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Modèle fluides et cinétiques<br />
Plasmas faiblement ionisés<br />
Irving Langmuir, Schenectady Museum.<br />
M2 Physique des Plasmas - Plasmas faiblement ionisés 2010 - JL Raimbault
M2 Physique des Plasmas - Plasmas faiblement ionisés 2010 - JL Raimbault
Chapitre 1<br />
Introduction à la physique des<br />
plasmas faiblement ionisés<br />
Les plasmas faiblement ionisés (ou plasmas froids) sont créés au sein de<br />
réacteurs initialement remplis de gaz neutres et alimentés par une source extérieure<br />
d’énergie électromagnétique. Par un phénomène d’avalanche électronique, les<br />
quelques électrons toujours présents dans un gaz neutre sont accélérés par les<br />
champs électromagnétiques extérieurs, et créent, par collisions avec les molécules<br />
du gaz, de nouveaux électrons et divers ions, qui constituent le plasma.<br />
Les paramètres extérieurs de contrôle d’une décharge comprennent donc le<br />
choix d’un gaz à une pression déterminée, les diverses longueurs qui fixent la<br />
géométrie du réacteur choisi, et les grandeurs physiques caractéristiques de la<br />
source d’énergie (fréquence caractéristique d’alimentation, tension d’alimentation<br />
ou puissance absorbée par le dispositif).<br />
Gaz<br />
Energie<br />
électromagnétique<br />
Volume<br />
Figure 1.1 – Schéma de principe d’un réacteur à plasma<br />
La nature des gaz utilisés dépend de l’application visée; parmi les plus<br />
simples, on peut citer, l’argon ou le xénon, souvent utilisés comme gaz modèles<br />
pour les études académiques, l’oxygène moléculaire, O 2 , et le fluorure de bore,<br />
BF 3 utilisés respectivement pour la croissance de films d’oxyde de silicium ou de<br />
dépôt de bore sur des substrats de silicium. L’ionisation du fluorure de carbone,<br />
CF 4 , par exemple, libère des atomes de fluor qui peuvent réagir avec un substrat<br />
de silicium pour donner un composé volatil, SiF 4 , qui pourra être facilement<br />
éliminé par pompage.<br />
3
Les gaz sont utilisés sur une large gamme de pression, typiquement du mTorr<br />
à la pression atmosphérique. Les unités courantes sont le Torr et le bar. On<br />
rappelle les correspondances :<br />
1 atm = 1.013 10 5 Pa = 760 Torr,<br />
1 bar = 10 5 Pa,<br />
1 Torr = 133.3 Pa.<br />
Plusieurs types de réacteurs, qui correspondent à différentes façons de coupler<br />
l’énergie électromagnétique au plasma ont été imaginés. Sans souci d’exhaustivité,<br />
mentionnons les réacteurs les plus fréquemment utilisés, à savoir les<br />
réacteurs dits capacitifs et inductifs, représentés schématiquement sur la figure<br />
suivante 1 : Dans les réacteurs capacitifs, une différence de potentiel, continue<br />
V (t) E ⃗ Plasma I(t) • E ⃗ ⃗E ×<br />
Plasma<br />
Figure 1.2 – Schémas de principes des réacteurs capacitifs et inductifs<br />
ou variable dans le temps est directement appliquée entre deux électrodes qui<br />
donne naissance à un champ électrique agissant sur les charges dans le plasmas.<br />
Dans les réacteurs inductifs, on fait circuler un courant variable dans une des<br />
électrodes qui crée un champ magnétique variable et donc un champ électrique<br />
également variable par induction.<br />
Les puissances électriques injectées vont de quelques W (pour les microdécharges)<br />
à quelques kW. Hormis les réacteurs alimentés en DC, les réacteurs alimentés<br />
en alternatifs sont utilisés dans les gammes RF (10-100 Mhz), voire dans les<br />
micro-ondes pour les réacteurs ECR (2 GHz). Les champs magnétiques, lorsqu’ils<br />
sont utilisés, ne dépassent guère le kG. Les tensions appliquées dépendent<br />
des réacteurs et vont de quelques dizaines de V au kV.<br />
Selon le type de réacteur utilisé, les densités électroniques (ou ioniques)<br />
observées sont de l’ordre de 10 9 à 10 12 particules par cm 3 (voire davantage<br />
pour les microdécharges). Ces densités sont souvent très faibles par rapport à<br />
la densité des neutres qui sont les espèces majoritaires. Dans la plupart des<br />
plasmas froids, les taux d’ionisation sont très faibles, de 10 −5 à 10 −1 ; les taux<br />
d’ionisation les plus élevés sont observés dans les propulseurs à plasmas. On a<br />
donc en général :<br />
n e<br />
n n<br />
≪ 1<br />
Du fait du rapport des masses, les transferts de quantité de mouvement ou<br />
d’énergie sont très faibles entre les électrons et les neutres, et très efficaces<br />
1. Parmi les autres types de réacteurs également utilisés, on peut également signaler les<br />
réacteurs dits “hélicons” et ceux dits “ECR” (electron cyclotron resonance).<br />
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(masses voisines) entre les ions et les neutres. En conséquence, les températures<br />
des espèces légères (électrons) et des espèces lourdes (ions, neutres) sont très<br />
différentes au sein d’un plasma froid (au moins sur des échelles de temps suffisamment<br />
courtes) : en général, les plasmas froids ne sont pas des milieux à<br />
l’équilibre thermodynamique, les températures des ions et du gaz sont voisines,<br />
et d’un à 2 ordres de grandeurs plus faibles que la température des électrons :<br />
T i ≈ T n<br />
et<br />
T i<br />
T e<br />
≪ 1<br />
Les densités d’énergies déposées dans les plasmas froids varient du W/cm 3 pour<br />
les décharges traditionnelles dans les réacteurs de grands volumes, jusqu’au<br />
kW/cm 3 dans le cas des microdécharges. Bien que l’on s’intéresse essentiellement<br />
dans ce cours aux plasmas froids hors-équilibre, notons toutefois, que<br />
l’on peut s’approcher de l’équilibre thermodynamique en augmentant la densité<br />
d’énergie déposée dans le milieu. Dans cette dernière situation, les atomes<br />
restituent l’énergie aux électrons par collisions dites superélastiques.<br />
Le plasma étant un milieu conducteur quasi-neutre aux échelles mésoscopiques,<br />
les champs électromagnétiques en son sein sont toujours très faibles ; une zone<br />
- la gaine - doit donc exister près des parois du réacteur, où les conditions aux<br />
limites sur les grandeurs électromagnétiques imposées de l’extérieur (potentiel,<br />
courant ...), doivent s’accorder avec le plasma quasi-neutre confiné au centre.<br />
Très schématiquement, il est utile de séparer le gaz ionisé en deux domaines :<br />
- le centre de la décharge, quasi-neutre (n e ≈ n i ) : “le plasma” (ou prégaine),<br />
- la périphérie de la décharge, non neutre, appelée “gaine”.<br />
Gaine<br />
Plasma<br />
Gaine<br />
Figure 1.3 – Plasma et gaine<br />
La taille des gaines dépend du type des dispositifs utilisés mais est en général<br />
très faible par rapport aux dimensions transversales du réacteur. Comme la<br />
constitution des gaines relève d’un mécanisme d’écrantage du champ électrique<br />
direct ou induit, la taille caractéristique des gaines est de quelques longueurs<br />
de Debye ou de London 2 .<br />
λ D ≡<br />
(<br />
ǫ0 k B T e<br />
ne 2 ) 1/2<br />
, λ L ≡ c<br />
ω P<br />
avec<br />
λ L<br />
L ou λ D<br />
L ≪ 1<br />
On notera que dans ces deux cas, la taille de la gaine varie en n −1/2 : l’écrantage<br />
est d’autant plus fort que la densité du plasma est élevée. L’ordre de grandeur<br />
2. La longueur de London correspond à l’effet de peau non collisionnel. A plus forte pression,<br />
la longueur de Kelvin qui décrit l’effet de peau collisionnel doit être utilisée, la longueur<br />
d’écran dépend alors de la pression de neutres existant au sein du réacteur.<br />
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de la taille des gaines aux densités utilisées est de quelques centaines de microns<br />
dans les décharges RF.<br />
Figure 1.4 – Conversion de l’énergie électromagnétique par les plasmas.<br />
Les applications des plasmas froids peuvent être classifiées schématiquement<br />
en considérant le plasma comme un convertisseur de l’énergie électromagnétique<br />
reçue en diverses autres formes d’énergie. Citons en particulier :<br />
– la conversion énergie électromagnétique/énergie lumineuse où l’on tente<br />
d’optimiser un processus d’excitation électronique particulier qui conduira<br />
à l’émission de photons (éclairage, écrans à plasmas ...)<br />
– la conversion énergie électromagnétique/énergie cinétique où le plasma est<br />
utilisé en tant que source de particules chargées (sources d’ions, faisceaux<br />
d’électrons, propulsion ionique ...)<br />
– la conversion énergie électromagnétique/énergie chimique où l’on exploite<br />
le fait qu’un plasma peut être la source d’espèces chimiquement actives<br />
(traitement des matériaux, stérilisation, dépollution ...)<br />
A ce niveau qualitatif de la description, on retiendra donc (tous les termes ont<br />
leur importance) que<br />
Les plasmas froids de décharges<br />
sont des plasmas faiblement ionisés, hors-équilibre, et confinés.<br />
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Bibliographie<br />
Presque tous les manuels généraux de physique des plasmas contiennent au<br />
moins un chapitre traitant des plasmas faiblement ionisés. Ainsi, dans les livres<br />
suivants, on pourra lire avec profit :<br />
– Francis F. Chen,<br />
Introduction to plasma physics, Plenum Press, 1984, Chapitres 5 et 8.<br />
– Jean-Loup Delcroix,<br />
Physique des Plasmas, InterEditions CNRS, 1994, Chapitres 5 et 12.<br />
– Jean-Marcel Rax,<br />
Physique des Plasmas, Dunod, 2005, Chapitres 4 et 6.<br />
Le nombre d’ouvrages spécialisés en physique des plasmas froids n’est pas très<br />
important. On peut citer en particulier :<br />
– Raoul N. Franklin,<br />
Plasma phenomena in gas discharges, Oxford University Press, 1976.<br />
– Blake E. Cherrington,<br />
Gaseous electronics and gas lasers, Pergamon Press, 1979.<br />
– Yuri P. Raizer,<br />
Gas discharge Physics, Springer-Verlag, 1991.<br />
– Michael A. Lieberman, Allan J. Lichtenberg,<br />
Principles of Plasma discharges and materials processing, Wiley, 1994.<br />
– J. Reece Roth,<br />
Industrial plasma engineering, 2 tomes, IOP, 1995.<br />
– Boris M. Smirnov,<br />
Physics of ionized gases, Wiley, 2001.<br />
– Francis F. Chen, Jane P. Chang,<br />
Lecture Notes on Principles of plasma processing, Plenum-Kluwer, 2002.<br />
– Collectif,<br />
Plasmas Froids : génération, caractérisation et technologies, Publications<br />
de l’Université de Saint-Etienne, 2004.<br />
– Michel Moisan, Jacques Pelletier,<br />
Physique des plasmas collisionnels, Grenoble Sciences, 2006.<br />
Sites et pages web<br />
– Réseaux plasmas froids http ://www.mrct.cnrs.fr/PF/<br />
– Page personnelle de Michael Lieberman http ://www.eecs.berkeley.edu/ lieber/<br />
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Chapitre 2<br />
Modélisation fluide : première<br />
approche<br />
Nous présentons dans ce chapitre les équations du modèle fluide où le plasma<br />
est assimilé à un fluide à plusieurs composantes en interaction. La résolution<br />
d’un tel système dans les cas les plus généraux est fort complexe et passe souvent<br />
par une résolution numérique. Nous étudions quelques cas limites obtenus<br />
lorsque certains termes sont négligés et/ou en dimension réduite. Cette approche,<br />
où les approximations seront effectuées essentiellement sur l’équation<br />
de bilan de quantité de mouvement, permet de dégager plusieurs idées physiques<br />
importantes caractéristiques du comportement des plasmas. Enfin, une illustration<br />
de cette modélisation fluide à la problématique de l’écrantage (électrique<br />
ou magnétique) est exposée dans la dernière section de ce chapitre.<br />
2.1 Equations du modèle fluide<br />
Dans le cadre d’une modélisation fluide, on assimile le plasma à un fluide<br />
chargé, réactif et à plusieurs composantes. Le fluide qui modélise le plasma<br />
est multifluide car il comprend nécessairement les différentes composantes du<br />
plasma. Un plasma étant globalement neutre, le nombre minimum de composantes<br />
est de 2 : les électrons et une espèce ionique positive. Ainsi en est-il pour<br />
les plasmas complètement ionisés. Dans le cas des plasmas faiblement ionisés,<br />
on peut être amené à prendre en compte plusieurs types d’ions (éventuellement<br />
négatifs) ainsi que les atomes ou molécules neutres 1 . Le fluide est également<br />
réactif en général puisque des réactions d’ionisation, recombinaison ... conduisent<br />
à des transformations des espèces les unes dans les autres. Enfin, bien que le<br />
plasma soit globalement neutre, chacune de ses composantes (sauf les espèces<br />
neutres) est porteur d’une charge électrique et comme tel est soumis aux forces<br />
électromagnétiques. Pour toute ces raisons, le formalisme utilisé en physique<br />
1. Une réduction à un seul fluide peut parfois être opérée et conduit alors à une formulation<br />
plus simple à un seule fluide (cf. Magnétohydrodynamique et Electrohydrodynamique).<br />
9
des plasmas dans les modélisations fluides, est plus proche de celles utilisées<br />
en physique de la combustion ou en aérothermochimie, que celles plus simples<br />
caractéristiques des fluides monophasiques neutres.<br />
Pour chaque composante α (électrons, ions, neutres), nous introduisons les<br />
variables dynamiques : densités, n α , pressions, p α , et vitesses moyennes V α .<br />
En outre règnent dans le plasma les champs électromagnétiques auto-cohérents<br />
E et B qui résultent à la fois d’éventuels champs extérieurs appliqués et des<br />
champs créés par le mouvement des charges dans le plasma. Toutes ces grandeurs<br />
physiques dépendent de la position r considérée au sein du plasma, et du<br />
temps t.<br />
L’ensemble des équations comprend les équations de bilans de matière et de<br />
quantité de mouvement associées aux équations de Maxwell, c’est-à-dire :<br />
∂n α<br />
+ ∇. (n α V α ) = S α ,<br />
[<br />
∂t<br />
] ∂<br />
m α n α<br />
∂t + V α.∇ V α = −∇p α + n α F α − −m α (V α − U α ) S α ,<br />
∇ × E =<br />
∇ × B =<br />
− ∂B<br />
∂t ,<br />
µ 0 J + µ 0 ǫ 0<br />
∂E<br />
∂t ,<br />
auxquelles il convient d’ajouter des conditions initiales et aux limites adaptées.<br />
Dans ces équations, U α désigne la vitesse fluide de création ou de destruction<br />
des particules de la composante α, et S α , le nombre de particules créées<br />
ou détruites par unité de temps du fait des diverses réactions entre les particules<br />
(ionisation, combinaison, attachement). La force extérieure, F α , comprend<br />
généralement les forces électromagnétiques et de friction 2 entre les composantes<br />
:<br />
∑<br />
F α = q α (E + V α × B) − m α ν αβ (V α − V β )<br />
Par ailleurs, les densités de charges et de courant sont définies par les relations<br />
β≠α<br />
ρ ≡ ∑ α<br />
q α n α et J ≡ ∑ α<br />
q α n α V α .<br />
Remarques<br />
1- On notera que seules 2 des 4 équations de Maxwell ont été introduites.<br />
Les 2 autres équations, celles de Maxwell-Gauss ∇.E = ρ/ǫ 0 et l’équation<br />
∇.B = 0. peuvent être fixées par les conditions initiales. Cela résulte du fait que<br />
les équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère peuvent être interprétées<br />
2. Les conditions sous lesquelles la force de friction prend la forme annoncée seront précisées<br />
dans le chapitre suivant.<br />
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comme des équations d’évolution des champs E et B sous la forme :<br />
∂B(r, t)<br />
∂t<br />
∂E(r, t)<br />
∂t<br />
= −rot E(r,t),<br />
=<br />
1<br />
ǫ 0 µ 0<br />
rot B(r,t) − 1 ǫ 0<br />
J(r, t)<br />
En tant qu’équations d’évolution, ces 2 équations doivent être complétées par<br />
des conditions initiales sur les champs E et B.<br />
En utilisant la relation de conservation de la charge et le fait que la divergence<br />
d’un rotationnel est nulle, les 2 équations d’évolution se récrivent :<br />
∂<br />
(divB) = 0,<br />
∂t<br />
∂<br />
(divE − ρ )<br />
= 0,<br />
∂t ǫ 0<br />
Les 2 équations de Maxwell sur la divergence sont donc obtenues en fixant les<br />
conditions initiales suivantes :<br />
divE(r, 0) =<br />
ρ(r, 0)<br />
ǫ 0<br />
et divB(r, 0) = 0<br />
de sorte que si ces relations sont satisfaites à l’instant initial, elles le demeurent<br />
aux temps ultérieurs.<br />
Il est donc équivalent de se donner les 4 équations de Maxwell, ou les 2<br />
équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère complétées par des conditions<br />
initiales adaptées.<br />
Noter qu’il peut cependant apparaître plus commode dans certains problèmes<br />
d’être redondant et d’utiliser explicitement les 4 équations de Maxwell.<br />
2- Tel quel, pour un système à N composantes, ce système comprend 4N +<br />
6 équations pour les 5N + 6 champs inconnus, n α , p α ,V α ,E et B, de sorte<br />
que le système comprend plus d’inconnues que d’équations. Dans l’approche<br />
traditionnelle utilisée en thermodynamique, on introduit une équation de bilan<br />
supplémentaire : l’équation de bilan d’énergie. Cette équation introduit à son<br />
tour une nouvelle inconnue, le flux de chaleur, que l’on relie aux autres inconnues<br />
par une considération thermodynamique (par exemple la loi de Fourier ou une<br />
