DEA (cf. Riber [17]). Ils ne sont donc pas traités dans le cadre <strong>de</strong> cette<br />

étu<strong>de</strong>.<br />

1.5.2 Coup<strong>la</strong>ge avec <strong>la</strong> chimie <strong>de</strong> <strong>combustion</strong><br />

Le taux net <strong>de</strong>s r réactions ˙ω k est <strong>la</strong> somme <strong>de</strong>s taux ˙ω kj <strong>de</strong> chaque réaction j pondérés par les<br />

coefficients stoechiométriques ν kj :<br />

˙ω k =<br />

r∑<br />

˙ω kj = W k<br />

j=1<br />

r∑<br />

ν kj Q j (1.32)<br />

où Q j est le taux net d’avancement <strong>de</strong> <strong>la</strong> réaction j.<br />

Q j est <strong>la</strong> somme du taux d’avancement <strong>de</strong> <strong>la</strong> réaction directe et du taux d’avancement <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />

réaction inverse :<br />

sont les coefficients stoechiométriques <strong>de</strong>s réactifs et <strong>de</strong>s produits respective-<br />

où les ν<br />

k ′<br />

ment.<br />

et les ν′′<br />

k<br />

Q j = K f j<br />

n∏<br />

k=1<br />

j=1<br />

( ρYk<br />

W k<br />

) ν ′<br />

kj<br />

− K<br />

b<br />

j<br />

n ∏<br />

k=1<br />

( ) ν ′′<br />

ρYk<br />

kj<br />

W k<br />

(1.33)<br />

Le taux <strong>de</strong> réaction direct est modélisé par <strong>la</strong> loi empirique d’Arrhenius :<br />

K f j = Af j T β exp(− E a<br />

RT ) (1.34)<br />

avec A f j <strong>la</strong> constante pré-exponentielle, β l’exposant <strong>de</strong> température et E a l’énergie d’activation.<br />

On en déduit le taux <strong>de</strong> réaction inverse à partir <strong>de</strong> <strong>la</strong> constante thermodynamique d’équilibre<br />

K eq :<br />

K b j = K f j /K eq (1.35)<br />

Dans le cas étudié où les réactifs sont parfaitement prémé<strong>la</strong>ngés et où <strong>la</strong> réaction chimique est<br />

réduite à un schéma cinétique à une seule étape irréversible, le taux <strong>de</strong> consommation du<br />

carburant est donné par (cf. Poinsot et Veynante [16]) :<br />

( ) nF<br />

( ) nO2<br />

(<br />

˙ω F = ν F ′ ρYF ρYO2<br />

W F AT β exp − T )<br />

a<br />

(1.36)<br />

W F W O2 T<br />

19

où les exposants <strong>de</strong> <strong>la</strong> réaction n F et n O2 peuvent être différents <strong>de</strong>s coefficients stoechiométriques.<br />

Ils sont ajustés en combinaison avec A et β afin que le schéma réduit fournisse <strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme<br />

<strong>la</strong>minaire mesurée expérimentalement (cf. chapitre 4). Une fois les taux <strong>de</strong> réaction connus, on<br />

calcule <strong>la</strong> quantité <strong>de</strong> chaleur dégagée par <strong>la</strong> réaction :<br />

˙ω T = −<br />

r∑<br />

∆h 0 f,k ˙ω k (1.37)<br />

k=1<br />

où ∆h 0 f,k<br />

est l’enthalpie <strong>de</strong> formation <strong>de</strong> l’espèce k dans les conditions <strong>de</strong> référence.<br />

1.5.3 Coup<strong>la</strong>ge par l’évaporation<br />

L’évaluation <strong>de</strong>s échanges <strong>de</strong> masse et <strong>de</strong> chaleur par évaporation nécessitent <strong>de</strong> s’intéresser au<br />

cas d’une goutte isolée dans un gaz au repos. Il s’agit du problème <strong>de</strong> Stefan dans lequel le<br />

phénomène <strong>de</strong> transport convectif dû à <strong>la</strong> régression <strong>de</strong> l’interface est équilibré par le transport<br />

diffusif à travers <strong>la</strong> phase gazeuse.<br />

Le problème est résolu en formu<strong>la</strong>nt les hypothèses suivantes :<br />

– symétrie sphérique (problème monodimensionnel) ;<br />

– <strong>la</strong> phase gazeuse est quasi-stationnaire ;<br />

– les coefficients <strong>de</strong> diffusion binaires du carburant dans le dioxygène et dans le diazote sont<br />

constants et égaux à D F −air ;<br />

– l’interface goutte/gaz est à l’équilibre thermodynamique ;<br />

– <strong>la</strong> conductivité est infinie dans <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>.<br />

La résolution <strong>de</strong>s équations <strong>de</strong> conservation <strong>de</strong> ce problème (cf. Kuo [11, chapitre 6]) permet<br />

d’aboutir à une expression du taux <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> masse qui ne dépend pas <strong>de</strong> <strong>la</strong> coordonnée<br />

spatiale :<br />

Γ g = α l<br />

6<br />

d 2 Shρ gD F −air ln(1 + B M ) (1.38)<br />

où :<br />

– Sh est le nombre <strong>de</strong> Sherwood qui caractérise le transfert <strong>de</strong> masse convectif. Sh vaut 2 si<br />

l’on néglige les effets convectifs dus à l’écoulement re<strong>la</strong>tif entre phases.<br />

– B M est le nombre <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> masse <strong>de</strong> Spalding :<br />

B M = Y F,ζ − Y F,∞<br />

1 − Y F,ζ<br />

(1.39)<br />

où ζ et ∞ représentent les conditions dans le gaz au niveau <strong>de</strong> l’interface et à l’infini respectivement.<br />

“∞” équivaut aux conditions moyennes dans <strong>la</strong> phase gazeuse dans le cadre <strong>de</strong> l’hypothèse<br />

d’écoulement très dilué.<br />

La fraction massique <strong>de</strong> carburant à l’interface est fonction <strong>de</strong> <strong>la</strong> pression partielle à l’interface<br />

p F,ζ :<br />

Y F,ζ =<br />

p F,ζ W F<br />

p F,ζ W F + (p − p F,ζ )W g<br />

(<br />

1 − Y F<br />

W<br />

1 − Y g F<br />

} {{ }<br />

terme correctif<br />

W F<br />

)<br />

(1.40)<br />

20

où le terme correctif permet <strong>de</strong> prendre en compte l’écart entre <strong>la</strong> masse mo<strong>la</strong>ire du gaz à l’infini<br />

et au niveau <strong>de</strong> l’interface du fait <strong>de</strong> <strong>la</strong> variation <strong>de</strong> composition.<br />

La pression partielle <strong>de</strong> carburant est directement liée à <strong>la</strong> température à <strong>la</strong> surface <strong>de</strong> <strong>la</strong> goutte<br />

par <strong>la</strong> re<strong>la</strong>tion <strong>de</strong> C<strong>la</strong>usius-C<strong>la</strong>peyron :<br />

( (<br />

WF L ev 1<br />

p F,ζ = p cc exp<br />

− 1 ))<br />

(1.41)<br />

R T cc T ζ<br />

où :<br />

– p cc et T cc sont les pression et température <strong>de</strong> référence <strong>de</strong> C<strong>la</strong>usius-C<strong>la</strong>peyron correspondant<br />

au point d’ébullition à pression atmosphérique ;<br />

– L ev est <strong>la</strong> chaleur <strong>la</strong>tente d’évaporation au point d’ébullition, c’est-à-dire <strong>la</strong> différence d’enthalpie<br />

du carburant entre les <strong>de</strong>ux phases : L ev = h g,F (T cc ) − h l (T cc ).<br />

L’hypothèse <strong>de</strong> conductivité infinie du liqui<strong>de</strong> implique que <strong>la</strong> température <strong>de</strong> <strong>la</strong> goutte est<br />

uniforme d’où : T ζ = T l .<br />

Le problème d’évaporation étant fermé, on peut alors calculer l’échange <strong>de</strong> chaleur Π entre<br />

phases.<br />

Pour <strong>la</strong> phase φ, le terme source Π φ se décompose en <strong>de</strong>ux contributions :<br />

où :<br />

– Λ φ est le transfert <strong>de</strong> chaleur dû à l’évaporation :<br />

Π φ = Λ φ + Φ φ (1.42)<br />

Λ φ = Γ φ h φ,F (T ζ ) (1.43)<br />

avec h φ,F (T ζ ) l’enthalpie du carburant dans <strong>la</strong> phase φ à l’interface.<br />

– Φ φ est le transfert <strong>de</strong> chaleur par conduction qui s’écrit pour <strong>la</strong> phase gazeuse :<br />

Φ g = α l λ g Nu 6 d 2 (T ζ − T g,∞ ) (1.44)<br />

où :<br />

– Nu est le nombre <strong>de</strong> Nusselt qui caractérise le transfert <strong>de</strong> chaleur convectif. Nu vaut 2<br />

si l’on néglige les effets convectifs dus à l’écoulement re<strong>la</strong>tif entre phases.<br />

– T g,∞ = T g si l’on fait l’hypothèse d’écoulement dilué.<br />

Le bi<strong>la</strong>n surfacique d’énergie à l’interface (cf. Eq. 1.16) sécrit alors :<br />

Φ l + Λ l = Λ g + Φ g (1.45)<br />

Γ g , Λ g et Φ g étant connus, on en déduit le transfert conductif vers <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> :<br />

Remarque :<br />

Φ l = −Λ l − Π g = +Γ g (h l (T ζ ) − h g,F (T ζ )) − Φ g (1.46)<br />

Ecrivons l’équation (1.24) sous sa forme primitive :<br />

(<br />

∂<br />

α l ρ l<br />

∂t (h ∂<br />

∂<br />

l) + α l ρ l u l<br />

∂x (h l) = Π l − h l<br />

∂t (α lρ l ) + ∂ )<br />

∂x (α lρ l u l )<br />

= Φ l + Γ l h l (T ζ ) − Γ l h l (T l )<br />

(1.47)<br />

= Φ l<br />

car l’enthalpie dans <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> est uniforme (hypothèse <strong>de</strong> conductivité infinie).<br />

En conséquence, seul le flux conductif est responsable <strong>de</strong>s variations d’enthalpie donc <strong>de</strong> température<br />

dans <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>.<br />

21

1.6 Outil numérique : AVBP TPF<br />

Les équations présentées dans les sections précé<strong>de</strong>ntes sont résolues par le co<strong>de</strong> <strong>de</strong> calcul AVBP<br />

TPF du CERFACS. Il s’agit d’un co<strong>de</strong> parallèle conçu pour simuler les écoulements réactifs<br />

compressibles <strong>diphasique</strong>s en régime <strong>la</strong>minaire et turbulent.<br />

Ecrit en FORTRAN 77, il est basé sur <strong>de</strong>ux bibliothèques : <strong>la</strong> première est chargée <strong>de</strong> <strong>la</strong> résolution<br />

numérique <strong>de</strong>s équations <strong>de</strong> <strong>la</strong> mécanique <strong>de</strong>s flui<strong>de</strong>s alors que <strong>la</strong> secon<strong>de</strong> gère les aspects calcul<br />

à haute performance incluant le parallélisme.<br />

Du point <strong>de</strong> vue numérique, AVBP TPF est muni d’un schéma <strong>de</strong> type Lax-Wendroff et d’un<br />

schéma centré d’ordre 2 <strong>de</strong> type Runge-Kutta. Un schéma d’ordre supérieur (Taylor Galerkin<br />

modifié) <strong>de</strong> type éléments finis, utilisé avec succès dans <strong>la</strong> version monophasique, est en cours<br />

d’imp<strong>la</strong>ntation dans le module <strong>diphasique</strong>. L’intégration temporelle <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux <strong>de</strong>rniers schémas<br />

est <strong>de</strong> type Runge-Kutta explicite à plusieurs étapes.<br />

Enfin, les conditions aux limites utilisées sont <strong>de</strong> type NSCBC (cf. chapitre 2).<br />

Le détail <strong>de</strong>s modèles physiques intégrés dans le co<strong>de</strong> se trouve dans [19] et [3].<br />

