La conjecture de Novikov pour les feuilletages hyperboliques

K-Theory 16: 129–184, 1999.
c○ 1999 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.
129
La conjecture de Novikov pour les feuilletages
hyperboliques
(The Novikov Conjecture for Hyperbolic Foliations)
JEAN LOUIS TU
Institut de Mathématiques, Université Pierre et Marie Curie, 4, place Jussieu, F-75252 Paris
Cedex 05, France. e-mail: tu@math.jussieu.fr
(Received: March 1997)
Résumé. Nous définissons la notion de ‘bolicité’ pour les feuilletages, qui est une notion plus faible
que l’hyperbolicité de Gromov, et nous démontrons la conjecture de Novikov pour les feuilletages
boliques à base compacte dont le groupoïde d’holonomie est séparé enétablissant l’injectivité de
l’application de Baum–Connes. Ce résultat généralise celui de Kasparov et Skandalis obtenu dans
le cas des groupes ‘boliques’.
Abstract. We define the notion of ‘bolicity’ for foliations, which is a weaker notion than Gromov’s
hyperbolicity, and we prove the Novikov conjecture for foliations with compact base and whose
holonomy groupoid is Hausdorff, by showing that the Baum–Connes map is injective. This result
generalizes that of Kasparov and Skandalis in the case of ‘bolic’ groups.
Mathematics Subject Classifications (1991): 19K35, 46L80, 20L99, 46L87.
Key words: C ∗ -algebra, equivariant KK-theory, groupoid, foliation, Baum–Connes conjecture,
Novikov conjecture.
Introduction
Le présent texte établit la conjecture de Novikov pour une certaine classe de feuilletages.
Commençons tout d’abord par rappeler l’énoncé de la conjecture de Novikov
usuelle. Soit M une variété orientée connexe compacte. On sait que
σ(M) =〈L(M), [M]〉 ∈,
où L(M) ∈ H ∗ (M, ) est la classe caractéristique de Pontrjagin–Hirzebruch (elle
correspond àlasérie formelle √ x/th √ x), et σ(M)est la signature de M.
On sait que σ(M)est un invariant d’homotopie de M, puisque c’est la signature
d’une forme quadratique sur un groupe de cohomologie de M. En revanche, L(M)
n’est pas un invariant d’homotopie.
Soit le groupe fondamental de M, x un élément de H ∗ (B, ), f : M → B
l’application classifiante correspondant au revêtement universel de M. On appelle
haute signature tout élément de la forme
σ x (M): =〈L(M) ∪ f ∗ (x), [M]〉 ∈.

130 JEAN-LOUIS TU
La conjecture de Novikov dit que les hautes signatures sont invariantes par homotopie.
Il est bien sûr équivalent de dire que la quantité
f ∗ (L(M) ∩ [M]) ∈ H ∗ (B, )
est un invariant d’homotopie.
Il existe un énoncé plus général de cette conjecture, appelé la conjecture de
Novikov forte, et qui offre l’avantage de pouvoir être abordé par les méthodes de la
K-théorie telles que la KK-théorie équivariante et l’homologie cyclique: on dit que
le groupe vérifie cette conjecture si l’application β : RK ∗ (B) → K ∗ (C ∗ ())
est rationnellement injective (cf. [17]). Ici, RK désigne la K-théorie représentable,
i.e., la limite inductive des K ∗ (Y ) pour Y ⊂ B et Y compact. Alors si le groupe
vérifie la conjecture de Novikov forte, les variétés dont le groupe fondamental est
vérifient la conjecture de Novikov usuelle.
On a des conjectures similaires pour les feuilletages, M étant cette fois une variété
feuilletée orientée compacte: on dit que f t : M → M ′ est une homotopie de feuilletages
si c’est une homotopie au sens ordinaire telle que pour tout t et tous x,y ∈ M
vérifiant x ∼ y,onaf t (x) ∼ f t (y). Soit le groupoïde fondamental du feuilletage,
B son classifiant, λ: M → B l’application classifiante du -fibré principal
au-dessus de M. La conjecture dit que la quantité λ ∗ (L(T M) ∩ [M]) ∈ H ∗ (B; )
est invariante par homotopie.
Un cadre théorique commode qui englobe le cas des groupes et des feuilletages
est celui des groupoïdes. Le lien entre la conjecture de Novikov et la conjecture de
Baum–Connes est le suivant: pour tout groupoïdes localement compact avec système
de Haar [23], on définit une application µ: K∗
top (G) → K ∗ (Cr ∗ (G)). La conjecture
de Baum–Connes dit que µ est un isomorphisme. Comme µ se factorise à travers
K ∗ (C ∗ (G)), disons par une application µ ′ : K∗
top (G) → K ∗ (C ∗ (G)), et comme
l’application β admet la factorisation
RK ∗ (BG) ↩→ K∗ top µ′
(G) → K ∗ (C ∗ (G)),
l’injectivité rationnelle de µ ou de µ ′ entraîne la conjecture de Novikov.
La conjecture de Novikov forte a déjà été démontrée dans un certain nombre de cas
particuliers, notamment dans le cas hyperbolique. En effet, on sait que µ est injective
dans le cas des feuilletages dont les feuilles sont à courbure sectionnelle 0 [2]. La
preuve repose sur la construction d’un élément de KK(C ∗ (), C(M)) appelé ‘Dual
Dirac’, qui utilise la courbure négative, reprenant une idée de Mishchenko.
En fait, il apparaît que la construction Dual Dirac–Dirac s’énonce sous une forme
très générale, de la manière suivante:
THÉORÈME 0.1. Soit G un groupoïde localement compact (σ -compact séparable
et séparé) muni d’un système de Haar, X = G (0) , Z le classifiant des actions propres
de G, p : Z → X l’application source correspondant à l’action de G sur Z. Supposons
qu’il existe une Zo G-algèbre A et des éléments γ ∈ KK G (C(X), C(X)),
η ∈ KK G (C(X), A), d ∈ KK G (A, C(X)) vérifiant p ∗ γ = 1 ∈ KK Z⋊G (C(Z),

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 131
C(Z)) et γ = η ⊗ A d, alors l’application de Baum–Connes µ est injective. Si de
plus γ = 1, alors µ est un isomorphisme.
G. Kasparov obtient une telle construction pour tous les groupes de Lie possédant
un nombre fini de composantes connexes [17]. Il obtient aussi γ = 1 pour les groupes
discrets sans torsion dont le classifiant est une variété à courbure sectionnelle 0.
P. Julg et A. Valette obtiennent γ = 1 dans le cas où le classifiant Z du groupe G
est un arbre, retrouvant ainsi la K-moyennabilité du groupe libre n .
L’étape suivante fut d’expliciter une telle construction pour les groupes discrets
sans torsion agissant proprement sur un immeuble localement compact euclidien
[18].
Plus récemment, G. Kasparov et G. Skandalis ont défini [19] une propriétémétrique
plus faible que l’hyperbolicité de Gromov, appelée ‘bolicité’, et ont prouvé l’injectivité
de µ pour les groupes discrets agissant proprement par isométries sur un espace
métrique bolique, faiblement δ-géodésique, uniformément localement fini, obtenant
une nouvelle preuve de la conjecture de Novikov dans le cas des groupes hyperboliques
([9–11]).
Le texte présent consiste à étudier les feuilletages boliques. Soit (V , F ) une variété
feuilletée compacte munie d’une métrique riemannienne longitudinale. Le groupoïde
d’holonomie de V est supposéséparé. Le fait de prendre une transversale permet de
se ramener à un groupoïde équivalent G qui est étale (donc longitudinalement discret,
d’où l’analogie avec les groupes discrets).
Dans la premiere section, nous définissons la notion de bolicité pour les feuilletages
et en dégageons quelques propriétés.
Puis, nous construisons un élément de K-théorie équivariante γ ∈ KK G (C(X),
C(X)). La construction est essentiellement la même que dans [19], mais un certain
nombre de difficultés techniques supplémentaires sont apparues pour rendre
l’opérateur F continu.
Par contre, la construction des éléments Dirac et Dual Dirac se déduisent facilement
de celle de [19]. Néanmoins, nous la rappelons pour la convenance du lecteur.
Enfin, nous montrons comment l’injectivitédeµs’obtient très simplement à partir
des constructions précédentes, sans avoir besoin de passer par la forme duale de la
conjecture de Novikov telle qu’elle est présentée dans [19]. Le résultat est le suivant
(dans tout ce qui suit, un sous-espace Y sera dit G-compact si Y est G invariant et
Y/G est compact):
THÉORÈME 0.2. Soit G un groupoïde localement compact (σ -compact séparable
et séparé) muni d’un système de Haar, X = G (0) , Z le classifiant des actions propres
de G. Supposons que pour toute partie G-compacte Y ⊂ Z il existe un G-compact
Y ′ de Z, une Y ′ o G-algèbre A Y et des éléments η Y ∈ KK G (C(X), A Y ), D Y ∈
KK G (A Y , C(X)), γ Y ∈ KK G (C(X), C(X)) tels que γ Y = η Y ⊗ AY D Y et p ∗ Y (γ Y ) =
1 ∈ KK Y⋊G (C(Y ), C(Y )), oùp Y :Y →Xest l’application source correspondant
à l’action de G sur Y .
Alors µ est injective.

132 JEAN-LOUIS TU
Le résultat principal de ce texte sera alors un corollaire de ce théorème et de la
construction dual Dirac–Dirac que nous expliciterons:
THÉORÈME 0.3. Tout feuilletage bolique (à base compacte et dont le groupoïdes
d’holonomie est séparé) vérifie la conjecture de Novikov.
notations et conventions
Dans tout ce qui suit, ‘localement compact’ signifiera localement compact séparé. Les
espaces topologiques, les espaces hilbertiens seront, sauf mention du contraire, supposés
séparables. Si X est localement compact, on note C(X) l’espace des fonctions
continues sur X tendant vers 0 à l’infini, et C c (X) l’espace des fonctions continues
à support compact sur X.
Nous adopterons les définitions relatives aux groupoïdess de [23], et celles àla
KK-théorie équivariante de [20].
Si f : X → Y est une application entre deux variétés, nous dirons qu’elle est
étale si elle est un difféomorphisme local. Si X et Y sont des espaces topologiques,
nous emploierons la même terminologie si f est un homéomorphisme local .
Soit G un groupoïdes localement compact. On dira qu’il est étale si les applications
source (et but) de G dans G (0) sont étales. Il revient au même (dans le cadre non
différentiable) que G est r-discret et muni d’un système de Haar.
1. Feuilletages boliques
Dans ce chapitre, nous énonçons une définition d’un feuilletage ‘bolique’ qui
permette de généraliser la démonstration de [19] (qui concerne les groupes
discrets boliques). Comme l’énoncé de la conjecture de Novikov concerne en fait le
groupoïdes d’holonomie du feuilletage (V , F ), on est amené à considérer la famille
des revêtements d’holonomie en chaque point ( ˜F x ) x∈V .
Dans la première section, nous commençons par quelques généralités sur les
familles d’espaces métriques.
Dans la deuxième, nous examinons quelques propriétés des feuilletages (V , F )
dont la base V est compacte et dont le groupoïdes d’holonomie est séparé.
Enfin, dans la troisième section, nous examinons le cas des feuilletages boliques.
1.1. familles d’espaces métriques
DÉFINITION 1.1. On appelle famille continue d’espaces métriques la donnée de
deux espaces topologiques Z et X, d’une application continue s : Z → X, d’une
fonction d : {(z, z ′ )| s(z) = s(z ′ )}→continue telle que pour tout x ∈ X, siZ x
désigne s −1 (x), la restriction de d à Z x ×Z x soit une distance et définisse la topologie
de Z x .
Pour plus de commodité, on notera Z = (Z x ) x∈X pour désigner une famille
continue d’espaces métriques.

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 133
EXEMPLE 1.2. Si pour tout entier n, t ↦→ z n (t) est une application continue de
X = dans 2 et ρ n (t) une application continue de dans [0, 1], la famille (Z t ) t∈ ,
où Z t ={z n (t)| n ∈ et ρ n (t) > 0} est une famille continue d’espaces métriques
(la distance étant obtenue en restreignant celle de 2 ).
Introduisons un peu de terminologie sur les familles d’espaces métriques:
DÉFINITION 1.3. Soit Z = (Z x ) x∈X une famille continue d’espaces métriques. On
dit qu’elle est uniformément discrète s’il existe β>0 tel que pour tout x ∈ X et
tous z, z ′ ∈ Z x distincts, on ait d(z,z ′ )>β.
Cela implique bien sûr que chaque espace Z x est discret.
DÉFINITION 1.4. Soient Z = (Z x ) x∈X et Z ′ = (Z ′ x ) x∈X des familles continues
d’espaces métriques. On dit que Z est une sous-famille continue de Z ′ si Z ⊂ Z ′ et
si la topologie de Z et la famille de distances associées à Z sont induites par celles
de Z ′ .
Pour plus de commodité, on notera parfois simplement Z ⊂ Z ′ pour signifier que
Z est une sous-famille continue de Z ′ . On a bien sûr une définition analogue pour
les sur-familles.
DÉFINITION 1.5. Supposons que Z = (Z x ) x∈X est une sous-famille continue de
Z ′ = (Z ′ x ) x∈X. On dit que Z dite uniformément localement finie relativement à Z ′
si pour tout R>0, il existe n ∈ tel que pour tout z ∈ Z, il y ait un voisinage
ouvert U de x = s(z) et des sections locales continues e, e i : U → Z ′ (1 i n)
vérifiant
(i) pour tout y ∈ U, B(e(y), R) ⊂{e i (y)| e i (y) ∈ Z};
(ii) e(x) = z.
Dans le cas où X est réduit à un point, on voit que Z est uniformément localement
finie relativement à Z ′ si et seulement si pour tout R>0 le cardinal des boules de
Z de rayon R est borné (donc la notion est intrinsèque à Z). Par contre, dans le cas
des familles continues, il n’est pas vrai que, si Z est uniformément localement finie
relativement à Z ′ , Z le soit relativement à elle-même.
Remarquons également que, dans les conditions de la définition qui précède,
Z → X est nécessairement étale.
Par la suite, on sera amené à considérer des actions d’un groupoïdes sur un espace,
d’oùladéfinition suivante:
DÉFINITION 1.6. Soit G un groupoïdes localement compact de base G (0) = X,
et Z = (Z x ) x∈X une famille continue d’espaces métriques. On dit que G agit par
isométries sur Z si G agit continûment (à droite) sur l’espace Z relativement à
l’application s : Z → X, et si pour tout g ∈ G, l’application g : Z r(g) → Z s(g) est
une isométrie.

134 JEAN-LOUIS TU
Toutes les définitions (concernant les sous-familles, l’uniforme locale finitude,
etc.) qui précèdent peuvent alors se reformuler dans un cadre équivariant par rapport
au groupoïdes G.
1.2. métriques longitudinales
Soit (V, F ) un feuilletage C ∞ dont le groupoïdes d’holonomie Ɣ est séparé. On
suppose (V, F ) munie d’une métrique riemannienne longitudinale, c’est-à-dire que
le fibré F est riemannien: pour tout x ∈ V , F x ⊂ T x V est muni d’un produit
scalaire α F,x , variant de façon C ∞ avec x. Chaque feuille, ainsi que son revêtement
d’holonomie, est ainsi muni d’une distance.
Dans tout ce qui suit, on suppose V compacte. On peut munir V d’une métrique
riemannienne α dont la restriction sur F est α F .
LEMME 1.7. Toute feuille est complète.
Démonstration. Comme V est compacte, elle est complète. De plus, pour tout
couple (x, y) d’éléments appartenant à une même feuille, on a d V (x, y) d F (x, y).
Soit (x n ) une suite de Cauchy dont tous les éléments appartiennent à une même feuille
F . D’après de qui précède, (x n ) est une suite de Cauchy dans la variété Riemannienne
V , donc elle converge vers un élément x ∈ V pour la métrique de V . Considérons
une trivialisation locale du feuilletage sur un voisinage U de x, telle que les plaques
soient m ×{t}⊂ m × p ,etquexs’identifie au point (0, 0). Identifions x n au point
(y n ,t n ). Par définition, y n converge vers 0 et t n converge vers 0. Soit ɛ>0 tel que
B V (x, ɛ) ⊂ U, oùB V (x, ɛ) désigne la boule ouverte de centre x et de rayon ɛ pour
la métrique de V . Il existe n 0 tel que pour tous n, n ′ n 0 ,onaitd V (x, x n )