hypothèse d’adiabacité).<br />
Ce chemin peut également être suivi dans le cadre de l’étude des plasmas,<br />
mais il est plus simple d’introduite la contrainte thermodynamique au niveau<br />
de l’équation de bilan de quantité de mouvement. Les plasmas étant des milieux<br />
dilués, on peut utilise l’équation d’état des gaz parfaits sous la forme 3 :<br />
p α = n α (k B T α ) (2.1)<br />
3. L’utilisation, lorsque le fluide est en mouvement, d’une équation valable pour une situation<br />
à l’équilibre thermodynamique, correspond à l’hypothèse d’équilibre thermodynamique<br />
local.<br />
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Cette relation introduit cependant un nouveau champ inconnu, le champ de<br />
température T α (r, t), ce qui ne résout donc rien. Une façon de fermer les équations<br />
consiste à introduire une hypothèse physique suffisamment forte qui fixe le<br />
champ de pression.<br />
Dans les situations où la pression au sein du fluide peut être négligée par<br />
rapport aux autres contributions 4 :<br />
p α → 0,<br />
les 2 équations de conservation de la charge et de l’impulsion suffisent à déterminer<br />
les champs de densités : n α , et de vitesses V α .<br />
Dans le cas contraire, la pression (ou la température) reste inconnue. Il faut<br />
donc au moins une autre équation indépendante pour “fermer” l’ensemble des<br />
équations, ce qui est facile lorsque les échelles de temps associées à la dynamique<br />
des particules et à la diffusion de la chaleur sont bien séparées.<br />
Considérons d’abord le cas d’une évolution isotherme du plasma (T α uniforme),<br />
c’est-à-dire que les gradients de température relaxent rapidement sur<br />
l’échelle de temps étudiée, l’équation manquante s’écrit donc :<br />
p α<br />
n α<br />
= Cte ou dp α = k B T α dn α = C α d(n α m α ),<br />
où C α ≡ (k B T α /m α ) 1/2 est la vitesse isotherme du son.<br />
Dans le cas opposé d’une évolution adiabatique où la chaleur n’a pas eu le<br />
temps d’être transportée, la contrainte thermodynamique est la relation<br />
p α n −γ<br />
α = Cte ou dp α = γ k B T α dn α = C γ α d(n α m α ),<br />
où γ = c p /c v est le rapport des chaleurs spécifiques à pression et volume<br />
constants 5 , et où C γ α ≡ (γk B T α /m α ) 1/2 est la vitesse adiabatique du son. On<br />
remarquera que ce dernier cas comprend le précédent pour la valeur particulière<br />
γ = 1.<br />
En résumé, il y a donc (au moins) 3 situations limites pour lesquelles on<br />
peut fermer les équations de bilan de particules et de quantité de mouvement :<br />
Approximation des plasmas froids : p α = 0,<br />
Approximation isotherme : p α n −1<br />
α = Cte,<br />
Approximation adiabatique : p α n −γ<br />
α = Cte.<br />
Ce scénario cohérent consiste à ne retenir que les 2 premières équations de bilans<br />
(les 2 premiers moments de l’équation de Boltzmann). Une autre possibilité<br />
consiste à retenir les 3 premières équations de bilan (matière, quantité de mouvemente<br />
et énergie). Cela rajoute une variable par composante, la température<br />
4. Cette situation correspond à celle dite des plasmas froids, puisque une température nulle<br />
implique une pression cinétique nulle.<br />
5. Dans le cas des gaz parfaits à d dimensions, γ = (d + 2)/d.<br />
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T α . En utilisant l’équation d’état des gaz parfaits, acceptables pour les milieux<br />
dilués, p α = n α k b T α , on obtient alors un système de 6N + 6 équations pour<br />
6N + 6 inconnues pour peu qu’on ait fixé le flux de chaleur. Les équations sont<br />
alors fermées au niveau du 3ème moment. Nous reviendrons sur cette possibilité<br />
dans le chapitre suivant.<br />
2.2 Plasmas collisionnels : mobilité et diffusion<br />
Lorsque le libre parcours moyen des particules chargées (électrons ou ions)<br />
est faible devant les dimensions caractéristiques du plasmas, les espèces subissent<br />
de nombreuses collisions avant de ressentir toute accélération significative.<br />
Dans ces conditions, on peut raisonnablement négliger les forces d’inerties<br />
devant les autres forces (friction, électromagnétiques et de pression), de sorte<br />
que l’équation de bilan de quantité de mouvement de l’espèce α s’écrit :<br />
∑<br />
− ∇p α + n α q α (E + V α × B) − m α n α ν αβ (V α − V β ) = 0 (2.2)<br />
Pour fixer les idées, limitons-nous aux cas des plasmas faiblement ionisés pour<br />
lesquels les collisions dominantes sont les collisions ions-neutres et électronsneutres.<br />
La composante α représentant, soit les électrons, soit les ions, la seule<br />
composante β à retenir est celle représentant les espèces neutres. Du fait que<br />
ces dernières ne sont pas sensibles aux champs électromagnétiques, on pourra<br />
en général considérer que la vitesse fluide des neutres est négligeable devant<br />
celles des espaces chargées. Ici, on aura donc V β ≪ V α de sorte que la force de<br />
friction s’écrit :<br />
∑<br />
−m α n α ν αβ (V α − V β ) ≈ −m α n α ν α V α (plasmas faiblement ionisés)<br />
β≠α<br />
où on a posé ν αn ≡ ν α puisque les seules collisions retenues sont avec les neutres.<br />
L’équation (2.2) s’écrit donc :<br />
β≠α<br />
V α = − 1<br />
m α ν α<br />
∇p α<br />
n α<br />
+ q α<br />
m α ν α<br />
(E + V α × B)<br />
Les plasmas étant des milieux dilués pour lesquels l’équation d’état p α =<br />
n α k B T α s’applique, cette équation prend la forme dite de mobilité-diffusion :<br />
V α = µ α (E + V α × B) − D α<br />
( ∇Tα<br />
T α<br />
+ ∇n )<br />
α<br />
n α<br />
(2.3)<br />
où µ α et D α sont des coefficients de transports, respectivement appelés mobilité<br />
et coefficient de diffusion :<br />
µ α ≡ q α<br />
m α ν α<br />
D α ≡ k BT α<br />
m α ν α<br />
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Ces 2 coefficients ne sont pas indépendants mais reliés par la relation d’Einstein :<br />
D α<br />
µ α<br />
= k BT α<br />
q α<br />
qui est une des formes du théorème de fluctuation-dissipation.<br />
En l’absence de champ magnétique, l’équation (2.3) montre explicitement<br />
que la vitesse fluide des électrons ou des ions au sein d’un plasma collisionnel<br />
a pour origine commune l’existence de gradients. Chacun des gradients<br />
éventuellement présents dans le plasma : gradients de densité, de température<br />
ou de potentiel électrostatique contribue à la vitesse fluide totale. On notera en<br />
outre que la direction de la vitesse est celle des gradients (le sens dépend du<br />
signe de la charge pour les termes de mobilité).<br />
Lorsque le champ magnétique n’est pas nul, l’équation (2.3) ne donne plus<br />
explicitement la vitesse qui apparaît également dans la force de Laplace. Néanmoins,<br />
on remarquera que cette équation est une équation vectorielle algébrique et<br />
linéaire pour la vitesse (et non différentielle non-linéaire comme dans sa forme<br />
sans approximations). Elle peut donc être explicitement résolue. Pour cela, on<br />
peut soit projeter cette équation sur 3 directions orthogonales et exprimer les<br />
différentes composantes, ou procéder directement sur l’équation vectorielle.<br />
Vous montrerez en travaux dirigés que V α peut s’écrire explicitement comme<br />
somme de 3 contributions dans des directions orthogonales. (E,B) définissant<br />
un plan, ces 3 directions sont : la direction du champ magnétique (notée ‖), la<br />
direction orthogonale à B dans le plan (E,B) (notée ⊥), et la direction E × B<br />
(notée ×), également appelée direction de Hall.<br />
⊥<br />
E<br />
×<br />
B, ‖<br />
On trouve (en laissant tomber l’indice α pour simplifier l’écriture) :<br />
V = V ‖ + V ⊥ + V ×<br />
avec :<br />
V ‖<br />
V ⊥<br />
V ×<br />
= µ ‖ E ‖ − D ‖<br />
(<br />
∇‖ T<br />
T<br />
= µ ⊥ E ⊥ − D ⊥<br />
(<br />
∇⊥ T<br />
T<br />
+ ∇ )<br />
‖n<br />
n<br />
= µ × E ⊥ × b − D ×<br />
(<br />
∇⊥ T<br />
T<br />
+ ∇ ⊥n<br />
n<br />
)<br />
+ ∇ ⊥n<br />
n<br />
)<br />
× b<br />
où b est le vecteur normalisé donnant la direction du champ magnétique :<br />
b ≡ B/ ‖b‖. Dans ces expressions les coefficients de transport sont définis par<br />
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les relations suivantes :<br />
µ ‖<br />
µ = D ‖<br />
D = 1,<br />
µ ⊥<br />
µ = D ⊥<br />
D = 1<br />
1 + (ω c /ν) 2, µ ×<br />
µ = D ×<br />
D = ω c /ν<br />
1 + (ω c /ν) 2 .<br />
où ω c ≡ qB/m est la fréquence cyclotron.<br />
Plusieurs remarques découlent de ces expressions :<br />
1. Le mouvement dans la direction du champ magnétique n’est pas modifié<br />
par la présence du champ magnétique.<br />
2. L’expression des coefficients de transport montre que l’importance des<br />
contributions dans les directions ⊥ et × dépend du rapport ω c /ν, c’està-dire<br />
de l’importance relative de la force magnétique et de la force de<br />
friction.<br />
A collisionnalité fixée (i.e. à ν fixé) :<br />
– La mobilité et la diffusion transverse ⊥ ont un comportement monotone<br />
décroissant en fonction du champ magnétique : ce dernier a donc un<br />
effet qui confine le plasma.<br />
– Au contraire, la mobilité et la diffusion Hall × varient de façon non<br />
monotone, croissant puis décroissant lorsque le champ magnétique augmente.<br />
A fort champ magnétique :<br />
– Les coefficients ⊥ sont proportionnels à ν (contrairement à D et µ qui<br />
varient en ν −1 ).<br />
– Les coefficients de Hall sont quant à eux indépendants de la fréquence<br />
de collision.<br />
3. Les termes proportionnels à µ ‖ , µ ⊥ et D × dépendent du signe de la charge<br />
électrique des particules étudiées, les autres contributions ont même sens<br />
pour les électrons et pour les ions.<br />
4. Le terme proportionnel à E ⊥ ×b s’appelle la vitesse de dérive de champs<br />
croisés (même sens de dérive pour les électrons et les ions), les termes<br />
proportionnels à ∇ ⊥ n×b et ∇ ⊥ T ×b sont appelés vitesses diamagnétiques<br />
(sens opposé de mouvement pour les électrons et les ions).<br />
Exemple : colonne cylindrique magnétisée<br />
Pour illustrer ces résultats, considérons le cas d’une longue colonne cylindrique<br />
de plasma soumis à un champ magnétique axial. Soit (e r ,e θ ,e z ) le<br />
système de coordonnées cylindriques associé. Le système étant invariant par<br />
translation le long de Oz et par rotation autour de Oz, tous les gradients sont<br />
nécessairement radiaux. C’est le cas du champ électrique (gradient de potentiel)<br />
généralement dirigé vers la périphérie du cylindre. Au contraire, la densité<br />
du plasma est maximale au centre, le gradient correspondant étant donc dirigé<br />
vers l’axe du cylindre. Tant qu’on reste assez loin de la surface latérale qui<br />
confine le plasma, les gradients de température sont généralement faibles et on<br />
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les négligera par la suite. La situation est donc la suivante :<br />
B = B ‖ = B e z ,<br />
E = E ⊥ = E e r ,<br />
∇n α = ∇ ⊥ n α = −∇n α e r ,<br />
∇T α ≈ 0<br />
Les sens des différentes contributions des vitesses fluides, radiales et othoradiales,<br />
sont représentées sur la figure suivante.<br />
E<br />
−D ×i<br />
∇ ⊥ n<br />
n<br />
× b<br />
µ ⊥e E<br />
µ ×i E × b<br />
−D ⊥e<br />
∇ ⊥ n<br />
n<br />
B<br />
⊙<br />
B<br />
⊙<br />
B<br />
⊙<br />
∇n<br />
µ ⊥i E<br />
−D ×e<br />
∇ ⊥ n<br />
n<br />
× b<br />
−D ⊥i<br />
∇ ⊥ n<br />
n<br />
µ ×e E × b<br />
La figure de gauche représente la configuration des champs et gradients<br />
étudiée. La figure centrale représente les contributions de sens opposé pour les<br />
ions et les électrons (radiales dues aux termes de mobilités ⊥ et azimuthales dues<br />
aux contributions diamagnétiques). La figure de droite représente les contributions<br />
de même sens pour les ions et les électrons (radiales dues aux termes de<br />
diffusion ⊥ et azimuthales dues aux dérives de champ croisés).<br />
2.3 Plasmas non collisionnels : inertie et équilibre<br />
Dans cette section, nous considérons les situations où le libre parcours moyen<br />
des particules est grand devant la taille du système étudié. Dans ces conditions,<br />
tous les termes de collisions sont négligeables, et l’équilibre se réalise, pour une<br />
espèce donnée, par compensation des forces d’inertie, de pression et des forces<br />
électromagnétiques :<br />
( ) ∂<br />
nm<br />
∂t + V.∇ V = −∇p + nq (E + V × B)<br />
Cette équation est encore bien compliquée aussi nous restreignons-nous dans la<br />
suite au cas stationnaire (∂ t ≡ 0), et isotherme (∇T ≡ 0), soit :<br />
m (V.∇)V + k B T ∇n<br />
n<br />
+ q ∇ϕ − q V × B = 0, (2.4)<br />
où nous avons utilisé les relations E = −∇ϕ et p = n k B T et où nous avons<br />
divisé par n. Bien que simplifiée, cette équation n’est cependant pas triviale dans<br />
ces conséquences. On notera en particulier la présence du terme non-linéaire en<br />
vitesse dû aux forces d’inertie.<br />
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On peut maintenant utiliser la relation vectorielle (V.∇)V = rotV × V +<br />
∇ ( V 2 /2 ) qui montre que le produit scalaire de l’équation (2.4) par le vecteur<br />
V conduit au résultat :<br />
( )<br />
1<br />
V.∇<br />
2 mV 2 + k B T lnn + qϕ = 0<br />
On en déduit donc l’existence de l’invariant le long d’une ligne de courant :<br />
1<br />
2 mV 2 + k B T lnn + qϕ = Cte<br />
Ce résultat constitue une forme particulière de la la formule de Bernouilli 6<br />
qui s’applique aux fluides parfaits et l’équation (2.4) n’est autre que l’équation<br />
d’Euler en présence des forces électromagnétiques. Bien que les lignes de courant<br />
soient évidemment modifiées en présence de champ magnétique, il est cependant<br />
remarquable que la forme générale de cet invariant se conserve en présence du<br />
champ magnétique.<br />
Selon les situations particulières du plasma ou selon la composante du<br />
plasma (électrons ou ions) considérée, 2 des 3 termes peuvent être prépondérant<br />
par rapport au 3ème, ce que nous détaillons dans ce qui suit.<br />
2.3.1 Equilibre thermodynamique<br />
Cette situation correspond au cas où l’énergie cinétique peut être négligée.<br />
C’est le cas par exemple, dans le cas des plasmas froids, pour les électrons, dont<br />
les très faibles masses tendent à rendre négligeable le terme d’origine inertiel. Les<br />
électrons sont alors à l’équilibre entre eux, sans toutefois être en équilibre avec<br />
les autres composantes du plasmas (ions et espèces neutres) qui possèdent en<br />
général une température inférieure d’un à 2 ordres de grandeurs. Dans certaines<br />
situations de plasmas chauds, les ions et les électrons peuvent se trouver à la<br />
même température et donc l’équilibre thermodynamique est <strong>complet</strong>.<br />
L’équation (2.5) s’écrit donc :<br />
k B T lnn + qϕ = Cte,<br />
ce qui traduit l’uniformité du potentiel électrochimique 7 le long des lignes de<br />
courant. Soit n 0 la densité là où le potentiel électrostatique s’annule, on aura<br />
donc<br />
k B T lnn + qϕ = k B T lnn 0 ⇔ n(r) = n 0 e −qϕ(r)/(k BT)<br />
6. Dans le cas des fluides incompressibles comme l’eau (mais ce n’est pas le cas des plasmas<br />
qui s’assimilent plutôt à des gaz !), la formule de Bernouilli s’écrit sous la forme légèrement<br />
différente (chacun des termes est homogène à une densité d’énergie et non pas à une énergie) :<br />
1<br />
2 (nm)V 2 + p + (nq)ϕ = Cte<br />
7. On rappelle que le potentiel chimique du gaz parfait est tel que µ GP = k BT ln(nΛ 3 ) où<br />
Λ est la longueur d’onde thermique de la particule.<br />
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Il s’agit là d’une forme de la densité en e −E/(k BT) qui correspond donc à la<br />
relation d’équilibre de Boltzmann. Les composantes du plasma qui vérifient<br />
cette équation sont appelées boltzmanniennes.<br />
2.3.2 Mouvement inertiel<br />
Supposons maintenant qu’il soit possible de négliger le terme proportionnel<br />
à la température. Cette approximation est envisageable pour les ions au sein<br />
d’un plasma partiellement ionisé. L’équation correspondante s’écrit :<br />
1<br />
2 mV 2 + qϕ = Cte<br />
ce qui correspond à la conservation de l’énergie totale, somme des énergies<br />
cinétique et potentielle. On notera que sous ces hypothèses, cette composante<br />
du plasma ne se comporte plus comme un fluide mais comme une particule.<br />
Comme nous l’avons déjà noté, en l’absence de température (ou de pression),<br />
le caractère de milieu continu du fluide est perdu et devient particulaire. Soit<br />
V 0 la vitesse des particules où le potentiel s’annule, alors :<br />
1<br />
2 mV 2 + qϕ = 1 2 mV 2<br />
0 ⇔ V (r) = V 0<br />
√<br />
1 − 2qϕ(r)/(mV 2<br />
0 )<br />
Cette expression peut être comparée avec la vitesse de chute libre d’une masse<br />
placée dans un champ de gravitation. Ici, c’est le potentiel électrostatique qui<br />
freinera ou accélérera les charges en fonction de leur signe.<br />
2.4 Remarques<br />
Il ne faut pas perdre de vue que ce qui précède établit, sous certaines approximations,<br />
des relations fonctionnelles entre des grandeurs physiques qui ne sont<br />