22

Chapitre 2<br />

Interaction <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s avec les<br />

conditions aux limites dans un<br />

écoulement <strong>diphasique</strong><br />

2.1 Description <strong>de</strong>s conditions aux limites caractéristiques<br />

2.1.1 Intérêt<br />

Le traitement <strong>de</strong>s conditions aux limites est une préoccupation importante dans les <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong>s<br />

numériques d’écoulements instationnaires compressibles (DNS ou LES) qui utilisent <strong>de</strong>s schémas<br />

<strong>de</strong> discrétisation d’ordre élevé.<br />

D’une part, ces métho<strong>de</strong>s possè<strong>de</strong>nt <strong>la</strong> particu<strong>la</strong>rité <strong>de</strong> propager fidèlement les on<strong>de</strong>s acoustiques.<br />

Sans contrôle précis <strong>de</strong> <strong>la</strong> réflexion <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s sur les frontières, l’énergie acoustique peut s’accumuler<br />

à l’interieur du domaine, retardant ou empêchant totalement <strong>la</strong> convergence du calcul.<br />

D’autre part, les schémas non dissipatifs propagent <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s numériques qui intéragissent avec<br />

les conditions aux limites et peuvent entraîner également <strong>de</strong> sérieuses difficultés <strong>de</strong> convergence<br />

voire conduire à <strong>de</strong>s solutions non physiques.<br />

Enfin, dans le cas particulier <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> <strong>de</strong>s instabilités <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> (coup<strong>la</strong>ge acoustique/f<strong>la</strong>mme),<br />

il est nécessaire d’imposer <strong>de</strong>s conditions aux limites acoustiques (impédances<br />

ou on<strong>de</strong>s acoustiques entrantes). Les conditions aux limites caractéristiques se révèlent alors<br />

particulièrement intéressantes.<br />

2.1.2 Eléments théoriques<br />

La métho<strong>de</strong> d’application <strong>de</strong>s conditions aux limites caractéristiques aux équations <strong>de</strong> Navier-<br />

Stokes (NSCBC pour Navier-Stokes Characteristic Boundary Conditions), proposée par T.<br />

Poinsot et S. Lele [15], dérive directement <strong>de</strong> <strong>la</strong> théorie <strong>de</strong>s conditions aux limites caractéristiques<br />

pour les équations d’Euler (ECBC pour Euler Characteristic Boundary conditions).<br />

Dans le traitement <strong>de</strong>s conditions aux limites, le premier problème est d’assurer le bon jeu <strong>de</strong><br />

conditions aux limites physiques afin que le problème à résoudre soit un problème bien posé.<br />

Cette question qui fait l’objet d’étu<strong>de</strong>s théoriques poussées n’est pas traitée ici. Des informations<br />

pertinantes sur le sujet se trouvent résumées dans l’ouvrage <strong>de</strong> Poinsot et Veynante [16,<br />

chapitre 9].<br />

On fait ici un résumé <strong>de</strong> <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> NSCBC telle qu’elle est présentée dans ce même ouvrage.<br />

23

On choisit l’exemple <strong>de</strong>s équations <strong>de</strong> Navier Stokes réactives multi-espèces résolues dans le domaine<br />

<strong>de</strong> calcul illustré sur <strong>la</strong> figure 2.1.<br />

Fig. 2.1 – Exemple <strong>de</strong> conditions aux limites situées sur l’axe x 1 (D’après Poinsot et Veynante<br />

[16]).<br />

On s’intéresse au comportement <strong>de</strong>s équations au niveau <strong>de</strong> <strong>la</strong> condition <strong>de</strong> sortie en x 1 = L.<br />

En regroupant les termes contenant <strong>la</strong> dérivée normale à cette surface dans les équations <strong>de</strong><br />

Navier-Stokes, on construit le vecteur d que l’on exprime en terme d’on<strong>de</strong>s grâce à l’analyse<br />

caractéristique <strong>de</strong>s équations d’Euler (cf. Thompson [23]) :<br />

⎛<br />

d =<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎛<br />

⎞<br />

d 1<br />

d 2<br />

d 3<br />

⎟<br />

d 4<br />

⎠ = ⎜<br />

d 5+k<br />

⎝<br />

∂(ρu 1 )<br />

∂x 1<br />

ρc 2 ∂u 1<br />

∂x 1<br />

+ u 1<br />

∂p 1<br />

∂x 1<br />

∂u<br />

u 1 1 ∂x 1<br />

+ 1 ∂p 1<br />

ρ ∂x 1<br />

∂u<br />

u 2 1 ∂x 1<br />

u 1<br />

∂u 3<br />

∂x 1<br />

u 1<br />

∂Y k<br />

∂x 1<br />

⎞<br />

⎛ [<br />

1<br />

c 2 L2 + 1 2 (L 5 + L 1 ) ] ⎞<br />

1<br />

2 (L 5 + L 1 )<br />

1<br />

=<br />

2ρc (L 5 − L 1 )]<br />

⎜ L 3<br />

⎟<br />

⎟ ⎝<br />

⎠ L 4<br />

⎠<br />

L 5+k<br />

où les L i sont les amplitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s caractéristiques se propageant aux vitesses λ i :<br />

⎧<br />

⎨ λ 1 = u 1 − c<br />

λ 2 = λ 3 = λ 4 = λ<br />

⎩<br />

5+k = u 1<br />

λ 5 = u 1 + c<br />

(2.1)<br />

(2.2)<br />

avec les définitions suivantes :<br />

– c est <strong>la</strong> vitesse locale du son donnée par c = √ γrT ,<br />

– λ 1 et λ 5 sont les vitesses <strong>de</strong> propagation <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s acoustiques montantes et <strong>de</strong>scendantes<br />

respectivement,<br />

– λ 2 est <strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> d’entropie,<br />

24

– λ 3 et λ 4 sont les vitesses d’advection <strong>de</strong> u 2 et u 3 dans <strong>la</strong> direction x 1 ,<br />

– λ 5+k est <strong>la</strong> vitesse d’advection <strong>de</strong> <strong>la</strong> fraction massique Y k <strong>de</strong> l’espèce k dans <strong>la</strong> direction x 1 ,<br />

Les L i s’expriment sous <strong>la</strong> forme :<br />

⎧<br />

⎪⎨<br />

⎪⎩<br />

( )<br />

L 1 = λ ∂p<br />

1 ∂x 1<br />

− ρc ∂u 1<br />

∂x 1<br />

(<br />

)<br />

L 2 = λ 2 c 2 ∂ρ<br />

∂x 1<br />

− ∂p<br />

∂x 1<br />

∂u<br />

L 3 = λ 2 3 ∂x 1<br />

∂u<br />

L 4 = λ 3 4 ∂x ( 1 )<br />

L 5 = λ ∂p<br />

5 ∂x 1<br />

+ ρc ∂u 1<br />

∂x 1<br />

∂Y<br />

L 5+k = λ k 5+k ∂x 1<br />

pour k = 1, N<br />

L i représente en réalité l’amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> variation <strong>de</strong> <strong>la</strong> i ième on<strong>de</strong> caractéristique traversant <strong>la</strong><br />

frontière.<br />

Appliquer <strong>de</strong>s conditions aux limites revient donc à spécifier les valeurs L i <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s qui entrent<br />

dans le domaine (cf. figure 2.1). Dans l’approche NSCBC, cette étape est réalisée en utilisant le<br />

système local monodimensionnel non visqueux ou LODI (pour Local One Dimensional Inviscid)<br />

qui dans le cas étudié s’écrit ainsi :<br />

∂ρ<br />

∂t + 1 [<br />

c 2 L 2 + 1 ]<br />

2 (L 5 + L 1 ) = 0 (2.4)<br />

(2.3)<br />

∂p<br />

∂t + 1 2 (L 5 + L 1 ) = 0 (2.5)<br />

∂u 1<br />

∂t + 1<br />

2ρc (L 5 − L 1 )] = 0 (2.6)<br />

∂u 2<br />

∂t + L 3 = 0 (2.7)<br />

∂u 3<br />

∂t + L 4 = 0 (2.8)<br />

∂Y k<br />

∂t + L 5+k = 0 (2.9)<br />

Par exemple, imposer <strong>la</strong> pression en x 1 = L revient à calculer L 5 par <strong>la</strong> re<strong>la</strong>tion L 5 = −L 1<br />

fournie par l’équation (2.5).<br />

2.1.3 Procédure NSCBC<br />

La métho<strong>de</strong> NSCBC consiste à réaliser, à chaque temps du calcul, les étapes suivantes :<br />

1. dans le système d’équations <strong>de</strong> Navier-Stokes, on élimine les équations correspondant aux<br />

variables qui sont imposées par les conditions physiques ;<br />

2. pour chaque équation éliminée, on utilise <strong>la</strong> re<strong>la</strong>tion LODI correspondante afin <strong>de</strong> calculer<br />

les L i inconnues (on<strong>de</strong>s entrantes) à partir <strong>de</strong>s L i connues (on<strong>de</strong>s sortantes) et <strong>de</strong>s dérivées<br />

partielles temporelles aux frontières ;<br />

3. en combinant les L i , on construit le vecteur d qui permet <strong>de</strong> calculer les variables du<br />

système ECBC (2.1) puis du système Navier-Stokes réactif complet.<br />

Dans le cadre d’un écoulement <strong>diphasique</strong>, il est n’est pas nécessaire d’employer cette métho<strong>de</strong><br />

pour les conditions aux limites <strong>de</strong>s variables liqui<strong>de</strong>. En effet, <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> ne propage pas<br />

25

<strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s <strong>de</strong> type acoustique, c’est-à-dire qui possé<strong>de</strong>nt une célérité propre donc capable <strong>de</strong><br />

remonter un écoulement. De ce point <strong>de</strong> vue, on peut <strong>la</strong> considérer comme “incompressible”.<br />

On utilise donc <strong>de</strong>s conditions aux limites c<strong>la</strong>ssiques <strong>de</strong> type Dirichlet ou Von Neumann.<br />

2.2 Etu<strong>de</strong> du comportement <strong>de</strong>s conditions aux limites<br />

caractéristiques dans le co<strong>de</strong> AVBP TPF<br />

2.2.1 But <strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong><br />

Les conditions aux limites décrites dans <strong>la</strong> section 2.1 sont imp<strong>la</strong>ntées dans le co<strong>de</strong> AVBP dans<br />

sa version monophasique multi-espèces. L’introduction du module <strong>diphasique</strong> TPF implique<br />

l’ajout <strong>de</strong> conditions aux limites pour les variables <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> et fait apparaître <strong>de</strong><br />

nouveaux termes <strong>de</strong> coup<strong>la</strong>ges entre les phases (cf. chapitre 1). Or, l’importance du traitement<br />

<strong>de</strong>s conditions aux limites dans un calcul instationnaire à été soulignée dans <strong>la</strong> section 2.1.1.<br />

Une étu<strong>de</strong> a donc été menée lors <strong>de</strong> ce stage afin <strong>de</strong> vérifier l’impact sur le champ <strong>diphasique</strong><br />

complet <strong>de</strong> ces nouvelles conditions aux limites associées aux coup<strong>la</strong>ges gaz/liqui<strong>de</strong>.<br />

2.2.2 Présentation <strong>de</strong>s configurations étudiées<br />

Afin <strong>de</strong> tester le comportement <strong>de</strong>s conditions aux limites, <strong>la</strong> stratégie employée est <strong>de</strong> p<strong>la</strong>cer,<br />

dans un champ uniforme monodimensionnel, <strong>de</strong>s perturbations gaussiennes <strong>de</strong> faible<br />

amplitu<strong>de</strong> ∆φ<br />

φ 0<br />

, où φ représente <strong>la</strong> ou les variables perturbées par l’on<strong>de</strong> (cf. figure 2.2). La<br />

propagation <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> par le co<strong>de</strong> numérique est ensuite comparée à <strong>la</strong> solution analytique<br />

lorsqu’elle existe.<br />

Fig. 2.2 – Illustration <strong>de</strong>s cas <strong>de</strong> validation <strong>de</strong> <strong>la</strong> propagation d’une gaussienne.<br />