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 135
l(g) = d x (e x ,g), où e x est l’élément neutre de Ɣx x . Il est clair que l(g) = 0siet
seulement si g = e x . On pose alors, pour tout couple (g, h) ∈ Ɣ 2 tel que s(g) = s(h),
d(g,h) = l(gh −1 ). Pour tout x ∈ V , Ɣ x est ainsi muni d’une distance, et si γ ∈ Ɣx y ,
alors la multiplication à droite par γ induit une isométrie de Ɣ y sur Ɣ x .
PROPOSITION 1.8. L’application l : Ɣ → + est continue et propre.
Démonstration. Montrons qu’elle est continue. Supposons γ n → γ . Soient x =
s(γ) et y = r(γ). ˜F x étant complète, il existe un chemin γ ′ (t) = exp ˜F
x tX dont la
classe d’holonomie est γ , et tel que ‖X‖ =l(γ). Soit X n ∈ F s(γn ) tel que X n → X
et γ n ′(t) = exp ˜F (tX n ). Alors γ n ′ tend vers γ ′ = γ dans Ɣ. Comme γ n tend aussi vers
γ , on voit en prenant des cartes qu’il existe γ n ′′
′′
tel que γ n · γ n ′ = γ n dans Ɣ, avec
) → 0. D’où
l(γ ′′
n
limsup l(γ n ) limsup l(γ ′ n ) lim ‖X n‖=‖X‖=l(γ).
l est donc semi-continue supérieurement.
Réciproquement, soit X ′ n tel que γ ′ n (t) = exp ˜F
s(γn ) (tX′ n ) repr’esente γ n,avec
‖X ′ n ‖=l(γ ′ n ). On sait que ‖X n‖ est bornée. Pour toute sous-suite X nk convergeant
vers une limite X ′ , γ ′ n k
tend vers exp ˜F tX donc l(γ) ‖X‖ =lim ‖X nk ‖. Il s’ensuit
que l est semi-continue inférieurement.
Montrons que l est propre. Il suffit de prouver que B R ={g∈Ɣ|l(g) R} est
compact pour tout R 0.
Soit r>0 tel que toute boule B V (x, r) soit incluse dans l’un des U i .Sig n ∈B r/2 ,
on peut extraire une sous-suite (g nk ) telle que s(g nk ) et r(g nk ) convergent. Soient x
et y les limites respectives, et i tel que B V (x, r) ⊂ U i . Alors pour k assez grand, g nk
est représenté par un chemin dans U i , donc g nk converge. Par conséquent, B r/2 est
compact.
Comme ∀n ∈ ∗ ∀R < nr/2 B R ⊂ (B r/2 ) n , B R est compact pour tout
R 0.
COROLLAIRE 1.9. d : {(g, h) ∈ G × G| s(g) = s(h)} →est continue.
La proposition suivante montre que G est uniformément discret:
PROPOSITION 1.10. Il existe β>0tel que pour tout x ∈ X et tous g, g ′ ∈ G x
distincts, on ait d(g,g ′ )>β.
Démonstration. Soit β ′ minorant la distance entre deux transversales distinctes
T i , T j (ce qui est possible par compacité), et tel que pour tout i et x ∈ T i , la boule
de rayon β ′ et de centre x sur la feuille passant par x soit incluse dans U i . Alors tout
chemin de longueur

136 JEAN-LOUIS TU
Démonstration. En effet, x est dans l’un des U
i ′′ , et on peut le relier àunélément
de T
i
′′ par un chemin tracé sur une même feuille dont la longueur n’excède pas une
constante ρ (cela résulte de la relative compacité des U
i ′′ et du fait qu’ilyaunnombre
fini de cartes).
Montrons que G est uniformément localement fini (relativement à G ′ ): Pour tout
g ∈ G et tout R 0 on note B(g, R) la boule fermée de centre g et de rayon R
dans l’espace métrique G s(g) .
PROPOSITION 1.12. Soit R>0. Alors il existe n ∈ tel que, pour tout x ∈ X
et tout g ∈ G x , il y ait un voisinage ouvert U de x et des sections locales continues
e, e i : U → G ′ de s : G ′ → X ′ (1 i n) vérifiant, pour tout y ∈ U:
B(e(y),R) ⊂{e i (y)| e i (y) ∈ G},
où e(x) = g.
Démonstration. Soit A ={γ ∈Ḡ|l(γ) R}. Alors A est compact d’après le
lemme 1.8. Pour tout γ ∈ A, il existe des voisinages ouverts U γ , U ′ γ de γ dans G′ tels
que s : U ′ γ → X′ soit injective et Ū γ ⊂ U ′ γ . Soit J ⊂ A fini tel que A ⊂∪ γ∈JU γ ,et
nle cardinal de J . Notons z = r(g). Alors, soit z ∈ s(U ′ γ ), soit z/∈s(U γ). Soit V
un voisinage de z dans X ′ tel que pour tout γ ∈ J ,
− si z ∈ s(U ′ γ ), V ⊂ s(U′ γ );
− si z/∈s(U γ ), V ∩ s(U γ ) =∅.
On a alors des sections locales e
i ′ : V → G′ (1 i n), telles que pour tous
z ∈ V et h ∈ G z , l(h) R implique (∃i) h = e
i ′ (z). En prenant U assez petit pour
que r(e(y)) ∈ V ∀y ∈ U, on pose e i (y) = e
i ′(r(e(y))).
1.3. feuilletages boliques
1.3.1. Familles d’espaces boliques
Rappelons quelques définitions de [19]. Soit δ 0unréel. Un espace métrique
(X, d) est dit faiblement δ-géodésique si pour tout couple (x, y) de points de X et
tout t ∈ [0,d(x,y)] il existe un point a ∈ X tel que d(a,x) t + δ et d(a,y)
d(x,y) − t + δ.
On dit que l’espace métrique (X, d) est δ-bolique s’il existe une application
R : + ∗ → ∗ + telle que
(B1) ∀r >0, ∀x,y,z,t ∈ X vérifiant d(x,y)+d(z,t) r et d(x,z)+d(y,t)
R(r) on a d(x,t) + d(y,z) d(x,z) + d(y,t) + 2δ,
(B2) Il existe une application m: X × X → X telle que pour tous x,y,z ∈ X on a
2d(m(x, y), z) (2d(x,z) 2 + 2d(y,z) 2 − d(x,y) 2 ) 1/2 + 2δ.

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 137
Rappelons que les espaces hyperboliques au sens de Gromov ([14, 15]) et les
immeubles euclidiens sont boliques.
Passons maintenant aux familles d’espaces métriques:
DÉFINITION 1.13. Soit δ 0unréel, et (Z x ) x∈X une famille d’espaces métriques.
On dira qu’elle est δ-bolique si Z x est δ-bolique pour tout x, avec une fonction R
indépendante de x. Demême elle est dite faiblement δ-géodésique si Z x l’est pour
tout x ∈ X.
Tout au long de notre étude, nous aurons à considérer la situation suivante:
DÉFINITION 1.14. Soit G un groupoïdes localement compact avec système de
Haar, et X = G (0) . On dit que G vérifie la propriété (B) s’il existe des familles
G-équivariantes d’espaces métriques Z = (Z x ) x∈X , Z ′ = (Z x ′ ) x∈X, Z ′′ = (Z x ′′)
x∈X,
où Z ′′ ⊂ Z ⊂ Z ′ ,vérifiant:
(i) les actions sont propres et isométriques;
(ii) il existe une section continue globale x ↦→ e(x) de s : Z → X;
(iii) Z est δ-bolique, faiblement δ-géodésique (pour une constante δ > 0), uniformément
discret;
(iv) Z ′′ est fermé dans Z ′ , Z est ouvert dans Z ′ ;
(v) Z est uniformément localement fini relativement à Z ′ ;
(vi) il existe ρ>0 tel que pour tout x ∈ X et z ∈ Z x , il existe z ′′ ∈ Z x ′′ vérifiant
d x (z, z ′′ ) ρ;
Notons que si G est un groupe localement compact agissant proprement par
isométries sur un espace δ-bolique, faiblement δ-géodésique, uniformément discret,
uniformément localement fini, alors il vérifie la propriété (B) (en prenant Z = Z ′ =
Z ′′ ). La seule hypothèse supplémentaire par rapport à [19] est celle qui dit que Z est
uniformément discret. Elle n’est sans doute pas nécessaire à notre construction, mais
elle permet d’alléger certaines démonstrations, et de toute façon elle est vérifiée dans
le cas des feuilletages comme nous allons le voir.
1.3.2. Feuilletages boliques
DÉFINITION 1.15. Soit (V, F ) un feuilletage à base V compacte, dont le groupoïdes
d’holonomie est séparé, et qui est muni d’une métrique riemannienne longitudinale.
On dit qu’elle est δ-bolique si la famille des revêtements d’holonomie des feuilles
est δ-bolique.
Il suffit bien sûr que toute feuille ait une courbure sectionnelle 0 et que
le revêtement d’homotopie soit égal au revêtement d’holonomie (cette dernière
hypothèse assure la simple connexité des Ɣ x ).
On peut alors rassembler les résultats de la section précédente:
PROPOSITION 1.16. Soit (V, F ) un feuilletage bolique (à base V compacte, dont
le groupoïdes d’holonomie est séparé), U i , U
i ′ des recouvrements finis de V par des

138 JEAN-LOUIS TU
cartes trivialisantes, munies de transversales T i , T
i ′,
avec T i ′ disjoints, Ū i ⊂ U
i ′ et
T i ⊂ T
i ′.
Soit G la restriction du groupoïdes d’holonomie de (V , F ) à X = ∐ T i .
Alors G vérifie la propriété (B) de la Définition 1.14.
Démonstration. Avec les notations de la section précédente, il suffit en effet de
poser Z x = G x , Z x ′ ={g∈Ɣ x|r(g) ∈ ∐ T
i ′ }, Z′′ x ={g∈Ɣ x|r(g) ∈ ∐ T
i ′′}.Le
fait que Z est faiblement δ-géodésique et δ-bolique (quitte à augmenter δ)résulte de
ce que G x ⊂ ˜F x ,où ˜F x est le revêtement d’holonomie de la feuille passant par x:en
effet, ˜F x est une variété complète, donc géodésique, et δ-bolique par hypothèse; de
plus, tout point de ˜F x est à distance ρ d’un point de G x (cf. démonstration de la
Proposition 1.11).
Remarque 1.17. Notons que, avec les notations de la proposition précédente, G
est équivalent au groupoïdes d’holonomie Ɣ de (V , F ), donc les applications de
Baum–Connes relatives à G et à Ɣ s’identifient.
2. L’élément γ
Soit G un groupoïdes (localement compact avec système de Haar) vérifiant la propriété
(B) de la Définition 1.14. Ce chapitre est consacré à la construction de l’élément
γ ∈ KK G (C(X), C(X)),oùX=G (0) . La construction de γ reprend l’idée de [19].
γ est représenté par un C(X)-module hilbertien G-équivariant, qui est en fait un
champ continu d’espaces hilbertiens H x ⊂ (l 2 (G x )), sur lequel agit un champ
continu d’opérateurs F x ∈ L(H x ).
Dans la première section, nous rappelons la construction de [19] dans le cas où
X est un point, et nous remarquons que l’utilisation brute des formules de [19] pour
construire F x ne convient pas car on n’obtient pas un champ continu d’opérateurs.
Dans la deuxième section, nous établissons quelques résultats techniques sur les
espaces boliques, en suivant la démonstration de [19].
La troisième section est consacrée à la construction de l’élément γ ∈ KK(,)
pour un espace bolique uniformément localement fini uniformément discret faiblement
δ-géodésique, mais avec des formules qui permettront une généralisation aisée
à notre problème.
Enfin, la quatrième section, purement formelle, montre comment s’effectue cette
généralisation à une famille d’espaces boliques, aboutissant ainsi àunélément γ ∈
KK G (C(X), C(X)).
2.1. la construction de [19]
2.1.1. Quelques rappels de [19]
Soit X un espace δ-bolique faiblement δ-géodésique uniformément localement fini.
Pour N ∈ + assez grand on désigne par l’ensemble des parties non vides de X
de diamètre N, et pour S ∈ , U S ={x∈X|S∪{x}∈}. On pose alors
pour tout y ∈ X, A S,y ={a∈U S |d(y,a) = d(y,U S )} et pour x ∈ X, r 0,
Y S,x,r =∪ y∈B(x,r) A S,y .

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 139
Désignons par (e x ) x∈X la base canonique de l 2 (X). Soit H le sous-espace hilbertien
engendré par les e x1 ∧···∧e xn ,où{x 1 ,... ,x n }∈.
Fixons x ∈ X. L’opérateur F x ∈ L(H ) utilisé par [19] pour construire l’élément
γ ∈ KK(,) est de la forme F x (e x1 ∧···∧e xn ) = Pc(φ S,x )(e x1 ∧···∧e xn ),
oùP est la projection de (l 2 (X)) sur H , c(ξ) la multiplication de Clifford par ξ,
S ={x 1 ,... ,x n }et φ S,x ∈ l 2 (X) est un vecteur construit à partir des Y S,x,r (r 0).
La classe γ de (H, F x ) dans KK(,) ne dépend pas du point x choisi, F x et F y
étant égaux modulo les compacts si x ≠ y.
2.1.2. Commentaires
Il apparaît que si on fait varier continûment l’espace X (en un sens àpréciser), les
Y S,x,r , et donc les F x , ne varient pas continûment.
Ainsi, si X t = , avect>0, et d t (a, b) = t|b − a|, on voit qu’un point peut
entrer brusquement dans la région U S ,créant ainsi une discontinuité.
Dans le cas des feuilletages, une image intuitive commode, mais un peu incorrecte,
est celle d’une famille d’espaces X t ={x n (t)| ρ n (t) > 0} ⊂ 2 ,x n :→ 2
continue, ρ n : → [0, 1] est une masse dont on affecte le point x n (donc les X t
forment un ensemble de points en mouvement, seuls comptant les points de masse
> 0).
On s’aperçoit, en plus de la difficulté mentionnée, qu’un point de U S acquérant
une masse > 0crée une discontinuité. D’autre part, dans la formule Y S,x,r =
∪ y∈B(x,r) A S,y , on voit qu’en faisant varier légèrement le paramètre, un point y peut
passer d’une masse nulle à une masse non nulle, ce qui ajoute l’ensemble A S,y à
Y S,x,r ,créant ainsi une discontinuité.
Nous nous voyons donc obligés de reprendre la construction, mais en introduisant
des paramètres supplémentaires α, α ′ , β ′ .
2.2. quelques résultats techniques sur les espaces boliques
Ce qui suit reprend point par point les démonstrations de [19], avec simplement
quelques paramètres α, β, γ, c supplémentaires (les résultats de [19] correspondant
au cas où ces paramètres sont nuls), mais il n’y a aucune difficulté nouvelle. Nous
faisons cependant figurer les détails techniques pour la convenance du lecteur.
Soit X un espace δ-bolique localement uniformément fini faiblement δ-géodésique.
Il existe alors, pour tous p, q 0, un plus petit réel positif N(p,q) tel que pour
tout N>N(p,q)on ait:
d(x,z) N, d(y,z) N, d(x,y) > N − p ⇒ d(m(x, y), z) < N − q.
NOTATIONS: pour tout x ∈ X et toute partie S de X, D(x,S) désignera
sup{d(x,y)| y ∈ S}. Pour tout ρ>0, on pose U S,ρ =∩ x∈S B(x,ρ).
LEMME 2.1. Soient ρ>0et S une partie de X.Six/∈U S,ρ et z ∈ U S,ρ on a
D(z, S) ρ + d(x,U S,ρ ) − d(x,z) − 2δ.

140 JEAN-LOUIS TU
Démonstration. Soit η tel que 0 η d(x,z) et d(x,z) − d(x,U S,ρ ) ρ.Ona
d(z,c) d(b, c) − d(z,b)>ρ−η−2δ.
LEMME 2.2. Soient α, β, c ∈ + . Soit S ⊂ X, x ∈ X, N ∈ + vérifiant N >
N(β,α +c +4δ) et N>β+2c,
A={z∈U S,N | d(x,z) d(x,U S,N−α ) + c}.
Alors diam A N − β.
(On pose par convention d(x,∅) =+∞).
Démonstration. Soient y,z ∈ A. Supposons d(y,z) > N − β. Alors d(x,
m(y, z)) d(x,U S,N−α ) + c + 2δ et
∀t ∈ S,
d(t, m(y, z)) < N − (α + c + 4δ).
Si x/∈U S,N−α , alors d’après le Lemme 2.1, comme m(y, z) ∈ U S,N−α ,
N − q
> sup t∈S d(t, m(y, z))
N − α + d(x,U S,N−α ) − d(x, m(y, z)) − 2δ
N − α − c − 4δ.
Impossible. Donc x ∈ U S,N−α , et diam A 2c N − β.
On note N l’ensemble des parties non vides de X de diamètre inférieur ou égal
à N.
LEMME 2.3. Soient x ∈ X, α, c 0. Soit S ∈ N , a ∈ S tel que d(a,x)
d(x,U S,N−α )+c,T = S−{a}. On suppose que N > N(α, q) et que N>2q−α+2δ
oùq = c+α+2δ.SiT ≠ ∅, alors pour tout α ′ ∈ [0,α], d(x,U T,N−α ′) =
d(x,U S,N−α ′).
Démonstration. Supposons (∃ α ′ )d(x,U T,N−α ′)0 tel que, pour
tout t ∈ T ,onaitd(y,b 1 ) + ɛ

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 141
Donc z ∈ F , d’où
d(a,b) d(a,z) d(a,b 1 ) + q + ɛ − α
1 d(a,b) + q + ɛ − α + δ,
2
ce qui entraîne d(a,b) 2(q + ɛ − α + δ), donc N N(α, q) et N 2q − α + 2δ, oùq=c+α+2δ. Alors D(x,S) >
d(x,U S,N−α ) + c.
Démonstration. Supposons S ={a}.Onad(x,z)>c.Sid(x,a) N − α,
alors x ∈ U S,N−α .Sid(x,a)>N−α, soit y tel que d(a,y) N −α et d(x,y)
d(x,a)−(N − α) + 2δ. Alors y ∈ U S,N−α , donc d(x,U S,N−α ) d(x,a)−(N −
α − 2δ). Or, on a bien N − α − 2δ >c.
Dans le cas général, on raisonne par récurrence sur le cardinal de S. Soit b ∈ S tel
que d(x,b)>c. Soit a ∈ S−{b}et T = S−{a}.Sid(x,a)>d(x,U S,N−α )+c, c’est
la conclusion voulue. Sinon, le Lemme 2.3 et l’hypothèse de récurrence montrent
que d(x,U S,N−α ) = d(x,U T,N−α ).
Remarque 2.5. Si N > N(α, α), alors U S,N−α ≠ ∅.
Pour tout λ>0, soit r λ (R) le sup des réels r tels que si on a d(x,z)+d(y,t)
2R − 2r, d(x,y) 2r, d(z,t) 2N, alors
d(x,t) + d(y,z) d(x,z) + d(y,t) + λ.
Si on fixe λ et N, alors r λ (R) tend vers +∞.
LEMME 2.6. a) r λ (0) λ/4.
b) Si 0 R R ′ , alors 0 r λ (R ′ ) − r λ (R) R ′ − R.
LEMME 2.7. Soient α, c, r 0, λ>0.Sir N(α, α),etd(z,b) d(z,U S,N−α ) + c, alors
d(y,b) d(y,U S,N−α ) + c + 2λ.
Démonstration. On a U S,N−α ≠ ∅. Soit R = d(x,U S,N ).Ona:
d(y,b ′ ) + d(z,a ′ ) d(y,a ′ ) + d(z,b ′ ) + λ,
où a ′ ,b ′ ∈U S,N−α sont tels que
d(y,a ′ ) = d(y,U S,N−α ) et d(z,b ′ ) = d(z,U S,N−α ).