pas indépendantes. Aucune des relations précédemment obtenues n’ont permis<br />
d’exprimer les grandeurs physiques en fonction de la position (et éventuellement<br />
du temps), ce qui reste l’objectif d’une description complète des plasmas dans<br />
une approche eulérienne. En effet, on a ici seulement exploité les conséquences<br />
de certaines approximations sur la seule équation de bilan de quantité de mouvement,<br />
alors qu’une solution complète et auto-cohérente suppose de coupler<br />
l’ensemble des équations de bilans et des équations de Maxwell.<br />
Il n’en reste pas moins vrai que cette approche partielle permet déjà de souligner<br />
les conséquences physiques importantes, et la différence des formalismes<br />
utilisés en fonction de la plus ou moins grande collisionnalité du plasma étudié.<br />
Une approche plus complète qui conduira à l’expression des profils de densités,<br />
vitesses fluides, potentiel électrostatique, ... sera donnée dans les chapitres suivants.<br />
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2.5 Ecrantages<br />
Dans les deux sections qui suivent, on considère un plasma perturbé par un<br />
champ électrique ou un champ magnétique extérieurs. Du fait de la mobilité<br />
des espèces, un plasma - comme tout milieu conducteur - tend à s’opposer à la<br />
pénétration des champs extérieur. Les longueurs caractéristiques sur lesquelles<br />
le champ électrostatique ou magnétique peut pénétrer (longueurs de Debye ou<br />
de London) sont mises en évidence dans le cadre d’une modélisation fluide<br />
simplifiée.<br />
2.5.1 Ecrantage électrostatique<br />
On se propose de comparer la distribution de potentiel électrostatique au<br />
voisinage d’un objet polarisé électriquement et immergé, soit dans le vide, soit<br />
dans un plasma.<br />
Supposons d’abord que le milieu environnant l’objet est le vide. Le potentiel<br />
électrostatique ϕ est solution de l’équation de Poisson (de Laplace dans le cas<br />
présent puisqu’il n’y a pas de charges) :<br />
△ϕ = 0<br />
Pour simplifier, supposons que l’objet considéré est une plaque suffisamment<br />
grande, le problème est invariant par translation dans les 2 directions parallèles<br />
à la plaque, de sorte que le problème est unidimensionnel :<br />
d 2 ϕ<br />
d 2 x = 0<br />
ϕ(x) = Ax + B<br />
On en déduit donc que le potentiel suit une évolution linéaire dans le vide.<br />
Considérons maintenant que le milieu environnant est un plasma complètement<br />
ionisé 8 et que ses 2 composantes, électrons et ions, sont à l’équilibre thermodynamique<br />
à la même température T. Les densités s’écrivent donc (cf. chapitre<br />
précédent) :<br />
n e (r) = n 0 e +eϕ(r)/(k BT)<br />
et<br />
n i (r) = n 0 e −eϕ(r)/(k BT)<br />
où on a supposé que le plasma est quasi-neutre là où le potentiel électrostatique<br />
s’annule.<br />
En couplant ces 2 équations avec l’équation de Poisson ǫ 0 △ϕ = −e(n i −n e ),<br />
on obtient l’équation de Poisson-Boltzmann qui décrit l’évolution spatiale du<br />
potentiel électrostatique :<br />
△ϕ = + 2en 0<br />
ǫ 0<br />
( ) eϕ<br />
sinh<br />
k B T<br />
(2.5)<br />
8. L’étude est quasi-identique dans le cas d’un plasma partiellement ionisé où l’on pourra<br />
considérer la distribution des ions comme uniforme et celle des électrons comme boltzmannienne.<br />
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Il s’agit d’une équation différentielle non-linéaire du second ordre qui doit être<br />
complétée par 2 conditions aux limites.<br />
Avant de résoudre cette équation, il est important de noter que cette équation<br />
est équivalente au système de trois équations différentielles suivante qui couplent,<br />
sous certaines approximations, les 2 équations de bilan de quantité de mouvement<br />
pour les électrons et pour les ions ainsi qu’une seule des équation de<br />
Maxwell, l’équation de Maxwell-Gauss :<br />
−k B T ∇n e − en e E = 0,<br />
−k B T ∇n i + en i E = 0,<br />
∇.E = e(n i − n e )<br />
ǫ 0<br />
A l’aide de la relation E = −∇ϕ, on retrouve aisément l’équation de Poisson-<br />
Boltzmann en éliminant les densités d’entre ces équations 9 . A tort ou à raison<br />
(c’est au physicien de le dire!), ce système montre que l’équation de Poisson-<br />
Boltzmann ne retient pas la dépendance temporelle, les éventuels effets magnétiques,<br />
les forces d’inertie et de friction.<br />
Revenant à l’équation (2.5), il convient tout d’abord de la normaliser. Il<br />
est clair que eϕ/k B T, rapport de l’énergie potentielle électrostatique à l’énergie<br />
thermique, est une grandeur sans dimension. Posons Φ ≡ eϕ/(k B T) ; l’équation<br />
(2.5) s’écrit donc en multipliant par e/k B T :<br />
△Φ = 2e2 n 0<br />
ǫ 0 k B T sinh Φ<br />
Le laplacien étant un opérateur homogène à l’inverse d’une longueur, on en<br />
déduit aussitôt que la grandeur<br />
√<br />
ǫ0 k B T<br />
λ D ≡<br />
e 2 n 0<br />
est homogène à une longueur que l’on appelle la longueur de Debye 10 . Cette<br />
longueur ne dépend pas seulement de constantes caractéristiques du milieu ou<br />
des composantes du plasma, mais également - et surtout - de la densité et de<br />
la température du plasma. Ainsi l’équation de Poisson-Boltzmann peut-elle se<br />
réécrire :<br />
△Φ = +κ 2 D sinh Φ<br />
où nous avons posé κ D ≡ √ 2/λ D qui a les dimensions d’un nombre d’ondes<br />
(m −1 ).<br />
Pour montrer qu’en présence de plasma, le potentiel ne suit plus une évolution<br />
linéaire, contentons-nous de linéariser l’équation précédente. Comme sinh x ≈,<br />
on obtient aussitôt :<br />
△Φ = +κ 2 D Φ<br />
9. Compte tenu des approximations effectuées, on remarquera que les équation de bilan de<br />
particules ne sont pas utilisées dans cette approche, ce qui est une conséquence du fait que les<br />
vitesses fluides n’apparaissent pas dans ces équations.<br />
10. Mise en évidence en 1923 par Debye et Hückel dans leur étude des électrolytes.<br />
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dont la solution s’écrit :<br />
Φ(x) = Φ 0 e −κ D|x|<br />
où Φ 0 est le potentiel appliqué à la plaque supposée placée en x = 0. Le potentiel<br />
chute donc exponentiellement en présence de plasma. On dit que le potentiel<br />
(ou la charge) à laquelle est portée la plaque est écrantée par les charges mobiles<br />
présentes dans le plasma. Ce comportement n’est pas propre aux plasmas<br />
mais est caractéristique des milieux où il existe des charges libres (conducteurs,<br />
électrolyte ...).<br />
2.5.2 Ecrantage magnétique<br />
On vient de voir qu’un plasma s’oppose naturellement à toute présence de<br />
champ électrique en son sein. Les charges électriques se réarrangent spatialement<br />
de façon à créer un champ électrique qui s’oppose au champ électrique<br />
perturbateur, et qui tend ainsi à minimiser le champ électrique total résultant.<br />
De la même façon, les charges libres dans un plasma tendent à s’organiser<br />
en courants qui créent des champs magnétiques qui s’opposent à un champ<br />
magnétique extérieur imposé au plasma. On parle d’effet diamagnétique du<br />
plasma.<br />
Pour le mettre en évidence, on considère un plasma homogène, isotherme,<br />
formé d’électrons mobiles de masse m et de charge −e, et d’un fond neutralisant<br />
d’ions positifs que l’on supposera immobiles. Dans le cadre de la description<br />
fluide des plasmas, on doit combiner les équations de Maxwell avec l’équation<br />
du mouvement du fluide électronique.<br />
m∂ t V = −eE − mνV,<br />
∇ × E = − ∂B<br />
∂t ,<br />
∇ × B = µ 0 J + µ 0 ǫ 0<br />
∂E<br />
∂t ,<br />
Dans l’équation du mouvement, on notera que le terme de pression est nul pour<br />
ce plasma isotherme et homogène (∇p = k B T e ∇n ≡ 0), et que l’on a négligé<br />
les termes non-linéaires d’inertie. La densité de courant, J, est due aux électrons<br />
et s’écrit, J = −enV. En combinant les 2 équations de Maxwell (et l’égalité<br />
toujours vérifiée ∇.B = 0), le système se ramène aux 2 équations :<br />
△B − 1 c 2 ∂2 ttB = −µ 0 ∇ × J,<br />
∂ t J + νJ = ǫ 0 ω 2 pE,<br />
où nous avons introduit la fréquence plasma ω 2 p ≡ n 0 e 2 /(mǫ 0 ).<br />
La densité de courant obéit à une équation différentielle temporelle du 1er<br />
ordre qui peut être aisément résolue. On trouve (par la méthode de la variation<br />
de la constante) :<br />
J(r, t) = e −νt J(r, 0) + ǫ 0 ω 2 p<br />
∫ t<br />
0<br />
e −ν(t−t′) E(r, t ′ )dt ′<br />
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Comme ∇ × E = −∂ t B, on trouve :<br />
∫<br />
µ 0 ∇ × J(r, t) = µ 0 e −νt ∇ × J(r, 0) − ω2 t<br />
p<br />
c 2 e −ν(t−t′) ∂ t B(r, t ′ )dt ′<br />
Il est intéressant de considérer cette équation dans les 2 limites extrêmes de<br />
forte collisionnalité (ν ≫ 1) et faible collisionnalité (ν ≪ 1). En utilisant la<br />
propriété lim ν→∞ ν e −ν(t−t′) = δ(t − t ′ ), on trouve :<br />
µ 0 ∇ × J(r, t) = µ 0 ∇ × J(r, 0) − 1<br />
δL<br />
2 (B(r, t) − B(r, 0)) (ν ≪ 1)<br />
µ 0 ∇ × J(r, t) = − 1 ∂ t B(r, t) (ν ≫ 1)<br />
D M<br />
où on a introduit la longueur de London, δ L et le coefficient de diffusion magnétique,<br />
D M , définis par les relations :<br />
δ L ≡ c<br />
ω p<br />
et D M ≡ δ 2 Lν = 1<br />
µ 0 η<br />
où η = ne 2 /(mν) est la conductivité électrique.<br />
Les équations d’évolution spatio-temporelle du champ magnétique s’écrivent<br />
donc dans ces 2 cas limites :<br />
(<br />
△ − 1 c 2∂2 tt − 1 )<br />
B(r, 0)<br />
δL<br />
2 B(r, t) = −µ 0 ∇ × J(r, 0) −<br />
δL<br />
2 (ν ≪ 1)<br />
D M<br />
(△ − 1 )<br />
c 2∂2 tt B(r, t) = ∂ t B(r, t) (ν ≫ 1)<br />
Aux fréquences utilisées, on peut généralement négliger le terme proportionnel<br />
à ∂ 2 tt dont l’origine est le terme de courant de déplacement. Dans ces conditions,<br />
dans le cas des plasmas non collisionnels, la structure de ces équations met clairement<br />
en évidence une atténuation exponentielle du champ magnétique sur<br />
une longueur caractéristique, la longueur de London c/ω P . Dans le cas oppposé<br />
des plasmas collisionnels, on assiste à une atténuation par un phénomène<br />
de diffusion dû aux collisions sur une longueur caractéristique, la longueur de<br />
Kelvin, λ K :<br />
λ K ≡ √ D M /ω<br />
0<br />
2.6 Modélisation simplifiée des décharges<br />
Considérons une décharge très simple où les électrons et les ions sont produits<br />
selon le schéma simplifié :<br />
e − + n −→ i + 2e −<br />
Chaque réaction d’ionisation crée un couple électron-ion et provoque la disparition<br />
d’un atome neutre. Le plasma est donc constitué d’ions positifs monovalents,<br />
d’électrons et de neutres. On le supposera suffisamment peu ionisé, pour<br />
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que la densité des neutres soit quasi-uniforme. Nous écrivons dans ce qui suit<br />
les équations correspondant à une modélisation fluide des décharges dans le cas<br />
non magnétisé.<br />
Les ions et les électrons vérifient les équations de conservation :<br />
∂ t n i + div (n i V i ) = S i ,<br />
∂ t n e + div (n e V e ) = S e<br />
où n e et n i désignent les densités, ⃗v i ,⃗v e les vitesses fluides, et S α (⃗r, t) est un<br />
terme source qui comptabilise les particules créées ou détruites dans le volume<br />
de la décharge par unité de volume et de temps (ionisation, recombinaison ...).<br />
Les électrons, du fait de leur faible masse, ont le comportement dynamique<br />
d’un fluide placé dans un champ extérieur, et tendent à se distribuer selon une<br />
distribution de Boltzmann. Leur équation d’équilibre s’écrit donc :<br />
0 = −k B T e ∇n e − en e E ⇔ n e (r) = n 0 e eϕ(r)/(k BT e)<br />
où nous avons supposé la température électronique T e uniforme et où ϕ est le<br />
potentiel électrostatique relié au champ électrique par la relation E = −∇ϕ .<br />
Notez que les termes d’inertie et de friction sont généralement négligés du fait<br />
de l’approximation m e → 0.<br />
A contrario, les ions sont des particules massives dont la température est<br />
plus faible d’un à 2 ordres de grandeurs que la température électronique. En<br />
conséquence la pression ionique peut en général être négligée. L’équation de<br />
bilan de quantité de mouvement s’écrit donc :<br />
n i<br />
D i (m i V i )<br />
Dt<br />
= +n i eE − n i F c − m i V i S i<br />
où D i /Dt ≡ ∂ t + (V i .∇) est la dérivée convective qui suit la particule fluide<br />
au cours de son mouvement. F c est la force de frottements des ions avec les<br />
autres composantes du fluide. Dans un plasma faiblement ionisé, les collisions<br />
entre particules chargées sont peu fréquentes et les contributions dominantes<br />
sont généralement les collisions ions-neutres F c ≈ F in . Le dernier terme est<br />
la contribution à la quantité de mouvement des particules créées, lorsqu’on<br />
suppose que celles-ci sont apparues sans température et sans vitesse moyenne.<br />
Enfin, en absence de champ magnétique, le champ électrique self-consistant<br />
régnant dans la décharge satisfait l’équation de Maxwell-Gauss :<br />
ǫ 0 divE = e(n i − n e )<br />
Les équations précédentes, complétées par des conditions aux limites adaptées,<br />
définissent un problème dont les inconnues sont les champs scalaires n e , n i , ϕ et<br />
vectoriels V e ,V i . Ainsi qu’on l’a souligné plus haut, tant que l’on ne considère<br />
pas la gaine, c’est-à-dire dans l’essentiel du volume du plasma, la décharge peut<br />
être considérée comme quasi-neutre : n e ≈ n i en tout point, et on peut donc se<br />
passer de la relation de Maxwell-Gauss. Cette approximation de quasi-neutralité<br />
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est tellement universelle, qu’on l’appelle l’approximation plasma. Cette zone<br />
centrale de la décharge (la prégaine) sera étudiée en détail dans le chapitre 5.<br />
Dans la gaine, au contraire, la densité de charge n’est pas nulle et l’équation de<br />
Maxwell-Gauss est l’équation centrale. Nous présenterons quelques aspects de<br />
la physique des gaines dans le chapitre 6.<br />
L’approximation des électrons boltzmanniens est quasiment universelle dans<br />
les problèmes de décharges, et l’approximation des plasmas froids pour les ions<br />
(T i = 0) est souvent très satisfaisante. Les modèles se différencient ensuite selon<br />
le domaine de pression étudié. Ainsi, lorsque le libre parcours des ions est grand<br />
devant les dimensions caractéristiques du réacteur, les forces de frictions sont en<br />
général négligées par rapport aux contributions d’accélération. Cette situation<br />
correspond aux décharges d’assez basses pressions où l’équilibre ionique met<br />
en compétition l’inertie des ions avec les forces électriques. Si la pression est<br />
vraiment très basse, on peut mettre en doute la validité d’une approche fluide,<br />
et se tourner alors vers des modélisations cinétiques (cf. chapitre 2). Dans la<br />
limite opposée des pressions élevées, les accélérations ressenties par les ions<br />
restent modérées, et on est conduit à négliger ce terme par rapport aux forces<br />
de frictions. L’équilibre des ions dans ces plasmas dits collisionnels s’établit<br />
alors par compétition entre les forces électriques et les forces de frictions (cf<br />
chapitre 7).<br />
Notons enfin, que les plasmas froids ont bien souvent une structure beaucoup<br />
plus complexe du fait qu’ils peuvent comprendre plusieurs espèces ioniques<br />
(y compris des ions chargés négativement, ce qui modifie le bilan de quasineutralité),<br />
et qu’ils nécessitent parfois de prendre en compte un très grand<br />
nombre de réactions élémentaires pour décrire correctement les différents états<br />
d’excitation des espèces présentes au sein de la décharge. Le principe de la description,<br />
au moins au niveau fluide reste cependant celui exposé plus haut, avec<br />
la prise en compte additionnelle des forces de Laplace des autres équations de<br />
Maxwell pour les plasmas magnétisés.<br />
M2 Physique des Plasmas - Plasmas faiblement ionisés 2010 - JL Raimbault
Chapitre 3<br />
De la théorie cinétique à la<br />
modélisation fluide<br />
Dans la suite de ce cours, les plasmas faiblement ionisés seront étudiés<br />
dans le cadre simplifié d’une modélisation fluide. Dans ce chapitre, nous montrons<br />
comment obtenir les équations fluides à partir des équations de la théorie<br />
cinétique, et nous précisons la forme des termes de collisions utilisés dans le<br />
cadre de la physique des plasmas froids. Certaines notions de théorie cinétique<br />
seront approfondies dans le cadre du cours de théorie cinétique.<br />
3.1 Des équations cinétiques aux équations de bilan<br />
Soit f 1 (⃗r,⃗v, t) la fonction de distribution d’une des composantes. Rappelons<br />
que f 1 (⃗r,⃗v, t)d⃗rd⃗v comptabilise le nombre de particules comprises, à l’instant<br />
t, dans le domaine [⃗r,⃗r + d⃗r] × [⃗v,⃗v + d⃗v] de l’espace des phases. En intégrant<br />
sur l’ensemble des vitesses accessibles, on obtient donc la densité :<br />
∫<br />
R 3 f 1 (⃗r,⃗v, t)d⃗v = n(⃗r, t)<br />
On en déduit en particulier que f 1 /n définie une densité de probabilité normalisée.<br />
3.1.1 Equation cinétique<br />
où :<br />
La première équation de la hiérarchie BBGKY 1 conduit à l’équation exacte :<br />