Quatre types d’on<strong>de</strong>s ont été testées :<br />

1. Perturbation <strong>de</strong> <strong>la</strong> fraction volumique α l ;<br />

2. Perturbation acoustique dans <strong>la</strong> phase gazeuse ;<br />

3. Perturbation <strong>de</strong> l’entropie dans <strong>la</strong> phase gazeuse ;<br />

4. Perturbation <strong>de</strong> <strong>la</strong> vitesse dans <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> u l .<br />

Les conditions physiques pour ces différents cas sont résumées dans le tableau 2.1.<br />

26

Champs non perturbés P o T go Mach o T lo u lo α lo d<br />

1. on<strong>de</strong> d’entropie 101325 300 0.5 300 = u go 4.189.10 −5 20.10 −6<br />

2. on<strong>de</strong> acoustique 101325 300 0.5 300 = u go 4.189.10 −5 20.10 −6<br />

3. on<strong>de</strong> sur α l 101325 300 0.25 300 = u go 4.189.10 −5 20.10 −6<br />

4. on<strong>de</strong> sur u l 101325 300 0.25 300 = u go 4.189.10 −5 20.10 −6<br />

Tab. 2.1 – Resumé <strong>de</strong>s conditions initiales non perturbées pour les différents types d’on<strong>de</strong>s testés<br />

(unités SI).<br />

Dans chaque cas, <strong>la</strong> perturbation est p<strong>la</strong>cée initialement au centre du domaine <strong>de</strong> calcul et son<br />

amplitu<strong>de</strong> re<strong>la</strong>tive ∆φ<br />

φ 0<br />

vaut 0.5%.<br />

Dans un souci <strong>de</strong> concision, tous les cas étudiés ne sont pas présentés dans ce rapport : seules<br />

les configurations 2. et 3. sont illustrées ici.<br />

L’écoulement est un mé<strong>la</strong>nge d’air et <strong>de</strong> n-heptane dans lequel on annule tous les coup<strong>la</strong>ges par<br />

évaporation. L’on<strong>de</strong> acoustique est une on<strong>de</strong> purement <strong>de</strong>scendante : elle se propage dans le sens<br />

<strong>de</strong> l’écoulement.<br />

Les cas où les phases sont couplées par <strong>la</strong> traînée sont comparées aux cas non couplés.<br />

2.2.3 Solutions analytiques<br />

On<strong>de</strong> <strong>de</strong> fraction volumique<br />

D’après l’équation 1.22, on doit retrouver un comportement i<strong>de</strong>ntique à celui d’une on<strong>de</strong> d’entropie,<br />

c’est-à-dire une perturbation initiale parfaitement convectée à <strong>la</strong> vitesse u lo y compris à<br />

<strong>la</strong> sortie où l’on impose pas <strong>de</strong> conditions sur <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>. u g n’étant pas perturbé, aucune<br />

différence ne <strong>de</strong>vrait être observée avec et sans coup<strong>la</strong>ge par <strong>la</strong> traînée.<br />

On<strong>de</strong> acoustique<br />

Pour simplifier l’écriture, u g est noté u dans cette section. De plus, l’índice ′ désigne l’écart à <strong>la</strong><br />

valeur non perturbée.<br />

La solution analytique <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> acoustique dépend du type <strong>de</strong> condition aux limites en sortie :<br />

– Avec une sortie non réfléchissante, les on<strong>de</strong>s entrant dans le domaine sont annulées et l’on<strong>de</strong><br />

initiale se dép<strong>la</strong>ce simplement vers l’aval à <strong>la</strong> vitesse u 0 + c .<br />

– Avec une sortie réfléchissante (∆p(x = L, t) = p ′ = 0), le comportement est le même jusqu’à<br />

ce que l’on<strong>de</strong> interagisse avec <strong>la</strong> frontière au temps acoustique τ = t(u 0+c)<br />

L<br />

= 0.25. La condition<br />

aux limites impose alors :<br />

p ′ (x = L, t) = 0 = L 1 (L − (u 0 − c)t) + L 5 (L − (u 0 + c)t), (2.10)<br />

∂p ′<br />

∂t (x = L, t) = 0 = −(u 0 − c) L 1 ′ [L − (u 0 − c)t] − (u 0 + c) L 5 ′ [L − (u 0 + c)t] (2.11)<br />

où L 1 et L 5 sont les on<strong>de</strong>s entrante et sortante respectivement.<br />

Ces on<strong>de</strong>s sont fonction d’une unique variable <strong>de</strong> sorte que :<br />

( ) M + 1<br />

L 1 (x) = −L 5<br />

M − 1 x . (2.12)<br />

L’on<strong>de</strong> entrante est donc l’image dans un miroir <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> sortante réduite suivant x du facteur<br />

M+1<br />

M−1 . Cette on<strong>de</strong> réfléchie se propage vers l’amont à <strong>la</strong> vitesse u 0 − c.<br />

27

La condition aux limites <strong>de</strong> sortie influence en particulier l’évolution <strong>de</strong> l’énergie acoustique<br />

définie pour une on<strong>de</strong> p<strong>la</strong>ne par :<br />

e t = p′ 2<br />

2ρ 0 c 2 + ρu′ 2<br />

2<br />

= c2 ρ ′ 2<br />

2ρ 0<br />

+ ρu′ 2<br />

2 . (2.13)<br />

Elle agit donc sur l’équilibre <strong>de</strong> l’énergie totale acoustique E t = ∫ L<br />

0 e t dx que l’on exprime par :<br />

dE t<br />

dt + u 0 [e t (L, t) − e t (0, t)] + [J(L, t) − J(0, t)] = 0 (2.14)<br />

où J = u ′ p ′ = ρcu ′2 est le flux acoustique qui illustre les effets <strong>de</strong>s frontières. Dans le cas étudié,<br />

les on<strong>de</strong>s n’atteignent pas l’entrée, d’où : e t (0, t) = 0 et J(0, t) = 0. L’équation (2.14) s’écrit<br />

alors :<br />

dE t<br />

dt + u 0e t (L, t) + u ′ p ′ (L, t) = 0. (2.15)<br />

Lors du coup<strong>la</strong>ge par <strong>la</strong> traînée, on s’attend à ce que <strong>la</strong> solution calculée dévie <strong>de</strong> <strong>la</strong> solution analytique<br />

car une partie <strong>de</strong> l’énergie cinétique du gaz est absorbée par <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>. Cependant,<br />

l’équilibre <strong>de</strong> l’énergie acoustique totale doit être conservé.<br />

On calcule les nombres <strong>de</strong> Reynolds et <strong>de</strong> Stokes afin d’évaluer les effets du coup<strong>la</strong>ge mutuel<br />

gaz/liqui<strong>de</strong> :<br />

Re d = 0.105<br />

L’écoulement est donc bien dans le régime <strong>de</strong> Stokes où le temps <strong>de</strong> re<strong>la</strong>xation est donné par<br />

l’équation (1.28). On en déduit :<br />

St = τ p<br />

τ L<br />

= τ p<br />

L<br />

u 0<br />

= 0.118<br />

Par conséquence, <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> sera affectée par les fluctuations <strong>de</strong> vitesse du gaz au cours<br />

du processus <strong>de</strong> convection dans le domaine. On calcule ensuite le facteur <strong>de</strong> charge massique κ<br />

qui est le rapport <strong>de</strong> <strong>la</strong> masse <strong>de</strong> chacune <strong>de</strong>s phases :<br />

κ = α lρ l<br />

α g ρ g<br />

= 2.46.10 −2 (2.16)<br />

Ces valeurs <strong>de</strong> τ p et κ permettent <strong>de</strong> prédire que le gaz aura un effet important sur <strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong><br />

liqui<strong>de</strong> alors que <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> causera <strong>de</strong> faibles perturbations sur <strong>la</strong> vitesse du gaz.<br />

2.2.4 Résultats et discussion<br />

On<strong>de</strong> <strong>de</strong> fraction volumique<br />

Dans cette section, on utilise le temps sans dimension τ = t u 0<br />

L<br />

<strong>de</strong> sorte que le maximum d’amplitu<strong>de</strong><br />

<strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> atteigne <strong>la</strong> sortie à τ = 1 2 .<br />

La figure 2.3 montrent les résu<strong>la</strong>ts obtenus pour une on<strong>de</strong> <strong>de</strong> α l avec une sortie réfléchissante et<br />

non réfléchissante.<br />

Ils correspon<strong>de</strong>nt parfaitement à <strong>la</strong> solution analytique attendue quel que soit le type <strong>de</strong> condition<br />

aux limites. De plus, le coup<strong>la</strong>ge par <strong>la</strong> traînée ne perturbe en rien <strong>la</strong> solution calculée.<br />

En revanche, les tracés à τ = 1 montrent <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s numériques qui se propagent vers l’amont<br />

à −u 0 . Lorsqu’ils atteignent l’entrée, ces “wiggles” génèrent une on<strong>de</strong> pseudo-physique qui se<br />

propage vers l’aval à u 0 et atteint le milieu du domaine quand τ = 2.<br />

L’amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> ces on<strong>de</strong>s parasites est toutefois assez faible : elle représente environ 0.15 % <strong>de</strong><br />

l’amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> initiale.<br />

28

Fig. 2.3 – Evolution temporelle <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong> α l obtenus avec AVBP TPF entre τ = 0 et 2. Les<br />

calculs avec et sans traînée sont parfaitement superposés.<br />

On<strong>de</strong> acoustique<br />

Dans cette section, on utilise le temps sans dimension τ = t u 0+c<br />

L<br />

<strong>de</strong> sorte que le maximum<br />

d’amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> atteigne <strong>la</strong> sortie à τ = 1 2 .<br />

Seul le cas où <strong>la</strong> condition <strong>de</strong> sortie est réfléchissante est présenté ici.<br />

La figure 2.4 montre <strong>la</strong> capacité du co<strong>de</strong> à prédire <strong>la</strong> propagation d’une on<strong>de</strong> acoustique dans<br />

un écoulement <strong>diphasique</strong> compressible dilué. Entre τ = 0 et 0.5, l’on<strong>de</strong> acoustique est bien une<br />

on<strong>de</strong> purement <strong>de</strong>scendante qui se dép<strong>la</strong>ce à u 0 + c.<br />

L’absence <strong>de</strong> coup<strong>la</strong>ge par <strong>la</strong> traînée aboutit à un résultat qui est i<strong>de</strong>ntique au cas monophasique<br />

29

et où <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> n’est pas perturbée.<br />

Dans le cas où le coup<strong>la</strong>ge est activé, <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> est accélérée par <strong>la</strong> perturbation positive<br />

<strong>de</strong> u g au cours <strong>de</strong> <strong>la</strong> propagation <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong>. La perturbation <strong>de</strong> u l se dép<strong>la</strong>ce vers l’amont plus<br />

lentement que u 0 + c car le nombre <strong>de</strong> Stokes <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> n’est pas infiniment petit (cf.<br />

section 2.2.3).<br />

Dans le même temps, une perturbation locale <strong>de</strong> α l est créée. L’accélération <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong><br />

induit une accumu<strong>la</strong>tion suivie d’un déficit <strong>de</strong> <strong>la</strong> fraction volumique liqui<strong>de</strong>.<br />

La condition p ′ (L, t) = 0 à <strong>la</strong> sortie provoque <strong>la</strong> réflexion <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> sortante à l’intérieur du<br />

domaine <strong>de</strong> calcul. Cette on<strong>de</strong> entrante qui se propage effectivement à u 0 − c vers l’amont est<br />

bien <strong>la</strong> symétrie <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> sortante réduite en x du facteur 1+M<br />

1−M = 3.<br />

Les tracés à τ = 1.5 et 2 montrent <strong>de</strong>s trains d’on<strong>de</strong>s numériques qui se développent <strong>de</strong>rrière<br />

l’on<strong>de</strong> physique. Ces wiggles ne sont pas dus aux coup<strong>la</strong>ge par <strong>la</strong> traînée, comme le montre le<br />

profil du calcul non couplés, mais à <strong>la</strong> dispersivité du schéma <strong>de</strong> discrétisation spatiale (<strong>de</strong> type<br />

centré). On peut noter par ailleurs que ces on<strong>de</strong>s numériques ne sont pratiquement pas transmises<br />