142 JEAN-LOUIS TU
On a donc
Or,
donc
d(y,b ′ ) d(y,U S,N−α ) + λ.
d(y,b) + d(z,b ′ ) d(y,b ′ ) + d(z,b) + λ,
d(y,b) d(y,U S,N−α ) + 2λ + c.
LEMME 2.8. Soient λ > 0, α, c, r, γ 0.Sir < r λ (d(x, U S,N )) ou r
λ/4, etsia,b ∈ U S,N , y,z ∈ B(x,r), d(y,a) d(y,U S,N−α ) + c, d(z,b)
d(z,U S,N−α ) + c, N > N(α, α), N > N(α, α + 2λ + c + 4δ), N γ + 4λ + 2c,
alors d(a,b) N − γ.
Démonstration. D’après le lemme précédent,
a,b ∈{e∈U S,N | d(y,e) d(y,U S,N−α ) + 2λ + c},
d’oùlerésultat d’après le Lemme 2.2.
LEMME 2.9. Soient λ>0,α,β,c,r 0.Sir N(α, α),
N > N(α, 2λ + c + β + α + 2δ), N 2(2λ + c + β + α + 2δ) − α + 2δ, alors
d(z,a)d(z,U S,N−α ) + 2λ + c + β, ce qui résulte du
Lemme 2.4.
2.3. construction de γ ∈ KK(, ) pour un espace bolique
Dans cette section, X désignera un espace δ-bolique, faiblement δ-géodésique, uniformément
localement fini. De plus, on suppose X uniformément discret: il existe
donc β>0 tel que pour tous x,y ∈ X vérifiant x ≠ y, onad(x,y) > β. Cette
dernière hypothèse est sans doute superflue, mais évite d’ajouter des complications
à une démonstration déjà technique. Cela servira dans la démonstration du fait que
1 − F 2 est un projecteur de rang 1 (où γ = [(H, F )] ∈ KK(,)).
Pour tout α 0, posons
A α,β′
S,y ={a∈U S,N| d(a,y) d(y,U S,N−α ) + β ′ },
A S,y = A α,β
S,y , Cβ′ S,y ={a∈S|d(y,a) D(y,S) − β′ },
Y S,x,r =∪ y∈B(x,r) A S,y , Z S,x,r =∪ y∈B(x,r) C β S,y .
Pour α = β = 0, on reconnaît les définitions de [19]. Néanmoins, nous devrons
encore modifier les A α,β
S,y
en des ensembles Ãα,β
S,y
pour construire F puisque, comme

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 143
nous l’avons remarqué, le terme d(y,U S,N−α )crée une discontinuité. Comme à α,β
S,y ⊂
A α,β
S,y , les quelques résultats préliminaires qui vont suivre concernant les Y S,x,r seront
utiles, notamment pour prouver que 1 − F 2 est un projecteur de rang 1.
Le lemme et la proposition ci-dessous sont plus ou moins une paraphrase de deux
résultats de [19] (voir [19], Prop. 3.2).
LEMME 2.10. Soient λ>0,α, β, γ, r 0.
(a) Si r N(α, α), N>N(γ,α+2λ+
β+2δ), N γ + 4λ + 2β alors diam Y S,x,r N − γ.
(b) Si de plus r < D(x,S) − 2λ − 2β pour tout y ∈ B(x, r) et N > N(α, 2λ +
α + 2β + 2δ), N>2(2λ+α+2β+2δ) − α + 2δ, alors
Y S,x,r ∩ Z S,x,r =∅.
Démonstration. (a) résulte du Lemme 2.8.
(b) Soit a ∈ A S,y et z ∈ B(x, r). On montre a /∈ C β S,z
. Il suffit de voir que
d(z, a) < D(x, S) − β, ce qui résulte du Lemme 2.9 et du fait que d(y,a)
d(y,U S,N−α ) + β.
PROPOSITION 2.11. (a) Dans les conditions du Lemme 2.10.a, S ∪ Y S,x,r ∈ N .
Soit T ∈ N avec S − Y S,x,r ⊂ T ⊂ S ∪ Y S,x,r . On suppose que N > N(α, α +
2δ + β + 2λ), N 2(α + 2δ + β + 2λ) − α + 2δ.
(b) Pour tout y ∈ B(x,r) et β ′ β, onaA α,β′
S,y
= A α,β′
T,y et d(y,U S,N−α) =
d(y,U T,N−α ).
(c) Si de plus r d(x,U S,N−α ) et N > N(α, α + 2λ + 2β + 2δ), N
2(α + 2λ + 2β + 2δ) − α + 2δ, alors ∀β ′ β ∀y ∈ B(x, r) C β′
S,y
= Cβ′ T,y ,
Y S,x,r = Y T,x,r ,Z S,x,r = Z T,x,r .
Démonstration. (a) Résulte du Lemme 2.10.
(b) En raisonnant par récurrence sur le cardinal de la différence symétrique entre
S et T , on peut supposer que cette différence symétrique se réduit àunélément
a ∈ Y S,x,r .
Supposons S = T ∪{a}. Soit y ∈ B(x,r) tel que a ∈ A S,y . Soit z ∈ B(x, r) et
b ∈ A α,β′
S,z . D’après les Lemmes 2.3 et 2.7, on a pour tout α′ α, d(z,U T,N−α ) =
d(z,U S,N−α ), donc en particulier b ∈ A α,β′
T,z , a ∈ A T,z, d(x,U S,N ) = d(x,U T,N ).
Réciproquement, supposons b ∈ A α,β′
T,z . D’après le Lemme 2.10 et le fait que a ∈ A T,z,
d(x,U S,N ) = d(x,U T,N ),onad(a,b) N, donc b ∈ U S,N , d’où b ∈ A α,β′
S,z .
Supposons T = S ∪{a},aveca∈A S,y .Sib∈A α,β′
T,z
, le Lemme 2.10 montre que
b ∈ U T,N . Le fait que b ∈ A α,β′
T,z
résulte alors des Lemmes 2.3 et 2.7. Réciproquement,
si b ∈ A α,β′
T,z , comme d’après les Lemmes 2.3 et 2.7 et le fait que a ∈ A T,y on a
d(z,U S,N−α ′) = d(z,U T,N−α ′),onab∈A α,β′
S,z .

144 JEAN-LOUIS TU
(c) On peut supposer T ⊂ S. Sir < D(x,S) − 2λ − 2β pour tout z ∈ B(x, r),
alors Y S,x,r ∩ Z S,x,r = ∅, donc pour tout z ∈ B(x,r), D(z, S) = D(z, T ) et
∀ β ′ β, C β′
S,z
= Cβ′ T,z
. Si ce n’est pas le cas, d’après le Lemme 2.4 il existe
z ∈ B(x,r) tel que D(x,S) 2λ + 2β, d’où S ⊂ B(x,2λ + 2β), ce qui implique
x ∈ U S,N−α , r = 0, Y S,x,r ⊂ B(x,β), S ={x},T =S.
Introduisons maintenant les poids sur les points de l’espace. On suppose que
ρ>0 et que ϕ : X → [0, 1] est une fonction telle que pour tout x ∈ X, il existe
y ∈ B(x,ρ) vérifiant ϕ(y) = 1. Il s’agit de remplacer la fonction d(y,U S,N ) par
une fonction continue (par rapport au paramètre indexant les espaces boliques). Pour
cela, l’idée est d’effectuer une moyenne sur les d(y,a),oùa ∈U S,N est tel que
d(y,a) soit proche de d(y,U S,N ),où l’on affecte les poids en tenant compte de ϕ(a)
et de la position de a par rapport à S.
Soit α ′ tel que α ′ > 2ρ + 2δ (cette hypothèse servira à montrer que à β′
S,y ≠ ∅).
On suppose α>α ′ +2ρ+2δ,γ α−2ρ−2δet N>N(α−ρ−2δ, α−ρ −2δ).
Pour tout S ∈ N et y ∈ X, écrivons U S,N−α ′ ={x 1 ,... ,x n },a i =d(y,x i ),
(
b i = inf 1, ϕ(x )
i)
ϕ(y) h(D(x i,S)) ,
oùh: + → [0, 1] est une fonction continue valant 1 sur [0,N −α+2ρ +2δ]et
h=0 sur [N − α ′ , +∞].
b i représente le poids dont on affecte la quantité a i = d(y,x i ). Le terme ϕ(x i )
signifie que, plus le poids de x i est faible, moins il joue dans l’évaluation de la
nouvelle fonction. Le terme 1/ϕ(y) fait que si D(y,S) N − α + 2ρ + 2δ, i.e.,
y ∈ U S,N−α+2ρ+2δ ,onad ′ (y, U S,N−α ′) = 0 (voir plus loin), donc à β′
S,y ={y},cequi
permettra de démontrer que 1−F 2 est un projecteur de rang 1. Le terme h(D(x i ,S))
attribue une masse tendant vers zéro aux points qui s’approchent de la frontière de
U S,N−α ′. Enfin, le choix de la quantité N −α+2ρ+2δ sert pour montrer à β′
S,y ⊂ A S,y.
On écrit alors (de manière incorrecte): d ′ (y, U S,N−α ′) = ψ(a i ,b i ), où ψ se définit
de la manière suivante:
LEMME 2.12. Soit n ∈ ∗ , ψ: n × [0, 1] n → définie par
ψ(a, b) =
k∑
t j (ϕ(t j ) − ϕ(t j+1 )),
j=1
où ϕ(t) = ∏ a l

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 145
Démonstration. On remarque que
ψ(a, b) =
n∑
(1 − b σ(1) )···(1−b σ(k−1) )b σ(k) a σ(k)
k=1
où σ est une permutation telle que a σ(1) ··· a σ (n) . On voit donc que ψ est
continue, puisqu’elle l’est sur chaque fermé F σ ={(a, b) ∈ n × [0, 1] n | a σ(1)
··· a σ (n) }.
Posons f a,b (t) = ∏ a l sup {a i ,a
i ′}.Ona
f a,b (t +‖a−a ′ ‖) f a ′ ,b(t) et f a ′ ,b(y) = f a,b (y), donc
ψ(a, b) − ψ(a ′ ,b) = x−yf a,b (y) +
∫ y
−x + yf a ′ ,b(y) −
∫ y
x
f a,b (t) dt −
x
∫ y
f a,b (t) dt −
f a ′ ,b(t) dt
x
∫ y+‖a−a ′ ‖
x+‖a−a ′ ‖
= ‖a −a ′ ‖(1−f a,b (y))
‖a − a ′ ‖.
f a,b (t) dt
Ayant ainsi obtenu la nouvelle fonction qui remplace d(y,U S,N ), on pose:
à β′
S,y ={a∈U S,N| d(y,a) d ′ (y, U S,N−α ′) + β ′ },
Ỹ β′
S,x,r
=∪y∈B(x,r)Ãβ′
S,y .
On utilisera le paramètre β ′ en remarquant qu’une légère perturbation de l’espace
fait que le nouveau à β′
S,y
sera inclus dans un Ãβ′′
S,y avec β′′ proche de β ′ .
L’utilité du paramètre α ′ apparaît dans le lemme suivant, qui montre que les
ensembles construits sont effectivement plus petits que les ensembles auxilliaires
A S,y . Du coup, on voit la nécessité d’introduire le paramètre α, sans lequel on n’aurait
pu montrer ce lemme.
LEMME 2.13.
∅≠à β′
S,y ⊂ A S,y.

146 JEAN-LOUIS TU
Démonstration. Soit b ∈ U S,N−α+ρ+2δ tel que d(y,b)=d(y,U S,N−α+ρ+2δ ). Soit
a ∈ B(b,ρ) tel que ϕ(a) = 1. On a alors
d ′ (y, U S,N−α ′) d(y,a)
d(y,b) + ρ = d(y,U S,N−α+ρ+2δ ) + ρ,
où la première inégalitérésulte du fait que α>α ′ +2ρ+2δ et que h(D(a, S)) = 1
si D(a,S) N − α + 2ρ + 2δ.
Si d(y,U S,N−α ) ρ + δ, soit c ∈ U S,N−α tel que d(y,c) = d(y,U S,N−α ).
On voit, en prenant un point sur une δ-géodésique entre y et c à une distance
approximativement ρ+δ de c, que d ′ (y, U S,N−α ′) d(y,U S,N−α ), d’où l’inclusion.
Si d(y,U S,N−α )

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 147
Le deuxième terme fait que A S,y contribue peu si y a une faible masse. Le troisième
a pour conséquence que f˜
β′
S,x,r
(z) tend vers zéro lorsque z s’approche de la frontière
de U S,N .
On remarque que, dans les conditions du Lemme 2.14, si r r S,x , f˜
β′
S,x,r
=
f˜
β′
T,x,r
. En effet, les conditions de la Proposition 2.11. sont vérifiées, et k(D(z, S)) =
k(D(z, T )) se démontre comme au lemme précédent.
Soit f˜
S,x,r = 1/β ∫ β
˜
0
f β′
S,x,r dβ′ . Soit f S,x,r son normalisé dans L 1 . Il est bien
défini: en effet, d’après la démonstration du Lemme 2.13, soit il existe a tel que
k(D(z, S)) = 1, ϕ(a) = 1eta ∈Ã 0 S,x , soit x ∈ Ã0 S,x et x ∈ U S,N−α ′ +ρ+δ (ce
qui implique k(D(x, S)) = 1). Dans tous les cas, ‖ f˜
β′
S,x,r ‖ ϕ(x)2 . La suite de la
construction est identique à celle de [19]:
( ∫
1
rS,x
)
ψ S,x = f S,x,0 + f S,x,t dt .
1 + r S,x
0
Pour toute mesure de probabilité µ à support fini, on pose ψ S,µ = ∫ ψ S,x dµ(x). Soit
φ S,µ ∈ L 2 (X) la fonction (ψ S,µ ) 1/2 .
De même, soit
˜h β′
S,x,r
(z) = ϕ(z) sup{ϕ(y)| y ∈ B(x,r), z ∈ Cβ′
S,y }
pour tout z ∈ Z S,x,r ,et ˜h β′
S,x,r (z) = 0 ailleurs. Soit ˜h S,x,r = 1/β ∫ β
0
la fonction normalisée,
( ∫
1
rS,x
)
χ S,x = h S,x,0 + h S,x,t dt .
1 + r S,x 0
On définit de manière analogue χ S,µ .
˜h
β′
S,x,r dβ′ , h S,x,r
LEMME 2.15 (cf. [19], Lemme 3.3). Pour tout µ, µ ′ ,
S ↦→ ‖ψ S,µ − ψ S,µ ′‖ 1 ,S ↦→ ‖φ S,µ − φ S,µ ′‖ 2 ,S ↦→ ‖χ S,µ − χ S,µ ′‖ 1
tendent vers 0 en dehors des parties finies de X.
Démonstration. Démontrons l’assertion pour les ψ, celle pour les φ s’en déduisant
immédiatement. On peut supposer que µ et µ ′ sont respectivement les mesures de
Dirac en x et en y. soit d = d(x,y). On remarque que r ↦→ f˜
S,x,r est une fonction
croissante, et que
f˜
S,x,r−d f˜
S,y,r f˜
S,x,r+d .
Comme |r S,x − r S,y | d,etquer S,x tend vers +∞, il suffit de voir que
∫ (
rS,x −d
f ˜S,x,t+d
d ‖ f˜
S,x,t−d ‖ − f ˜ )
S,x,t−d
dt
‖ f˜
S,x,t+d ‖

148 JEAN-LOUIS TU
est borné. Soit C = 1/ϕ(x) 2 . Alors, pour tout t,
‖ f˜
S,x,t ‖ (1/C).
Or, si a, b sont dans L 1 avec 0 a b et 1/C ‖a‖,
b
‖a‖ − a
‖b‖ = b − a
‖a‖ + a(‖b‖−‖a‖)
‖a‖.‖b‖
C[(b − a) +‖b‖−‖a‖].
Par conséquent, l’intégrale est majorée par
C
∫ r
r−2d
( f˜
S,x,t +‖ f˜
S,x,t ‖)dt
qui est majoré dans L 1 par 2CKd,oùKest le nombre maximal d’éléments dans une
boule de rayon N.
L’assertion pour les χ se démontre de manière analogue.
LEMME 2.16. Soit H un espace hilbertien, (e i ) i∈I un base, S et T deux opérateurs
diagonaux par blocs avec des blocs de taille inférieure respectivement à n et m.
(i) Si ‖S(e i ) − T(e i )‖ ε, alors ‖S − T ‖ (m + n − 1)ε.
(ii) Si ‖S(e i ) − T(e i )‖→0, alors S − T est compact.
Démonstration. (i) Ecrivons x = ∑ λ i e i .Ona
‖(S − T )(x)‖ 2 = ∑ j
|〈 ∑ i
λ i (S − T)e i ,e j 〉| 2 .
Or, (〈Se i ,e j 〉≠0ou〈Te i ,e j 〉≠0)implique que i ∈ I j ,oùI j est de cardinal
m + n − 1, donc
‖(S − T )(x)‖ 2 = ∑ 2
∑
λ i 〈(S − T)e i ,e j 〉
j ∣i∈I j
∣
⎛ ⎞
ε 2∑ ⎝ ∑ |λ i | ⎠
j i∈I j
2
ε 2 (m + n − 1) ∑ i
∑
{j| i∈I j }
|λ i | 2
Or, Card{j| i ∈ I j } m + n − 1, donc
‖(S − T )(x)‖ 2
ε 2 (m + n − 1) 2 ∑ i
|λ i | 2
= (ε(m + n − 1)‖x‖) 2 .