∂f 1<br />
∂t + ⃗v ∂f ∫<br />
1<br />
∂⃗r + ⃗γ ∂f 1<br />
ext<br />
∂⃗v = − ⃗γ int (|⃗r − ⃗r ′ |) ∂f 2(⃗r,⃗r ′ ,⃗v,⃗v ′ , t)<br />
d⃗r ′ d⃗v ′<br />
∂⃗v<br />
1. Il s’agit de la hiérarchie d’équations Born-Bogloiubov-Green-Kirkwood-Yvon (cf. cours<br />
de théorie cinétique)<br />
25
– ⃗γ ext ≡ ⃗ F ext /m est l’accélération due aux force extérieures.<br />
– ⃗γ int (|⃗r − ⃗r ′ |) ≡ ⃗ F int /m est l’accélération due aux forces d’interaction<br />
entre les particules situées en ⃗r et ⃗r ′ (on suppose que ces interactions<br />
ne dépendent pas de la vitesse, mais seulement de la distance |⃗r − ⃗r ′ |<br />
entre les particules).<br />
– f 2 (⃗r,⃗r ′ ,⃗v,⃗v ′ , t) est la fonction de distribution double associée à la probabilité<br />
de trouver une particule à l’instant t en ⃗r,⃗v sachant qu’il y en a une<br />
autre en ⃗r ′ ,⃗v ′ .<br />
Il est utile d’introduire la fonction de corrélation à 2 particules définie par la<br />
relation :<br />
g 2 (⃗r,⃗r ′ ,⃗v,⃗v ′ , t) ≡ f 2 (⃗r,⃗r ′ ,⃗v,⃗v ′ , t) − f 1 (⃗r,⃗v, t)f 1 (⃗r ′ ,⃗v ′ , t)<br />
L’intégration du terme sans corrélation s’effectue sans peine. On trouve :<br />
∫<br />
⃗γ int (|⃗r−⃗r ′ |) ∂ [f 1(⃗r,⃗v, t)f 1 (⃗r ′ ,⃗v ′ , t))]<br />
d⃗r ′ d⃗v ′ = ∂f ∫<br />
1(⃗r,⃗v, t)<br />
n(⃗r ′ , t)⃗γ int (|⃗r−⃗r ′ |)d⃗r ′<br />
∂⃗v<br />
∂⃗v<br />
On notera que l’intégrale s’écrit comme un produit de convolution<br />
∫<br />
n(⃗r ′ , t)⃗γ int (|⃗r − ⃗r ′ |)d⃗r ′ ≡ (n ⋆ γ int )(⃗r)<br />
qui représente le champ moyen créé par toutes les particules en ⃗r. En regroupant<br />
cette contribution de champ moyen et celle due au champ extérieur, on peut<br />
écrire :<br />
∂f 1<br />
∂t + ⃗v ∂f 1<br />
∂⃗r + ⃗γ ∂f 1<br />
= δf<br />
∂⃗v δt<br />
⃗γ(⃗r) ≡ ⃗γ ext (⃗r) + (n ⋆ ⃗γ int ) (⃗r),<br />
δf<br />
(⃗r,⃗v, t) ≡<br />
δt −<br />
∫<br />
⃗γ int (|⃗r − ⃗r ′ |) ∂g 2(⃗r,⃗r ′ ,⃗v,⃗v ′ , t)<br />
∂⃗v<br />
d⃗r ′ d⃗v ′<br />
Insistons encore sur le fait que cette équation, écrite sous cette forme, est exacte.<br />
Dans la suite, nous appelerons le second membre δf/δt, “l’intégrale de collisions”.<br />
Si l’on néglige la contribution du second membre, cette équation s’identifie<br />
avec l’équation de Vlasov. Diverses approximations du second membre<br />
conduisent aux autres équations cinétiques, comme celles de Boltzmann, Landau<br />
ou Fokker-Planck.<br />
3.1.2 Moyennes, fluctuations et moments<br />
Quelle que soit la forme retenue pour δf/δt, il est possible d’obtenir des<br />
équations macroscopiques par intégration des degrés de liberté des vitesses.<br />
Dans un souci de simplification, on se limite désormais à considérer des<br />
situations physiques invariantes par translations selon Oy et Oz : ⃗r → x⃗e x et<br />
M2 Physique des Plasmas - Plasmas faiblement ionisés 2010 - JL Raimbault
sans mouvement selon Oy et Oz : ⃗v → v⃗e x . L’équation cinétique prend alors la<br />
forme simple :<br />
∂f 1<br />
∂t + v ∂f 1<br />
∂x + γ ∂f 1<br />
∂v = δf<br />
δt<br />
(3.1)<br />
Considérons une fonction quelconconque, a, de la vitesse : a : v ↦→ a(v). Sa<br />
valeur moyenne, que nous noterons 〈a(v)〉 est définie à partir de la densité de<br />
probabilité normalisée f 1 /n :<br />
∫<br />
〈a(v)〉 ≡<br />
R<br />
a(v) f 1<br />
n dv<br />
Comme f 1 et n sont des fonctions de x et t, on remarquera que 〈a(v)〉 est<br />
également une fonction de x et t. On notera également l’identité triviale 〈1〉 = 1.<br />
En multipliant l’équation cinétique (3.1) par la fonction a(v) = v l pour<br />
l ∈ N et en effectuant les moyennes, on trouve aussitôt :<br />
∂ ( n〈v l 〉 )<br />
+ ∂ ( n〈v l+1 〉 )<br />
∫<br />
− l nγ 〈v l−1 〉 = v l δf dv, (3.2)<br />
∂t ∂x<br />
δt<br />
où on a effectué une intégration par parties pour trouver le 3ème membre<br />
de gauche, et où on a supposé que la fonction de distribution f 1 vérifie :<br />
lim v→±∞ f 1 (x, v, t) = 0.<br />
Il est également intéressant de faire apparaître les fluctuations de vitesses<br />
u ≡ v − 〈v〉 par rapport à la vitesse moyenne 〈v〉. Posons pour ce faire :<br />
v = 〈v〉 + u<br />
Comme u 0 = 1 − 〈1〉 = 0 et u 1 = v − 〈v〉, on en déduit que 〈u 0 〉 = 〈u 1 〉 = 0.<br />
Les équations (3.2) correspondant aux cas l = 1 et l = 2 mettent en jeu les<br />
moyennes 〈v〉, 〈v 2 〉, 〈v 3 〉 et reliées aux fluctuations 〈u 2 〉, 〈u 3 〉 par les relations :<br />
〈v 2 〉 = 〈v〉 2 + 〈u 2 〉,<br />
〈v 3 〉 = 〈v〉 3 + 〈u 3 〉 + 3〈v〉〈u 2 〉<br />
Il convient désormais d’introduire 3 grandeurs physiques macroscopiques, V (x, t),<br />
Ψ(x, t) et Q(x, t) qui correspondent à ces premiers moments non nuls :<br />
V (x, t) ≡<br />
∫<br />
〈v〉 = v f 1<br />
R n dv,<br />
∫<br />
Ψ(x, t) ≡ nm 〈u 2 〉 = nm<br />
∫<br />
Q(x, t) ≡ nm 〈u 3 〉 = nm<br />
R<br />
R<br />
R<br />
u 2 f 1<br />
n dv,<br />
u 3 f 1<br />
n dv,<br />
Ces 3 grandeurs représentent respectivement la vitesse moyenne du fluide (en<br />
m/s), la pression cinétique (en J/m 3 ), et le flux de chaleur (en J/(m 2 s)). Dans<br />
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le cadre plus général d’un problème tridimensionnel, ⃗ V a un caractère vectoriel,<br />
tandis que ψ représente un tenseur du 2nd ordre (tenseur de pression cinétique)<br />
et Q représente le tenseur (du 3ème ordre) de flux de chaleur.<br />
Enfin, il convient de souligner qu’une température dite cinétique (le système<br />
n’est pas forcément à l’équilibre thermodynamique) peut être définie à partir<br />
de la pression cinétique :<br />
ψ(x, t) = n(x, t)k B T(x, t)<br />
Dans le cas des systèmes isotropes à 3D, on peut écrire,<br />
3k B T = m〈⃗u 2 〉<br />
qui rappelle le résultat obtenu par le théorème d’équipartition, lorsque le système<br />
est à l’équilibre thermodynamique.<br />
3.1.3 Equations de bilan<br />
En partant de l’équation (3.2), et en utilisant ces définitions, les 3 premières<br />
équations de bilan correspondant au cas l = 0, 1, 2 s’écrivent :<br />
∂ ( nmV 2 + Ψ )<br />
∂t<br />
∂ (nmV )<br />
∂t<br />
∂(nm)<br />
∂t<br />
+ ∂ ( nmV 2 + Ψ )<br />
∂x<br />
+ ∂ ( nmV 3 + Q + 3ΨV )<br />
∂x<br />
+ ∂ (nmV )<br />
∂x<br />
= S 0 ,<br />
− nmγ = S 1 ,<br />
− 2nmγV = S 2<br />
où les termes sources sont définis par :<br />
∫<br />
S l (x, t) ≡ m v l δf dv, pour l = 0, 1, 2.<br />
δt<br />
R<br />
Equations stationnaires<br />
Considérons la situation stationnaire qui sera celle principalement étudiée<br />
dans la suite. La première équation de bilan de masse s’écrit :<br />
∂ (nmV )<br />
∂x<br />
= S 0<br />
Le flux de matière nV n’est donc conservé sous ces hypothèses que si le terme<br />
source s’annule, c’est-à-dire dans le cas où les interactions conservent le nombre<br />
de particules (ce n’est pas le cas, par exemple, lorsque l’ionisation est active).<br />
L’équation de bilan de quantité de mouvement s’écrit en régime stationnaire<br />
:<br />
∂ ( nmV 2 + Ψ )<br />
− nmγ = S 1<br />
∂x<br />
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ou de façon équivalente en utilisant l’équation de bilan de masse :<br />
nmV ∂V<br />
∂x = −∂Ψ ∂x + nmγ + S 1 − V S 0<br />
Enfin l’équation de bilan d’énergie peut s’écrire en éliminant les forces extérieures :<br />
∂ ( nmV 3 + Q + 3 ΨV )<br />
− 2V ∂ ( nmV 2 + Ψ )<br />
= S 2 − 2V S 1<br />
∂x<br />
∂x<br />
Il peut être utile d’éliminer les contributions d’inertie. Pour cela, on remarque<br />
que :<br />
∂ ( nmV 2)<br />
∂x<br />
∂ ( nmV 3)<br />
∂x<br />
On obtient donc, d’une part :<br />
Comme d’autre part :<br />
∂ ( nmV 3)<br />
∂x<br />
3 ∂ (ΨV )<br />
∂x<br />
= V S 0 + nmV ∂V<br />
∂x ,<br />
= V 2 S 0 + 2nmV 2 ∂V<br />
∂x ,<br />
− 2V ∂ ( nmV 2)<br />
∂x<br />
− 2V ∂Ψ<br />
∂x<br />
= −V 2 S 0<br />
∂V<br />
= 3Ψ<br />
∂x + V ∂Ψ<br />
∂x<br />
on obtient le bilan d’énergie sous la forme équivalente suivante :<br />
3Ψ ∂V<br />
∂x + V ∂Ψ<br />
∂x + ∂Q<br />
∂x = S 2 − 2V S 1 + V 2 S 0<br />
En résumé, on utilisera selon les cas, soit le jeu d’équations :<br />
∂ (nmV )<br />
= S 0<br />
∂x<br />
∂ ( nmV 2 + Ψ )<br />
− nmγ = S 1<br />
∂x<br />
∂ ( nmV 3 + Q + 3 ΨV )<br />
− 2V ∂ ( nmV 2 + Ψ )<br />
= S 2 − 2V S 1<br />
∂x<br />
∂x<br />
soit le jeu d’équations<br />
∂ (nmV )<br />
∂x<br />
= S 0<br />
nmV ∂V<br />
∂x<br />
= −∂Ψ ∂x + nmγ + S 1 − V S 0<br />
3Ψ ∂V<br />
∂x + V ∂Ψ<br />
∂x + ∂Q<br />
∂x = S 2 − 2V S 1 + V 2 S 0<br />
Effectuons quelques commentaires sur ces équations :<br />
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1. Ce jeu d’équations doit être a priori écrit - sauf approximations particulières<br />
- pour les 3 composantes, électrons, ions et neutres, qui constituent<br />
un plasma partiellement ionisé.<br />
2. L’accélération due au champ de gravitation étant négligeable pour les plasmas<br />
de laboratoire, l’accélération ⃗γ se réduit aux contributions d’origines<br />
électromagnétiques, et prend la forme (vectorielle) suivante :<br />
⃗γ = q ( )<br />
⃗E + V ⃗ × B ⃗<br />
m<br />
Les champs électriques ⃗ E et magnétiques ⃗ B qui interviennent dans cette<br />
formule sont les champs totaux (extérieurs + ceux créés par le plasma en<br />
réaction) tels qu’ils sont donnés par les équations de Maxwell. Dans une<br />
approche complètement auto-cohérente, les équations fluides doivent être<br />
résolues simultanément avec les équations de Maxwell.<br />
3. A supposer que l’on dispose d’une approximation satisfaisante pour les<br />
termes sources, ce système n’est pas <strong>complet</strong> puisqu’il comporte plus d’inconnues<br />
que d’équations. En effet si on ne retient que les 2 premières<br />
équations, les inconnues sont les champs n(x, t), V (x, t) et Ψ(x, t). Une<br />
résolution n’est envisageable qu’au prix d’une hypothèse sur Ψ (par exemple,<br />
l’hypothèse (radicale) des plasmas froids Ψ ≡ 0). De même, si on ne retient<br />
que les 3 premières équations, il faudra faire une hypothèse sur le<br />
tenseur de flux de chaleur Q. C’est le problème général de la fermeture<br />
des équations fluides, sur lequel nous reviendrons.<br />
4. Les termes sources S l ne peuvent pas être calculés en général sans approximations<br />
et sont discutés dans la section suivante.<br />
3.2 Termes sources<br />
Comme on l’a déjà souligné plus haut, un calcul exact de l’intégrale de<br />
collision n’est en général pas accessible. Dans cette section, nous utiliserons<br />
la forme approchée de Boltzmann (cf. cours de théorie cinétique) pour le calcul<br />
des forces de friction dues aux collisions élastiques, tandis que nous nous<br />
contenterons de formes phénoménologiques pour les termes sources associés aux<br />
collisions inélastiques.<br />
3.2.1 Signification physique des termes sources<br />
Les interactions (collisions) entre les particules sont à l’origine des différents<br />
termes sources intervenant dans les équations de bilan. Plus précisément :<br />
1. S 0 comptabilise l’apport ou le défaut de masse par unité de volume et<br />
unité de temps, qui résulte des interactions des particules de la composante<br />
étudiée avec toutes les autres particules (de la même composante ou<br />
d’autres composantes). Cette quantité s’exprime en kg m −3 s −1 et correspond<br />
à des processus élémentaires inélastiques qui modifient, positivement<br />
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ou négativement, le nombre de particules du système. Les interactions en<br />
cause sont associées aux réactions d’ionisation, de recombinaison ou d’attachement.<br />
2. S 1 comptabilise l’excès ou le défaut de quantité de mouvement par unité de<br />
volume et unité de temps pour la composante dont on fait le bilan. Cette<br />
quantité s’exprime en N m −3 . Selon les rapports de masse des particules<br />
en cause, les collisions élastiques peuvent être plus ou moins efficaces<br />
dans les transferts de quantité de mouvement. Notons également que les<br />
particules créées ou détruites (termes S 0 ) avec une vitesse différente de<br />
la vitesse fluide de la composante considérée, contribuent également au<br />
bilan d’impulsion.<br />
3. S 2 comptabilise l’excès ou le défaut d’énergie par unité de volume et<br />
unité de temps pour la composante dont on fait le bilan. Cette quantité<br />
s’exprime en W m −3 . Les collisions impliquées sont les mêmes que pour<br />
le bilan de quantité de mouvement.<br />
3.2.2 Termes sources correspondant aux collisions élastiques<br />
Pour traiter les collisions élastiques, partons de l’expression de l’intégrale<br />
de collisions à l’approximation de Boltzmann. On rappelle que cette approximation<br />
ne convient que pour des interactions binaires de courtes portées. Les<br />
collisions électrons-ions, en particulier, ne peuvent être modélisées par cette<br />
forme particulière de l’intégrale de collisions.<br />
Expression générale des termes sources<br />
Pour la composante α entrant en collision avec la composante β, définie à<br />
d⃗v β près, le terme de collision s’écrit à l”’approximation de Boltzmann :<br />
∫∫<br />
δf α<br />
[fα<br />
δt (⃗r,⃗v α, t) = (⃗r,⃗v ′ α, t)f β (⃗r,⃗v ′ β , t) − f α(⃗r,⃗v α , t)f β (⃗r,⃗v β , t) ] v αβ σ αβ (v αβ )dΩ d⃗v β<br />
Rappelons que dans une collision élastique, le vecteur vitesse relative ⃗v α −⃗v β<br />
ne change pas de module mais seulement de direction. La rotation du vecteur<br />
dans l’espace est décrite par 2 angles résumés dans l’angle solide Ω. ⃗v ′ α (respectivement<br />
⃗v α ) et ⃗v ′ β (respectivement ⃗v β) représentent les vitesses des composantes<br />
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α et β après la collision (respectivement avant la collision), σ αβ la section efficace<br />
de collision. On a également introduit la notation v αβ ≡ |⃗v α − ⃗v β | pour<br />
désigner la vitesse relative des deux particules.<br />
Soit g(⃗v α ), une fonction quelconque de ⃗v α . Les collisions élastiques étant<br />
réversibles, on peut échanger dans ( les sommes ) les variables avant collision<br />
(⃗v α ,⃗v β ) avec celles après collision ⃗v ′ α,⃗v ′ β<br />
:<br />
=<br />
=<br />
∫∫∫<br />
∫∫∫<br />
∫∫∫<br />
g(⃗v α )f α (⃗r,⃗v ′ α, t)f β (⃗r,⃗v ′ β , t)v αβσ αβ (v αβ )dΩ d⃗v β d⃗v α<br />
g(⃗v ′ α)f α (⃗r,⃗v α , t)f β (⃗r,⃗v β , t)v ′ αβ σ αβ(v ′ αβ )dΩ d⃗v ′ β d⃗v ′ α<br />
g(⃗v ′ α)f α (⃗r,⃗v α , t)f β (⃗r,⃗v β , t)v αβ σ αβ (v αβ )dΩ d⃗v β d⃗v α<br />
La dernière égalité est obtenue en utilisant le fait que v ′ αβ = v αβ pour les<br />
collisions élastiques, et que le Jacobien de la transformation est égal à l’unité.<br />
Les termes sources dus aux collisions élastiques, Sl el , peuvent alors être calculer<br />
à partir de l’expression générale :<br />
∫<br />
g(⃗v α ) δf ∫∫∫<br />
α [g(⃗v<br />
δt d⃗v ′<br />
α =<br />
α ) − g(⃗v α ) ] f α (⃗r,⃗v α , t)f β (⃗r,⃗v β , t)v αβ σ αβ (v αβ )dΩ d⃗v β d⃗v α<br />
1. Calcul de S el<br />
0<br />
Posons g(⃗v α ) ≡ m α lorsque l = 0. L’expression ci-dessus donne clairement<br />
une contribution nulle, ce qui traduit le fait que les nombre de particules<br />
n’est pas modifié lors des collisions élastiques :<br />
S el<br />
0 = 0<br />
2. Calcul de S el<br />
1<br />
Pour l = 1, c’est-à-dire pour le bilan de quantité de mouvement, nous<br />
posons g(⃗v α ) ≡ m α ⃗v α . Le transfert d’impulsion à la particule α lors d’une<br />
collision élastique avec la particule β conduit à l’expression :<br />
⃗v ′ α − ⃗v α<br />
1<br />
= − (1 − cos θ) ⃗v αβ ,<br />
1 + m α /m β<br />
Introduisons la section efficace de transfert d’impulsion σαβ t , la fréquence<br />
de collision, ν αβ et le taux de réaction, K αβ :<br />
∫<br />
σαβ t (v αβ) ≡ (1 − cos θ)σ αβ dΩ,<br />
ν αβ (v αβ ) ≡<br />
n β σ t αβ v αβ,<br />
K αβ ≡ σ t αβ v αβ<br />
On peut alors écrire :<br />
∫∫<br />
S1 el m α<br />
= − n α n β<br />
1 + m α /m β<br />
f α (⃗r,⃗v α , t) f β (⃗r,⃗v β , t)<br />
⃗v αβ K αβ d⃗v α d⃗v β<br />
n α n β<br />
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De façon plus compacte, on posera :<br />
S el<br />
m α<br />
1 = − n α n β 〈⃗v αβ K αβ 〉<br />
1 + m α /m β<br />
où la moyenne doit être effectuée avec les 2 fonctions de distributions.<br />
3. Calcul de S2<br />
el<br />
Pour calculer S2 el nous posons g(⃗v α ) ≡ m α vα. 2 Le transfert d’énergie<br />
cinétique à la particule α lors d’une collision élastique conduit à l’expression<br />
:<br />
( )<br />
m α v ′ 2<br />
α − vα<br />
2<br />
= − 2 m α/m β<br />
(1 + m α /m β ) 2 (1 − cos θ) [ m α v 2 α − m β v 2 β + (m β − m α )⃗v α ⃗v β<br />
]<br />
,<br />
En utilisant les mêmes notations que ci-dessus, on trouve aussitôt :<br />
S el<br />
2 = − 2 m α/m β<br />
(1 + m α /m β ) 2 n α n β 〈 ( m α v 2 α − m β v 2 β + (m β − m α )⃗v α ⃗v β<br />
)<br />
Kαβ 〉<br />
Cas des fréquences de collisions constantes<br />
Aux faibles vitesses (c’est-à-dire dans un régime de pression du gaz plutôt<br />
élevé), le mécanisme d’interaction dominant est du type interaction dipolaire;<br />
on montre alors que la section efficace décroît avec la vitesse relative : σ t αβ ∼<br />
1/v αβ (section efficace de Langevin), de sorte que le taux de réaction et la<br />
fréquence de collision sont constantes :<br />
Polarisation : σ t αβ ∼ 1/v αβ =⇒ ν αβ = Cte<br />
Le calcul de S 1 et S 2 peut alors être facilement mené plus loin.<br />
K αβ étant indépendant des vitesses des composantes, on a 〈⃗v αβ K αβ 〉 =<br />
K αβ 〈⃗v αβ 〉 = K αβ<br />
(<br />