à <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> car le nombre <strong>de</strong> Stokes qui les caractérise est grand : <strong>la</strong> traînée effectue<br />

un filtrage <strong>de</strong>s fluctuations dont le temps caractéristique est inférieur au temps <strong>de</strong> re<strong>la</strong>xation<br />

(cf. section 1.5.1).<br />

En revanche, <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> est perturbée par l’on<strong>de</strong> remontante. L’amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> ces perturbations<br />

est plus faible dans ce sens que lors <strong>de</strong> <strong>la</strong> propagation <strong>de</strong>scendante car <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>,<br />

dont <strong>la</strong> vitesse est opposée à celle <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> acoustique, voit <strong>la</strong> perturbation <strong>de</strong> u g pendant un<br />

temps plus court.<br />

On s’intéresse à présent à l’effet <strong>de</strong> <strong>la</strong> condition aux limites sur l’énergie acoustique.<br />

La figure 2.5 illustre ces interactions en représentant les termes impliqués dans l’équation (2.14).<br />

L’équilibre <strong>de</strong> l’énergie acoutique totale est correctement assuré pour le calcul couplé et non<br />

couplé, le déséquilibre étant <strong>de</strong> l’ordre <strong>de</strong> 2 %.<br />

La pression étant imposée à <strong>la</strong> sortie (p ′ (x = L, t) = 0), le flux acoustique J à <strong>la</strong> frontière est<br />

nul. Toutes les pertes proviennent donc du terme convectif u 0 e t .<br />

30

Fig. 2.4 – Evolution temporelle <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong> u g , u l , p et α l obtenus avec AVBP TPF entre<br />

τ = 0 et 2.<br />

31

Fig. 2.5 – Equilibre <strong>de</strong> l’énergie acoustique (Eq. (2.14)).<br />

2.3 Conclusion<br />

Le traitement <strong>de</strong>s conditions aux limites caractéristiques par AVBP TPF a été analysé dans<br />

le cadre <strong>de</strong> <strong>la</strong> propagation d’on<strong>de</strong>s acoustiques et <strong>de</strong> fraction volumique dans un écoulement<br />

<strong>diphasique</strong>.<br />

Les résultats obtenus correspon<strong>de</strong>nt <strong>de</strong> très près aux solutions analytiques attendues, que les<br />

phases continue et dispersée soient ou non couplées par <strong>la</strong> traînée.<br />

D’une part, le calcul <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> <strong>de</strong> fraction volumique révèle un comportement tout à fait analogue<br />

à celui d’une on<strong>de</strong> d’entropie, aucun coup<strong>la</strong>ge imprévu n’ayant été observé.<br />

D’autre part, le calcul <strong>de</strong> l’on<strong>de</strong> acoustique montre que dans un écoulement dilué, <strong>la</strong> phase<br />

gazeuse est faiblement perturbée par le coup<strong>la</strong>ge <strong>de</strong> traînée avec <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong>.<br />

En outre, les on<strong>de</strong>s numériques générées au niveau <strong>de</strong>s conditions aux limites ou par dispersivité<br />

ne se transmettent pas entre phases en raison <strong>de</strong> leur faible temps caractéristique.<br />

Enfin, l’étu<strong>de</strong> montre que les conditions aux limites non caractéristiques sur <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong><br />

sont suffisantes pour obtenir le comportement visé.<br />

32

Chapitre 3<br />

Evaporation dans un écoulement<br />

monodimensionnel<br />

3.1 But <strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong><br />

Après avoir validé les conditions aux limites dans AVBP TPF et avant <strong>de</strong> s’intéresser au calcul <strong>de</strong><br />

<strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>diphasique</strong>, il est nécessaire d’étudier le phénomène d’évaporation sans <strong>combustion</strong>.<br />

En effet, <strong>la</strong> zone d’évaporation est un point essentiel du processus d’évaporation/<strong>combustion</strong><br />

car elle modifie considérablement l’écoulement qui <strong>la</strong> traverse en lui imposant <strong>de</strong>s transferts <strong>de</strong><br />

masse, d’espèces chimiques, <strong>de</strong> chaleur, et dans une moindre mesure, <strong>de</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement<br />

(cf. section 1.5.3). La connaissance précise <strong>de</strong>s conditions en amont <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme nécessite donc<br />

un traitement correct <strong>de</strong> l’évaporation.<br />

Dans ce chapitre, on compare les résultats <strong>de</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong>s du co<strong>de</strong> AVBP TPF avec <strong>la</strong> solution<br />

analytique pour un spray monodimensionnel dilué.<br />

3.2 Description <strong>de</strong> <strong>la</strong> configuration étudiée<br />

La zone d’évaporation est un domaine monodimensionnel dans lequel un écoulement gazeux<br />

composé d’air pur en entrée entraîne <strong>de</strong>s gouttes d’éthanol qui s’évaporent avant d’atteindre <strong>la</strong><br />

sortie (cf. figure 3.1).<br />

Cette configuration permet <strong>de</strong> comparer les résultats d’AVBP TPF à ceux obtenus analytiquement<br />

avec le programme mis au point par Caroline Saulnier, lors <strong>de</strong> son stage <strong>de</strong> DEA (cf.<br />

Saulnier [18]). Cette solution théorique proposée par Lin et al. ([12] et [13]) repose sur <strong>de</strong>s<br />

hypothèses supplémentaires par rapport à celles formulées dans <strong>la</strong> section 1.4.1 :<br />

– le nombre <strong>de</strong> Spalding est constant et égal à <strong>la</strong> valeur en entrée ;<br />

– <strong>la</strong> température dans les gouttes est uniforme et constante au cours du temps ;<br />

– les <strong>de</strong>ux phases ont <strong>la</strong> même vitesse (nombre <strong>de</strong> Stokes infiniment petit) ;<br />

– <strong>la</strong> pression est constante ;<br />

– le problème est stationnaire.<br />

La métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> résolution est décrite dans l’annexe A. On peut retenir qu’il s’agit d’une approche<br />

sensiblement différente <strong>de</strong> celle qui est suivie dans AVBP TPF.<br />

Afin <strong>de</strong> vérifier ces hypothèses, on étudie un spray faiblement chargé associé à un taux d’évaporation<br />

modéré. Les conditions <strong>de</strong> l’écoulement sont regroupées dans le tableau 3.1.<br />

33

U<br />

x<br />

entree<br />

fin <strong>de</strong><br />

l’evaporation<br />

sortie<br />

Fig. 3.1 – Configuration <strong>de</strong> <strong>la</strong> zone d’évaporation.<br />

T g,0 u 0 Y ethanol T l,0 α l,0 d 0<br />

P 0<br />

Entrée 480 1.12 0 323 4.189.10 −5 30.10 −6 Sortie 101325<br />

Tab. 3.1 – Conditions aux limites du calcul d’évaporation (unités SI).<br />

3.3 Résultats et discussion<br />

La figure 3.2 présente les profils en x <strong>de</strong>s variables <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> fournis par <strong>la</strong> solution<br />

analytique et AVBP TPF. On peut noter en premier lieu <strong>la</strong> validité <strong>de</strong> l’hypothèse <strong>de</strong> pression<br />

constante, <strong>la</strong> variation calculée par AVBP TPF étant négligeable.<br />

En second lieu, on remarque que les évolutions sont les mêmes pour les <strong>de</strong>ux types <strong>de</strong> calculs et<br />

pour chaque variable.<br />

On note en particulier que <strong>la</strong> variation <strong>de</strong> T g est significative par rapport au chargement en<br />

∆T g<br />

T g,in<br />

carburant à l’entrée : vaut 1.25 % alors que κ 0 , le coefficient <strong>de</strong> chargement massique<br />

(cf. 2.16) ne vaut que 0.6 %. Ceci illustre l’importance du transfert <strong>de</strong> chaleur par évaporation.<br />

Les écarts observés s’expliquent par <strong>la</strong> différence dans <strong>la</strong> prédiction <strong>de</strong> <strong>la</strong> température du gaz.<br />

La pression étant constante, <strong>la</strong> loi d’état reporte cet écart sur <strong>la</strong> masse volumique et, par conservation<br />

<strong>de</strong> <strong>la</strong> masse, sur <strong>la</strong> vitesse du gaz 1 .<br />

Cette surestimation <strong>de</strong> <strong>la</strong> température dans <strong>la</strong> solution analytique a pour origine <strong>la</strong> sousestimation<br />

du taux <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleur Π g en raison <strong>de</strong> l’hypothèse <strong>de</strong> température <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong><br />

constante dans le temps (qui implique φ l = 0). En revanche, le très faible écart sur <strong>la</strong> fraction<br />

massique d’éthanol suggère que les <strong>de</strong>ux calculs prédisent <strong>de</strong> manière i<strong>de</strong>ntique l’évaporation.<br />

1 Le choix fait pour <strong>la</strong> comparaison <strong>de</strong>s calculs est le suivant : on impose une vitesse <strong>de</strong> gaz i<strong>de</strong>ntique pour les<br />

<strong>de</strong>ux types <strong>de</strong> résolutions à <strong>la</strong> fin <strong>de</strong> l’évaporation.<br />

34

0.744<br />

Masse volumique du gaz<br />

Vitesse du gaz<br />

ρ (kg.m -3 )<br />

0.742<br />

0.740<br />

0.738<br />

0.736<br />

0.734<br />

0.732<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

Température du gaz<br />

u g<br />

(m.s -1 )<br />

1.125<br />

1.120<br />

1.115<br />

1.110<br />

1.105<br />

1.100<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

Pression<br />

480<br />

T g<br />

(K)<br />

478<br />

476<br />

474<br />

0.006<br />

0.005<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

Fraction massique d’éthanol<br />

P (Pa)<br />

101325.005<br />

101325.000<br />

101324.995<br />

101324.990<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

Y ethanol<br />

0.004<br />

0.003<br />

0.002<br />

Solution analytique<br />

Calcul AVBP<br />

0.001<br />

0<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

Fig. 3.2 – Profils <strong>de</strong>s variables <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase gazeuse - Comparaison entre <strong>la</strong> solution analytique<br />

et le calcul par AVBP TPF.<br />

35

Fraction volumique <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong><br />

Diamètre moyen <strong>de</strong>s gouttes<br />

6e-06<br />

5e-06<br />

2.5e-05<br />

coupure<br />

α l (-)<br />

4e-06<br />

3e-06<br />

2e-06<br />

1e-06<br />

0<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

d l<br />

(m)<br />

2.0e-05<br />

1.5e-05<br />

1.0e-05<br />

5.0e-06<br />

0.0e+00<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

4.1e+08<br />

Nombre <strong>de</strong> gouttes<br />

Vitesse <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong><br />

4.1e+08<br />

1.125<br />

n l<br />

(m -3 )<br />

4.0e+08<br />

4.0e+08<br />

u l<br />

(m.s -1 )<br />

1.120<br />

1.115<br />

1.110<br />

4.0e+08<br />

1.105<br />

4.0e+08<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

1.100<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

324.0<br />

Température <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong><br />

323.8<br />

T l<br />

(K)<br />

323.6<br />

323.4<br />

Solution analytique<br />

Calcul AVBP<br />

323.2<br />

323.0<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

Fig. 3.3 – Profils <strong>de</strong>s variables <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> - Comparaison entre <strong>la</strong> solution analytique<br />

et le calcul par AVBP TPF.<br />

36

Fig. 3.4 – Profils du taux d’évaporation et <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleur - Comparaison entre <strong>la</strong> solution<br />

analytique et le calcul par AVBP TPF.<br />

Cette observation est confirmée par l’analyse <strong>de</strong>s variables <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> (figure 3.3).<br />

Les courbes d’évolution sont tout à fait superposables pour <strong>la</strong> fraction volumique <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> et<br />

pour le diamètre <strong>de</strong>s gouttes.<br />

La différence que l’on observe sur <strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> est liée à l’écart sur <strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong> gaz.<br />