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 149
(ii) Soit ε>0. Soit J ⊂ I fini tel que ∀i ∈ I − J , ‖(S − T)e i ‖ ε. Soit P le
projecteur sur ∑ j∈J .e j.
S(1−P)et T(1−P)sont diagonaux par blocs de tailles m et n,et(S − T)P
est de rang fini, donc il suffit d’évaluer ‖(S − T)(1−P)‖.
Si i /∈ J, ‖(S − T)(1−P)e i ‖ ε,etsii ∈J,(S − T)(1−P)e i = 0. Par
conséquent, ‖(S − T)(1−P)‖ ε(m + n − 1).
Soit alors k = λ/4, µ et µ ′ des mesures dont le support a un diamètre k,
H le sous-espace hilbertien de (l 2 (X)) engendré par les e x1 ∧ ··· ∧ e xn avec
diam {x 1 ,... ,x n }0. Le but de cette section, qui n’est que pure routine, est de construire
un élément γ ∈ KK G (C(X), C(X)) tel que
q ∗ γ = 1 ∈ KK Ek ⋊G(C(E k ), C(E k )),
où E k est l’ensemble des mesures de probabilité sur Z, supportées sur l’un des Z y ,
dont le support a un diamètre k,etq:E k →Xest l’application source.
LEMME 2.18. Il existe une fonction continue G-équivariante ϕ : Z ′ → [0, 1] telle
que ϕ −1 (1) = Z ′′ , ϕ −1 ([0, 1]) = Z.
Démonstration. Le fait qu’il existe une fonction ϕ ′ vérifiant ces propriétés, excepté
en ce qui concerne l’équivariance, résulte de la normalité de l’espace Z ′ . Pour obtenir
une fonction G-équivariante ϕ, il suffit, grâce à la propreté de l’action de G sur Z ′ ,
de poser, pour tout z ∈ Z ′ ,
∫
ϕ(z) = c(zg)ϕ ′ (zg) λ s(z) (dg),
g∈G s(z)
où c est une fonction comme dans la Définition 6.7 (relativement au groupoïdes
Z ′ o G).

150 JEAN-LOUIS TU
Fixons une telle fonction ϕ. Pour tout x ∈ X, la restriction de ϕ à Z x joue le rôle
de poids dont on affecte les points de Z x , comme dans la section précédente.
On désigne encore par β une constante > 0 telle que pour tout x ∈ X et tous
z, z ′ ∈ Z x , d(z,z ′ )>β.
Comme Z est uniformément localement finie relativement à Z ′ , pour tout R>0
il existe n ∈ tel que, au voisinage de tout x ∈ X et pour toute section locale e de
Z → X, on ait des sections locales z 1 ,... ,z m de s : Z ′ → X,oùm n,vérifiant
B(e(y),R) ⊂{z i (y)| ϕ(z i (y)) > 0},
donc localement on peut considérer que f S,x,r ∈ L 1 ({1,... ,m}). Cela permettra de
démontrer la continuité du champ d’opérateurs F x ∈ L(H x ) que nous allons définir.
Soit N > 0vérifiant les conditions de la section précédente (N dépend de
k, puisque λ = 4k). ((l 2 (Z x ))) x∈X est muni d’une structure de champ continu
d’espaces hilbertiens et définit un C(X)-module hilbertien H 0 . En effet, si U est
un ouvert de X, ϕ i des fonctions continues à support compact inclus dans U, et
u i :U→Zdes sections locales,
x ↦→ ϕ 1 (x)e u1 (x) +···+ϕ k (x)e uk (x)
est une section continue de (H 0 ) (1) = (l 2 (Z x )) x∈X . Le fait qu’il y ait suffisamment
de sections résulte de ce que Z → X est étale.
On note H le sous-C(X)-module de H 0 constitué des (α x ) x∈X tels que pour tout
x, α x soit dans
H x = Vect {zi }∈ Zx
{e z1 ∧···∧e zn },
où on note Zx l’ensemble des parties non vides de Z x de diamètre

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 151
LEMME 2.19. Les F x définissent un champ continu d’opérateurs.
Démonstration. En raisonnant localement, on peut considérer x ↦→φ Sx ,e x
,oùS x =
{y 1 (x),... ,y n (x)}, comme une fonction d’un ouvert de X dans L 2 ({1,... ,m}).Il
suffit de voir que cette fonction est continue. Pour cela, on démontre que x ↦→ ψ Sx ,e x
est une fonction continue à valeurs dans L 1 .
D’abord, x ↦→ r Sx ,e x
ε>0. Pour y assez proche de x, onaf˜
β′
inverse montre que x ↦→ ˜
est continue. Montrons la continuité dex↦→ f Sx ,e x ,0. Soit
S x ,e x ,0 f˜
β′ +ε
S y ,e y ,0
+ ε, et l’inégalité en sens
f Sx ,e x ,0 est continue, d’où la conclusion.
Ensuite, il reste à montrer que si r < r Sx ,e x
, alors x ↦→ ∫ r
0 f S x ,e x ,t dt est continue.
Pour x et y assez proches, f˜
β′
S x ,e x ,t
f˜
β′ +ε
S y ,e y ,t+ε + ε. Enintégrant, f˜
Sx ,e x ,t
f˜
Sy ,e y ,t+ε + 2ε. Faisons maintenant tendre x vers y. Comme l’ensemble des points
de discontinuité det ↦→ f˜
Sy ,e y ,t est fini, et que f˜
Sy ,e y ,t est de norme ϕ(y),
l’inégalité précédente et l’inégalité en sens inverse montrent que x ↦→ ∫ r
0 f S x ,e x ,t dt
est continue.
F est autoadjoint, car tous les F x sont autoadjoints. On a, pour tout a ∈ C(X),
a(F 2 − 1) ∈ K
d’après la Proposition 2.17 et le fait que (a(x)Proj ex
) x∈X est un champ continu
d’opérateurs compacts. Enfin, F commute clairement à l’action de G modulo les compacts
d’après la Proposition 2.17. Par conséquent, on a bien (H, F ) ∈ E G (C(X), C(X)).
Calculons q ∗ γ = (q ∗ H,q ∗ F).
LEMME 2.20. Soit H = (H x ) x∈X un champ continu d’espaces hilbertiens donné
par les sections continues e i : X → H et s : E k → X une application continue. Alors
le C(E k )-module s ∗ H est égal au champ continu H ′ = (H m ′ ) m∈E k
où H m ′ = H s(m),
avec les sections m ↦→ ϕ(m)e i (s(m)) où ϕ ∈ C(E k ).
Démonstration. Cela résulte immédiatement du fait que H ′ = H ⊗ s C(E k ) et du
fait que les m ↦→ ϕ(m)e i (s(m)) définissent bien un champ continu.
Soit alors F ′ = (F m ′ ) m∈E k
,oùF m ′ =F m:H s(m) → H s(m) . Il faut voir que F
définit bien un élément de L(H ′ ). Cela se montre de la même façon que pour les F x .
L’élément (H ′ ,F ′ ) est une perturbation compacte de q ∗ γ d’après la Proposition
2.17.
Il suffit donc de voir que [(H ′ ,F ′ )]=1∈KK Ek ⋊G(C(E k ), C(E k )). Soit D µ la
droite noyau de F µ ′ , H ˜ µ son orthogonal dans H ′ (0)
µ . Alors F µ ′ : H ˜ µ → H ′ (1)
µ est un
isomorphisme, donc à équivalence unitaire E k o G-équivariante près,
⎛
F µ = ⎝
0 0 0
0 0 1
0 1 0
⎞
⎠.
Le premier facteur (D µ ) donne l’élément unité deKK Ek ⋊G(C(E k ), C(E k )) car le
champ (D µ ) admet une section ne s’annulant pas. Le deuxième facteur est dégénéré.

152 JEAN-LOUIS TU
3. L’élément de Dirac
G désigne toujours un groupoïdes vérifiant la propriété (B) de la définition 1.14, et
X = G (0) . L’objet de ce chapitre est de construire un élément D ∈ KK G (A BN , C(X)),
où N ∈ ∗ + , A B N
est une |B N |o G-algèbre et |B N | est un espace localement compact
sur lequel G agit proprement que nous décrirons.
Rappelons que dans [18], pour tout complexe simplicial de dimension finie
muni d’une action d’un groupe discret Ɣ,ondéfinit une Ɣ-variété non séparée V et
un élément de Dirac D ∈ KK Ɣ (,A ) où A est la C ∗ -algèbre du fibré cotangent
de V .
Dans [19], les auteurs partent d’un espace métrique uniformément localement fini
Z, etdésigne le complexe simplicial de Rips dont les simplexes de dimension n
sont les parties de cardinal n et de diamètre N. est bien de dimension finie par
hypothèse.
Ici, on aura besoin d’effectuer cette construction pour une famille d’espaces
métriques (en prenant les parties de diamètre

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 153
On adopte les notations de la section précédente. Soit M ′ l’ensemble des éléments
de MX 1 qui sont isobarycentres d’un nombre fini de points, l’ensemble des parties
de M ′ de la forme {µ 0 ,... ,µ k }avec µ i = c(σ i ) (isobarycentre de σ i ), σ i ∈ étant
un sous-simplexe strict de σ i+1 .
PROPOSITION 3.2. s ′ : M ′ → X et constituent la donnée d’un X-complexe
simplicial. On l’appelle la subdivision barycentrique de .
Démonstration. La seule assertion dont la preuve ne soit pas immédiate est que
s ′ : M ′ → X est étale. Soit x ∈ X, σ ={z 1 ,... ,z n }⊂Z x ,y↦→ z i (y) des sections
locales continues U → Z vérifiant z i = z i (x), et soit σ y ={z 1 (y),... ,z n (y)}.
Alors y ↦→ c(σ y ) est une section locale continue de s ′ valant c(σ) en x. Supposons
que µ λ ∈ M ′ tend vers c(σ). Il est clair que x λ = s ′ (µ λ ) tend vers x.
Quitte à restreindre U, il existe f i ∈ C c (Z) vérifiant f i (z j (y)) = δ ij pour tout
y ∈ U et i, j ∈{1,... ,n}.
Du fait que 1/n = lim λ 〈µ λ ,f i 〉et que µ λ est isobarycentre d’un nombre fini de
points, on tire facilement que µ λ est isobarycentre de n points, puis que µ λ = c(σ xλ ).
Par conséquent, y ↦→ c(σ y ) est un homéomorphisme au voisinage de x.
PROPOSITION 3.3. Soit un X-complexe simplicial et sa subdivision barycentrique.
Alors || et || sont canoniquement homéomorphes (de façonX-équivariante),
et | x |≃| x |≃|| x ≃|| x .
Démonstration. Soit ϕ : || →||définie par:
(∑ )
ϕ λi δ µi = ∑ λ i µ i .
Pour tout f : Z → continue, soit f ˜: M 1 (Z) → définie par f ˜(µ) = ∫ f dµ.
Par définition, f˜
est continue, et comme 〈f, ϕ(µ)〉 =〈˜ f,µ〉,ϕ est continue. Il est
clair que ϕ est bijective.
Supposons que µ i = ∑ λ i k µi k , µi k = c(σ k i), µ = ∑ λ k µ k , µ k = c(σ k ) et que
ϕ(µ i ) → ϕ(µ).
Soit x tel que σ k ⊂ s −1 (x) et U ⊂ X un ouvert tel que x ∈ U et que l’on ait pour
tout z ∈ σ k un ouvert U z ∋ z avec s : U z → U un homéomorphisme, les U z étant
deux à deux disjoints. Soit f valant 1 en tout point de σ k , 0 sur Z − ⋃ z∈σ k
U z , f
continue de Z dans [0, 1].
Ona1=〈f, ϕ(µ)〉 =lim〈f, ϕ(µ i )〉. Soit ɛ>0. Pour i assez grand,
1 − ɛ ∑ k
λ i Card(σk i ∩ Supp f)
k
Card(σk i) .

154 JEAN-LOUIS TU
Soit C = Card Supp f ∩ Z x . On a, pour i assez grand,
ɛ
∑ (
λ i k 1 − Card(σ i )
k
∩ Supp f)
Card(σ i k
k )
∑
(
)
C
1 −
Card(σk i)
#σ i k C+1 λ i k
∑
#σ i k C+1 λ i k
( ) 1
.
C + 1
Donc, quitte à remplacer µ i par ˜µ i où ‖µ i −˜µ i ‖→0, on peut supposer que
Card(σk i ) C. On a alors
∑
(
ɛ
1 − Card(σ k i) − 1 )
Card(σk i)
σ i k⊄Supp f λ i k
1
C
∑
σ i k⊄Supp f λ i k
Donc on peut supposer que pour tout k, σ i k ⊂ Supp f . En particulier, σ i k ∈ s−1 (x i )
où lim x i = x, et comme on raisonne sur les ensembles finis Supp f ∩ f −1 (x i ),il
est facile de voir que µ i tend vers µ.
La dernière assertion résulte du fait que pour tout x ∈ X, toute fonction continue
à support compact sur Z x se prolonge en une fonction continue à support compact
sur Z.
Remarque 3.4. On n’a pas utilisé la condition (iii) de la Définition 3.1.
3.3. X-complexes simpliciaux typés
DÉFINITION 3.5. Soit un X-complexe simplicial. On appelle type sur une
application continue ν : (0) →{0,... ,n}telle que pour tout simplexe σ ∈ , les
images par ν des sommets de σ sont deux à deux distinctes.
PROPOSITION 3.6. Soit un X-complexe simplicial, sa subdivision
barycentrique. Alors est un X-complexe simplicial typé ayant la même réalisation
géométrique que .
Démonstration. La dernière assertion ayant déjà étédémontrée, il suffit, avec les
notations de la section précédente, de voir que l’application ν : M ′ → définie par
ν(c(σ)) = Card(σ ) est continue. Or, pour tout x ∈ X et σ ∈ M x ′ , il existe une section
locale continue U → M ′ , y ↦→ σ y avec σ x = σ et y ↦→ ν(c(σ y )) constant. Comme
on sait déjà que M ′ → X est étale, on voit que ν ′ est localement constante.