⃗Vα − ⃗ V β<br />
), et S el<br />
1<br />
m<br />
( α<br />
1 = − n α ν ⃗Vα αβ −<br />
1 + m α /m ⃗ )<br />
V β<br />
β<br />
S el<br />
s’écrit simplement :<br />
(ν αβ indépendant de⃗v αβ )<br />
Sous ces hypothèses restrictives, on notera que le préfacteur dépendant de la<br />
masse des particules vaut avec une très bonne précision, m e pour les collisons<br />
électrons-neutres et m i /2 pour les collisions ions-neutres (m e /m n ≪ 1 et<br />
m i /m n ≈ 1).<br />
De même, pour le calcul de S 2 , en introduisant la décomposition v α =<br />
V α + u α et v β = V β + u β , on trouve aussitôt 2 :<br />
[<br />
S2 el = − 4 m α/m β<br />
(1 + m α /m β ) 2 n 3k B (T α − T β )<br />
αν αβ + m αVα<br />
2<br />
2 2<br />
− m βV 2<br />
β<br />
2<br />
2. En remarquant que 〈⃗u α〉 = 〈⃗u β 〉 = 0 et 〈⃗u α⃗u β 〉 = ∑ i 〈uα,i〉〈u β,i〉 = 0.<br />
V<br />
+ (m β − m α ) ⃗ ]<br />
αVβ<br />
⃗<br />
2<br />
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où on a utilisé la relation de définition de la température T α et T β des composantes<br />
: m α 〈u 2 α〉 = 3k B T α et m β 〈u 2 β 〉 = 3k BT β .<br />
L’identification des différentes contributions correspond respectivement au<br />
transfert d’énergie thermique, non dirigée (1er terme), et aux transferts d’énergie<br />
cinétique, dirigée (3 derniers termes), entres les 2 composantes α et β.<br />
et Sel 2<br />
On remarquera que les contributions, S1 el<br />
peuvent s’écrire sous la forme synthétique suivante :<br />
S1 el /m α = −δm αβ n α ν αβ Vαβ ⃗ ,<br />
S2 el = −δm αβ n α ναβ E E αβ,<br />
que l’on vient d’obtenir<br />
où δm αβ = m β /(m α + m β ), et où la fréquence de collisions, ναβ E , associée aux<br />
transferts d’énergie est telle que, ναβ E = 4m α/(m α + m β )ν αβ .<br />
Cette dernière remarque montre que les transferts d’énergie entre électrons<br />
et neutres sont plus faibles de plusieurs ordres de grandeurs que les transferts<br />
d’impulsion entre les mêmes particules (cf. figure 1).<br />
Figure 3.1 – Fréquences de transfert d’impulsion, d’énergie et d’ionisation pour<br />
des électrons dans l’argon, obtenues par résolution de l’équation de Boltzmann.<br />
Cas des libres parcours moyens constants<br />
Aux plus grandes vitesses (régime de pressions intermédiaires 3 ), les mécanismes d’interactions<br />
dominants sont du type sphères dures pour les collisions électrons-neutres, tandis<br />
que les collisions dominantes ions-neutres sont du type transfert de charge et sphères dures.<br />
Avec une bonne approximation, dans les domaines de températures considérés, ces 2 types<br />
3. Si la pression est trop faible, on entre dans un régime ballistique sans collision. La<br />
fréquence de collision n’est alors plus définie.<br />
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de mécanismes correspondent à une section efficace quasi-constante σ ≡ σ 0, de sorte que la<br />
fréquence de collisions est proportionnelle à la vitesse moyenne 〈v αβ 〉 :<br />
Sphères dures ou transfert de charges : σ t αβ = σ 0 =⇒ ν c = 〈v αβ〉<br />
λ β<br />
où λ β ≡ 1/(n β σ 0) représente le libre parcours moyen des électrons ou des ions dans le gaz.<br />
Le calcul de la valeur moyenne nécessite la connaissance de la fonction de distribution des<br />
vitesses des électrons ou des ions, et donc un calcul de type cinétique. En présence d’un champ<br />
électrique, le caractère plus moins isotrope des fonctions de distributions dépend du poids<br />
relatif des termes d’origine entropique (proportionnels à la température et qui tendent à rendre<br />
les fd isotropes) et des termes d’origine électrique (qui tendent à rendre les fd anisotropes dans<br />
la direction du champ électrique). Le cas général est difficile, et nous nous contentons d’obtenir<br />
2 cas limites importants :<br />
– Lorsque l’énergie thermique (non dirigée) excède l’énergie transférée aux particules par<br />
le champ électrique E, i.e. lorsque :<br />
qEλ 0 ≪ k BT<br />
soit<br />
E<br />
p ≪ σ0 T<br />
,<br />
q T g<br />
où p = n g k BT g est la pression du gaz, les fonctions de distributions restent quasiisotropes<br />
et maxwelliennes. On en déduit aussitôt que la vitesse moyenne s’identifie<br />
avec la vitesse thermique des projectiles :<br />
E<br />
p ≪ σ0 T<br />
=⇒ 〈v〉 = v T ≡<br />
q T g<br />
( ) 1/2 8kBT<br />
et donc ν c = vT<br />
πm<br />
λ 0<br />
Dans le cas d’une température uniforme, la fréquence de collision apparaît donc à<br />
nouveau comme une constante.<br />
– Dans la limite opposée, la vitesse d’entraînement des particules par le champ devient<br />
plus importante que la vitesse thermique des particules de sorte que la fonction de distribution<br />
f devient anisotrope. Pour la déterminer, considérons un plasma homogène<br />
et notons Oz la direction du champ électrique. Pour simplifier, supposons en outre<br />
que le champ est si fort que le mouvement des particules lui est entièrement parallèle.<br />
L’équation de Boltzmann en régime stationnaire s’écrit simplement sous la forme unidimensionnelle<br />
:<br />
qE df<br />
= −ν(v z) f(v z) = − vz<br />
f(v z)<br />
m dv z λ 0<br />
où ν(v z) est l’expression (non-moyennée dans cette approche cinétique !) de la fréquence<br />
de collisions. La solution de cette équation est évidemment donnée par l’expression :<br />
f(v z) = A e − mv2 z<br />
2qEλ 0<br />
avec la constante A donnée par la condition de normalisation ∫ ∞<br />
f(v<br />
0 z) dv z = 1.<br />
On constate donc que la fonction de distribution des particules est une maxwellienne<br />
à une dimension de température effective T ∗ définie par la relation k BT ∗ = qEλ 0. On<br />
en déduit aussitôt que la vitesse moyenne s’identifie avec la vitesse fluide u E dans cette<br />
limite :<br />
∫ ∞<br />
( ) 2kBT ∗ 1/2 ( ) 1/2 2qEλ0<br />
〈v z〉 = v zf(v z) dv z = =<br />
≡ u E<br />
0<br />
πm πm<br />
Une conséquence importante est que la fréquence de collision dans cette limite est une<br />
fonction de la vitesse fluide :<br />
E<br />
p ≫ σ0 T<br />
=⇒ ν c = 〈vz〉 = uE<br />
q T g λ 0 λ 0<br />
On notera encore que du fait de cette dépendance, la force de friction F des ions ou<br />
des électrons avec le gaz est une fonction non-linéaire de la vitesse fluide :<br />
( ) 1/2 2qEλ0<br />
u E =<br />
⇔ qE = π mu 2 E ⇒ F = − π mu 2 E<br />
πm<br />
2λ 0 2λ 0<br />
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On peut également retrouver l’expression de la force de friction par un calcul direct à<br />
partir de l’équation de Boltzmann :<br />
∫<br />
∫<br />
qE df vz<br />
2 v z dv z = − f(v z) dv z ⇒ F ≡ − m 〈vz〉<br />
2<br />
m R + dv z R + λ 0 λ 0<br />
et donc, puisque f est une maxwellienne :<br />
F = − m 〈vz〉 2 = − m k BT ∗<br />
λ 0 λ 0 m<br />
= − π mu 2 E<br />
2λ 0<br />
Ces 2 régimes de comportement où la mobilité déend ou non de la vitesse est attesté<br />
expériementalement comme le montre la figure 3.1.<br />
Figure 3.2 – Mobilités ioniques en fonction du rapport E/p à 1 torr et à 300<br />
K.<br />
Remarques<br />
1. Anisotropie des fonctions de distributions. En présence d’un champ électrique extérieur,<br />
les fonctions de distributions ne sont plus isotropes.<br />
2. Invariants de collisions pour particules identiques.<br />
3.2.3 Termes sources correspondant aux collisions inélastiques<br />
Pour les collisions inélastiques, nous nous contenterons de donner une forme<br />
effective phénoménologique pour les termes δf/δt dans le cas des réactions<br />
d’ionisation et de recombinaison électron-ion.<br />
La réaction correspondant à une ionisation en une étape s’écrit :<br />
e − + n −→ i + 2e −<br />
Cette réaction s’accompagne donc de la création d’un électron et d’un ion et<br />
de la disparition d’un neutre. Soit K I (en m +3 s −1 ) le taux de cette réaction,<br />
une forme phénoménologique acceptable pour le terme source S 0 correspondant<br />
s’écrit :<br />
S 0I = ± m(K I n g n e )<br />
où m est la masse des particules de la composante étudiée et où le signe +<br />
vaut pour les composantes décrivant l’ion et l’électron, et le signe - pour la<br />
composante décrivant les neutres. On notera que le produit K I n g n’est autre<br />
que la fréquence d’ionisation ν I , éventuellement dépendante de la position et<br />
du temps si le gaz n’est pas homogène et stationnaire.<br />
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Rappelons que le taux de réaction K I dépend très fortement de la température<br />
électronique T e . A partir d’expressions approchées de la section efficace d’ionisation,<br />
on peut montrer que :<br />
(<br />
K I = σ 0 v e 1 + 2k )<br />
BT e<br />
e −E I/(k B T e) ≈ K I0 e −E I/(k B T e)<br />
E I<br />
où la section efficace, σ 0 ≡ π ( e 2 /4πǫ 0 E I<br />
) 2, la vitesse thermique électronique,<br />
v e ≡ (8k B T e /πm e ) 1/2 . A titre d’exemple, l’énergie d’ionisation K I et la constante<br />
K I0 valent respectivement 15.7 eV et 5 10 −14 m 3 /s pour l’argon.<br />
Dans le cas de la recombinaison électron-ion, la forme phénoménologique<br />
est comparable à celle utilisée pour l’ionisation, c’est-à-dire qu’elle est proportionnelle<br />
aux densités des espèces impliquées dans la collision. On écrit donc en<br />
général :<br />
S 0I = ± m(K r n i n e )<br />
où K r est le taux de recombinaison électron-ion. On notera que comme n i ≈ n e ,<br />
les termes de recombinaison contribuent par des termes non-linéaires en la densité.<br />
Mentionnons que la recombinaison entre ions positifs et ions négatifs peut<br />
également être significative dans le cas des décharges électronégatives (décharges<br />
contenant des espèces ioniques chargées négativement en plus des électrons et<br />
ions positifs).<br />
Les formes utilisées pour les termes de collisions inélastiques associés aux<br />
transferts d’impulsion, S1 inel. , et aux transferts d’énergie, S1 inel. , sont plus difficiles<br />
à préciser car ils dépendent des vitesses fluides et des températures des<br />
particules créées ou détruites. Ces vitesses et températures peuvent être approximées<br />
à partir d’approximations physiques ou obtenues par des calculs sophistiqués<br />
de théorie cinétique. Pour les contributions d’ionisation, par exemple,<br />
on utilise souvent pour les termes de collisions associés aux électrons une contribution<br />
de la forme<br />
S2I e = −m e K I n g E I<br />
puisque les électrons doivent perdre (au minimum) l’énergie d’ionisation E I<br />
dans chaque collision ionisante. A contrario, l’hypothèse que les ions sont créés<br />
avec la même température, T n que les neutres, conduit à introduire la contribution<br />
suivante :<br />
S i 2I = +m i<br />
3<br />
2 K In g k B T n<br />
3.2.4 Remarque<br />
L’importance relative des contributions élastiques et inélastiques dépend du<br />
gaz considéré. A titre d’exemple simple, la figure suivante présente les taux<br />
de réaction des réactions les plus importantes pour l’argon en fonction de la<br />
température électronique. On notera que pour ce gaz, les collisions élastiques<br />
sont dominantes dans le domaine de température pertinent (quelques eV).<br />
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Figure 3.3 – Taux des réactions de collisions élastiques, d’excitations et d’ionisations<br />
pour l’argon en fonction de la température électronique.<br />
3.3 Approximation d’équilibre thermodynamique local<br />
1. On a déjà insisté sur le fait que les plasmas froids sont des systèmes<br />
hors-équilibre thermodynamique. On doit donc s’attendre, en général, à<br />
ce que les fonctions de distribution des vitesses ne soient pas de simples<br />
maxwelliennes. Deux raisons physiques, au moins, peuvent conduire à des<br />
fonctions de distributions significativement différentes des maxwelliennes :<br />
(a) Les plasmas sont le siège d’un champ électrique, dirigé du centre de la<br />
décharge vers la périphérie qui, bien que généralement modéré dans<br />
la prégaine, introduit une anisotropie des fonctions de distributions,<br />
qui ne peuvent donc être des maxwelliennes, isotropes par nature.<br />
(b) Les collisions inélastiques, comme les collisions d’ionisation ou d’excitation,<br />
sont des collisions à seuils (la section effice est nulle en deça<br />
d’une certaine énergie seuil), ce qui contribue à dépeupler les queues<br />
de distributions.<br />
A titre d’exemple, la fonction de distribution en énergie des électrons dans<br />
le mercure est présentée sur la figure suivante. Le comportement linéaire<br />
(en échelles logarithmiques) est caractéristique d’un comportement maxwellien.<br />
Dans ce cas, tout se passe comme s’il y avait 2 régimes maxwelliens<br />
correspondant à 2 températures électroniques différentes.<br />
2. La figure précédente suggère qu’une approximation maxwellienne avec une<br />
température effective peut-être retenue en première approximation dans<br />
des domaines limités en énergie.<br />
On parle alors d’équilibre thermodynamique local lorsque les électrons<br />
(voire les autres composantes, ions et neutres) peuvent être considérés approximativement<br />
à l’équilibre avec une fonction de distribution qui prend<br />
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Figure 3.4 – Fonction de distribution en énergie pour les électrons dans le<br />
mercure.<br />
la forme d’une Maxwellienne locale :<br />
(<br />
f 1 (⃗r,⃗v, t) = n(⃗r, t)<br />
m<br />
2πk B T(⃗r, t)<br />
) 3/2<br />
e − mv2<br />
2k B T(⃗r,t)<br />
où la température T(⃗r, t) est une fonction quelconque de la position et du<br />
temps, a priori différente pour chaque composante. On vérifiera, comme<br />
conséquence des propriétés des gaussiennes que cette distribution est bien<br />
normalisée à la densité n(⃗r, t).<br />
Exercice Utiliser cette fonction de distribution pour calculer la vitesse thermique, v th ,<br />
le flux de particules, Γ n, atteignant un des côtés d’une surface (typiquement les murs<br />
du réacteur) et le flux d’énergie cinétique, Γ E, atteignant un des côtés d’une surface.<br />
∫ ( ) 1/2<br />
v th ≡ 〈|⃗v|〉 ≡ |⃗v| f1 8kBT<br />
R 3 n d⃗v = ,<br />
πm<br />
∫ ∫<br />
Γ n ≡ 〈nv z〉 = n f 1<br />
vz>0<br />
v z<br />
R 2 R + n d⃗v ⊥ dv z = n〈|⃗v|〉 ,<br />
4<br />
〉<br />
m⃗v<br />
Γ E ≡<br />
〈nv 2<br />
z = 2k BT Γ n<br />
2<br />
v z>0<br />
On prendra bien garde que les expressions précédentes ne doivent être utilisées que<br />
dans les situations d’équilibre thermodynamique local.<br />
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Chapitre 4<br />
Gaine et pré-gaine : quelques<br />
résultats expérimentaux et<br />
numériques<br />
4.1 Résultats expérimentaux<br />
Analysons les résultats expérimentaux reportés sur les figures 4.1 et 4.2.<br />
Comme on le voit sur ces figures, la vitesse des ions croît en s’approchant<br />
Figure 4.1 – Fonctions de distribution de l’ion xenon en fonction de la distance<br />
z à l’électrode (Applied Physics Letters, 91, 041505, (2007)).<br />
de l’électrode, et passe de quelques centaines de mètres par seconde au centre<br />
de la décharge à des vitesses de 1 à plusieurs km/s (selon la masse des ions<br />
41
Figure 4.2 – Profils de vitesses ioniques et de potentiel électrostatique pour<br />
l’ion xenon (T e = 0.61 eV, p = 0.45 mTorr, n e = 5.4 10 9 cm 3 ), et pour l’ion<br />
argon (T e = 0.88 eV, p = 0.7 mTorr, n e = 3.5 10 9 cm 3 ), en fonction de la<br />
distance z à l’électrode (Applied Physics Letters, 91, 041505, (2007)).<br />
considérés). On notera également que les fonctions de distributions sont de plus<br />
en plus asymétriques au fur et à mesure que l’on s’approche de l’électrode. Le<br />
profil de potentiel quant à lui, est relativement plat loin des électrodes et atteint<br />
des valeurs négatives de quelques Volts au voisinage de l’électrode (ces mesures<br />
sont effectuées en potentiel flottant : l’électrode n’est pas polarisée). Un champ<br />
électrique significatif n’apparaît donc que dans la région proche des électrodes.<br />
Les profils de densités électroniques et ioniques (non représentés sur ces figures)<br />
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décroissent du centre vers le bord et sont confondus dans la partie centrale de<br />
la décharge. Les densités ne diffèrent qu’au voisinage de l’électrode : la densité<br />
des ions dominant légèrement la densité électronique.<br />
Ainsi, la décharge peut être grossièrement divisée en 2 régions. Une région<br />
centrale étendue, la prégaine, quasi-neutre (n e ≈ n i ), où les densités (non reportées<br />
sur les figures) et le potentiel décroissent lentement, et une étroite région<br />
périphérique, la gaine, chargée positivement (n i > n e ), où les gradients de densités<br />
et de potentiels sont très abrupts. La lisère de gaine, c’est-à-dire le plan<br />
qui sépare la prégaine de la gaine, est définie comme le lieu des points où les<br />
ions atteignent une vitesse caractéristique, notée c S sur les figures, connue sous<br />
le nom de vitesse de Bohm 1 .<br />
Avant d’entrer dans le détail d’une modélisation plus précise, on peut comprendre<br />
quelques aspects de ces résultats par les remarques qualitatives suivantes<br />
:<br />
– La raison de la polarisation négative des parois en potentiel flottant vient<br />