Cette différence est imposée et accentuée par <strong>la</strong> traînée. Elle explique d’autre part <strong>la</strong> déviation<br />

du nombre <strong>de</strong> gouttes.<br />

En ce qui concerne <strong>la</strong> température <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong>, l’amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> variation calculée par AVBP<br />

TPF est faible (inférieure au <strong>de</strong>gré K) bien que l’évolution soit rapi<strong>de</strong>. Dans un premier temps, le<br />

flux conductif Φ g dans le gaz dépasse le flux <strong>de</strong> chaleur Λ g − Λ l par évaporation (cf. Eq. (1.45)),<br />

d’où l’augmentation <strong>de</strong> T l . Une fois l’équilibre <strong>de</strong>s flux atteint, ce bi<strong>la</strong>n <strong>de</strong>vient négatif en raison<br />

<strong>de</strong> <strong>la</strong> baisse <strong>de</strong> Φ g liée à celle <strong>de</strong> <strong>la</strong> température du gaz (cf. Eq. (1.44)), d’où <strong>la</strong> diminution <strong>de</strong><br />

T l .<br />

La solution analytique ne prend pas en compte ces effets puisqu’elle fait l’hypothèse <strong>de</strong> température<br />

liqui<strong>de</strong> constante. Or, en pratique, on a noté que <strong>la</strong> température <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> en fin d’évaporation<br />

(T l,ev ) dépendait peu <strong>de</strong> sa valeur initiale. Pour une température <strong>de</strong> gaz donnée, <strong>la</strong> température<br />

<strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> évolue (<strong>de</strong> manière monotone ou non) vers <strong>la</strong> même valeur <strong>de</strong> T l,ev . La solution<br />

analytique fournit donc une condition initiale appropriée tant que <strong>la</strong> température <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> est<br />

proche <strong>de</strong> T l,ev . Dans ce cas, l’amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> variation <strong>de</strong> T l dans AVBP est minimisée.<br />

Il est cependant difficile <strong>de</strong> viser <strong>la</strong> bonne valeur <strong>de</strong> T l,ev avant d’effectuer le calcul avec AVBP<br />

(calcul nécessitant un temps <strong>de</strong> convergence re<strong>la</strong>tivement long en raison <strong>de</strong> l’explicitation temporelle).<br />

Afin <strong>de</strong> connaître cette valeur a priori, un programme <strong>de</strong> calcul a été écrit. Il résout<br />

l’écoulement <strong>de</strong> manière parabolique à partir <strong>de</strong> l’entrée vers les x croissants en appliquant sur<br />

les variables les termes source d’évaporation tels qu’ils sont calculés dans AVBP.<br />

Ce programme n’est pas utilisé pour initialiser AVBP car il présente une imprécision 2 plus gran<strong>de</strong><br />

que <strong>la</strong> résolution analytique dans le calcul <strong>de</strong> <strong>la</strong> fraction massique <strong>de</strong> carburant.<br />

2 en raison <strong>de</strong> son caractère explicite. Une correction par implicitation <strong>de</strong>s termes sources est envisagée.<br />

37

330<br />

Température <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong><br />

pour différentes valeurs en entrée<br />

328<br />

325<br />

T l<br />

(K)<br />

322<br />

320<br />

AVBP : T l,in<br />

= 323 K<br />

Co<strong>de</strong> parabolique : T l,in<br />

= 323 K<br />

Co<strong>de</strong> parabolique : T l,in<br />

= 316 K<br />

Co<strong>de</strong> parabolique : T l,in<br />

= 330 K<br />

318<br />

0 0.001 0.002 0.003<br />

x (m)<br />

Fig. 3.5 – Agrandissement en x <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong> température <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> calculés par le co<strong>de</strong> parabolique<br />

pour différentes valeurs en entrée.<br />

La figure 3.5 montre <strong>de</strong>s calculs effectués par ce co<strong>de</strong> dans les mêmes conditions que le cas étudié<br />

pour différentes température <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> en entrée (T l,in ).<br />

D’une part, <strong>la</strong> comparaison avec le calcul AVBP à T l,in = 323 K montre que le co<strong>de</strong> fournit<br />

une bonne prédiction <strong>de</strong> <strong>la</strong> température <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong>, en particulier en fin d’évaporation. D’autre<br />

part, on observe l’effet <strong>de</strong> l’équilibre <strong>de</strong>s flux <strong>de</strong> chaleur qui fait tendre tous les calculs vers <strong>la</strong><br />

même température finale T l,ev . On comprend également que l’erreur commise par <strong>la</strong> solution<br />

analytique peut être re<strong>la</strong>tivement gran<strong>de</strong> si dans ce cas T l,in est fixée à 316 K.<br />

On utilise donc <strong>la</strong> valeur <strong>de</strong> T ev prédite par le co<strong>de</strong> parabolique pour produire une solution<br />

initiale analytique du calcul AVBP.<br />

Les termes d’échanges par évaporation pour <strong>la</strong> phase gazeuse sont représentés sur <strong>la</strong> figure 3.4<br />

(Ils sont va<strong>la</strong>bles également pour <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> puisque Γ l = −Γ g (Eq. 1.11) et Π l = −Π g<br />

(Eq. 1.16).).<br />

On y observe une bonne corré<strong>la</strong>tion <strong>de</strong>s courbes analytiques et numériques <strong>de</strong>s taux <strong>de</strong> transferts.<br />

Les écarts sont maximum au début <strong>de</strong> l’évaporation là où <strong>la</strong> variation <strong>de</strong> T l est <strong>la</strong> plus gran<strong>de</strong>.<br />

Note :<br />

Les profils <strong>de</strong>s variables liqui<strong>de</strong>s n’ont pas <strong>de</strong> sens au-<strong>de</strong>là <strong>de</strong> <strong>la</strong> distance d’évaporation car <strong>la</strong><br />

phase liqui<strong>de</strong> n’y est plus présente. Il sont conservés dans le calcul pour <strong>de</strong>s raisons purement<br />

numériques. Dans <strong>la</strong> pratique, le co<strong>de</strong> effectue une coupure lorsque α l ou d franchit une limite<br />

inférieure.<br />

38

3.4 Vérification <strong>de</strong>s hypothèses du modèle <strong>diphasique</strong><br />

On cherche à vérifier a posteriori <strong>la</strong> validité <strong>de</strong>s hypothèses formulées dans <strong>la</strong> section 1.4.1.<br />

L’analyse se base sur les nombres sans dimension <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> qui sont représentés sur les<br />

figures 3.6 et 3.7.<br />

3.4.1 Traînée <strong>de</strong> Stokes<br />

Sur <strong>la</strong> figure 3.6, on observe que, quelle que soit <strong>la</strong> position dans <strong>la</strong> zone d’évaporation, le<br />

Reynolds (Eq. 1.26) est très petit <strong>de</strong>vant 1. L’hypothèse <strong>de</strong> traînée <strong>de</strong> Stokes (cf. section 1.5.1)<br />

est donc tout à fait justifiée.<br />

Fig. 3.6 – Profils <strong>de</strong>s nombres sans dimension caractérisant les gouttes d’éthanol.<br />

3.4.2 Sphéricité <strong>de</strong>s gouttes<br />

La sphéricité <strong>de</strong>s gouttes est fonction <strong>de</strong>s effets déstabilisants du gaz environnant par rapport à<br />

l’effet stabilisant <strong>de</strong> <strong>la</strong> tension superficielle du liqui<strong>de</strong>. Ces effets sont caractérisés par les nombres<br />

sans dimension suivant :<br />

– Nombre <strong>de</strong> Weber :<br />

W e = ρ g ‖ u g − u l ‖ 2 d<br />

σ<br />

=<br />

inertie<br />

tension interfaciale<br />

39

où σ est <strong>la</strong> tension superficielle du liqui<strong>de</strong> ;<br />

– Nombre <strong>de</strong> Bond 3 :<br />

Bo = (ρ l − ρ g )gd 2<br />

σ<br />

=<br />

gravité<br />

tension interfaciale<br />

– Nombre capil<strong>la</strong>ire :<br />

Ca = ρ gν g ‖ u g − u l ‖ viscosité<br />

=<br />

σ tension interfaciale<br />

La figure 3.6 montre que quelles que soit l’abscisse, tous ces nombres sont très petit <strong>de</strong>vant 1.<br />

L’hypothèse <strong>de</strong> sphéricité est donc validée.<br />

3.4.3 modèle d’évaporation<br />

Loi du d 2<br />

On cherche à vérifier <strong>la</strong> loi dévolution linéaire du carré du diamètre <strong>de</strong>s gouttes en fonction<br />

du temps. Cette loi appelée “loi du d 2 ” est obtenue en intégrant l’équation 1.38 (cf. Kuo [11,<br />

chapitre 6]). Elle s’exprime sous <strong>la</strong> forme suivante :<br />

d 2 = d 2 0 − β v t (3.1)<br />

où d 0 est le diamètre <strong>de</strong>s gouttes en entrée et β v , <strong>la</strong> pente <strong>de</strong> <strong>la</strong> courbe d 2 = f(t), est donné par :<br />

β v = 4Nu ρ g<br />

ρ l<br />

D F −air ln(1 + B M )<br />

Le tracé <strong>de</strong> cette courbe 4 (figure 3.7), montre que <strong>la</strong> solution analytique vérifie <strong>la</strong> loi du d 2 avec<br />

l’exactitu<strong>de</strong> attendue. Le faible écart observé pour le calcul AVBP est dû au fait que β v , qui<br />

n’est pas rigoureusement constant dans le temps, est recalculé à chaque instant par le co<strong>de</strong>.<br />

Conductivité infinie<br />

Afin <strong>de</strong> vérifier l’hypothèse <strong>de</strong> conductivité infinie, on calcule le nombre <strong>de</strong> Fourier caractérisant<br />

les gouttes. Ce nombre sans dimension compare l’échelle <strong>de</strong> temps du problème à l’échelle <strong>de</strong><br />

temps caractéristique <strong>de</strong> <strong>la</strong> diffusion <strong>de</strong> chaleur.<br />

Pour une goutte <strong>de</strong> rayon r, il est donné par :<br />

F o = D th,l<br />

r 2 t = t<br />

τ th<br />

(3.2)<br />

où :<br />

– D th,l est <strong>la</strong> diffusivité thermique du liqui<strong>de</strong> ;<br />

– τ th est le temps diffusif, c’est-à-dire le temps mis par <strong>la</strong> diffusion thermique pour affecter <strong>la</strong><br />

goutte <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> surface jusqu’au centre.<br />

L’évolution temporelle du nombre <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong>s gouttes d’éthanol est représentée sur <strong>la</strong> figure<br />

3.7.<br />

On constate que ce nombre est inférieur à 1 pendant plus <strong>de</strong> <strong>la</strong> moitié du temps <strong>de</strong> séjour <strong>de</strong>s<br />

gouttes. L’hypothèse <strong>de</strong> température uniforme semble donc sérieusement discutable. En pratique,<br />

3 On s’intéresse aux effets <strong>de</strong> gravité sur <strong>la</strong> déformation <strong>de</strong>s gouttes même si on les écarte dans les équations<br />

<strong>de</strong> conservation.<br />

4 Pour l’évolution temporelle, l’instant t correspond à ∫ x dx<br />

x 0 U l<br />

.<br />

40

Fig. 3.7 – Evolution temporelle du carré du diamètre et du nombre <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong>s gouttes<br />

d’éthanol.<br />

<strong>la</strong> transport diffusif n’est pas le seul processus <strong>de</strong> chauffage <strong>de</strong>s gouttes : le transport convectif<br />

dû à <strong>la</strong> circu<strong>la</strong>tion interne <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> a tendance à uniformiser <strong>la</strong> température (cf. Sirignano [22,<br />

chapitre 2]). Enfin, ces effets ne sont certainement pas <strong>la</strong> plus gran<strong>de</strong> source d’imprécision dans<br />

le calcul d’un écoulement plus complexe.<br />

3.5 Conclusion<br />

La comparaison <strong>de</strong>s calculs d’AVBP TPF avec <strong>la</strong> solution analytique vali<strong>de</strong> le module d’évaporation<br />

du co<strong>de</strong> <strong>de</strong> calcul.<br />

Les corré<strong>la</strong>tions sont bonnes voire très bonnes dans le cas étudié.<br />