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 155
3.4. construction de l’élément de dirac
3.4.1. Construction pour les X-complexes simpliciaux
D’après la section précédente, on peut se ramener àunX-complexe simplicial typé.
Rappelons d’abord la définition de la C ∗ -algèbre d’un complexe simplicial typé
([18]).
Soit E n l’espace affine euclidien E n ={t∈ n+1 | ∑ n
k=0 t k =1}et ˆσ n ⊂ E n le
simplexe standard ˆσ n ={t∈E n |t k 0∀k}. Soit q : E n →ˆσ n la projection sur
le point le plus proche. Si f est une face de ˆσ n , on note f l’intérieur dans E n de
q −1 (f ). On pose par convention ∅ =∅.
En étendant de manière évidente ν en une application de ∪ {∅} dans l’ensemble
des parties de {0,... ,n}, on peut associer à tout simplexe de une face de ˆσ n ,et
donc définir σ ⊂ E n pour tout σ ∈ .
On définit alors ([18]):
A
= {ϕ ∈ C 0 (E n ; K(l 2 ())) ˆ⊗Cliff(E n )| si σ ≠ τ
et t/∈ σ∩τ ,〈e σ , ϕ(t)e τ 〉=0}.
Soit maintenant un X-complexe simplicial typé. Alors (l 2 ( x )) x∈X est muni
d’une structure de champ continu d’espaces hilbertiens par l’hypothèse (iii) de la
Définition 3.1. Notons l 2 () le C(X)-module obtenu. On peut définir
A Z
= {ϕ ∈ K ( C τ (E n ) ˆ⊗l 2 () ) | ϕ C(X)-linéaire telle que
∀x ∈ X, ϕ x ∈ A x }.
Supposons maintenant que est un X-complexe simplicial G-équivariant, où G
est un groupoïdes localement compact de base X, avec système de Haar. Il est clair
que toutes les définitions et résultats qui précèdent peuvent se reformuler dans un
cadre G-équivariant. On suppose en outre que G permute le type, c’est-à-dire qu’il
existe un morphisme π : G → n+1 tel que, pour tous x,y ∈ X et g ∈ G y x,onait
∀σ ∈Z x
ν(g(σ)) = π(g)ν(σ).
Alors G agit sur E n ⊗ C(X) par permutation des coordonnées de n+1 .
Soit [i] ∈ KK G (A Z ,C τ (E n ) ⊗ C(X)) obtenu à partir de l’inclusion A Z →
K(C τ (E n ) ˆ⊗l 2 ()). Notons α = π ∗ α ′ ∈ KK G (C τ (E n ) ⊗ C(X), C(X)), oùα ′ ∈
KK n (C τ (E n ), ) est l’élément de Dirac. Alors on pose
D = [i] ⊗ Cτ (E n )⊗C(X) α ∈ KK G (A Z , C(X)).
3.4.2. Cas des groupoïdess vérifiant la propriété (B)
Soit G un groupoïdes vérifiant la propriété (B) de la Définition 1.14. Soit N>0.
Dans le cadre de notre étude, on prendra pour x l’ensemble des parties non vides
de diamètre

156 JEAN-LOUIS TU
4. Le dual Dirac
Fixons k>0. Soit N vérifiant les conditions du chapitre 2. Nous allons construire
un élément η ∈ KK G (C(X), A BN ),oùA BN aétédéfini au chapitre précédent.
Tout ce qui suit constitue pratiquement mot pour mot la démonstration des auteurs
de [19], mais nous avons cru bon de la reproduire pour la convenance du lecteur. En
effet, alors qu’il se posait des problèmes de continuité pour l’élément gamma parce
que l’ensemble U S ne variait pas de façon continue, le dual Dirac utilise seulement
l’ensemble S, et la quantité D(z, S) varie bien continûment avec z et S.
Bien sûr, le problème de continuité deSne se pose pas puisque, ayant pris soin
de considérer les parties de diamètre

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 157
Soit p y ∈ L(l 2 (0 m )) le projecteur sur le sous-espace de dimension 1 engendré
par la somme ∑ ±ϕ σ ′ (y)σ ′ ,oùσ ′ décrit les simplexes de dimension m de 0
m et les
signes sont comme dans la somme alternée.
Il existe alors, par une construction standard, un champ continu d’opérateurs
unitaires de degré 0 dans L(l 2 (0 m)), {U y} y∈σ m, tel que U y p 0 Uy
−1 = p y . On pose
alors y = U y 0 Uy
−1 ,et
ξ σ m ,y = β c(σ m ) ˆ⊗(1 − p y ) + (1 − βc(σ 2 m ) )1/2 ˆ⊗ y +
+ β y ˆ⊗p y ∈ L(C τ (E) ˆ⊗l 2 (σ0 m )).
4.2. l’élément dual dirac global
Soient N et k comme dans la construction de l’élément γ et n tel que toute boule
de rayon N de Z contienne strictement moins de n éléments. Alors le X-complexe
simplicial N formé par les parties de diamètre

158 JEAN-LOUIS TU
PROPOSITION 4.1. γ = η ⊗ ABN D ∈ KK G (C(X), C(X)).
Démonstration. η ⊗ [i], où [i]∈KK G (A BN , C(X)) est défini par l’inclusion
A BN ⊂ K((l 2 (B N,x )) x∈X ), est égal au produit de Kasparov de γ par β = π ∗ (β ′ ) ∈
KK G (C(X), C τ (E) ⊗ C(X)), oùβ ′ ∈KK n (,C τ (E)) est l’élément de Bott de
E: cela résulte de l’homotopie linéaire reliant les centres y des éléments de Bott β y
dans la définition de η àunmême point de E.Or,β⊗α=1∈KK G (C(X), C(X))
par fonctorialité, d’où l’assertion.
5. Dualité de Poincaré et conjecture de Baum–Connes
Nous introduisons dans ce chapitre une définition de l’application de Baum–Connes
µ, et nous montrons comment la construction dual Dirac–Dirac implique formellement
l’injectivitédeµ(et sa bijectivité dans le cas γ = 1. Ensuite, nous généralisons
ce résultat au cas où l’on a, non plus des éléments dual Dirac et Dirac, mais une
suite de tels éléments associés à une suite exhaustive de parties G-compactes du
classifiant des actions propres. Comme de tels éléments sont obtenus dans le cas des
groupoïdess vérifiant la propriété (B) de la Définition 1.4, on en déduit la conjecture
de Novikov pour les feuilletages boliques.
5.1. l’application de baum--connes
Cette section introduit l’application de Baum-Connes et le lien avec la dualité de
Poincaré.
Dans tout ce qui suit, G désigne un groupoïdes localement compact (séparé) avec
système de Haar, et X = G (0) l’espace des unités de G.
5.1.1. L’application de Baum--Connes
Avant d’énoncer la définition qui suit, mentionnons que si H est un groupoïdes
localement compact propre avec système de Haar, il existe une application continue
c : H (0) → R + telle que pour tout x ∈ H (0) on ait ∫ H
c(s(h)) λ x (dh) = 1, et tel
x
que r : supp (c ◦ s) → H (0) soit propre. Alors la fonction h ↦→ c(s(h)) 1/2 c(r(h)) 1/2
définit un projecteur de C ∗ (H ), donc un élément λ H ∈ KK(,C ∗ (H )). On trouvera
des détails dans l’appendice A.
Dans tout ce qui suit, un sous-espace Y sera dit G-compact si Y est G-invariant
et Y/G est compact.
DÉFINITION 5.1. Soit Z un G-espace (localement compact) propre. On note, pour
toute G-algèbre F ,
RK∗ G (Z; F) = lim KK G(C(Y ), F ),
→
la limite étant prise sur les parties G-compactes Y ⊂ Z. On a alors des applications
canoniques
µ: RK∗ G (Z; F) → K ∗(F o G)
µ red : RK∗ G (Z; F) → K ∗(F o red G)

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 159
définies par la composition
jG
KK G (C(Y ), F ) −−−→ KK(C(Y)oG, F o G) λ Y ⋊ G⊗·
−−−→ K ∗ (F o G).
Notons EG le classifiant des actions propres de G (voir appendice A).
DÉFINITION 5.2. On définit la K-théorie topologique de G à coefficients dans une
G-algèbre F par K∗
top (G; F) = RK∗ G (EG; F). Le morphisme µ: Ktop ∗ (G; F) →
K ∗ (F o G) s’appelle l’application de Baum–Connes.
La conjecture de Baum–Connes dit que µ red est un isomorphisme.
Avant d’énoncer la définition de la K-théorie géométrique, nous introduisons
la définition suivante: soit G un groupoïdes différentiable avec système de Haar,
V une variété munie d’une action différentiable propre de G. Notons p : V → X
l’application source correspondant à l’action de G et V ν le fibré TV ⊕p ∗ (T X). Si
f:V → W est différentiable G-équivariante, f ! ∈ KK G (C(V ν ), C(W ν )) induit
une application K ∗ ((C(V ν ) ⊗ C(X) F)oG)→K ∗ ((C(W ν ) ⊗ C(X) F)oG).
(L’existence de f ! est justifiée par l’appendice B).
DÉFINITION 5.3. Si G est de plus différentiable, on définit la K-théorie géométrique
de G à coefficients dans F par la limite inductive,
K g ∗ (G; F) = lim → K ∗((C(V ν ) ⊗ C(X) F)oG)
suivant les variétés V munies d’une action différentiable propre de G. A l’aide de
p ! , on obtient l’application de Baum–Connes
µ ′ : K g ∗ (G; F) → K ∗(F o G).
Remarque 5.4. La définition originale de la K-théorie topologique de G est celle
que nous avons noté K∗(G), g et la conjecture de Baum–Connes dit que µ ′ red
est un
isomorphisme. Dans [3] est formulée la conjecture que µ red est un isomorphisme.
Ne connaissant pas de démonstration du fait que K∗
top = K∗, g nous donnons plus loin
une condition suffisante pour qu’il y ait égalité.
5.1.2. Première dualité de Poincaré
Nous reprenons la démonstration de [17], Théorème 4.9.
Rappelons d’abord
LEMME 5.5. Soit G un groupoïdes localement compact (séparé), et A 1 , A 2 , B 1 , B 2
des G-algèbres. Alors le produit
KK G (A 1 ,B 1 )⊗KK G (A 2 ,B 2 )→KK G (A 1 ˆ⊗ C(X) A 2 ,B 1 ˆ⊗ C(X) B 2 )
est commutatif.
Démonstration. Il suffit de reprendre mot pour mot la démonstration de [17],
Theorem 2.14, 8).

160 JEAN-LOUIS TU
Rappelons également que si G est un groupoïdes localement compact et X = G (0) ,
alors pour toutes G-algèbres A, B et D, on a une application
σ X,D : KK G (A, B) → KK G (A ˆ⊗ C(X) D, B ˆ⊗ C(X) D)
définie par (E,ϕ,F)↦→ (E ˆ⊗ C(X) D, ϕ ˆ⊗1,F ˆ⊗1).
Bien qu’inutile pour nos propos, nous énonçons par souci d’exhaustivité, et aussi
parce que sa démonstration est relativement brève, le
THÉORÈME 5.6 (Première dualité de Poincaré). Soit G un groupoïdeslocalement
compact avec système de Haar, Z un G-espace propre, A une Zo G-algèbre,
θ ∈ KK Z⋊G (C(Z), C(Z) ⊗ C(X) A), D ∈ KK G (A, C(X)) avec θ ⊗ A D = 1 ∈
KK Z⋊G (C(Z), C(Z)) et σ Z,A (θ) ∈ KK G (A, A ⊗ C(X) A) invariant par l’automorphisme
d’échange σ A : A ˆ⊗ C(X) A → A ˆ⊗ C(X) A. Alors pour toutes G-algèbres E
et F , on a un isomorphisme
∼
δ 1 : KK Z⋊G (E ⊗ C(X) C(Z),F ⊗ C(X) C(Z)) −−→ KK G (E ⊗ C(X) A, F).
Démonstration. On définit les applications
κ : KK Z⋊G (E ⊗ C(X) C(Z),F ⊗ C(X) C(Z))
σ Z,A
−−→ KK Z⋊G (E ⊗ C(X) A, F ⊗ C(X) A)
⊗D
−−→ KK G (E ⊗ C(X) A, F),
ν : KK G (E ⊗ C(X) A, F) σ X,C(Z)
−−→ KK G (E ⊗ C(X) A ⊗ C(X) C(Z),F ⊗ C(X) C(Z))
θ⊗
−−→ KK G (E ⊗ C(X) C(Z),F ⊗ C(X) C(Z)).
Si u ∈ KK G (E ⊗ C(X) A, F),ona
κν(u) = σ Z,A (θ ⊗ A⊗C(X) C(Z) σ X,C(Z) (u)) ⊗ A D
= σ Z,A (θ) ⊗ A⊗C(X) A (σ X,A (u)) ⊗ A D)
= σ Z,A (θ) ⊗ A⊗C(X) A (u ⊗ C(X) D)
= σ Z,A (θ) ⊗ A⊗C(X) A (D ⊗ C(X) u) (cf. Lemme 5.5)
= (σ Z,A (θ) ⊗ A D) ⊗ A u
= σ Z,A (1 Z ) ⊗ A u = u
par invariance de σ Z,A (θ).Demême, si u ∈ KK Z⋊G (E⊗ C(X) C(Z),F ⊗ C(X) C(Z)),
νκ(u) = θ ⊗ C(Z)⊗C(X) A σ X,C(Z) (σ Z,A (u) ⊗ A D)
= θ ⊗ C(Z)⊗C(X) A σ Z,C(Z)⊗C(X) A(u) ⊗ C(Z)⊗C(X) A (σ X,C(Z) (D))
= (θ ⊗ C(Z) u) ⊗ C(Z)⊗C(X) A σ X,C(Z) D
= u ⊗ C(Z) θ ⊗ C(Z)⊗C(X) A σ X,C(Z) (D) (cf. Lemme 5.5)
= u ⊗ C(Z) θ ⊗ A D
= u.

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 161
5.1.3. Quelques lemmes techniques
Ce paragraphe, un peu technique, servira dans la démonstration de la deuxième
dualité de Poincaré.
Avant d’énoncer la proposition suivante, notons que si Z est un G-espace propre,
A une Zo G-algèbre, et F une G-algèbre, alors K ∗ (Ao G) = lim K ∗ (A V o G), où
→
A V est la restriction de A à un ouvert G-relativement compact V de Z: en effet,
Ao G est la limite inductive des A V o G.
PROPOSITION 5.7. Soient Z un G-espace propre (localement compact), A une
Zo G-algèbre, D ∈ KK G (A, C(X)). Alors pour toute G-algèbre F , le diagramme
suivant commute:
K ∗ ((A ⊗ C(X) F)oG)
κ
−−→RK∗ G (Z; F)
⊗j G (σ X,F (D))
µ
K ∗ (F o G),
où, pour tout ouvert G-invariant V et tout G-compact Y contenant V , κ est défini
par la composition
κ : K ∗ ((A V ⊗ C(X) F)oG) = KK Y⋊G (C(Y ), A V ⊗ C(X) F) ⊗D V
−−→
KK G (C(Y ), F ) → RK∗ G (Z; F),
avec D V = i ∗ V D, i V : A V → A désignant l’inclusion.
Démonstration. Montrons que κ est bien définie. D’abord, elle ne dépend pas de
Y . En effet, si Y ⊂ Y ′ et i : Y → Y ′ est l’inclusion, on a un diagramme commutatif
i ∗
KK Y ′ ⋊G(C(Y ′ ), A V ⊗ C(X) F) −−→ KK Y⋊G (C(Y ), A V ⊗ C(X) F)
⏐
⏐
↓
↓
KK G (C(Y ′ ), A V ⊗ C(X) F) −−→ [i]∗
KK G (C(Y ), A V ⊗ C(X) F)
⏐
⏐
⏐↓ ⊗DV
↓ ⊗D V
KK G (C(Y ′ ), F ) −−−−− [i]∗ −−→ KK G (C(Y ), F ).
Cette application passe à la limite inductive, car si V ⊂ V ′ ⊂ Y , le diagramme
≃
K ∗ ((A V ⊗ C(X) F)oG) −−→ KK Y⋊G (C(Y ), A V ⊗ C(X) F)
⏐
⏐
↓
↓
K ∗ ((A ′ V ⊗ ≃
C(X)F)oG) −−→ KK Y⋊G (C(Y ), A ′ V ⊗ C(X)F)

162 JEAN-LOUIS TU
commute. On obtient ainsi la flèche horizontale. Le fait que le triangle commute est
alors évident.
COROLLAIRE 5.8. Si (A i ) est une famille de Zo G-algèbres indexée par un ensemble
filtrant, D i ∈ KK G (A i , C(X)), α ij ∈ KK Z⋊G (A i ,A j ) (i j) sont tels
que α ij ⊗ Aj α jk = α ik pour i j k,etD i =α ij ⊗ Aj D j , le diagramme suivant
commute:
κ
lim K ∗ ((A ⊗ C(X) F)oG) −−→RK G
→
∗ (Z; F)
µ
K ∗ (F o G),
où κ s’obtient par passage à la limite inductive des morphismes définis dans la
Proposition 5.7.
Démonstration. Cela résulte en effet de la Proposition 5.7 et du lemme qui suit.
LEMME 5.9. Soit Z un G-espace propre, A 1 et A 2 des Zo G-algèbres, D i ∈
KK Z⋊G (A i , C(X)) (i = 1, 2), α ∈ KK Z⋊G (A 1 ,A 2 ) tels que D 1 = α ⊗ A2 D 2 .
Alors pour toute G-algèbre F , le diagramme suivant est commutatif:
α
K ∗ ((A ⊗ C(X) F)oG) −−→K ∗ ((A 2 ⊗ C(X) F)oG)
RK G ∗
(Z; F)
Démonstration. Il suffit en effet de considérer, pour tout ouvert G-relativement
compact V de Z, le diagramme
K ∗ ((A 1 ⊗ C(X) F)oG) −−−−−−−
α −−→ K ∗ ((A 2 ⊗ C(X) F)oG)
↑
↑
⏐
⏐
α V
K ∗ (((A 1 ) V ⊗ C(X) F)oG) −−→ K ∗ (((A 2 ) V ⊗ C(X) F)oG)
↑
↑
≃ ⏐
≃ ⏐
α V
KK ¯V⋊G(C( ¯V),(A 1 ) V ⊗ C(X) F) −−→ KK ¯V⋊G(C( ¯V),(A 2 ) V ⊗ C(X) F)
⏐
⏐
⏐↓ ⊗(D2 ) V
↓ ⊗(D 2 ) V
=
KK G (C( ¯V),F)−−−−−−−−− −−→ KK G (C( ¯V),F)
PROPOSITION 5.10. Soit Z un G-espace propre, A i une famille de Zo G-algèbres
indexée par un ensemble filtrant, (Y i ) une famille exhaustive de G-compacts de Z,

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 163
α ij ∈ KK G (A i ,A j )(i j), θ i ∈ KK Yi ⋊G(C(Y i ), C(Y i )⊗ C(X) A i ) sont tels que
α ij ⊗ Aj α jk = α ik pour i j k,et
θ j ⊗ C(Yj ) [f ij ] = [f ij ] ⊗ C(Yi ) (θ i ⊗ Ai α ij ),
f ij : Y i → Y j étant l’inclusion. Alors pour toute G-algèbre F , on a une application
canonique
ν : RK G ∗ (Z; F) → lim → K ∗((A i ⊗ C(X) F)oG)
obtenue par la composition
KK G (C(Y i ), F ) θ i⊗
−−→ KK G (C(Y i ), A i ⊗ C(X) F)
j G
−−→ KK(C(Y i )oG, (A i ⊗ C(X) F)oG) → K ∗ ((A i ⊗ C(X) F)oG).
Démonstration. Pour voir que la composition passe bien à la limite inductive, on
doit vérifier que si i