de la grande mobilité des électrons qui diffusent plus rapidement que les<br />
ions vers les parois. Le potentiel négatif qui s’établit aux parois renvoit les<br />
électrons les moins énergétiques vers le plasma et accélère les ions vers les<br />
parois. Un équilibre peut ainsi s’établir qui permet au plasma de rester<br />
quasi-neutre.<br />
– L’équation de Poisson −ǫ 0 △ϕ = e(n i − n e ) montre qu’une courbure<br />
négative du potentiel impose la relation n i > n e .<br />
– Dans la zone de prégaine, la vitesse de dérive des ions est suffisamment<br />
faible pour que la différence de charges e(n i − n e ) soit négligeable ; en<br />
conséquence, le champ électrique reste modéré dans la prégaine.<br />
4.2 Modélisation fluide simplifiée<br />
Très schématiquement, dans une décharge, les ions sont froids (on a toujours<br />
T i ≪ T e ). Les ions ont le comportement dynamique de particules de masse M, de<br />
vitesse v, accélérées par le champ électrique, E, créés par impacts électroniques<br />
sur les neutres, et dissipant leur énergie par collisions avec ceux-ci. Les équations<br />
de bilan pour les ions s’écrivent :<br />
∂ t n i + ∂ x (n i v) = ν I n e , (4.1)<br />
Mn i (∂ t v + v ∂ x v) = en i E − (ν in n i + ν I n e )Mv (4.2)<br />
Dans ces équations, ν I et ν in représentent respectivement, la fréquence d’ionisation<br />
et la fréquence de transfert d’impulsion entre les ions et les neutres. Le<br />
terme −ν I n e Mv correspond à une perte de quantité de mouvement due à la<br />
création des ions avec une vitesse d’entraînement nulle.<br />
Les électrons au contraire, du fait de leur faible masse, ont le comportement<br />
dynamique d’un fluide placé dans un champ extérieur, et tendent à se distribuer<br />
1. Nous verrons plus loin que la vitesse de Bohm n’est autre que la vitesse acoustique<br />
ionique c s.<br />
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selon une distribution de Maxwell-Boltzmann. Leur équation d’équilibre s’écrit :<br />
0 = −k B T e ∂ x n e − en e E (4.3)<br />
où nous avons utilisé l’approximation isotherme et fait tendre la masse des<br />
électrons vers 0 : m e → 0.<br />
Le champ électrique, quant à lui, obéit à l’équation de Maxwell-Gauss :<br />
ǫ 0 ∂ x E = e(n i − n e ) (4.4)<br />
Ces 4 équations complétées par des conditions aux limites adéquates constituent<br />
un système d’équations aux dérivées partielles non-linéaires dans les 4 champs<br />
n e (x, t), n i (x, t), E(x, t), v(x, t), qui ne peut être résolu que numériquement.<br />
Exercice Estimer l’ordre de grandeur de la vitesse acoustique ionique pour l’argon (M =<br />
40) et le xenon (M = 131), et comparer avec les valeurs reportés sur les Figures 4.1 et 4.2.<br />
4.3 Etude numérique du régime stationnaire<br />
L’étude numérique du système d’équations est grandement facilitée en régime<br />
stationnaire puisque le système devient un système d’équations différentielles.<br />
Introduisons les normalisations suivantes :<br />
N i ≡ n i<br />
n 0<br />
,<br />
N e = n e<br />
n 0<br />
,<br />
V = v<br />
u B<br />
, φ ≡ eϕ<br />
k B T e<br />
,<br />
E ≡ eEλ I<br />
k B T e<br />
, X ≡ x λ I<br />
,<br />
où u B ≡ (k B T e /M) 1/2 est la vitesse acoustique ionique, également appelée<br />
vitesse de Bohm dans les décharges, et λ I ≡ u B /ν I , la longueur d’ionisation.<br />
En notant par un ’, les dérivées par rapport à la variable X, le système<br />
s’écrit en régime stationnaire :<br />
(N i V ) ′ = e φ ,<br />
(<br />
Ni V 2) ′<br />
= N i E − ν in<br />
ν I<br />
N i V,<br />
(<br />
λD<br />
λ I<br />
) 2<br />
E ′ = N i − e φ ,<br />
φ ′<br />
= −E<br />
Le problème apparaît ainsi comme un système différentiel du 1er ordre ( ce qui<br />
est très adapté pour une résolution numérique), dépendant des 2 paramètres<br />
ν in /ν I et λ D /λ I . Pour finir de caractériser le système, on doit choisir un jeu de<br />
conditions aux limites, que l’on prend sous la forme :<br />
N(0) = 1, V (0) = 0, φ(0) = 0, E(0) = 0<br />
Le choix de l’origine des potentiels est en effet libre, les conditions sur la<br />
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0.6<br />
0.5<br />
Densités normalisées<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
V⩵1<br />
N i ⩵0.503<br />
N i<br />
0.1<br />
N e<br />
0<br />
0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.6<br />
Distance normalisée<br />
6<br />
Vitesse des ions normalisée<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
V⩵1<br />
1<br />
0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.6<br />
Distance normalisée<br />
Figure 4.3 – Profils de densités et de vitesses ioniques au voisinage de la lisière<br />
de gaine. Dans tous les cas, ν in = 0, λ D /λ I = 0.001. Les normalisations sont<br />
celles du texte. La vitesse V = 1 correspond à une vitesse ionique égale à la<br />
vitesse de Bohm.<br />
vitesse des ions et le champ électrique respectent les symétries du problème. La<br />
quasi-neutralité est imposée au centre de la décharge 2 .<br />
Le système précédent est intégré numériquement à partir de l’origine lorsque<br />
ν in = 0 (régime non-collisionnel, donc plutôt adapté à une situation basse pression)<br />
et pour un rapport λ D /λ I = 0.001, ce qui est une valeur typique pour des<br />
décharges de quelques eV de température électronique et de densités de l’ordre<br />
de 10 10 -10 11 cm −3 . On pourra noter qu’il n’est pas nécessaire de spécifier a priori<br />
2. On peut montrer par des développements en série au voisinage de l’origine, que la condition<br />
aux limites pour la densité ionique devrait s’écrire N(0) ∼ 1+1.5(λ D/λ I) 2 . Comme le paramètre<br />
λ D/λ I est toujours très petit dans les cas pratiques, cette correction est négligeable, et<br />
n’altère pas significativement les résultats numériques. On retiendra cependant que la densité<br />
ionique est partout supérieure à la densité électronique (même dans la prégaine), la différence<br />
ne devenant importante que dans la gaine.<br />
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la taille du domaine d’intégration, c’est-à-dire la taille du réacteur. Celle-ci sera<br />
déterminée a posteriori lorsque nous préciserons les conditions aux limites au<br />
niveau de l’électrode (cf. le chapitre sur la modélisation de la gaine).<br />
Les profils de densités et de potentiel sont présentés sur la figure 4.3. Le<br />
point où la vitesse des ions atteint la vitesse de Bohm est noté sur les figures<br />
(vitesse normalisée V = 1). On note, en accord avec les expériences, que la<br />
séparation de charge n’apparaît de façon significative que lorsque la vitesse de<br />
Bohm a été dépassée.<br />
Le même type de comportement apparaît sur les profils de potentiels et<br />
de champ électrostatique reportés sur la figure 4.4. Les valeurs numériques<br />
indiquées sur la figure seront comparées dans le chapitre suivant avec celles<br />
obtenues à partir d’un modèle simplifié de la prégaine.<br />
2000<br />
Champ électrique normalisé<br />
1500<br />
1000<br />
500<br />
E⩵19.96<br />
V⩵1<br />
0<br />
0<br />
0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.6<br />
Distance normalisée<br />
Potentiel électrostatique normalisé<br />
-5<br />
-10<br />
-15<br />
-20<br />
V⩵1<br />
s ⩵0.694<br />
0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.6<br />
Distance normalisée<br />
Figure 4.4 – Profils de champ électrique et de potentiel électrostatique, au<br />
voisinage de la lisière de gaine. Dans tous les cas, ν in = 0, λ D /λ I = 0.001. Les<br />
normalisations sont celles du texte. La vitesse V = 1 correspond à une vitesse<br />
ionique égale à la vitesse de Bohm.<br />
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Chapitre 5<br />
Modélisation du plasma<br />
quasi-neutre (prégaine)<br />
Dans ce chapitre, nous résolvons les équations décrivant le transport dans la<br />
partie centrale de la décharge en effectuant l’approximation plasma : n e = n i .<br />
5.1 Linéarisation<br />
Une première approche consiste à effectuer la linéarisation du système différentiel<br />
présenté au chapitre précédent.<br />
Comme on le verra plus bas, cela revient essentiellement à négliger la contribution<br />
inertielle d’accélération des ions (i.e. le terme v ∂ x v). Par souci pédagogique,<br />
nous introduisons les différents termes progressivement, et traitons d’abord le<br />
système sans prise en compte des collisions et dans l’approximation plasma<br />
n i = n e = n. Ce modèle ne peut donc être valable dans la gaine où la séparation<br />
de charges apparaît mais doit pouvoir s’appliquer au cœur du plasma (lorsque<br />
les termes de collisions seront pris en compte).<br />
∂ t n + ∂ x (nv i ) = 0,<br />
Mn (∂ t v + v ∂ x v) = +en E,<br />
k B T e ∂ x n = −enE<br />
Si on se limite à de faibles perturbations, on peut considérer le système linéarisé<br />
autour d’un état de référence de densité uniforme et stationnaire tel que : n =<br />
n 0 , v = 0, E = 0. Le système linéarisé est obtenu en posant :<br />
n = n 0 + n 1 ,<br />
v i = v 1 ,<br />
E = E 1<br />
47
et en ne retenant que les grandeurs d’ordre 1. On trouve aussitôt :<br />
∂ t n 1 + n 0 ∂ x v 1 = 0,<br />
M n 0 ∂ t v 1 = +en 0 E 1 ,<br />
k B T e ∂ x n 1 = −en 0 E 1<br />
En combinant les équations entre elles, on peut obtenir l’équation pour les<br />
perturbations de densités sous la forme 1 :<br />
∂ 2 ttn 1 − k BT e<br />
M ∂2 xx n 1 = 0<br />
Il s’agit manifestement de l’équation de propagation d’une onde de densité avec<br />
la vitesse (k B T e /M) 1/2 .<br />
Rappelons que dans un gaz neutre (à une seule composante), la vitesse de<br />
propagation du son c s est définie par la relation thermodynamique :<br />
c 2 s ≡ ∂p<br />
∂ρ∣ ,<br />
ρ=ρ0<br />
où ρ ≡ nm est ici la densité de masse. Dans le cas du gaz parfait, p =<br />
(nm)k B T/m, et donc<br />
c 2 s = k BT<br />
m = p<br />
nm<br />
Les collisions de contact entre molécules sont à l’origine des ondes de pression<br />
dans un gaz neutre. Il est remarquable que de telles ondes puissent également<br />
exister dans un plasma sans collision. L’origine de ces ondes est maintenant à<br />
rechercher dans les interactions coulombiennes entre les électrons et les ions. La<br />
pression est essentiellement due aux électrons p = p e + p i ≈ k B T e n tandis que<br />
l’inertie dépend principalement des ions (M + m)n ≈ nM, ce qui conduit bien<br />
à une vitesse du son dite vitesse acoustique ionique :<br />
√<br />
kB T e<br />
c si ≡<br />
M<br />
En cherchant des solutions de l’équation d’onde sous la forme d’ondes progressives,<br />
on trouve aisément que la relation de dispersion s’écrit :<br />
ω<br />
ω<br />
k = c si<br />
c si<br />
k<br />
c 2 si ≡ k BT e<br />
M<br />
Les ondes acoustiques ioniques sont donc sans dispersion et les vitesses de<br />
phase et de groupe sont identiques. A la différence des perturbations électroniques<br />
1. La vitesse et le potentiel obéissent à la même équation.<br />
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qui sont des ondes stationnaires de fréquence fixes (ω = ω pe ), les ondes acoustiques<br />
ioniques sont des ondes propagatives de vitesses constantes.<br />
Les termes sources et/ou les termes de collisions que nous avons négligés<br />
sont responsables de l’amortissement de ces ondes. Les équations de bilan des<br />
ions sont modifiées de la façon suivante :<br />
∂ t n + ∂ x (nv) = ν I n,<br />
Mn (∂ t v + v ∂ x v) = −k B T e ∂ x n − (ν in n + ν I n)Mv<br />
Dans ce cas le système d’équations linéarisées devient :<br />
∂ t n 1 + n 0 ∂ x v 1 = ν I n 1 ,<br />
M n 0 ∂ t v 1 = −k B T e ∂ x n 1 − (ν in + ν I ) Mn 0 v 1 ,<br />
En combinant ces équations entre elles, on trouve que l’équation d’onde correspondante<br />
s’écrit :<br />
∂ 2 ttn 1 − c 2 si ∂ 2 xxn 1 = (ν in + ν I ) ν I n 1 − ν in ∂ t n 1<br />
Le terme de dérivée temporelle du premier ordre est clairement responsable<br />
de l’amortissement des ondes tandis que le terme linéaire (qui dépend essentiellement<br />
de la fréquence d’ionisation) ne joue significativement que pour les<br />
longueurs d’ondes λ ≫ λ I ≡ u B /ν I .<br />
Exercice Etudier la relation de dispersion des ondes acoustiques ioniques lorsque la dissipation<br />
et/ou les effets de charge d’espace sont pris en compte.<br />
Ainsi, l’étude du système linéarisé montre que la vitesse acoustique ionique<br />
c si = (k B T e /M) 1/2 est la vitesse “ naturelle” de propagation de faibles perturbations<br />
extérieures. L’analyse du modèle quasi-neutre que nous présentons<br />
dans la suite, montre que cette vitesse joue encore un rôle important lorsque<br />
les effets non-linéaires sont pris en compte.<br />
5.1.1 Etude de la prégaine<br />
Dans cette section nous étudions la prégaine, c’est-à-dire la région quasineutre<br />
du plasma où les ions acquièrent l’énergie suffisante pour la formation des<br />
gaines. Dans un plasma quasi-neutre, la dissipation introduite par l’ionisation<br />
et/ou les collisions électrons-neutres, sont à l’origine de cette accélération des<br />
ions, ainsi que la chute des densités et du potentiel qui l’accompagne.<br />
Nous considérons donc le modèle dans sa limite quasi-neutre (n e = n i =<br />
n), avec des électrons boltzmanniens et des ions froids collisionnels, mais en<br />
retenant les termes d’inertie non-linéaires. Les équations du modèle s’écrivent<br />
en régime stationnaire :<br />
(nv) ′ = ν I n, (5.1)<br />
nv v ′ = −u 2 B n ′ − (ν I + ν in ) nv (5.2)<br />
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(le ’ désigne encore une dérivée par rapport à la variable x). En combinant ces 2<br />
équations entre elles, on trouve facilement l’expression des gradients de densité<br />
et de vitesse :<br />
n ′ = − 2ν I + ν in<br />
u 2 nv,<br />
B<br />
− v2<br />
(5.3)<br />
v ′ = + ν I u 2 B + (ν I + ν in )v 2<br />
u 2 B − v2 (5.4)<br />
Tant que v < u B , les densités décroissent (n ′ < 0) tandis que la vitesse des<br />
ions croît (v ′ > 0). Au centre de la décharge où v = 0, le gradient de densité<br />
s’annule, tandis que la fréquence d’ionisation, et elle seule, contrôle le gradient<br />
de vitesse : v ′ (0) = ν I .<br />
On notera que les gradients s’annulent en l’absence d’ionisation et de collisions<br />
électrons-neutres. Plus précisément, les 2 seules solutions sont n = n 0 , v =<br />
0, ou n = n 0 , v = u B . La seule solution continue compatible avec la condition<br />
v(0) = 0 au centre de la décharge est la première qui correspond à des ions<br />
immobiles et à une vitesse nulle dans toute la prégaine. L’autre solution, discontinue,<br />
correspondrait à un choc. Dans un plasma quasi-neutre, l’ionisation<br />
ou les collisions ion-neutres sont des conditions nécessaires pour l’accélération<br />
des ions dans la prégaine, et donc, in fine, pour la formation des gaines.<br />
L’équation d’équilibre des électrons :<br />
k B T e n ′ = enϕ ′<br />
permet de déterminer le gradient de potentiel (i.e. le champ électrique au signe<br />
près) :<br />
ϕ ′ = − k BT e 2ν I + ν in<br />
e u 2 B − v<br />
v2<br />
Dans ce plasma quasi-neutre, le champ électrique part donc d’une valeur nulle<br />
au centre de la décharge (où v = 0), et croît jusqu’à diverger lorsque la vitesse<br />
des ions atteint la vitesse de Bohm.<br />
Les gradients de densités, vitesse, et potentiel divergent donc lorsque la vitesse<br />
atteint la vitesse de Bohm. Ce comportement singulier est une conséquence<br />
de l’approximation de quasi-neutralité (l’équation de Poisson n’est pas prise en<br />
compte). Les résultats numériques reportés sur les Figures 4.3 et 4.4 montrent<br />
clairement que cette singularité n’existe pas lorsqu’on résout le système <strong>complet</strong><br />
d’équations. Si l’on ne force plus l’égalité des densités, on peut montrer que le<br />
gradient de densité ionique par exemple, s’écrit :<br />
n ′ i = 2ν In e v + ν in n i v − en i E/M<br />
v 2<br />
La singularité n’apparaît plus qu’en bord de domaine, ce qui ne pose pas de<br />
problème. Si l’approximation plasma ne permet pas un calcul approximatif du<br />
champ électrique en lisière de gaine (le champ est un gradient de potentiel),<br />
nous montrons dans la section suivante, que les variations de potentiel et de<br />
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densités sont suffisamment lentes dans la prégaine pour obtenir une excellente<br />
approximation des densités et du potentiel à l’entrée de la gaine avec l’hypothèse<br />
de quasi-neutralité.<br />
Exercice Etablir l’expression du gradient obtenue ci-dessus. Montrer qu’une autre singularité<br />
apparaît à l’intérieur du domaine de résolution lorsqu’on prend en compte la contribution<br />
de pression des ions. Commenter.<br />
Chutes de densité et de potentiel dans la prégaine<br />
Le système d’équations différentielles précédent constitue un système différentiel<br />
non-linéaire dont la résolution est délicate. Il est cependant assez facile d’obtenir<br />
une estimation de la chute de la densité (ionique et électronique, puisqu’elles<br />
sont égales) dans la prégaine. On peut convenir de marquer la fin de la prégaine,<br />