En outre, <strong>la</strong> vérification a posteriori <strong>de</strong>s hypothèses formulées en section 1.4.1 montrent que les<br />

conditions <strong>de</strong> validité du modèle <strong>diphasique</strong> sont bien vérifiées.<br />

L’étape <strong>de</strong> validation suivante consisterait à confronter les résultats <strong>de</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong>s d’AVBP avec<br />

les données expérimentales. Malheureusement, ce type <strong>de</strong> données semble difficile à obtenir pour<br />

les diamètres <strong>de</strong> gouttes typiques <strong>de</strong>s sprays en <strong>combustion</strong>. On dispose en revanche du co<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />

référence PREMIX TPF développé par Giovangigli [4]. L’utilisation <strong>de</strong> ce co<strong>de</strong> fera l’objet <strong>de</strong><br />

<strong>la</strong> poursuite <strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong> menée dans cette section.<br />

41

Chapitre 4<br />

F<strong>la</strong>mme <strong>la</strong>minaire<br />

monodimensionnelle <strong>diphasique</strong><br />

4.1 But <strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong><br />

L’hypothèse <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>la</strong>minaire monodimensionnelle est un cadre très restrictif pour <strong>la</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong><br />

<strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>combustion</strong>. Il s’agit cependant d’une étape préliminaire essentielle du calcul d’un<br />

écoulement réactif plus complexe. En effet, les calculs tridimensionnels turbulents <strong>de</strong> LES basés<br />

sur l’hypothèse <strong>de</strong> f<strong>la</strong>melettes nécessitent une connaissance précise <strong>de</strong>s propriétés <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme<br />

monodimensionnelle <strong>la</strong>minaire associée : structure, vitesse <strong>de</strong> propagation, épaisseur du front <strong>de</strong><br />

f<strong>la</strong>mme, etc.<br />

Dans le cas où le carburant est injecté sous forme liqui<strong>de</strong>, <strong>la</strong> phase d’évaporation doit être<br />

prise en compte dans le calcul. La f<strong>la</strong>mme <strong>diphasique</strong> combine donc <strong>de</strong>ux processus impliquant<br />

<strong>de</strong>s transferts <strong>de</strong> masse, d’espèces, <strong>de</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement et d’énergie : l’évaporation et <strong>la</strong><br />

<strong>combustion</strong>. La simplification opérée par <strong>la</strong> configuration <strong>la</strong>minaire à une dimension est alors<br />

d’autant plus nécessaire.<br />

4.2 C<strong>la</strong>ssification <strong>de</strong>s mo<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>combustion</strong><br />

4.2.1 Définition du diamètre critique<br />

On a montré dans <strong>la</strong> section 3.4.3 que <strong>la</strong> loi du d 2 fournit une bonne estimation du temps<br />

d’évaporation t ev .<br />

La re<strong>la</strong>tion 3.1 donne t ev quand on fixe d à 0 :<br />

t ev = d2 0<br />

β v<br />

(4.1)<br />

On peut caractériser ensuite le temps t f mis pour parcourir <strong>la</strong> distance l f qui s’épare l’entrée<br />

dans <strong>la</strong> zone d’évaporation du front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme :<br />

On distingue alors <strong>de</strong>ux cas :<br />

t f = l f<br />

s L<br />

(4.2)<br />

1. t f > t ev : <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> est totalement évaporée avant d’atteindre <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme ;<br />

42

2. t f < t ev : une partie <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> n’est pas totalement évaporée et atteint le front<br />

<strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme ;<br />

On définit alors le diamètre critique en <strong>de</strong>ssous duquel <strong>la</strong> phase liqui<strong>de</strong> est totalement évaporée<br />

avant <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme. Il s’exprime par :<br />

√<br />

l f β v<br />

d c =<br />

(4.3)<br />

s L<br />

4.2.2 Définition <strong>de</strong>s richesses <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme<br />

Dans les formules <strong>de</strong> richesses utilisées ci-<strong>de</strong>ssous, le rapport stoechiométrique <strong>de</strong> masse s est<br />

défini comme étant le rapport <strong>de</strong>s fractions massiques d’oxydant et <strong>de</strong> carburant lorsque le<br />

mé<strong>la</strong>nge est dans les proportions stoechiométriques :<br />

s = Y O<br />

Y F<br />

∣<br />

∣∣∣stoechiométrie<br />

La présence du carburant dans les <strong>de</strong>ux phases conduit à plusieurs définitions <strong>de</strong> <strong>la</strong> richesse,<br />

réunies dans le tableau 4.2.2<br />

Richesse totale<br />

Richesse gazeuse<br />

Richesse liqui<strong>de</strong><br />

Richesse gazeuse<br />

prévaporée**<br />

φ t = s αgρgY F +α l ρ l<br />

α gρ gY O<br />

∣<br />

∣∣entrée<br />

Rapport <strong>de</strong>s masses <strong>de</strong> carburant totale et<br />

d’oxydant à l’entrée*.<br />

φ g = s Y F<br />

Y O<br />

∣<br />

∣∣entrée<br />

φ l = s<br />

∣<br />

α l ρ l ∣∣entrée<br />

α gρ gY O<br />

φ f = s Y F<br />

Y O<br />

∣<br />

∣∣f<strong>la</strong>mme<br />

Rapport <strong>de</strong>s masses <strong>de</strong> carburant gazeux<br />

et d’oxydant à l’entrée*.<br />

Rapport <strong>de</strong>s masses <strong>de</strong> carburant liqui<strong>de</strong><br />

et d’oxydant à l’entrée*.<br />

Rapport <strong>de</strong>s masses <strong>de</strong> carburant gazeux<br />

et d’oxydant en amont <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme*.<br />

* re<strong>la</strong>tivement à s.<br />

** Le qualificatif prévaporé signifie les conditions à l’amont immédiat du front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme.<br />

Tab. 4.1 – Définition <strong>de</strong>s richesses pour une f<strong>la</strong>mme <strong>diphasique</strong>.<br />

Les trois premières définitions sont liées par <strong>la</strong> re<strong>la</strong>tion suivante : φ t = φ g + φ l .<br />

4.2.3 C<strong>la</strong>ssification<br />

La figure 4.1 illustre <strong>la</strong> c<strong>la</strong>ssification <strong>de</strong>s f<strong>la</strong>mmes <strong>diphasique</strong>s selon les paramètres définis en 4.2.1<br />

et 4.2.2.<br />

Les quatre gran<strong>de</strong>s c<strong>la</strong>sses i<strong>de</strong>ntifiées correspon<strong>de</strong>nt à :<br />

1. La f<strong>la</strong>mme dite homogène où, tout le carburant liqui<strong>de</strong> est évaporé avant <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme. Que<br />

le mé<strong>la</strong>nge gazeux soit riche ou pauvre, il brûle à travers une f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong> prémé<strong>la</strong>nge ;<br />

2. La f<strong>la</strong>mme hétérogène pauvre (φ t < 1). A travers le front <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong> prémé<strong>la</strong>nge,<br />

les gouttelettes non évaporées sont “allumées” en f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong> diffusion 1 et brûlent jusqu’à<br />

épuisement du carburant ou <strong>de</strong> l’oxydant.<br />

1 Suivant les caractéristiques <strong>de</strong> l’écoulement <strong>diphasique</strong>, on observe une f<strong>la</strong>mme enveloppe ou une f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong><br />

sil<strong>la</strong>ge ou encore <strong>la</strong> <strong>combustion</strong> <strong>de</strong> gouttelettes en groupe (cf. Yule et Bo<strong>la</strong>do [29]).<br />

43

U 1<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

d < d c<br />

1<br />

phase<br />

gazeuse<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 2<br />

3<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡ ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />

¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />

¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ gaz brules<br />

4<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤ £¡£¡£¡£¡£¡£<br />

gouttelette<br />

en evaporation<br />

d > d<br />

c<br />

φ < φ < 1<br />

f<br />

f<br />

φ < 1 < φ<br />

t<br />

t<br />

gouttelette en<br />

evaporation/<br />

<strong>combustion</strong><br />

1 < φ < φ<br />

f<br />

t<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

£¡£¡£¡£¡£¡£ ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤<br />

¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤ £¡£¡£¡£¡£¡£<br />

x<br />

sans phase liqui<strong>de</strong><br />

entree<br />

front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme<br />

sortie<br />

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡<br />

¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢<br />

Fig. 4.1 – Schéma <strong>de</strong>scriptif <strong>de</strong>s mo<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> homogène (1) et hétérogène (2, 3 et 4).<br />

(D’après Lin et al. [12].)<br />

3. La f<strong>la</strong>mme hétérogène pauvre dans le mé<strong>la</strong>nge gazeux (φ f < 1) mais globalement<br />

riche (φ t > 1). En aval du front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme, les gouttelettes brûlent jusqu’à extinction par<br />

épuisement <strong>de</strong> l’oxydant, puis finissent <strong>de</strong> s’évaporer.<br />

4. La f<strong>la</strong>mme hétérogène riche (φ f > 1). En aval du front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme, l’oxydant étant<br />

épuisé, les gouttelettes continuent <strong>de</strong> s’évaporer.<br />

Note :<br />

De façon usuelle, on parle <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mmes <strong>diphasique</strong>s pour désigner les mo<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> où le<br />

carburant est injecté sous forme liqui<strong>de</strong>. En toute rigueur, <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme est présente exclusivement<br />

dans le gaz car <strong>la</strong> réaction chimique <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> a lieu uniquement en phase gazeuse. Dans<br />

tous les cas, y compris pour <strong>la</strong> <strong>combustion</strong> isolée <strong>de</strong> gouttelettes, le carburant s’évapore avant<br />

<strong>de</strong> brûler. Toutefois, même pour les f<strong>la</strong>mmes homogènes, on continuera à parler <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mmes<br />

<strong>diphasique</strong>s par opposition aux écoulements réactifs purement gazeux.<br />

4.3 Description <strong>de</strong> <strong>la</strong> configuration étudiée<br />

4.3.1 Hypothèses<br />

Dans l’optique d’une approche simplifiée <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>combustion</strong> <strong>diphasique</strong>, on restreint l’écoulement<br />

au cadre suivant :<br />

– une seule dimension spatiale (f<strong>la</strong>mme p<strong>la</strong>ne) ;<br />

– régime d’écoulement du gaz <strong>la</strong>minaire ;<br />

– f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong> type homogène pauvre (cf. section 4.2), ce qui implique que :<br />

– <strong>la</strong> richesse totale φ t est inférieure à 1 ;<br />

– le carburant est totalement évaporé avant d’atteindre le front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme ;<br />

44

– f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong> prémé<strong>la</strong>nge : carburant et air sont mé<strong>la</strong>ngés en amont <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme ;<br />

– <strong>la</strong> réaction chimique est décrite par un schéma cinétique à une seule étape irréversible<br />

(cf. section 1.5).<br />

4.3.2 Caractéristiques <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme monophasique<br />

La première étape <strong>de</strong> <strong>la</strong> mise en oeuvre du calcul <strong>diphasique</strong> est l’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong><br />

prémé<strong>la</strong>nge monophasique.<br />

On fait le choix d’un carburant qui est liqui<strong>de</strong> dans les conditions standards : l’éthanol<br />

(C 2 H 5 OH).<br />

La réaction chimique <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> <strong>de</strong> l’éthanol dans l’air est <strong>la</strong> suivante :<br />

C 2 H 5 OH + 3 (O 2 + 3.76 N 2 ) −→ 2 CO 2 + 3 H 2 O + 11.28 N 2 (4.4)<br />

L’écoulement étudié est schématisé sur <strong>la</strong> figure 4.2.<br />

U 1<br />

S L<br />

gaz frais<br />

gaz brules<br />

x<br />

entree<br />

front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme<br />

sortie<br />

Fig. 4.2 – Schéma <strong>de</strong>scriptif <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong> prémé<strong>la</strong>nge.<br />