164 JEAN-LOUIS TU
commute: pour le voir, il suffit de réécrire le diagramme en KK G , et d’utiliser le fait
que pour toute G-algèbre B le diagramme
KK G (C(Y ), B) −−−− i∗
−−→ KK G (C(L), B)
λ Y ⋊ G ⊗ j G (·)
λ Y ⋊ G ⊗ j G (·)
K ∗ (Bo G)
commute.
Par conséquent, si u ∈ KK G (C(Y ), F ),
κν(u) = θ ′ ⊗ σ X,A (u) ⊗ A D
= θ ′ ⊗ (u ⊗ C(X) D)
= θ ′ ⊗ (D ⊗ C(X) u) (cf. Lemme 5.5)
= (θ ′ ⊗ A D) ⊗ C(X) u
= [i] ∗ (θ ⊗ A D) ⊗ C(X) u
= [i] ∗ u car θ ⊗ A D = 1.
Nous donnons un critère pour que la condition (ii) du lemme précédent soit
vérifiée.
PROPOSITION 5.12. Notons Z = EG. Soient Y ⊂ L ′ ⊂ Z des parties G-
compactes, A une L ′ o G-algèbre, θ ∈ KK Y⋊G (C(Y ),C(Y ) ⊗ C(X) A), D ∈
KK G (A, C(X)) vérifiant θ ⊗ A D = 1 ∈ KK Y⋊G (C(Y ), C(Y )). Alors il existe
un G-compact L contenant L ′ tel que, en considérant A comme une Lo G-algèbre,
la conclusion du Lemme 5.11 soit vérifiée.
Démonstration.
KKY⋊G ∗ (C(Y ), C(Y ) ⊗ C(X) A) = K ∗ ((C(Y ) ⊗ C(X) A)o G)
= −−−→
lim K ∗ ((C(Y ) ⊗ C(X) A) W o G)
W
où W est un ouvert G-relativement compact de Y × X L ′ . Donc, en notant A ′ =
(C(Y ) ⊗ C(X) A) W , θ provient d’un élément
θ W ∈ KK Y⋊G (C(Y ), A ′ ) ≃ K(A ′ oG).
Comme le diagramme
KK ¯W⋊G(C( ¯W),A ′ )
≃
[pr 1 ] ⊗ C( ¯W) ·
KK Y⋊G (C(Y ), A ′ ) −−− ≃ −−→K(A ′ oG)

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 165
commute (pr 1 désigne la première projection), il existe un unique
˜θ ∈ KK ¯W⋊G(C( ¯W),A ′ )tel que θ W = [pr 1 ] ⊗ ˜θ.
Soit L ⊂ Z, G-compact, tel que L ′ ⊂ L, et que les deux projections ¯W ⊂
L × X L → L soient homotopes de façon G-équivariante. Soit θ ′ 1 = [pr 2]⊗ C( ¯W) ˜θ ∈
KK L⋊G (C(L), A ′ ). Alors, dans KK G (C(L), A ′ ),ona
θ ′ 1 =[pr 2] ⊗ ˜θ = [pr 1 ] ⊗ ˜θ = [i] ⊗ θ W
où i : Y → L est l’inclusion. Soit θ ′ ∈ KK L⋊G (C(L), C(Y )⊗ C(X) A) obtenu à partir
de θ ′ 1 en multipliant à droite par l’inclusion (C(Y ) ⊗ C(X) A) W → C(Y) ⊗ C(X) A.
Alors, d’après ce qui précède, on a θ ′ = [i]⊗θ dans KK G (C(L), C(Y )⊗ C(X) A).
5.1.4. Forme générale de la deuxième dualité de Poincaré
Avant d’énoncer le théorème suivant, nous observons que si Y et Z sont des G-espaces
propres avec Y/Gcompact, A est une Zo G-algèbre et θ ∈ KK Y⋊G (C(Y ), C(Y )⊗ C(X)
A), alors il existe un ouvert G-relativement compact V de Z tel que θ provient d’un
élément ˜θ ∈ KK Y⋊G (C(Y ), C(Y ) ⊗ C(X) A V ),oùA V est la restriction de A à V .
En effet, cela résulte des isomorphismes du type KK Y⋊G (C(Y ), C(Y ) ⊗ C(X) A) ≃
K((C(Y ) ⊗ C(X) A)o G), du fait que (C(Y ) ⊗ C(X) A)o G est la limite inductive des
(C(Y ) ⊗ C(X) A V )o G et de la continuitédelaK-théorie.
PROPOSITION 5.13. On suppose que les conditions du Corollaire 5.8 et de la
Proposition 5.10 sont remplies, et que de plus, pour tout i il existe un ouvert G-
invariant V de Z tel que, pour tout j assez grand,
(i) θ i provient d’un élément ˜θ i ∈ KK Yi ⋊G(C(Y i ), C(Y i ) ⊗ C(X) (A i ) V ), V ⊂ Y j et
il existe θ ′ i
∈ KK Yj ⋊G(C(Y j ), C(Y i ) ⊗ C(X) (A i ) V ) tel que θ ′ i et [f ij ] ⊗ C(Yi ) θ i
ont la même image dans KK G (C(Y j ), C(Y i ) ⊗ C(X) (A i ) V );
(ii) σ Yj ,(A i ) V
(θ j ) ⊗ (Ai ) V
D i ∈ KK G ((A i ) V ,A j )provient de α ij .
Alors les deux applications du Corollaire 5.8 et de la Proposition 5.10 sont
réciproques l’une de l’autre, ce qui montre que
RK G ∗ (Z; F) ≃ lim → K ∗((A i ⊗ C(X) F)oG)
pour toute G-algèbre F .
Démonstration. Le fait que κν = Id résulte du Lemme 5.11. Pour voir que
νκ = Id, on considère u ∈ K ∗ ((A i ⊗ C(X) F)oG). Il existe un ouvert G-invariant
V ⊂ Z et j tels que V ⊂ Y j et u provient de u ′ ∈ K ∗ ((A i ) V ⊗ C(X) F)oG) =
KK Yj ⋊G(C(Y j ), (A i ) V ⊗ C(X) F).

166 JEAN-LOUIS TU
Soit D ′ i = [i V ] ⊗ Ai D i ∈ KK G ((A i ) V , C(X)).
θ j ⊗ C(Yj ) (u ′ ⊗ (Ai ) V
D i ′ )
= θ j ⊗ C(Yj ) (u ′ ⊗ (Ai ) V
[i V ]) ⊗ Ai D i
= (θ j ⊗ C(Yj ) u ′ ) ⊗ (Ai ) V
[i V ] ⊗ Ai D i
= (u ′ ⊗ C(Yj ) θ j ) ⊗ (Ai ) V
[i V ] ⊗ Ai D i
= (u ′ ⊗ (Ai ) V
σ Yj ,(A i ) V
(θ j )) ⊗ (Ai ) V
[i V ] ⊗ Ai D i
= u ′ ⊗ (Ai ) V
[σ Yj ,(A i ) V
(θ j ) ⊗ (Ai ) V
[i V ] ⊗ Ai D i ]
= u ′ ⊗ (Ai ) V
[i V ] ⊗ α ij ∈ KK G (C(Y j ), A j ⊗ C(X) F).
Son image dans K ∗ ((A j ⊗ C(X) F)oG) vaut u ⊗ j G (σ X,F (α ij )), qui s’identifie à u
dans la limite inductive.
5.1.5. Application aux G-variétés
COROLLAIRE 5.14 (Dualité de Poincaré pour les G-variétés). Soit G un groupoïdes
différentiable et V une G-variété propre. Pour toute G-algèbre F on a
RK G ∗ (V ; F) = K ∗((C(V ν ) ⊗ C(X) F)oG).
Démonstration. On prend Z = V , Y i une suite exhaustive de G-compacts de
V , A i = C(( Yi+1) ◦ ν ), θ i = (h i ) ! ,oùh i :Y i → Y i × X Y i+1 est l’application
diagonale, D i = p ! ∈ KK G (A i , C(X)). On peut aussi considérer que (h i ) ! ∈
KK Yi+1 ⋊G(C(Y i ), C(Y i )⊗ C(X) C( Yi+1)), ◦ et on peut poser θ
i ′ = [f i,i+1]⊗ C(Yi )(h i ) ! ∈
KK Yi+1 ⋊G(C(Y i+1 ), C(Y i ) ⊗ C(X) C( Yi+1)).
◦
La condition (ii) est immédiate par fonctorialité de l’application de Gysin. Pour
vérifier la condition de la Proposition 5.10, il suffit de considérer le diagramme
suivant:
Y j
h
−−→ Y j × X
◦
Y j +1
f ij
↑ ⏐⏐
↑ ⏐⏐
fij ×1
Y i
h
−−→ Y i × X Y j +1
5.1.6. Lien entre K g ∗ et K top
∗
Le corollaire qui précède va nous permettre de donner une autre formulation de la
K-théorie géométrique.

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 167
LEMME 5.15. Si G est un groupoïdes différentiable et f : V → W une application
différentiable G-équivariante entre deux G-variétés propres, alors pour toute G-
algèbre F le diagramme suivant est commutatif:
K ∗ ((C(V ν )⊗ C(X) F)oG)
⏐
↓ ≃
f !
−−→ K ∗ ((C(W ν )⊗ C(X) F)oG)
⏐
↓ ≃
µ
−−→ K ∗ (F o G)
↑
⏐
⏐ µ
RK∗ G(V ; F)−−−−−−f∗ −−→ RK∗ G(W; F)−−−−−−−→ RKG ∗ (EG; F)
Démonstration. En prenant Z = W et en considérant C(V ν ) comme une Zo G-
algèbre, on obtient grâce au Lemme 5.9 la commutativité du premier carré. Celle du
deuxième carrérésulte du Corollaire 5.8.
On obtient ainsi la
PROPOSITION 5.16. Si G est un groupoïdes différentiable et F est une G-algèbre,
on a
K∗ g (G; F) = lim → RKG ∗ (V ; F),
le système inductif
f ∗ : RK∗ G (V ; F) → RKG ∗ (W; F)
étant obtenu à partir des applications différentiables G-équivariantes f: V → W
entre deux G-variétés propres.
Considérons maintenant les propriétés suivantes, pour un groupoïdes différentiable
G:
(*) Toute application continue G-équivariante entre deux G-variétés propres est
G-homotope à une application différentiable.
(**) Pour tout G-espace propre G-compact Y , il existe une G-variété propre V et une
application continue G-équivariante f : Y → V .
PROPOSITION 5.17. Si G vérifie (*)et(**), alors pour toute G-algèbre F ,
K g ∗
(G; F) = Ktop(G; F).
∗
La propriété (**) est vraie dans le cas des groupes de Lie connexes, puisque le
classifiant est une variété. Elle semble vraie aussi dans le cas des groupes discrets,
dont le classifiant est limite inductive de complexes simpliciaux équivariants. Nous
n’avons cependant pas été capables de le prouver. En ce qui concerne la propriété
(*), on a la
PROPOSITION 5.18. Si G est un groupe ou un groupoïdes différentiable étale, alors
(*) est vérifié.

168 JEAN-LOUIS TU
Démonstration. Munissons V et W de métriques riemanniennes G-invariantes.
Il existe ρ : V → + ∗ et ρ′ : W → + ∗ G-invariantes telles que D V ={(v, ξ)| v ∈
V,ξ ∈ T v V,‖ξ‖ < ρ(v)} soit un domaine exponentiel pour V et de même pour W.
Quitte à diminuer ρ, on peut supposer que pour tout v ∈ V , ρ(v) ρ ′ (f (v)). On
peut alors poser f(exp(ξ)) = exp(f ′ (ξ)) pour tout ξ ∈ D V . Soit n la dimension
de V ,etϕ:[0,1] → + différentiable, nulle en 1 telle que ∫ ϕ(‖x‖)dx = 1.
n
L’application
[∫
]
v ↦→ exp ρ(v) −n ϕ(‖ξ‖ρ(v) −1 )f ′ (ξ) dξ
‖ξ‖

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 169
PROPOSITION 5.20. Supposons qu’il existe une Zo G-algèbre A, des éléments
γ ∈ KK G (C(X), C(X)), η ∈ KK G (C(X), A), D ∈ KK G (A, C(X)) tels que
γ = η ⊗ A D et p ∗ (γ ) = 1 ∈ KK Z⋊G (C(Z), C(Z)). Alors γ et E = D ⊗ C(X) η
sont des projecteurs. De plus, si A ′ , γ ′ , η ′ , D ′ vérifient les mêmes propriétés, alors
γ = γ ′ .
Démonstration. En effet, γ ⊗ C(X) η ′ = η ′ ⊗ A σ Z,A (p ∗ (γ )) = η ′ , donc γ ⊗ C(X) γ ′ =
γ ′ . En renversant les rôles de γ et γ ′ , on voit que γ = γ ′ et que γ est un projecteur. De
plus, γ ⊗ C(X) η = η donne, en multipliant à gauche par D, la relation E 2 = E.
Remarque 5.21. Pour que A soit une Zo G-algèbre, il suffit, d’après la propriété
universelle de Z, que A soit une Z ′ o G-algèbre où Z ′ est un espace muni d’une
action propre de G. Dire que p ∗ γ = 1 signifie que pour tout G-espace (localement
compact, etc.) propre Z ′′ ,onap ∗ Z ′′ γ = 1. Cette dernière condition est bien sûr
vérifiée si γ = 1, donc les conditions de la Proposition 5.20 sont remplies s’il existe
un G-espace localement compact propre Z ′ , une Z ′ o G-algèbre A et des éléments η ∈
KK G (C(X), A), D ∈ KK G (A, C(X)) vérifiant η⊗ A D = 1 ∈ KK G (C(X), C(X)).
PROPOSITION 5.22. Avec les hypothèses de la Proposition 5.20, pour toutes G-
algèbres F et H , les groupes KK G (H, A ⊗ C(X) F)E, EKK G (H, A ⊗ C(X) F),
EKK G (H ⊗ C(X) A, F ⊗ C(X) A)E et γKK G (H, F ) sont deux à deux isomorphes.
Démonstration. Par exemple,
KK G (H, A ⊗ C(X) F)E
sont réciproques l’une de l’autre.
⊗D
−−→ γKK G (H, F )
⊗η
−−→ KK G (H, A ⊗ C(X) F)E
PROPOSITION 5.23. Si G vérifie les conditions de la Proposition 5.20, pour toute
G-algèbre F , K∗
top (G; F)s’identifie à K ∗ ((A⊗ C(X) F)oG)E ′ (E ′ = j G (σ X,F (E))),
et les applications de Baum–Connes µ et µ red sont injectives. De plus, si j G (γ ) ∗ :
K ∗ (F o G) → K ∗ (F o G) est l’identité, alors µ est un isomorphisme. Si γ = 1, alors
µ et µ red sont des isomorphismes et l’élément canonique de KK(FoG, F o red G)
est inversible.
Démonstration. Pour prouver le premier point, on pose θ = p ∗ (η) ∈
KK Z⋊G (C(Z), C(Z)⊗ C(X) A). Comme η⊗ A E = γ ⊗ C(X) η = η,onaθ⊗ A E =θ.
De même, E ⊗ A D = D. De plus, σ Z,A (θ) ⊗ A D = σ X,A (η) ⊗ A D = η ⊗ C(X) D =
D⊗ C(X) η = E, ce qui implique le résultat d’après le Théorème 5.19. Ensuite, µ aun
inverse à gauche donné par le dual Dirac, compte tenu de la relation D ⊗ C(X) η = E.
Si j G (γ ) ∗ = Id, alors µ a aussi un inverse à droite, donc µ est un isomorphisme. Si
γ = 1, µ et µ red sont des isomorphismes, et comme les C ∗ -algèbres (A⊗ C(X) F)oG,
et (A⊗ C(X) F)o red G sont isomorphes, F o G et F o red G sont KK-équivalentes.