et donc l’entrée dans la gaine, comme le point où le modèle quasi-neutre devient<br />
singulier, c’est-à-dire où la vitesse des ions atteint la vitesse de Bohm : v i ≡ u B .<br />
En effectuant le rapport des 2 équations (8.26) et (8.27), on obtient l’égalité :<br />
dn<br />
n + 2ν I + ν in<br />
2(ν I + ν in )<br />
qui s’intègre immédiatement entre 0 et x :<br />
2(ν I + ν in )v<br />
ν I u 2 B + (ν I + ν in )v 2 dv = 0<br />
[ (<br />
n(x)<br />
1 + 1 + ν )<br />
in v 2 ]<br />
(x)<br />
2ν I +ν in<br />
2(ν I +ν in )<br />
= 1<br />
n 0 ν I u 2 B<br />
Posons n s la densité de lisière de gaine obtenue lorsque v = u B . On trouve :<br />
(<br />
n s<br />
= 2 + ν ) 1+ν − in /2ν I<br />
1+ν<br />
in in /ν I<br />
n 0 ν I<br />
A l’aide de l’équation d’équilibre des électrons : eϕ(x) = k B T e ln(n(x)/n 0 ), on<br />
obtient aussitôt la chute de potentiel ϕ s dans la prégaine :<br />
ϕ s = − k BT e<br />
e<br />
(<br />
1 + ν in /2ν I<br />
ln 2 + ν )<br />
in<br />
1 + ν in /ν I ν I<br />
Pour ν in = 0, on trouve n s /n 0 = 0.5, et pour ν in = ν I , on trouve n s /n 0 =<br />
3 −3/4 ≈ 0.44, tandis que le potentiel vaut respectivement eϕ s /(k B T e ) = − ln2 ≈<br />
−0.694 et eϕ s /(k B T e ) = −3 ln3/4 ≈ −0.824 . L’accord avec les résultats<br />
numériques reportés sur la Figure 4.3 (dans le cas ν in = 0) est remarquable.<br />
On pourra donc retenir, comme ordre de grandeur, que la densité chute de<br />
moitié dans la prégaine, et le potentiel (en eV ) d’un peu plus de k B T e /2.<br />
Exercice Montrer que le système différentiel (7.1-5.2) peut-être résolu analytiquement en<br />
régime collisionnel lorsque le terme d’inertie nv v ′ est négligé avec les conditions aux limites<br />
n(0) = n 0, v(0) = 0.<br />
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Chapitre 6<br />
Modélisation de la gaine<br />
6.1 Introduction<br />
Commençons par analyser les résultats numériques reportés sur les figures<br />
6.1 et 6.2, toujours dans la limite ν in = 0. Lorsque les ions passent la vitesse<br />
de Bohm, la densité totale de charges, e(n i − ne), devient significative, croît<br />
jusqu’à un maximum avant de tendre vers 0, la densité ionique dominant toujours<br />
la densité électronique. Dans le même temps, et de façon cohérente avec<br />
cette augmentation de charge d’espace, le champ et le potentiel électrostatique<br />
prennent de fortes valeurs. On notera également que l’augmentation de vitesse<br />
des ions est exactement compensée par la diminution de la densité ionique, de<br />
telle sorte que le flux se conserve dans la gaine.<br />
0.15<br />
Densité de charge normalisée<br />
0.125<br />
0.1<br />
0.075<br />
0.05<br />
0.025<br />
N iN e⩵0.003<br />
V⩵1<br />
0<br />
0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.6<br />
Distance normalisée<br />
Figure 6.1 – Densité de charges au voisinage de la lisière de gaine. Les paramètres<br />
sont les mêmes que sur la Figure 4.3.<br />
En s’inspirant de ces résultats numériques, on voit que l’approximation<br />
plasma ne peut pas être utilisée dans la gaine, mais qu’en revanche, la densité<br />
électronique y est suffisamment faible, pour qu’on puisse négliger le terme<br />
53
0.5<br />
Flux ionique normalisé<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
V⩵1<br />
0.1<br />
0.2 0.4 0.6 0.8 1<br />
Distance normalisée<br />
Figure 6.2 – Flux ionique dans la décharge. Les paramètres sont les mêmes<br />
que sur la Figure 4.3.<br />
source ν I n e dans l’équation de bilan du nombre de particules, de telle sorte que<br />
le flux ionique se conserve dans la gaine en régime stationnaire. Nous effectuerons<br />
donc la modélisation de la gaine en régime stationnaire à partir du jeu<br />
d’équations suivant :<br />
(n i v) ′ = 0, (6.1)<br />
Mn i v v ′ = −en i ϕ ′ , (6.2)<br />
k B T e n ′ e = +en e ϕ ′ , (6.3)<br />
−ǫ 0 ϕ ′′ = e(n i − n e ) (6.4)<br />
Comme on ne s’intéresse qu’à la gaine, il est commode d’effectuer un changement<br />
d’origine des coordonnées et de l’origine des potentiels. Désormais, la<br />
position x = 0 correspondra à la lisière de gaine, et on choisira l’origine du<br />
potentiel en ce même point, c’est-à-dire ϕ(0) = 0.<br />
6.2 Le critère de Bohm<br />
Commençons par montrer que la solution la plus naturellement attendue<br />
pour le potentiel électrostatique dans la gaine, à savoir un prolongement du<br />
régime de pré-gaine, c’est-à-dire une solution concave monotone décroissante,<br />
ne peut exister que si la vitesse des ions est suffisante à l’entrée dans la gaine.<br />
Le potentiel électrostatique qui s’établit au sein de la décharge dépend de<br />
la densité de charges ρ ≡ e(n i − n e ) via l’équation de Poisson :<br />
−ǫ 0 △ϕ = ρ[ϕ]<br />
L’équation de Poisson est donc une équation différentielle non-linéaire du second<br />
ordre pour laquelle il nous faut préciser 2 conditions aux limites. On a déjà<br />
précisé la condition à l’entrée du domaine ϕ(0) = 0. La condition à la périphérie,<br />
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en x = L, est ϕ(L) ≡ ϕ L , où ϕ L est le potentiel négatif imposé de l’extérieur<br />
au plasma, ou le potentiel flottant (également négatif) qui s’établit en l’absence<br />
de contraintes et que nous estimerons un peu plus loin.<br />
Une telle équation différentielle peut admettre plusieurs types de solutions<br />
qualitativement différentes. Pour le voir développons la densité de charge autour<br />
de l’entrée de la gaine où ϕ ≡ 0, on a donc à 1D,<br />
−ǫ 0 ϕ ′′ = ρ[0] + ϕ dρ<br />
dϕ∣ + · · ·<br />
ϕ=0<br />
Or le plasma est quasi-neutre au point où ϕ = 0, i.e. n i (0) = n e (0) = n s , on a<br />
donc d’une part : ρ[0] = 0. D’autre part, si ϕ est uniforme, partant de ϕ = 0<br />
et allant jusqu’à ϕ L < 0, on a nécessairement ϕ ≤ 0 (autrement dit le champ<br />
électrique est dirigé du plasma vers la paroi). On a également, ϕ ′′ ≤ 0 si le<br />
potentiel est concave. Le membre de gauche de l’équation devant être positif,<br />
on en déduit la contrainte :<br />
dρ<br />
dϕ∣ ≤ 0<br />
ϕ=0<br />
ou<br />
dn i<br />
dϕ<br />
∣ ≤ dn e<br />
∣<br />
ϕ=0<br />
dϕ<br />
∣<br />
ϕ=0<br />
qui constitue la forme générale du critère de Bohm qui traduit la réalité suivante<br />
: une solution monotone décroissante, concave, ne peut se développer à<br />
partir d’une prégaine quasi-neutre que si le critère de Bohm est vérifié.<br />
Comme aucune hypothèse n’a encore était faite sur la dépendance explicite<br />
des densités ioniques et électroniques en fonction de ϕ, ce critère peut être<br />
utilisé aussi bien dans le cadre d’une dérivation cinétique des densités que dans<br />
le cadre d’une dérivation fluide.<br />
Plaçons-nous dans ce dernier cas. L’équation du mouvement des ions est<br />
équivalente à la conservation de l’énergie totale, avec une contribution cinétique<br />
et une contribution potentielle :<br />
1<br />
2 Mv2 i + eϕ = Cte<br />
Soit v 0 la vitesse des ions à l’entrée de la gaine, les ions sont accélérés par le<br />
champ électrique et acquièrent la vitesse :<br />
√<br />
v i = v 0 1 − eϕ<br />
Mv0 2/2<br />
Comme ϕ est négatif, les ions sont accélérés par la chute de potentiel. L’ionisation<br />
pouvant être négligée dans la gaine, le bilan sur le nombre d’ions est<br />
équivalent à la conservation du flux ionique :<br />
n i v i = n s v 0<br />
On en déduit les variations la densité avec le potentiel :<br />
n i [ϕ] =<br />
√<br />
1 −<br />
n s<br />
eϕ<br />
Mv0 2/2<br />
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Les électrons sont en équilibre avec le potentiel :<br />
n e [ϕ] = n s e + eϕ<br />
k B Te<br />
Ainsi, pour un plasma constitué d’électrons boltzmanniens et d’ions froids, les<br />
densités électroniques et ioniques décroissent toutes 2 avec le potentiel (négatif).<br />
On notera tout de même que la décroissance des ions est algébrique tandis que<br />
celle des électrons est exponentielle. Aux grandes distances, dans un potentiel<br />
négatif, les électrons sont toujours moins nombreux que les ions.<br />
La densité de charges totale s’écrit donc explicitement sous la forme :<br />
n s e<br />
ρ[ϕ] ≡ e(n i [ϕ] − n e [ϕ]) = √ − n<br />
1 −<br />
eϕ s ee + eϕ<br />
Mv0 2/2 Il est alors facile d’établir que les gradients des densités sont tous deux positifs<br />
et que l’inégalité du critère de Bohm n’est vérifiée que si la vitesse d’entrée des<br />
ions dans la gaine est au moins égale à la vitesse acoustique ionique.<br />
En effet, en utilisant les équations de bilan de particule et de quantité de<br />
mouvement, on a en tout point de la gaine :<br />
(<br />
dn i<br />
dϕ<br />
= −n i dv i<br />
v i dϕ = −n i<br />
−<br />
e )<br />
= + en i<br />
v i Mv i Mvi<br />
2 > 0,<br />
dn e<br />
dϕ = en 0<br />
e + eϕ en<br />
k B Te e = > 0<br />
k B T e k B T e<br />
En utilisant ces 2 équations dans la contrainte dρ<br />
dϕ<br />
≤ 0 calculée en ϕ = 0. On<br />
trouve aussitôt :<br />
v 2 0 ≥ k BT e<br />
M i.e. v 0 ≥ c si<br />
L’inégalité v 0 ≥ c si est la forme particulière du critère de Bohm pour un plasma<br />
électro-positif considéré dans le cas d’une approche fluide. C’est dans ce contexte<br />
que la vitesse acoustique ionique est généralement appelée la vitesse de Bohm.<br />
Il est facile de se convaincre (faites le !), que la prise en compte de la<br />
température ionique, T i , conduit au critère de Bohm suivant :<br />
√<br />
kB T e + k B T i<br />
v 0 ><br />
M<br />
k B Te<br />
Comme T e ≫ T i dans tous les plasmas froids, la correction est négligeable.<br />
L’exercice qui suit montre que le critère de Bohm peut également être obtenu,<br />
non pas en faisant une approximation à l’entrée de la gaine sur les densités,<br />
n i (0) ≈ n e (0), comme nous venons de faire, mais par une approximation sur le<br />
champ électrique à l’entrée de la gaine : ϕ ′ (0) ≈ 0.<br />
Exercice Après avoir multiplié l’équation de Poisson par ϕ ′ (x),<br />
montrer en l’intégrant que l’approximation d’un champ nul à l’entrée<br />
de la gaine : ϕ ′ (0) ≈ 0, permet de retrouver le critère de Bohm.<br />
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6.3 Utilisation du potentiel de Sagdeev<br />
Le critère de Bohm tel qu’on vient de le présenter, peut être compris comme une condition<br />
nécéssaire pour obtenir une solution monotone de l’équation de Poisson compatible avec les<br />
conditions aux limites imposées. Dans un cadre plus général, le physicien soviétique R. Z.<br />
Sagdeev a proposé une approche qualitative de l’équation non-linéaire de Poisson qui permet<br />
une discussion des différentes formes de potentiel solutions de cette équation. Dans cette<br />
section, nous redérivons le critère de Bohm en utilisant cette approche.<br />
Le point de départ consiste à établir une analogie entre l’équation de Poisson et l’équation<br />
du mouvement d’une particule placé dans un potentiel V (x). La force dérivant du potentiel<br />
F(x) = −dV/dx, le principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule de masse<br />
unité s’écrit :<br />
d 2 x<br />
dt = −dV 2 dx<br />
Afin de s’affranchir de constantes inutiles, écrivons l’équation de Poisson dans un premier<br />
temps en variables sans dimensions :<br />
et λ D, la longueur de Debye.<br />
d 2 φ<br />
dX = −ρ[φ] 2 n 0e<br />
avec<br />
{<br />
X ≡<br />
x<br />
φ ≡<br />
λ eϕ D<br />
k B T e<br />
Si on introduit le potentiel de Sagdeev, V [φ], défini par la relation<br />
V [φ] ≡<br />
∫ φ<br />
L’équation de Poisson peut s’écrire sous la forme :<br />
0<br />
ρ[ψ]<br />
n 0e dψ,<br />
d 2 φ<br />
dX 2 = −dV dφ<br />
qui est formellement analogue au principe fondamental de la dynamique, pour peu qu’on<br />
identifie la position de la pseudo-particule, x(t), à l’instant t, avec la valeur du potentiel,<br />
φ(X), à la position X.<br />
Dans le cas du plasma electro-positif traité dans le cadre d’un modèle fluide, on a :<br />
ρ[φ]<br />
n 0e ≡ 1<br />
√<br />
1 − 2φ/M<br />
2 a<br />
− e +φ<br />
où on a introduit le nombre de Mach en X = 0, défini par<br />
M a ≡ v0<br />
u B<br />
La forme du potentiel de Sagdeev dépend donc du nombre de Mach M a. L’intégration est<br />
évidente, on trouve :<br />
V [φ] = M 2 a<br />
(<br />
1 − √ ) ( )<br />
1 − 2φ/Ma<br />
2 − e +φ − 1<br />
On notera que V [0] = 0, c’est-à-dire que l’origine du potentiel de Sagdeev est prise au point<br />
de quasi-neutralité (V ′ [0] ∝ ρ[0] = 0). Le potentiel de Sagdeev est représenté sur la Figure 6.3<br />
pour différentes valeurs du nombre de Mach.<br />
Le comportement du potentiel de Sagdeev au voisinage de l’origine est clairement déterminant<br />
pour la nature des solutions. Les développements de V et V ′ donnent<br />
( ) 1 φ<br />
2<br />
V [φ] = − 1<br />
Ma<br />
2 2! + O(φ3 )<br />
( )<br />
V ′ 1<br />
[φ] = − 1 φ + O(φ 2 )<br />
M 2 a<br />
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0.15<br />
Potentiel de Sagdeev, VΦ<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
-0.05<br />
-0.1<br />
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5<br />
Potentiel Electrostatique, Φ<br />
Figure 6.3 – Potentiel de Sagdeev pour M a = 0.6 et M a = 0.8 (pointillés),<br />
M a = 1 (en gras) et M a = 1.2.<br />
Le comportement du potentiel électrostatique au voisinage de l’origine s’écrit donc<br />
( )<br />
φ ′′ 1<br />
(x) + − 1 φ(x) ≈ 0<br />
Ma<br />
2<br />
Les solutions sont donc propagatives (le potentiel élecrostatique peut se développer spatialement)<br />
si M a > 1, et oscillante dans le cas contraire. Cette analyse locale permet donc de<br />
retrouver le critère de Bohm, qui implique donc une vitesse supersonique pour les ions afin<br />
qu’un potentiel électrostatique auto-cohérent puisse s’établir dans la décharge.<br />
Que se passe-t-il physiquement si M a < 1 ? Plaçons nous dans le cas un peu plus limite<br />
où M a ≪ 1. Alors, le vecteur d’onde d’oscillation, k, est telle que :<br />
k = ( M −2<br />
a<br />
− 1 ) 1/2<br />
≈ M<br />
−1<br />
a<br />
= uB<br />
v 0<br />
=<br />
( ) 1/2 kBT e<br />
≫ 1<br />
Mv 2 0<br />
Autrement dit les forces de rappel de pression sont plus grandes que les forces d’inertie, et le<br />
potentiel ne peut pas se développer spatialement.<br />
L’analyse de la forme du potentiel de Sagdeev loin de l’origine, pour M a > 1 permet de<br />
mettre en évidence une différence qualitative de comportement selon que le système développe<br />
un potentiel électrostatique positif ou négatif.<br />
– Dans le cas du potentiel négatif, on constate que celui-ci est monotone décroissant, et<br />
non borné inférieurement.<br />
– Dans le cas du potentiel positif, celui-ci repasse par un point de quasi-neutralité (lorsque<br />
V ′ [φ] s’annule) et tend vers la valeur limite M 2 a/2 (dans le cadre de ce modèle).<br />
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6.4 La chute de potentiel dans la gaine en potentiel<br />
flottant<br />
La densité totale de courant mesurée à la paroi, J w , est la somme des contributions<br />
ioniques et électroniques :<br />
J w ≡ J iw + J ew<br />
Comme on l’a déjà dit les ions sont essentiellement froids, et leur flux est conservatif<br />
dans la gaine. La densité de charge ionique est donc celle à l’entrée de la<br />
gaine, soit :<br />
J iw = n e eu B<br />
Les électrons au contraire, du fait de leur faible masse, ont une vitesse fluide<br />
très faible par rapport à la vitesse thermique, v e ≪ v e,th . L’origine du flux<br />
électronique sur le mur est donc essentiellement cinétique, et a donc la même<br />
forme que dans le cas d’un gaz neutre :<br />
J ew ≈ − 1 4 n ewev ew = − 1 4 n see e(ϕw−ϕs)<br />
k B Te<br />
( ) 8kB T 1/2<br />
e<br />
πm<br />
Si les parois ne sont pas polarisées - on parle de situation en potentiel flottant<br />
- aucun courant n’est tiré au niveau des parois, et on doit donc avoir :<br />
J iw + J ew = 0<br />
Cette égalité fixe la chute de potentiel dans la gaine, ∆ϕ G :<br />
∆ϕ G ≡ ϕ w − ϕ s = − k BT e<br />
2e<br />
( ) M<br />
ln<br />
2πm<br />
Le logarithme variant peu avec le rapport M/m ≫ 1, la chute de potentiel dans<br />
la gaine est pour tous les gaz de quelques T e (en eV). Ainsi, pour l’hydrogène, on<br />
trouve ∆ϕ G ≈ −2.8 T e et pour l’argon, ∆ϕ G ≈ −4.7 T e . La chute de potentiel<br />
dans la gaine est donc la contribution dominante à la chute totale de potentiel<br />
(depuis le centre de la décharge), puisqu’on avait vu que la chute de potentiel<br />
dans la prégaine était de l’ordre de 0.5 T e .<br />
Pour bien comprendre cette situation et en apprécier les conséquences, nous<br />
avons reportés les flux ionique et électronique sur la Figure 6.4 (en haut). On<br />
constate bien que le flux ionique sature dès l’entrée dans la gaine, tandis que le<br />
flux électronique domine largement tant que la densité électronique est significative<br />
(i.e. dans la prégaine), puis s’effondre ensuite pour égaler le flux ionique,<br />
lorsque x/λ ≈ 0.5875. Cette équation relie donc la taille de la décharge, L, avec<br />
la longueur d’ionisation λ I : L ≈ 0.5875 λ I . Comme λ I est une fonction de la<br />
température électronique (à double titre par la dépendance en u B et en ν I ), et<br />
de la pression, la relation :<br />
L ≈ 0.5875 λ I ⇔ n n L ≈ 0.5875 u B(T e )<br />