Dans une f<strong>la</strong>mme <strong>la</strong>minaire <strong>de</strong> prémé<strong>la</strong>nge, <strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong> propagation du front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme (vitesse<br />

<strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>la</strong>minaire) est principalement fonction <strong>de</strong> <strong>la</strong> cinétique <strong>de</strong> réaction et <strong>de</strong>s conditions<br />

<strong>de</strong> température et <strong>de</strong> pression <strong>de</strong>s gaz frais.<br />

C’est une caractéristique majeure <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme, que l’on définit par :<br />

∫ +∞<br />

−∞<br />

s L =<br />

˙ω F dx<br />

ρ 1 (YF 1 − Y F 2) (4.5)<br />

où l’indice 1 correspond aux gaz frais et l’indice 2 aux gaz brûlés.<br />

Le schéma cinétique réduit est donc déterminé <strong>de</strong> façon à reproduire <strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>la</strong>minaire<br />

mesurée expérimentalement.<br />

La procédure d’ajustement du schéma opérée ici est <strong>la</strong> suivante :<br />

1. On dispose <strong>de</strong> données expérimentales (Hayashi et Kumagai [6]).<br />

2. On utilise un outil <strong>de</strong> référence pour le calcul <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mmes p<strong>la</strong>nes <strong>la</strong>minaires prémé<strong>la</strong>ngées :<br />

PREMIX. Il s’agit d’un co<strong>de</strong> <strong>de</strong> calcul développé par SANDIA National Laboratories<br />

résolvant les écoulements gazeux réactifs stationnaires et incompressibles en une dimension<br />

avec <strong>de</strong>s propriétés thermophysiques détaillées.<br />

Les coefficients n F , n O , β, A et E a <strong>de</strong> l’équation (1.32) sont ajustés <strong>de</strong> manière à faire<br />

coïnci<strong>de</strong>r les valeurs <strong>de</strong> s L calculées par PREMIX et les données exprérimentales pour une<br />

gamme <strong>de</strong> richesse al<strong>la</strong>nt <strong>de</strong> 0.6 à 1.1.<br />

45

La figure 4.3 montre le résultat (obtenu par essais successifs) <strong>de</strong> cette procédure.<br />

Fig. 4.3 – Comparaison entre les calculs <strong>de</strong> PREMIX muni d’un schéma cinétique ajusté et les<br />

données expérimentales [6] pour différentes richesses.<br />

Les coefficients du schéma cinétique correspondant à cet ajustement sont présentés dans le<br />

tableau 4.2.<br />

Coefficients n F n O β A (unités cgs) E a (cal.mol −1 )<br />

Valeurs ajustées 1.30 0.55 0.0 2.17.10 12 20000<br />

Tab. 4.2 – Coefficients du schéma cinétique à une étape ajusté avec PREMIX.<br />

Le schéma cinétique étant défini, on réalise un calcul <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme monophasique avec AVBP. Les<br />

résultats du calcul PREMIX sont utilisés comme condition initiale et on impose les conditions<br />

aux limites du tableau 4.3.<br />

U in (m.s −1 ) T g,in (K) φ (-)<br />

Entrée 0.419 300 1.0<br />

P out (P a)<br />

Sortie 101325<br />

Tab. 4.3 – Conditions aux limites du calcul <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme monophasique d’éthanol.<br />

La figure 4.4 montre une très bonne corré<strong>la</strong>tion entre les profils <strong>de</strong> température d’AVBP et<br />

<strong>de</strong> PREMIX. La température <strong>de</strong> fin <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> calculée par PREMIX est prédite avec une<br />

précision <strong>de</strong> 0.7 %. En réalité, les <strong>de</strong>ux logiciels ne prennent pas en compte les effets <strong>de</strong> dissociation<br />

qui font que <strong>la</strong> température adiabatique <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme réellement mesurée pour une richesse<br />

46

<strong>de</strong> 1 et <strong>de</strong>s réactifs initialement dans les conditions standards vaut 2155 K (Borman [2]) au lieu<br />

<strong>de</strong>s 2350 K calculés par AVBP.<br />

Fig. 4.4 – Comparaison <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong> température calculés par PREMIX et AVBP.<br />

On examine ensuite <strong>la</strong> structure <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme à travers un agrandissement en x <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong><br />

fractions massiques 2 <strong>de</strong>s réactifs et <strong>de</strong>s produits (figure 4.5).<br />

Fig. 4.5 – Comparaison <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong> fractions massiques calculés par PREMIX et AVBP.<br />

AVBP fournit bien les résultats attendus pour ce type <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme : les fractions massiques<br />

2 Pour les autres variables, se reporter à l’annexe B.<br />

47

forment <strong>de</strong>s courbes sigmoï<strong>de</strong>s, décroissantes pour les réactifs, croissantes pour les produits. En<br />

aval <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme les fractions massiques <strong>de</strong>s réactifs ten<strong>de</strong>nt toutes <strong>de</strong>ux vers 0 car le mé<strong>la</strong>nge<br />

est stoechiométrique.<br />

Les résultats fournis par les <strong>de</strong>ux co<strong>de</strong>s sont tout à fait comparables.<br />

Les différences que l’on observe sont principalement dues au léger dép<strong>la</strong>cement vers l’amont du<br />

front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme calculés par AVBP. En effet, alors que PREMIX effectue un calcul stationnaire,<br />

AVBP réalise un calcul instationnaire que l’on rend stationnaire si on fixe exactement <strong>la</strong> vitesse<br />

en entrée u in égale à s L .<br />

4.3.3 Caractéristiques <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>diphasique</strong><br />

Le calcul monophasique validé, on s’intéresse à présent à <strong>la</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>diphasique</strong><br />

d’éthanol décrite en 4.3.1.<br />

Les valeurs <strong>de</strong>s conditions aux limites fixées sont groupées dans le tableau 4.4.<br />

U in (m.s −1 ) T g,in (K) φ g φ l T l,in (K) α l,in d in (µm)<br />

Entrée 0.47385 480 0 0.7 315 7.963.10 −5 30<br />

P out (P a)<br />

Sortie 101325<br />

Tab. 4.4 – Conditions aux limites du calcul <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>diphasique</strong> d’éthanol.<br />

Calculer une f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong> prémé<strong>la</strong>nge nécessite une condition initiale “allumée”, c’est-à-dire une<br />

solution où <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme existe déjà dans le domaine <strong>de</strong> calcul. En effet, si on se contentait ici<br />

d’initialiser <strong>la</strong> zone d’évaporation sans f<strong>la</strong>mme, le taux <strong>de</strong> réaction dans le mé<strong>la</strong>nge gazeux<br />

serait tellement faible que le point d’inf<strong>la</strong>mmation serait rejeté à l’infini. Il s’agit du problème<br />

<strong>de</strong> frontière froi<strong>de</strong> décrit par Williams [28]. Pour le résoudre, on initialise <strong>la</strong> zone <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme à<br />

l’ai<strong>de</strong> d’un modèle analytique <strong>de</strong> type Echekki Ferziger pour un gaz multi-espèces à partir <strong>de</strong>s<br />

conditions en aval <strong>de</strong> <strong>la</strong> zone d’évaporation (initialisée analytiquement elle aussi (cf. chapitre 3)).<br />

4.4 Résultats et discussion<br />

Dans cette section, on compare les résultats du calcul AVBP TPF et <strong>la</strong> solution théorique<br />

d’évaporation/<strong>combustion</strong>.<br />

La figure 4.6 présente l’évolution spatiale <strong>de</strong>s variables <strong>de</strong> <strong>la</strong> phase gazeuse.<br />

On note premièrement une bonne corré<strong>la</strong>tion <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux types <strong>de</strong> résolution. Les principales<br />

différences sont causées par <strong>la</strong> surestimation, par <strong>la</strong> solution analytique, <strong>de</strong> <strong>la</strong> température du<br />

gaz dans <strong>la</strong> zone d’évaporation (cf. section 3.3).<br />

Le profil <strong>de</strong> pression illustre l’effet <strong>de</strong> <strong>la</strong> condition caractéristique re<strong>la</strong>xée en sortie qui autorise<br />

un léger écart par rapport à <strong>la</strong> condition purement réfléchissante décrite dans le chapitre 2. De<br />

plus, on constate l’effet non dissipatif du schéma centré : <strong>la</strong> pression est bruitée par les on<strong>de</strong>s<br />

numériques qui se propagent dans le domaine. Toutefois, grâce aux conditions partiellement<br />

réfléchissantes, ce bruit ne représente que 5 millionièmes <strong>de</strong> <strong>la</strong> valeur nominale, ce qui permet<br />

<strong>de</strong> distinguer <strong>la</strong> diminution <strong>de</strong> pression due à l’accélération <strong>de</strong> l’écoulement à travers <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme.<br />

En outre, <strong>la</strong> coïnci<strong>de</strong>nce précise <strong>de</strong>s fronts montre que l’on peut maintenir <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme stationnaire<br />

durant toute <strong>la</strong> durée <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> (ici 54.4 ms soit environ 2.7 fois le temps convectif) alors<br />

48

qu’on ne contrôle pas <strong>la</strong> vitesse du gaz à l’aval immédiat <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme mais à l’entrée <strong>de</strong> <strong>la</strong> zone<br />

d’évaporation.<br />

La figure 4.7 illustre les transferts d’espèces chimiques dus successivement à l’évaporation et à<br />

<strong>la</strong> <strong>combustion</strong>. L’apparition du carburant dans <strong>la</strong> phase gazeuse par évaporation est suivie <strong>de</strong><br />

sa disparition (totale car φ < 1) dans <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme.<br />

On note également que <strong>la</strong> corré<strong>la</strong>tion du calcul AVBP et <strong>de</strong> <strong>la</strong> solution analytique est re<strong>la</strong>tivement<br />

bonne pour tous les profils d’espèces.<br />

Les écarts <strong>de</strong> vitesses dans <strong>la</strong> phase gazeuse se traduisent par une différence sur <strong>la</strong> vitesse liqui<strong>de</strong><br />

u l et sur <strong>la</strong> <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> gouttes n (figure 4.8).<br />

D’autre part, le profil du diamètre <strong>de</strong> gouttes montre que <strong>la</strong> distance d’évaporation a augmenté<br />

d’environ 10 % entre <strong>la</strong> solution analytique et le calcul AVBP. Cette différence a principalement<br />

pour origine l’imprécision <strong>de</strong> <strong>la</strong> solution analytique pour les écoulements plus chargés.<br />

Sur cette figure, on observe également que <strong>la</strong> variation <strong>de</strong> température dans <strong>la</strong> goutte n’est pas<br />

négligeable, contrairement à l’hypothèse <strong>de</strong> <strong>la</strong> solution théorique (cf. section 3.3).<br />

Lorsqu’on observe les termes source d’évaporation (cf. 4.9), on retrouve les écarts dus :<br />

– pour le taux d’évaporation, à <strong>la</strong> variation <strong>de</strong> T l qui modifie <strong>la</strong> pression partielle <strong>de</strong> carburant<br />

à l’interface liqui<strong>de</strong>/gaz (Eq. (1.40)) donc le nombre <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> Spalding ;<br />

– pour le taux <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleur, à <strong>la</strong> variation <strong>de</strong> T l qui modifie Γ g donc Λ g (Eq. 1.43) et<br />