170 JEAN-LOUIS TU
5.3. généralisation: construction dual dirac-dirac ‘en limite’
Il existe de nombreux cas où l’on peut construire un élément γ au sens de la section
5.2. Par exemple, celui d’un groupe de Lie connexe, d’un groupe discret agissant
sur un arbre, etc.
Cependant, dans le cas des groupoïdess vérifiant la propriété (B), on obtient, non
un élément γ , mais une suite d’éléments γ k vérifiant des hypothèses plus faibles. Le
but de cette section est de montrer que cela implique la conjecture de Novikov.
5.3.1. Enoncégéméral
THÉORÈME 5.24. Soit G un groupoïde localement compact (σ -compact séparable
et séparé) muni d’un système de Haar, X = G (0) , Z le classifiant des actions propres
de G. Supposons que pour toute partie G-compacte Y ⊂ Z il existe un G-compact
Y ′ de Z, une Y ′ o G-algèbre A Y et des éléments η Y ∈ KK G (C(X), A Y ), D Y ∈
KK G (A Y , C(X)), γ Y ∈ KK G (C(X), C(X)) tels que γ Y = η Y ⊗ AY D Y et pY ∗ (γ Y ) =
1 ∈ KK Y⋊G (C(Y ), C(Y )), oùp Y :Y →Xest l’application source correspondant
à l’action de G sur Y .
Alors µ est injective.
Il suffit bien sûr qu’il existe une suite exhaustive de G-compacts Y ⊂ EG vérifiant
ces hypothèses.
Démonstration. Soit Y ⊂ EG un G-compact. Soit L un G-compact contenant Y
et Y ′ ,eti:Y →Ll’inclusion. On montre comme dans la Proposition 5.12 que si L
est assez grand, il existe θ ′ ∈ KK L⋊G (C(L), C(Y ) ⊗ C(X) A Y ) (A Y étant considéré
comme une C(L)-algèbre) tel que son image dans KK G (C(L), C(Y )⊗ C(X) A Y ) soit
égale à celle de [i] ⊗ C(Y) σ C(Y ),C(X) (η Y ) ∈ KK G (C(L), C(Y ) ⊗ C(X) A Y ).
On a alors un diagramme commutatif:
KK G (C(Y ), C(X)) −−−−− [i]⊗
−−→ KK G (C(L), C(X))
σ AY ,X
⊗η Y
KK L⋊G (C(Y ) ⊗ C(X) A Y ,A Y ) KK G (C(L), A Y )
θ ′ ⊗
KK L⋊G (C(L), A Y ) KK(C(L)oG, A Y o G)
≃ λ L ⊗
j G
K(A Y oG)

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 171
En effet, si u ∈ KK G (C(Y ), C(X)),ona
[i]⊗ C(Y) u ⊗ C(X) η Y = [i] ⊗ C(X) σ C(Y ),C(X) (η Y ) ⊗ C(Y) u = θ ′ ⊗ C(Y) u.
Par ailleurs, la composée ψ s’identifie à
KK G (C(Y ), C(X)) µ → K(C ∗ (G)) ⊗j G(η Y )
−→
En effet, pour tout u ∈ KK G (C(Y ), C(X)),ona
K(A Y oG).
λ L ⊗j G ([i]⊗u⊗η Y ) = λ L ⊗j G ([i])⊗j G (u) ⊗ j G (η Y )
= λ Y ⊗ j G (u) ⊗ j G (η Y )
= µ(u) ⊗ j G (η Y ).
Montrons maintenant que µ est injective: si µ(u) = 0, alors ψ(u) = 0 donc
d’après le diagramme commutatif qui précède, [i] ⊗ u ⊗ η Y = 0. En multipliant
à droite par D Y , on obtient [i] ⊗ u ⊗ γ Y = 0. Or, u ⊗ C(X) γ Y = γ Y ⊗ C(X) u =
pY ∗(γ Y ) ⊗ C(Y) u = u, donc [i] ⊗ u = 0, ce qui implique que la classe de u est nulle
dans K∗
top (G).
5.3.2. Cas des feuilletages vérifiant la propriété (B)
Nous pouvons maintenant achever la démonstration de notre résultat principal:
THÉORÈME 5.25. Tout feuilletage bolique (à base compacte et dont le groupoïdes
d’holonomie est séparé) vérifie la conjecture de Novikov.
Démonstration. D’après les résultats du premier chapitre, on se ramène à montrer
que pour tout groupoïdes localement compact avec système de Haar G vérifiant la
propriété (B) de la Définition 1.14, l’application de Baum-Connes est injective.
Pour tout k>0, on a construit des éléments γ k ∈ KK G (C(X), C(X)), η k ∈
KK G (C(X), A BN ) et D k ∈ KK G (A BN , C(X)) vérifiant γ k = η k ⊗ ABN D k et pk ∗γ k =
1 ∈ KK Ek ⋊G(C(E k ), C(E k )).Or,A BN est une |B N |o G ≃| N |oG-algèbre, donc
peut être considéré comme une E N -algèbre.
D’autre part, E k est homotopiquement équivalent à M k =∪ x∈X M k,x ,oùM k,x est
l’ensemble des mesures positives sur Z x dont le support a un diamètre inférieur
ou égal à k et telles que 1/2 + 1/k |µ| 1. Or, M k constitue une suite
exhaustive de G-compacts du classifiant des actions propres (d’après l’appendice
A et les hypothèses de la Définition 1.14), donc les conditions du Théorème 5.24
sont vérifiées.
6. Appendice A
Cet Appendice consiste en quelques résultats, classiques pour les groupes, que nous
reformulons pour les groupoïdess. Bien que les généralisations ne posent pas de

172 JEAN-LOUIS TU
problèmes techniques importants, nous avons cru bon de les faire figurer clairement
dans cet Appendice.
6.1. groupoÏdes propres
On pourra se référer pour les définitions de base à [23]. Rappelons que:
DÉFINITION 6.1. Soit G un groupoïdes localement compact (séparé) σ -compact
de base X. On appelle système de Haar une famille de mesures positives indexée par
X, λ ={λ x |x∈X}telle que:
(i) ∀x ∈ X, Supp (λ x ) = G x ;
(ii) ∀x ∈ X, ∀ϕ ∈ C c (G),
∫
λ(ϕ): x ↦→ ϕ(g)dλ x (g)
g∈G x
appartient à C c (X);
(iii) ∀x,y ∈ X, ∀g ∈ G y x, ∀ϕ ∈ C c (G),
∫
∫
ϕ(gh)dλ x (h) = ϕ(h) dλ y (h).
h∈G x h∈G y
DÉFINITION 6.2. Soit G un groupoïdes et X = G (0) . On dit que G est propre si
l’application
(r, s): G → X × X
est propre.
Il est clair que si Ɣ est un groupoïdes agissant proprement sur un espace X, alors
le groupoïdes Xo Ɣ est propre (on suppose que toutes les actions sur les espaces sont
à droite).
PROPOSITION 6.3. Soit Z un espace topologique localement compact sur lequel
agit proprement un groupoïdes G. On suppose Z → Z/G ouverte. Alors Z/G est
localement compact (séparé).
Démonstration. Soit R le graphe de la relation d’équivalence sur Z induite par
l’action de G. Alors R est fermé, puisque c’est l’image de Z× X G par une application
propre. La proposition résulte alors de [8], I8 Prop. 8 et I10 Prop. 10.
Notons que si Z est réunion dénombrable de compacts et muni d’une action propre
de G, Z/G est séparé mais pas forcément localement compact.
Dans de nombreux cas intéressants, les conditions de la proposition précédente
sont réalisées:

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 173
PROPOSITION 6.4. Soit G un groupoïdes (localement compact) muni d’un système
de Haar (λ x ) x∈X . Soit Z localement compact séparable muni d’une action propre de
G. Alors Z → Z/G est ouverte.
Démonstration. Le groupoïdes Zo G est propre et muni d’un système de Haar
obtenu à partir de celui de G, donc on peut supposer que Z = X et que G est propre.
Soit U un ouvert de X, alors son saturé r(s −1 (U)) est ouvert d’après le lemme qui
suit.
LEMME 6.5. Soit G un groupoïdes (localement compact) propre muni d’un système
de Haar, alors r : G → X est ouverte.
Démonstration. En effet, si U est un ouvert de G et x ∈ X, alors x ∈ r(U) si et
seulement s’il existe ϕ ∈ C c (U) positive telle que
∫
G x ϕ(g)λ x (dg) > 0.
6.2. le classifiant des actions propres
PROPOSITION 6.6. Soit G un groupoïdes localement compact, X = G (0) . Alors
G est propre si et seulement s’il existe un recouvrement ouvert (U i ) i∈I de X tel que
pour tous i, j, G U j
U i
soit relativement compact.
Démonstration. Si G est propre, et si U et V sont des ouverts relativement compacts
de X, il suffit de voir que pour K = U ∪ V , G K K
est relativement compact. Or,
c’est par définition la propreté deG.Réciproquement, si on a un tel recouvrement,
soit K un compact de X et (U i ) i∈J un sous-recouvrement fini de K. Alors
G K K ⊂∪ i,j∈J G U j
U i
est relativement compact, donc G est propre.
DÉFINITION 6.7. Soit G un groupoïdes localement compact muni d’un système de
Haar. On appelle fonction ‘cutoff’ pour G toute application continue c : X → +
telle que
(i) ∀x ∈ X ∫ G x c(s(g)) λ x (dg) = 1;
(ii) r : supp (c ◦ s) → X est propre.
Remarque 6.8. La condition ii. signifie que l’intersection du support de c avec le
saturé d’un compact est compact.
Remarque 6.9. Si G est propre, et si K est un compact de X, alors le saturédeK
est fermé, car si R ⊂ X × X est la relation d’équivalence associée, le saturé deK
est égal à l’image par la deuxième projection du fermé (K × X) ∩ R de K × X.

174 JEAN-LOUIS TU
PROPOSITION 6.10. Soit G un groupoïdes localement compact muni d’un système
de Haar (λ x ). On suppose qu’il existe une fonction vérifiant la condition i. de la
définition précédente. Alors G est propre.
Démonstration. Pour tout ϕ ∈ C c (G), soit
{ ∫
}
U ϕ = x ∈ X| ϕ(g)c(s(g)) λ x (dg) > 1/2 .
G x
Alors les U ϕ constituent un recouvrement ouvert de G, donc il suffit d’après la
Proposition 6.6 de montrer que pour tous ϕ,ψ ∈ C c (G), G U ψ
U ϕ
est relativement
compact. Il suffit de voir que si K est un compact de G, l’ensemble des g ∈ G tels
que ∫ K∩G
c(s(γ )) λ x (dγ) > 1/2et ∫ x K∩G
c(s(γ )) λ y (dγ) > 1/2(oùg∈G y x) est
y
relativement compact. Or, ces relations impliquent (K ∩ G y ) ∩ g.(K ∩ G x ) ≠ ∅,
d’où g ∈ KK −1 .
Etudions la réciproque.
PROPOSITION 6.11. Soit G un groupoïdes localement compact propre muni d’un
système de Haar. Alors il existe une fonction ‘cutoff’ sur G.
Démonstration. Comme π : X → X/G est ouverte surjective entre deux espaces
localement compacts, il existe une famille f i ∈ C c (X), 0 f i 1, telle
que
∑
π(f −1
i
(]0, 1])) forme un recouvrement localement fini de X/G. Soit d(x) =
i f i(x).SiUest un voisinage compact de x, alors il existe J fini tel que d = ∑ i∈J f i
sur U, donc d est continue. En outre, sur le saturé V de U onalamême formule,
donc supp d ∩ V est compact. Soit
∫
f(x)= d(s(g))λ x (dg).
g∈G x
Alors pour tout g ∈ r −1 (U), d(s(g)) est nul en dehors du compact (r, s) −1 (U ×
(V ∩ supp(d))), donc f est continue. Comme par construction f>0, on peut poser
c(x) = d(x)/f (x).
DÉFINITION 6.12. Soit Z un espace localement compact et s : Z → X continue.
On note Z x = s −1 (x) pour tout x ∈ X. Soit alors
M = {µmesure positive sur Z tq 1 < µ(Z) 1,
2
∃x ∈ X supp µ ⊂ Z x }
Notons aussi M(Z) l’ensemble des mesures de Radon sur Z.
PROPOSITION 6.13. Si Z est métrisable, alors M est localement compact pour la
topologie σ(M(Z),C c (Z)) induite du dual de C c (Z).
Démonstration. Soit B la boule unitédeM(Z) = C c (Z) ∗ . Elle est σ (M(Z), C(Z))-
compacte. Soit B + ={µ∈B|µ(f ) 0 ∀f 0}. Il est fermé dans B donc
compact. Par conséquent, M ′ = B + −1/2B + , qui est ouvert dans B + , est localement
compact.

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 175
Soit x ∈ X, etµ∈Mavec s ∗ µ supporté enx. Soit f à support compact tel que
µ(f ) > 1/4. Soit U un voisinage compact de µ dans M ′ sur lequel µ ′ (f ) 1/4
pour tout µ ′ ∈ U. Soit K ′ = s(Supp(f )). Siµ ′ ∈U∩M, soit y tel que s ∗ µ ′ soit
supportéeny∈X.Siy/∈K ′ ,
∫
1 s −1 (K ′ ) dµ ′ = 0,
donc µ ′ (f ) = 0. Impossible. Donc µ ′ est supportéeny∈K ′ .
Soit Z ′ = s −1 (K ′ ).Siµ ′ ∈U∩M, alors µ ′ ∈ M(Z ′ ).Or,M(Z ′ ) est muni de
la topologie induite de M(Z) (puisque Z est métrisable), donc, comme M(Z ′ ) →
M(K ′ ) est continue, et comme l’ensemble des mesures sur X supportées en un point
est fermé (puisque ν est une telle mesure si et seulement si ν(f)ν(g) = 0 pour tous
f et g à supports disjoints), M ∩ M(Z ′ ) est localement compact.
Comme U ∩M est inclus dans M∩M(Z ′ ), on voit que M∩M(Z ′ )est un voisinage
localement compact de µ dans M, et donc M est bien localement compact.
LEMME 6.14. Si G agit proprement sur Z, alors l’action de G sur M est propre.
Démonstration. Pour ϕ continue à support compact sur X,avec0 ϕ 1, on
pose U ϕ ={µ∈M|µ(ϕ) > 1/2}. Alors (U ϕ ) est un recouvrement ouvert de Z, et
si ϕ et ψ ont des supports disjoints, U ϕ ∩ U ψ =∅.
Si ϕ, ψ sont dans C c (Z) avec 0 ϕ,ψ 1, et si K = supp ϕ ∪ supp ψ, soit
g ∈ G. Supposons que µ ∈ U ϕ avec µ.g ∈ U ψ . Alors
(supp ϕ).g ∩ supp ψ ≠ 0,
ce qui implique K.g ∩ K ≠ 0. Il s’ensuit que l’action est propre.
PROPOSITION 6.15. Soit G un groupoïdes étale localement compact agissant proprement
sur l’espace localement compact Z. On suppose que M(Z) → X admet une
section continue. Soit Y un espace localement compact sur lequel G agit proprement.
Alors il existe une et une seule application continue à homotopie près ϕ : Y → M
qui soit G-équivariante.
Démonstration. L’unicité est vraie sans supposer l’existence de sections. En effet,
deux telles applications sont reliées par une homotopie linéaire. Montrons l’existence.
Si Z = G, ety∈Y x , il suffit de prendre pour ϕ(y) la mesure sur G x dont la masse
au point g est c(yg −1 ).
Il suffit donc, dans le cas général, de trouver une application continue G-invariante
M(G) → M(Z). Soit ν : X → M(Z). une section continue. On pose alors, pour
µ ∈ M(G) x ,
ϕ(µ) = ∑ g∈G x
µ(g)(ν(r(g)).g).
Remarque 6.16. Si Z → X est ouverte, alors il existe des sections continues de
M(Z) → X. Cela résulte d’un théorème de sélection de Michael ([22] Théo. 3.2 ′′ ,
[6] Théo. 3.3).

176 JEAN-LOUIS TU
On voit donc que, sous les hypothèses de la proposition précédente, M est le
classifiant des actions propres de G. On peut, pour Z, prendre G lui-même.
6.3. K-théorie équivariante
Pour la définition et les propriétés de base du foncteur KK G , on se reportera à [20]. On
se borne dans cette section à formuler le théorème de Green–Julg pour les groupoïdes
propres.
DÉFINITION 6.17. Soit G un groupoïdes localement compact muni d’un système
de Haar. On note L 2 (G, λ) le C(X)-module hilbertien G-équivariant complété de
C(G) pour le produit scalaire
∫
〈ξ,ξ〉(x) = 〈ξ(g), ξ(g)〉 λ x (dg).
g∈G x
DÉFINITION 6.18. Avec les mêmes hypothèses, soit B une G-algèbre. On note
L 2 (G, B) le B-module hilbertien G-équivariant
L 2 (G, λ) ⊗ C(X) B.
DÉFINITION 6.19. Soit G un groupoïdes localement compact muni d’un système
de Haar, et B une G-algèbre. Soit α : s ∗ B → r ∗ B l’isomorphisme définissant l’action
de G sur B. Soit E un B-module hilbertien. On définit L 2 (G, E) comme le B-module
hilbertien G-équivariant α ∗ (s ∗ (E)) ⊗ r ∗ B L 2 (G, B) muni de l’action diagonale de G.
Remarque 6.20. Intuitivement, E ′ = L 2 (G, E) est formé des ξ avec ξ(g) ∈ E s(g) ,
et
∫
〈ξ,ξ〉(g) = α g (〈ξ(g), ξ(g)〉)λ x (dg),
g∈G x
et ξ · b(g) = ξ(g)α g −1(b r(g) ).
Pour tout B-module hilbertien (non équivariant) E, α ∗ (s ∗ E) est G-équivariant
par la formule [α h (ξ)](g) = ξ(h −1 g).
PROPOSITION 6.21. Soit G un groupoïdes propre muni d’un système de Haar. Soit
B une G-algèbre et E un B-module G-équivariant. Alors E est un facteur direct de
L 2 (G, E).
Démonstration. Soit c une fonction ‘cutoff’ pour G. Intuitivement, pour tout e ∈ E
on pose i(e)(g) = c(s(g)) 1/2 α g −1(e r(g) ). Plus formellement, soient e 1 = (α −1 )(r ∗ e),
ζ(g) = c(s(g)) 1/2 ∈ L 2 (G, M(B)). Alors i(e) = e 1 ⊗ r ∗ B ζ ∈ L 2 (G, E ⊗ B M(B)).
Pour voir que i(e) ∈ L 2 (G, E), on considère le cas e = e ′ b. Alors i(e) = e ′ 1 ⊗ r ∗ B
(ζ ⊗ b),oùe 1 ∈α ∗ (s ∗ E) et ζ ⊗ b ∈ L 2 (G, B).
i(E) est l’image du projecteur 1 ⊗ (ζ 〈ζ,·〉)

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 177
COROLLAIRE 6.22 (stabilisation). Avec les mêmes hypothèses, si de plus E est
dénombrablement engendré, alors il est facteur direct de ⊕ ∞ n=0 L2 (G, B).
Démonstration. Cela résulte en effet du théorème de stabilisation de Kasparov
appliquéauB-module (non équivariant) E.
PROPOSITION 6.23. Soit G un groupoïdes localement compact propre muni d’un
système de Haar. Alors on a un morphisme ϕ : C(X/G) → C ∗ (G) défini par
(ϕ(f ))(g) = c(r(g)) 1/2 c(s(g)) 1/2 f (π(g)),
où c est une fonction ‘cutoff’ pour G.
Démonstration. ϕ est évidemment définie pour f ∈ C c (X/G). En effet, si K ⊂
X/G est compact, son image réciproque π −1 (K) ⊂ X est le saturé d’un compact
K ′ . Soit L un compact de X contenant π −1 (K) ∩ Supp(c). Comme G est propre,
l’image réciproque de L × L par (r, s) est un compact, donc on voit que
g ↦→ c(r(g)) 1/2 c(s(g)) 1/2 f(π(g))
est continue à support compact.
Soit x ∈ X. Considérons la représentation canonique ρ de C ∗ (G) dans L 2 (G x ).
Soit ξ un élément de L 2 (G x ).
∫
(ρ(ϕ(f )).ξ)(g) = c(r(h)) 1/2 c(s(h)) 1/2 f (π(h))ξ(h −1 g) λ r(g) (dh)
h∈G r(g) ∫
= c(r(g)) 1/2 f(π(x)) c(s(h)) 1/2 ξ(h −1 g) dh
h∈G r(g)
∫
2
‖ρ(ϕ(f ))ξ‖ 2 = |f(π(x))|
∫g∈G 2 c(r(g))
∣ c(s(h)) 1/2 ξ(h −1 g) dh
∣
x h∈G r(g)
∫
∫
|f(π(x))|
∫g∈G 2 c(r(g)) c(s(h)) |ξ(h −1 g)| 2 dh
x h∈G r(g) h∈G r(g)
‖f ‖ 2 ∞ ‖ξ‖2 x .
Par conséquent, ‖ρ(ϕ(f))‖ x ‖f‖ ∞ .Onendéduit que ϕ se prolonge par continuité
sur C(X/G) tout entier.
Le fait que ϕ(f) ∗ = ϕ(f ∗ ) est immédiat. Si f , f 1 sont dans C c (X/G),
∫
[ϕ(f)ϕ(f 1 )](g) = c(r(h)) 1/2 c(s(h)) 1/2 f (π(h)) ×
h∈G r(g)
×c(s(g)) 1/2 c(s(h)) 1/2 f 1 (π(h −1 g)) dh
= c(r(g)) 1/2 c(s(g)) 1/2 (ff 1 )(π(g)),

178 JEAN-LOUIS TU
donc ϕ(ff 1 ) = ϕ(f)ϕ(f 1 ). Par conséquent, ϕ est bien un morphisme de C ∗ -
algèbres.
On obtient donc un élément canonique de KK(X/G, C ∗ (G)). SiX/G est compact,
on obtient un élément λ ∈ KK(,C ∗ (G)).
Pour tout B-module hilbertien G-équivariant E, on note Eo G = E ⊗ B Bo G
et Ẽ = P(EoG) où P est l’image dans L(Eo G) du projecteur de C ∗ (G) défini
par p(g) = c(s(g)) 1/2 c(r(g)) 1/2 . Pour tout T ∈ L(E), on pose ˜T = P(T ⊗ B 1)P .
Notons I(E) l’idéal des T ∈ L(E) tels que pour tout f ∈ C(X), fT ∈ K(E). De
même, I(Ẽ) est l’idéal formé par les T ∈ L(Ẽ) tels que fT ∈ K(Ẽ) pour tout
f ∈ C(X/G).
Si T ∈ L(E), on note aussi T G ∈ L(E) l’opérateur
∫
(T G ) x = c(s(g))α g (T s(g) )λ x (dg).
g∈G x
Par construction, T G est G-invariant. Remarquons que ˜T = ˜T G .
PROPOSITION 6.24. Avec les hypothèses de la proposition précédente, T ↦→ ˜T
induit des isomorphismes
≃
L(E) G −→ L(Ẽ)
I(E) G ≃
−→ I(Ẽ).
Démonstration. Notons que si T ∈ L(E) G , alors P et T ⊗ B 1 commutent, donc
T ↦→ ˜T est un morphisme de C ∗ -algèbres. En effet,
∫
(P (T ⊗ 1)ξ)(g) = p(h)α h [T s(h) ξ(h −1 g)]
h∈G r(g)
∫
= p(h)T r(g) α h (ξ(h −1 g))
h∈G r(g)
= T r (g)[(P ξ)(g)].
L’application L(Ẽ) → L(E) est définie par T 1 ↦→ P ′ (T 1 ⊗ 1), oùP ′ est le
projecteur sur E ⊂ L 2 (G, E) obtenu dans la Proposition 6.21, et (Eo G) ⊗ B⋊ G
L 2 (G, B) = E ⊗ B Bo G⊗ B⋊ G L 2 (G, B) est identifié à L 2 (G, E).OnaP ′ =P⊗1
via cette identification.
Pour tout T 1 ∈ L(Ẽ) ⊂ L(Eo G), T 1 ⊗ 1 ∈ L((Eo G) ⊗ B⋊ G L 2 (G, B)) est
G-invariant, donc P ′ (T 1 ⊗ 1) = PT 1 ⊗1 = T 1 ⊗1 ∈ L(P ′ L 2 (G, E)) ≃ L(E) est
bien G-invariant.
La composition L(E) G → L(Ẽ) → L(E), T ↦→ P(T ⊗1) ↦→ P ′ (T ⊗ 1) est
bien l’identité.
Comme la composée L(Ẽ) → L(E) G → L(L 2 (G, E)) s’obtient aussi par
L(Ẽ) ⊂ L(Eo G) ↩→ L(L 2 (G, E)), elle est injective, donc L(Ẽ) → L(E) G

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 179
est injective. Comme on a vu qu’elle est aussi surjective, on en conclut que les
applications L(E) G → L(Ẽ) et L(Ẽ) → L(E) G sont réciproques l’une de l’autre.
Pour tout ξ,η ∈ E, on note θ ξ,η l’opérateur ξ〈η, ·〉. Alors pour tout ξ ∈ E, soit
˜ξ = P(ξ ⊗ B 1) ∈ E ⊗ B M(BoG). De˜θ ξ,ξ G = ˜θ ξ,ξ = θ˜ξ,˜ξ
∈ I(Ẽ), on voit que
L(E) G → L(Ẽ) induit une application I(E) G → I(Ẽ) G .
Réciproquement, si ξ 1 = Pη 1 , P ′ (θ ξ1 ,ξ 1
⊗ 1)P ′ = θ P ′ (ξ 1 ⊗1),P ′ (ξ 1 ⊗1) =
θ Pξ1 ⊗1,P ξ 1 ⊗1 = θ Pη1 ⊗1,P η 1 ⊗1 ∈ P ′ I(L 2 (G, E))P ′ ⊂ I(P ′ L 2 (G, E)) = I(E), donc
l’application L(Ẽ) → L(E) G induit I(Ẽ) → I(E) G .
PROPOSITION 6.25. Avec les hypothèses de la proposition précédente, soit A une
C ∗ -algèbre et B une G-algèbre. Alors la composée
j G
KK G (A ⊗ C(X),B) −−→ KK X/G (A ⊗ C ∗ (G), Bo G)
ϕ
KK X/G (A ⊗ C(X/G), Bo G)
est un isomorphisme canonique (ne dépendant pas de la fonction ‘cutoff’ choisie).
Démonstration. Le fait que la composée ne dépend pas de la fonction ‘cutoff’
résulte du fait que deux telles fonctions sont homotopes.
Quitte à remplacer F par F G , on peut considérer KK G (A ⊗ C(X),B) comme
l’ensemble des classes d’équivalence de triplets (E,ϕ,F)formés par un A ⊗ C(X),
B-bimodule de Kasparov G-équivariant E, un∗-homomorphisme ϕ de A dans
L(E) G et un opérateur autoadjoint F ∈ L(E) G tels que pour tout a ∈ A, ϕ(a)(1−F 2 )
et [ϕ(a),F] soient dans I(E) G . On a les caractérisations analogues pour KK X/G (A⊗
C(X/G), Bo G).
Avec les notations qui précèdent, comme P est le projecteur sur ξ(g) =
c(s(g)) 1/2 ∈ L 2 (G),onendéduit que si E = L 2 (G, B), Ẽ = Bo G. Par le théorème
de stabilisation 6.22 et la proposition précédente, on en conclut que tout Bo G-
module hilbertien est de la forme Ẽ,oùEest un B-module hilbertien G-équivariant.
Par conséquent, (E,ϕ,F) ↦→ (Ẽ, ˜ϕ, ˜F) est une équivalence de catégories. Il est
facile de voir que l’application de KK G (A ⊗ C(X),B) dans KK X/G (A ⊗ C(X/G),
Bo G) qui s’en déduit est obtenue comme dans l’énoncé.
Remarque 6.26. Cela généralise donc l’isomorphisme de Julg KK G (A, B) ≃
KK(A,BoG) valable pour tout groupe compact G agissant sur une C ∗ -algèbre
B, et toute C ∗ -algèbre A sur laquelle l’action de G est triviale.
7. Appendice B
Dans cet Appendice, nous construisons f ! ∈ KK G (C(V ), C(W )) pour une application
différentiable G-équivariante entre deux G-variétés (sous certaines hypothèses).

180 JEAN-LOUIS TU
En fait, il suffit de suivre point par point la construction de [18]; pour la convenance
du lecteur, nous en retraçons les principales étapes.
7.1. la suite exacte à six termes
Nous montrons dans cette section qu’à toute suite exacte G-équivariante semi-scindée
de façon G-équivariante (G étant un groupoïdes localement compact avec système
de Haar) est associée une suite exacte hexagonale en K-théorie. Ce qui suit étant plus
ou moins une paraphrase des démonstrations de [5] et [21], nous nous contentons
d’en retracer les principales étapes.
On suit les définitions de [20]. Rappelons le théorème technique de Kasparov
([20], Théorème 5.1.1):
THÉORÈME 7.1. Soient G un groupoïdes localement compact et σ -compact et α
une action de G sur une C ∗ -algèbre A. Soient J une sous-G-algèbreetunidéal de
A 1 , F un sous-espace séparable de D(A 1 ), A 2 une sous-C ∗ -algèbre σ -unifère de
M(J) telle que A 1 A 2 ⊂ J , A ′ 2 une sous-C∗ -algèbre σ -unifère de M(r ∗ J)telle que
(r ∗ A 1 )A ′ 2 ⊂ r∗ J , χ 0 un élément strictement positif de C(G).
Alors il existe M ∈ M(A 1 ) homogène de degré 0, avec 0 M 1 tel que
(1 − M)A 2 ⊂ J, MA 1 ⊂ J, [F,M]⊂J,
(1 ⊗ r χ 0 )(α(M ⊗ s 1) − M ⊗ r 1) ∈ r ∗ J,
(1 ⊗ r χ 0 )α((1 − M) ⊗ s 1)a
2 ′ ∈ r∗ J.
Rappelons aussi la construction de Stinespring: soit A une G-algèbre. On note
1l’élément unité deM(A). Soit ϕ : Ã → complètement positive G-équivariante
avec ϕ(1) = 1, Ē = A ⊗ ϕ E, π : A → L(Ē), définie par π(a)(b ⊗ ξ) = ab ⊗ ξ,
W ∈ L(E,Ē) l’isométrie définie par Wξ = 1⊗ξ. Alors on a ϕ(x) = W ∗ π(x)W.
On peut alors munir Ē d’une structure de G-module hilbertien telle que π et W
soient G-équivariants. En effet, si V : s ∗ A → r ∗ A et V ′ : s ∗ E → r ∗ E définissent les
actions de G sur A et sur E, alors on pose V ′′ = V ⊗ V ′ . V ∈ L(s ∗ Ē,r ∗ Ē)définit
alors une action de G sur Ē. Remarquons en effet que s ∗ Ē = s ∗ A ⊗ ϕ⊗1 s ∗ E.
Passons maintenant aux suites exactes de Puppe: Soit G un groupoïdes localement
compact, A et B des G-algèbres. On note CA = A[0, 1[ le cône de A, SA = A]0, 1[
la suspension de A et pour tout ∗-homomorphisme G-équivariant ϕ : A → B, C ϕ =
{(a, f ) ∈ A ⊕ CB| ϕ(a) = f(0)},désigne le cône de ϕ. Alors pour toute G-algèbre
D, on a les suites exactes de Puppe
KK G (D, SA) → KK G (D, SB) → KK G (D, C ϕ )
→ KK G (D, A) → KK G (D, B),
KK G (B, D) → KK G (A, D) → KK G (C ϕ ,D)
→ KK G (SB, D) → KK G (SA, D).
On obtient ces suites exactement comme dans [7], 19.4.3 ou dans [13], en remplaçant
les KK par des KK G .
On a alors (cf. [5], Théorème 7.2):

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 181
PROPOSITION 7.2. Soit G un groupoïdes localement compact séparable avec système
de Haar, A et B des G-algèbres séparables et
0 −→ J
j
−→ B −→ q
B/J −→ 0
une suite exacte G-équivariante de G-algèbres telle que q admette un relevé complètement
positif G-équivariant de norme 1. Alors on a des suites exactes hexagonales:
et
KK G (A, J )
↑
δ ⏐
KK 1 G
j ∗
−−−−→ KK G (A, B)
∗
q ∗
−−−−→ KK G (A, B/J )
⏐
↓ δ
q
(A, B/J ) ←−−− − KKG 1 j
(A, B) ←−−− − KKG 1 (A, J )
KK G (B/J, A)
↑
δ ⏐
KK 1 G
q ∗
−−−−→ KK G (B, A)
∗
∗
j ∗
−−−−→ KK G (J, A)
⏐
δ ↓
j
(J, A) ←−−− − KKG 1 q
(B, A) ←−−− − KKG 1 (B/J, A)
Il suffit pour cela de démontrer le
LEMME 7.3 ([5], Lemme 7.3). Sous les mêmes hypothèses,
KK G (A, J )
est exacte.
j ∗
q ∗
−→ KK G (A, B) −→ KK G (A, B/J )
Montrons comment le lemme implique le résultat. Soit e : J → C q l’inclusion
naturelle. Alors la suite exacte
0 → J([0, 1[×{0}) → C e → B/J(]0, 1[×[0, 1[) → 0
satisfait les hypothèses de 7.2, et les termes extrêmes de la suite sont contractiles, donc
d’après le lemme qui précède, KK G (C e ,C e )=0. Il résulte alors des suites exactes
de Puppe pour e : J → C q (et Se: Sj → SC q ) que e ∗ et e ∗ sont des isomorphismes,
c’est-à-dire que e réalise une KK G -équivalence entre J et C q . En remplaçant, dans
les suites exactes de Puppe pour q, C q par J , on obtient le résultat.
Le lemme se démontre en plusieurs étapes:
LEMME 7.4 ([25], Lemma 3.2). Si (E,F) ∈ E G (A, B) vérifie q ∗ (E,F) ∈
D G (A, B/J ), alors [(E,F)]∈Im j ∗ ⊂ KK G (A, B).
Démonstration. Soit E ′ ={ξ∈E|〈ξ,ξ〉∈J},Ẽ={ξ∈E[0, 1]| ξ(1) ∈ E ′ }.
Alors (Ẽ,F ⊗1)∈E G (A, B[0, 1]) réalise une homotopie entre (E,F)et (E ′ ,F)∈
Im j ∗ .
∗

182 JEAN-LOUIS TU
LEMME 7.5 ([25], Lemme 3.3, [5], Lemme 7.4). Soit (E,F) ∈ E G (A, B) et
(F t ) t∈[0,1] une homotopie opératorielle (E ˆ⊗ B B/J,F t ) ∈ E G (A, B/J ) telle que
F ˆ⊗1 = F 0 . Alors il existe une homotopie opératorielle G t telle que (E,G t ) ∈
E G (A0),ondéfinit
σ f = [h 0 ] −1 ⊗ [h 1 ] ∈ KK G (C(N), C(W ))
f ! = β N ⊗ σ f ,

CONJECTURE DE NOVIKOV, FEUILLETAGES HYPERBOLIQUES 183
où β N ∈ KK G (C(V ), C(N)) est l’élément de Thom (résultant du fait que f est
K-orientée).
Il faut pour cela montrer que h 0 est inversible en K-théorie, donc, d’après la suite
à six termes et le fait que C(W×]0, 1]) est contractile, que la suite exacte ci-dessus
admet un relèvement complètement positif G-équivariant de norme 1. Ceci résulte
du
LEMME 7.7. Soient Y ⊂ Z un fermé G-invariant d’un espace muni d’une action
propre d’un groupoïdes localement compact (séparé) mesuré G. Alors C(Z) →
C(Y) admet un relèvement complètement positif G-équivariant de norme 1.
Démonstration. Soit ϕ un relèvement complètement positif (non nécessairement
équivariant) de norme 1 (son existence est assurée par la nucléarité deC(Y)). Pour
tout f ∈ C(Y), on considère s ∗ f ∈ C(Y × X,s G), (ϕ × 1)(s ∗ f) ∈ C(Z × X,s G),
h = α((ϕ × 1)(s ∗ f))∈C(Z × X,r G) et
∫
ψ(f )(z) = c(zg)h(z, g) λ x (dg),
g∈G s(z)
où c est une fonction ‘cutoff’ sur Z. Alors ψ est un relèvement vérifiant les propriétés
requises.
Remerciements
Le présent article fut rédigé en vue de l’obtention d’une thèse de Doctorat soutenue
à Paris 7. Je tiens à remercier G. Skandalis pour m’avoir proposé ce travail, et pour
m’avoir guidé et soutenu lors des diverses étapes son élaboration.
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