à celle <strong>de</strong> (T g − T l ) qui modifie Φ g (Eq. 1.44).<br />

Fig. 4.6 – Comparaison <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong> variables gazeuses obtenus par AVBP et par le calcul<br />

analytique.<br />

49

Fig. 4.7 – Comparaison <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong> fractions massiques <strong>de</strong>s espéces obtenus par AVBP et par<br />

le calcul analytique.<br />

50

Fig. 4.8 – Comparaison <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong> variables liqui<strong>de</strong>s obtenus par AVBP et par le calcul<br />

analytique.<br />

51

Taux d’évaporation<br />

Taux <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleur<br />

6<br />

0.0e+00<br />

5<br />

Solution analytique<br />

Calcul AVBP<br />

-1.0e+06<br />

4<br />

Γ g<br />

(kg.m -3 .s -1 )<br />

3<br />

Π g<br />

(J.m -3 .s -1 )<br />

-2.0e+06<br />

-3.0e+06<br />

2<br />

1<br />

-4.0e+06<br />

0<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

-5.0e+06<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02<br />

x (m)<br />

Fig. 4.9 – Comparaison <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong> termes sources d’évaporation obtenus par AVBP et par<br />

le calcul analytique.<br />

4.5 Conclusion<br />

Le co<strong>de</strong> AVBP TPF a été validé dans un cas simple <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> <strong>diphasique</strong> : <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme p<strong>la</strong>ne<br />

homogène <strong>la</strong>minaire. La comparaison avec <strong>la</strong> solution analytique a permis <strong>de</strong> vérifier les paramètres<br />

importants <strong>de</strong> ce type d’écoulement : <strong>la</strong> longueur d’évaporation, <strong>la</strong> richesse <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme,<br />

<strong>la</strong> vitesse <strong>de</strong> propagation et <strong>la</strong> température <strong>de</strong> fin <strong>de</strong> <strong>combustion</strong>. Ce type <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme présente<br />

un comportement tout à fait semb<strong>la</strong>ble à celui d’une f<strong>la</strong>mme <strong>de</strong> prémé<strong>la</strong>nge monophasique car<br />

évaporation et <strong>combustion</strong> ne s’y produisent pas simultanément.<br />

Les prochaines étapes consisteront d’une part, à confronter les calculs d’AVBP TPF à ceux <strong>de</strong><br />

PREMIX TPF (cf. section 3.5) ; d’autre part, à abor<strong>de</strong>r le problème <strong>de</strong>s f<strong>la</strong>mmes hétérogènes<br />

dans lequel le front <strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme est positionné à l’intérieur <strong>de</strong> <strong>la</strong> zone d’évaporation.<br />

52

Conclusion et perspectives<br />

Ce stage <strong>de</strong> DEA a permis d’abor<strong>de</strong>r un domaine <strong>de</strong> recherche qui couvre plusieurs thèmes :<br />

les écoulements <strong>de</strong> gaz compressibles, le transfert <strong>de</strong> chaleur et <strong>de</strong> masse entre phases, les<br />

écoulements à phase dispersée et <strong>la</strong> cinétique chimique.<br />

D’une part, l’étu<strong>de</strong> bibliographique a fourni les bases théoriques pour comprendre ces différents<br />

thèmes et <strong>la</strong> façon <strong>de</strong> les traiter dans le cadre d’une <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> numérique en <strong>combustion</strong>.<br />

D’autre part, l’application numérique <strong>de</strong> cette théorie à travers les différentes étapes <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />

validation du co<strong>de</strong> AVBP TPF a constitué une expérience formatrice.<br />

Les principaux résultats <strong>de</strong> cette démarche sont les suivants :<br />

– L’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> l’interaction <strong>de</strong>s on<strong>de</strong>s avec les conditions aux limites <strong>de</strong> l’écoulement <strong>diphasique</strong><br />

a montré que les propriétés <strong>de</strong>s conditions caractéristiques étaient conservées et aucun effet<br />

<strong>de</strong> coup<strong>la</strong>ge inattendu n’a été observé.<br />

– Une adaptation <strong>de</strong> <strong>la</strong> solution analytique <strong>de</strong> l’évaporation monodimensionnelle pour les écoulements<br />

<strong>de</strong> gaz multi-espèces a été réalisée, augmentée d’un programme <strong>de</strong> résolution parabolique<br />

pour <strong>la</strong> prédiction <strong>de</strong> <strong>la</strong> température <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong>. La comparaison <strong>de</strong> <strong>la</strong> solution analytique<br />

et du calcul avec AVBP TPF a permis <strong>de</strong> vali<strong>de</strong>r le co<strong>de</strong> sur le problème d’évaporation dans<br />

un écoulement à une dimension.<br />

– Le calcul <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme monodimensionnelle <strong>la</strong>minaire en <strong>combustion</strong> <strong>diphasique</strong> homogène a<br />

été validé par comparaison avec <strong>la</strong> solution théorique. Il a mis en évi<strong>de</strong>nce que dans ce cas, le<br />

seul coup<strong>la</strong>ge se fait par les valeurs <strong>de</strong>s variables qui relient <strong>la</strong> fin <strong>de</strong> l’évaporation à <strong>la</strong> zone<br />

<strong>de</strong> f<strong>la</strong>mme. Ce calcul a montré également <strong>la</strong> re<strong>la</strong>tive aisance avec <strong>la</strong>quelle on peut mener un<br />

calcul <strong>diphasique</strong> réactif grâce à l’approche eulérienne.<br />

L’étape qui suit logiquement cette étu<strong>de</strong> consiste à confronter les résultats <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme <strong>diphasique</strong><br />

homogène avec les données expérimentales disponibles et le co<strong>de</strong> <strong>de</strong> référence PREMIX<br />

TPF.<br />

Enfin, cette <strong>simu<strong>la</strong>tion</strong> monodimensionnelle d’une f<strong>la</strong>mme homogène doit être vue comme le<br />

prélu<strong>de</strong> à <strong>de</strong>s investigations plus poussées dans le domaine <strong>de</strong>s f<strong>la</strong>mmes hétérogènes. La maîtrise<br />

du calcul numérique <strong>de</strong>s différents mo<strong>de</strong>s <strong>de</strong> combusion permettra alors <strong>de</strong> se tourner vers <strong>de</strong>s<br />

géométries d’écoulement plus complexes telles que les chambres <strong>de</strong> <strong>combustion</strong> aéronautiques et<br />

les brûleurs.<br />

53

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54

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55

ANNEXES<br />

56

Annexe A<br />

Solution analytique du problème<br />

d’évaporation<br />

La métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> résolution analytique du problème d’évaporation monodimensionnel est décrite<br />

<strong>de</strong> façon succinte dans cet annexe 1 .<br />

Les hypothèses supposées dans <strong>la</strong> solution théorique proposée par Lin et al. ([12] et [13]) sont<br />

les suivantes :<br />

– le problème est stationnaire ;<br />

– le nombre <strong>de</strong> Spalding est constant et égal à <strong>la</strong> valeur en entrée (cf. section 1.5.3) ;<br />

– <strong>la</strong> température dans les gouttes est uniforme et constante au cours du temps ;<br />

– les <strong>de</strong>ux phases ont <strong>la</strong> même vitesse u (nombre <strong>de</strong> Stokes infiniment petit) ;<br />

– <strong>la</strong> pression est constante ;<br />

– le produit ρ g D F −air , <strong>la</strong> conductivité thermique du gaz λ g et <strong>la</strong> chaleur massique à pression<br />

constante C pg sont constants.<br />

Sous ces hypothèses, les équations (1.17), (1.18) et (1.22) se réduisent à :<br />

On définit <strong>la</strong> masse volumique du mé<strong>la</strong>nge par :<br />

d<br />

dx (ρ gu) = Γ g (A.1)<br />

d<br />

dx (ρ d 2<br />

guY F ) − ρ g D F −air<br />

dx 2 (Y F ) = Γ g (A.2)<br />

d<br />

dx (ρ d 2<br />

guC pg T g ) − λ g<br />

dx 2 (T g) = h l (T l )Γ g (A.3)<br />

(A.4)<br />

ρ m = ρ = α g ρ g + α l ρ l<br />

(A.5)<br />

D’après l’équation <strong>de</strong> conservation <strong>de</strong> <strong>la</strong> masse du mé<strong>la</strong>nge, on a :<br />

ρu = F = constante = ρ in u in<br />

(A.6)<br />

On effectue ensuite le changement <strong>de</strong> variable Z = ρg<br />

ρ<br />

1 Pour une <strong>de</strong>scription en détail, voir le rapport <strong>de</strong> stage <strong>de</strong> C. Saulnier [18].<br />

qui mène aux équations suivantes :<br />

57

d<br />

dx (ZY F ) − ρ gD F −air<br />

F<br />

d<br />

dx (ZT g) −<br />

d 2<br />

Z dZ<br />

dx = A 1 T g<br />

(1 − Z in ) 2/3 (1 − Z) 1/3 (A.7)<br />

dx 2 (Y F ) = dZ<br />

dx<br />

d 2 T g<br />

dx 2 = h l(T l )<br />

λ g<br />

C pg F<br />

C pg<br />

dZ<br />

dx<br />

avec A = 3Shρ gλ g ln (1 + B) pW<br />

2ρ l Rr 2 inF<br />

Posons β = 1−Z<br />

1−Z in<br />

. Les équations (A.7) à (A.9) s’écrivent alors :<br />

(A.8)<br />

(A.9)<br />

(A.10)<br />

− dβ<br />

dx + (1 − Z in) β dβ<br />

dx = A T g<br />

β 1/3 (A.11)<br />

dY F<br />

dx − (1 − Z in) d<br />

dx (βY F ) − [ρD] g d 2 Y F<br />

F dx 2 = − (1 − Z in ) dβ<br />

dx<br />

dT g<br />

dx − (1 − Z in) d<br />

dx (βT g) −<br />

λ g d 2 T g<br />

C pg F dx 2 = − h l(T l )<br />

(1 − Z in ) dβ<br />

C pg dx<br />

(A.12)<br />

(A.13)<br />

avec les conditions aux limites suivantes :<br />

⎧<br />

⎨ β (x = 0) = 1 ; β (x = x ev ) = 0<br />

d<br />

Y<br />

⎩ F (x = 0) = Y F,in ;<br />

dx (Y F ) (x = x ev ) = 0<br />

d<br />

T g (x = 0) = T g,in ;<br />

dx (T g) (x = x ev ) = 0<br />

(A.14)<br />

La résolution à l’ordre 0 <strong>de</strong> l’équation (A.11) (cf. Saulnier [18]) donne une approximation <strong>de</strong> Z :<br />

(<br />

Z(x) = 1 − (1 − Z in ) − 2A ) 3/2<br />

x + 1<br />

(A.15)<br />

3T g,in<br />

Les équations (A.12) et (A.13) avec les conditions aux limites (A.14) sont alors résolues numériquement<br />

<strong>de</strong> façon itérative 2 .<br />

2 La résolution purement analytique <strong>de</strong> ces équations est possible à l’ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> développements asymptotiques<br />

mais elle fournit <strong>de</strong>s résultats moins précis.<br />

58

Annexe B<br />

Profils <strong>de</strong>s Variables <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme<br />

monophasique prémé<strong>la</strong>ngée<br />

d’éthanol<br />

59

2<br />

Masse volumique (kg.m -3 )<br />

4<br />

Vitesse (m.s -1 )<br />

1.5<br />

3<br />

1<br />

2<br />

0.5<br />

1<br />

101350<br />

0<br />

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01<br />

x (m)<br />

Pression (Pa)<br />

3000<br />

0<br />

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01<br />

x (m)<br />

Temperature (K)<br />

101345<br />

101340<br />

101335<br />

101330<br />

101325<br />

2500<br />

2000<br />

1500<br />

1000<br />

500<br />

101320<br />

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01<br />

x (m)<br />

5e+09<br />

Degagement <strong>de</strong> chaleur (J.m -3 .s -1 )<br />

4000<br />

0<br />

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01<br />

x (m)<br />

Taux <strong>de</strong> reaction (mol.m -3 .s -1 )<br />

4e+09<br />

3e+09<br />

2e+09<br />

1e+09<br />

3000<br />

2000<br />

1000<br />

0<br />

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01<br />

x (m)<br />

0<br />

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01<br />

x (m)<br />

Fig. B.1 – Comparaison <strong>de</strong>s profils spatiaux <strong>de</strong>s variables <strong>de</strong> <strong>la</strong> f<strong>la</strong>mme prémé<strong>la</strong>ngée d’éthanol<br />

obtenus par PREMIX et AVBP (Schéma Lax-Wendroff).<br />

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