K I (T e )<br />
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10<br />
Gaine<br />
Flux normalisés<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
i ⩵ e<br />
LIMITE DU DOMAINE x⩵L<br />
0<br />
0.55 0.56 0.57 0.58 0.59<br />
Distance normalisée<br />
-1<br />
Potentiel à l'entrée de la gaine φ s ⩵0.694<br />
Potentiel électrostatique normalisé<br />
-2<br />
-3<br />
-4<br />
-5<br />
Potentiel flottant au mur φ w ⩵3.53<br />
Gaine<br />
LIMITE DU DOMAINE x⩵L<br />
-6<br />
0.55 0.56 0.57 0.58 0.59<br />
Distance normalisée<br />
Figure 6.4 – Flux ionique et électronique (en haut), et potentiel dans la gaine<br />
(en bas), pour un plasma d’hydrogène. Les paramètres sont les mêmes que sur<br />
la Figure 4.3.<br />
fixe la température électronique, pour une taille de décharge et une pression<br />
de neutres (∝ n n ) données. Cette relation est l’analogue de la condition de<br />
Schottky valable pour les décharges haute pression.<br />
Une fois la taille de la décharge connue, l’analyse du profil de potentiel<br />
(Figure 6.4 (en bas)), permet de déterminer la chute de potentiel dans la gaine<br />
et la prégaine (on notera le bon accord avec les calculs effectués plus haut). Une<br />
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estimation numérique de la taille de la gaine montre que celle-ci est de l’ordre<br />
de quelques longueurs de Debye.<br />
On retiendra donc, qu’en potentiel flottant, la chute de potentiel à travers<br />
la décharge est de quelques T e , et la taille de la gaine de quelques λ D .<br />
Exercice Etablir l’expression du flux électronique reportée plus<br />
haut.<br />
6.5 La taille de la gaine dans une décharge polarisée<br />
négativement<br />
Les électrodes qui confinent un plasma sont très souvent polarisées à un<br />
potentiel beaucoup plus important que les quelques T e caractéristiques des potentiels<br />
flottants. Dans ces conditions, la densité totale de courant qui circule<br />
dans les électrodes est non nulle et dépend de la valeur du potentiel imposée au<br />
mur, ϕ w . Nous nous limitons dans la suite à l’étude du cas ou ϕ w < 0.<br />
Comme nous sommes dans la limite |eϕ w |/(k B T e ) ≫ 1, on peut raisonnablement<br />
négliger la contribution de la densité électronique dans la gaine par<br />
rapport à la densité ionique. L’équation de Poisson dans la gaine s’écrit :<br />
−ǫ 0 ϕ ′′ (x) = n i e =<br />
n s e<br />
√ ,<br />
1 + 2e(ϕs−ϕ)<br />
k B T e<br />
où la vitesse ionique a été choisie égale à u B à l’entrée de la gaine. Il est indiqué<br />
de poser :<br />
φ ≡ 2e(ϕ s − ϕ)<br />
, X = x<br />
k B T e λ Ds<br />
( ) 1/2<br />
où λ Ds ≡ ǫ0 k B T e<br />
2n se est la longueur d’onde de Debye à la lisière de gaine.<br />
2<br />
L’équation s’écrit donc :<br />
φ ′′ (X) = (1 + φ(X)) −1/2<br />
La solution de cette équation avec Φ(0) = 0 (i.e. ϕ = ϕ s à l’entrée de la gaine),<br />
et φ ′ (0) ≈ 0 (soit une condition de champ quasi-nul à l’entrée de la gaine, ce<br />
qui est consistant avec le fait d’avoir choisi v(0) = u B ), s’écrit (le vérifier par<br />
dérivation) :<br />
(<br />
2 2 + √ )<br />
1 + φ(X) √ √1<br />
+ φ(X) − 1 = X<br />
3<br />
(le vérifier par dérivation) La relation entre la taille de la gaine s et le potentiel<br />
(normalisé) au mur, φ w est donc :<br />
2 ( 2 + √ ) √<br />
1 + φ w √1<br />
+ φw − 1 = s<br />
3<br />
λ Ds<br />
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Comme φ w ≫ 1, une bonne approximation de la taille de la gaine est donnée<br />
par la relation :<br />
s = 2 ( ) 3/4<br />
3 λ −2e∆ϕG<br />
Ds<br />
k B T e<br />
où on a encore noté ∆ϕ G ≡ ϕ w − ϕ s .<br />
On retiendra que la taille de la gaine dans une décharge fortement polarisée<br />
négativement est beaucoup plus grande que la longueur de Debye.<br />
Exercice Comparer le calcul précédent avec celui de la loi de<br />
Child-Langmuir qui donne la loi reliant courant et tension pour<br />
une diode plane, lorsque la densité de charges d’espace est prise<br />
en compte.<br />
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Chapitre 7<br />
Plasmas collisionnels :<br />
relaxation et entretien<br />
Dans ce chapitre nous étudions les mécanismes de diffusion au sein d’un<br />
plasma quasi-neutre, partiellement ionisé, lorsque la pression de neutres est<br />
assez importante. Dans ce régime, les collisions étant fréquentes - on parle de<br />
“régime collisionnel” - le libre parcours moyen des espèces chargées est faible par<br />
rapport à la taille du réacteur, si bien que électrons et ions sont peu accélérés<br />
par les champs électromagnétiques. Cela nous autorise à négliger les termes<br />
d’inertie dans les bilans de quantité de mouvement, ce que nous ferons dans ce<br />
chapitre.<br />
Nous montrerons dans ces conditions, que les électrons et les ions tendent<br />
à diffuser ensemble : on parle de diffusion ambipolaire. Après avoir établi les<br />
équations caractéristiques de ce régime de diffusion, nous étudierons successivement<br />
l’évolution d’un plasma confiné en régime de postdécharge (sans sources<br />
d’ionisation), et les conditions d’entretien d’un plasma confiné (modèle de Schottky).<br />
Nous montrerons en particulier que la température électronique d’entretien d’un<br />
plasma collisionnel en régime stationnaire ne dépend que du produit de la pression<br />
de neutres par la “taille” du plasma, p n L.<br />
7.1 Diffusion ambipolaire<br />
Dans un plasma collisionnel, du fait des rapport de masses, les électrons<br />
diffusent plus rapidement que les ions. La densité de charges qui apparaît au<br />
cours du mouvement, crée un champ électrique qui tend à ralentir les électrons<br />
et à accélérer les ions. Les charges ont donc tendance à diffuser ensemble : on<br />
parle de diffusion ambipolaire.<br />
Dans cette partie nous traitons de la diffusion d’un plasma électron-ion<br />
quasi-neutre collisionnel en régime dépendant du temps. Pour simplifier, on<br />
considèrera une situation unidimensionnelle : les variables dynamiques ne dépendent<br />
63
que d’une seule variable d’espace, disons x. n e (x, t), v e (x, t) désignant respectivement<br />
la densité, la vitesse des électrons (n i (x, t), v i (x, t) pour les ions), les<br />
équations fluide du plasma s’écrivent :<br />
∂ t n e + ∂ x (n e v e ) = S,<br />
∂ t n i + ∂ x (n i v i ) = S,<br />
0 = −k B T e ∂ x n e − en e E − m e ν en n e v e ,<br />
0 = −k B T i ∂ x n i + en i E − m i ν in n i v i ,<br />
où ν αn sont les fréquences de collisions (transfert de quantité de mouvement)<br />
entre électrons et neutres ou entre ions et neutres. Rappelons que ν αn = n n K αn ,<br />
où le taux de réaction K αn = 〈σ αn (v α − v n )〉 ≈ σ αn v th,α . Dans cette dernière<br />
expression, nous avons supposé la section efficace indépendante de la vitesse (de<br />
type sphère dure), et nous avons pris comme ordre de grandeur de la vitesse<br />
moyenne, la vitesse thermique.<br />
Les approximations suivantes ont été utilisées :<br />
– Le terme source des équations de conservation des électrons ou des ions<br />
est identique pour les 2 espèces : S e = S i = S(x, t) (réaction du type<br />
e − + n −→ i + 2e − ).<br />
– Les espèces chargées sont considérées dans l’approximation isotherme : les<br />
températures électronique, T e , et ionique, T i , sont supposées uniformes.<br />
– Les termes d’inertie sont négligés (plasmas collisionnels).<br />
Γ i<br />
Γ i<br />
Γ e<br />
E<br />
E<br />
Γ e<br />
Le plasma étant de dimensions largement supérieures à la longueur de<br />
Debye, on peut le considérer comme quasi-neutre et utiliser l’approximation<br />
plasma :<br />
n e = n i ≡ n<br />
Rappelons que cette approximation est pertinente pour la description de la<br />
partie centrale des réacteurs à plasmas, mais ne convient pas pour les parties<br />
du plasma directement en contact avec les murs confinants (région des gaines).<br />
Introduisons les flux Γ α ≡ nv α (en m −2 s −1 ). Les équations se simplifient et<br />
prennent la forme :<br />
∂ t n + ∂ x Γ e = S,<br />
∂ t n + ∂ x Γ i = S,<br />
Γ e = −D e ∂ x n + nµ e E,<br />
Γ i = −D i ∂ x n + nµ i E,<br />
x<br />
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où on a introduit les coefficients de diffusion et de mobilité définis par les relations<br />
(α = e, i) :<br />
D α ≡ k BT α<br />
m α ν αn<br />
, µ α ≡ q α<br />
m α ν αn<br />
, =⇒ µ α<br />
D α<br />
=<br />
q α<br />
k B T α<br />
La relation qui lie les 2 coefficients de transport est due à Einstein.<br />
En combinant les équations de conservations du nombre d’ions et d’électrons,<br />
on trouve aussitôt la conservation du flux :<br />
∂ x (Γ e − Γ i ) = 0 =⇒ Γ e − Γ i = Cte<br />
Cette égalité correspond à la conservation de la densité de courant, J ≡ e(Γ i − Γ e ).<br />
S’il existe un plan où le plasma est au repos, ou si aucun courant n’est tiré sur<br />
les parois du réacteur, on a Γ e (0) = Γ i (0) = 0 (ou J ≡ 0), et le courant total<br />
est nul en tout point. On pourra donc poser :<br />
Γ e = Γ i = Γ<br />
En combinant les équations de bilan de quantité de mouvement, il est alors facile<br />
de déterminer les expressions du champ et du flux ambipolaire. On trouve :<br />
avec le coefficient ambipolaire<br />
E =<br />
D e − D i ∂ x n<br />
µ e − µ i n ,<br />
Γ = −D a ∂ x n<br />
D a ≡ µ (<br />
iD e − µ e D i<br />
≈ D i 1 + T )<br />
e<br />
≈ k BT e<br />
µ i − µ e T i m i ν in<br />
On remarquera le caractère mixte de ce coefficient : k B T e d’origine électronique,<br />
et m i ν in d’origine ionique.<br />
En associant les 2 équations ∂ t n + ∂ x Γ = S et Γ = −D a ∂ x n, on trouve<br />
aussitôt que la densité n(x, t) obéit à l’équation de diffusion suivante :<br />
(<br />
∂t − D a ∂xx<br />
2 )<br />
n(x, t) = S(x, t)<br />
Pour un terme source donné et des conditions aux limites précisées, il est possible<br />
de résoudre cette équation aux dérivées partielles linéaire, ce que nous<br />
faisons dans 2 cas particuliers dans les 2 sections suivantes.<br />
7.2 Relaxation d’un plasma collisionnel confiné (régime<br />
de post-décharge)<br />
Rappelons que le terme source, S(x, t) correspond en général aux charges<br />
créées ou détruites en volume dans le plasma. Une première situation simple<br />
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à considérer correspond au cas où S ≡ 0. Cette situation se présente dans le<br />
régime dit de post-décharge, lorsque qu’on coupe la source d’énergie électromagnétique<br />
qui avait engendrée le plasma. Nous étudions donc dans cette section la relaxation<br />
temporelle du profil de densité du plasma.<br />
Dans toutes les situations réalistes, le plasma est confiné. Considérons encore<br />
une situation unidimensionnelle où le plasma est compris entre deux parois<br />
situées en x = 0 et x = +2L. On considèrera les parois comme parfaitement<br />
absorbantes : toutes les charges qui les atteignent sont supposées perdues.<br />
⊕<br />
⊕<br />
⊖<br />
⊖<br />
0 L +2L x<br />
Le problème mathématique se ramène donc à étudier l’équation de diffusion :<br />
∂ t n − D a ∂ 2 xxn = 0,<br />
pour t > 0 et x ∈ [0, +2L], avec pour conditions aux limites et condition initiale :<br />
n(0) = n(+2L) = 0,<br />
n(x,0) = n 0 (x)<br />
n 0 (x) correspond au profil de densité (quelconque) existant juste avant que l’on<br />
fasse S ≡ 0.<br />
Cherchons la solution par la méthode de séparation des variables : n(x, t) =<br />
f(x)g(t). On trouve aisément que les fonctions f et g satisfont les équations<br />
différentielles :<br />
où λ est une constante réelle.<br />
f ′′ (x) + λ 2 f(x) = 0,<br />
g ′ (t) + λ 2 D a g(t) = 0,<br />
En utilisant les conditions aux limites, on trouve aussitôt qu’il existe une<br />
infinité de solution dépendant d’un nombre entier relatif n ∈ Z :<br />
avec λ n = nπ<br />
2L .<br />
f n (x) ∝<br />
sin(λ n x),<br />
g n (t) ∝ e −λ2 nD at ,<br />
L’équation de diffusion étant linéaire, la solution générale s’écrit comme une<br />
combinaison linéaire des solutions précédentes, soit :<br />
n(x, t) =<br />
∞∑<br />
A n e −λ2 nD at sin(λ n x),<br />
n=1<br />
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On remarquera que l’on n’a pas écrit la contribution n = 0 puisqu’elle est nulle,<br />
ni les contributions pour n < 0 qui sont équivalentes, au signe près, avec les<br />
contributions pour n > 0 (on ne doit sommer que des contributions linéairement<br />
indépendantes). Les constantes A n sont déterminées par la relation<br />
n 0 (x) =<br />
∞∑<br />
A n sin(λ n x)<br />
n=1<br />
Noter que, comme il se doit, le comportement asympotique (t → ∞) de la<br />
densité, est le signal plat n(x, ∞) = 0, ∀x. En absence de terme source, le<br />
plasma ne se reforme pas par ionisation en volume, et finit par s’éteindre par<br />
diffusion vers les parois où le plasma est consommé.<br />
Aux temps longs, la contribution dominante dans la somme est celle pour<br />
n = 1 :<br />
n(x, t) ∼ A 1 e −π2 D at/(4L 2) ( πx<br />
)<br />
sin , quand t → ∞<br />
2L<br />
Pour obtenir une expression explicite pour les constantes A n , il suffit de multiplier<br />
par sin(λ m x) et d’intégrer entre 0 et 2L :<br />
∫ +2L<br />
0<br />
n 0 (x) sin(λ m x)dx =<br />
∞∑<br />
∫ +2L<br />
A n sin(λ m x)sin(λ n x)dx<br />
n=1<br />
0<br />
soit, en utilisant la relation d’orthogonalité ∫ +2L<br />
0<br />
sin(λ m x)sin(λ n x)dx = L δ mn ,<br />
A n = 1 L<br />
∫ +2L<br />
0<br />
n 0 (x) sin(λ n x)dx<br />
Les coefficients A n sont donc les coefficients de Fourier du développement en<br />
série de Fourier (série de sinus) du profil initial n 0 (x).<br />
Une solution explicite du profil spatio-temporel en régime de post-décharge<br />
est donc donnée par les relations :<br />
n(x, t) =<br />
A n = 1 L<br />
λ n = nπ<br />
2L<br />
∞∑<br />
A n e −λ2 nD at sin(λ n x),<br />
n=1<br />
∫ +2L<br />
0<br />
n 0 (x) sin(λ n x)dx,<br />
Illustrons ce résultat dans un cas particulier. Supposons que le profil initial n 0<br />
soit donné par l’expression :<br />
n 0 (x) = sin(πx) + 1 2 sin(3πx) + 1 4 sin(5πx)<br />
On lit directement sur cette expression, la valeur des coefficients A n :<br />
A 1 = 1, A 2 = 0, A 3 = 1 2 , A 4 = 0, A 5 = 1 4 , A n = 0, ∀n > 5<br />
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La solution aux temps ultérieurs comprend donc également 3 termes, on obtient<br />
:<br />
n(x, t) = e −π2 D at/(4L 2) sin(πx)+ 1 2 e−9π2 D at/L 2 sin(3πx)+ 1 4 e−25π2 D at/(4L 2) sin(5πx)<br />
La figure suivante présente la relaxation du profil initial pour des temps croissants.<br />
On remarquera, comme attendu, que les harmoniques d’ordres élévés<br />
sont les premières à disparaître. Assez vite le comportement est donné par la<br />
première harmonique.<br />
Densité totale<br />
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1<br />
Figure 7.1 – Relaxation temporelle de la densité sans terme source pour t =<br />
0, 1, 10 lorsque D a = 0.005 et 2L = 1.<br />
7.3 Entretien d’un plasma confiné<br />
Nous venons de voir qu’en absence d’une source d’ionisation, le plasma<br />
s’éteignait par pertes des charges aux parois. Nous montrons maintenant qu’il<br />
est possible d’obtenir un profil stationnaire de densité en présence d’une source<br />
d’ionisation. Physiquement, le régime stationnaire résulte d’un bilan créationspertes<br />
nul : la production en volume des espèces est exactement compensée par<br />
les pertes aux parois.<br />
Considérons donc le plasma en présence d’un terme source S(x, t). Du point<br />
de vue mathématique, on doit donc maintenant considérer le problème inhomogène<br />
∂ t n − D a ∂ 2 xxn = S(x, t),<br />
pour t > 0 et x ∈ [0, +2L], toujours avec pour conditions aux limites et condition<br />
initiale :<br />
n(0) = n(+2L) = 0,<br />
n(x,0) = n 0 (x)<br />
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Pour résoudre ce problème, on utilise la méthode de développement sur une base<br />
de fonctions propres. On cherche encore la solution sous la forme d’une série :<br />
n(x, t) =<br />
∞∑<br />
g n (t)f n (x),<br />
n=1<br />
où les fonctions f n sont les fonctions (propres) que nous avons déterminées lors<br />
de la résolution du problème homogène qui satisfont l’équation :<br />
f ′′<br />
n(x) = −λ 2 n f n (x),<br />
avec les conditions aux limites f n (0) = f n (+2L) = 0.<br />
On pourra donc écrire :<br />
n(x, t) =<br />
∞∑<br />
g n (t) sin(λ n x),<br />
n=1<br />
où les fonctions g n de la variable t restent à déterminer.<br />
Les fonctions propres de l’opérateur d 2 /dx 2 peuvent également être utilisées<br />
comme base de développement du terme source :<br />
S(x, t) =<br />
∞∑<br />
s n (t) sin(λ n x),<br />
n=1<br />
ce qui permet de déterminer les coefficients s n en fonction du terme source<br />
S(x, t) en utilisant les relations d’orthogonalités :<br />
s n (t) = 1 L<br />
∫ +2L<br />
0<br />
S(x, t) sin(λ n x)dx,<br />
Les coefficients s n (t) s’interprètent donc comme les coefficients du développement<br />
en série de Fourier du terme source S(x, t).<br />
En substituant les expressions de s n et S dans l’équation de diffusion, on en<br />
déduit que g n vérifie l’équation différentielle :<br />
avec la condition initiale g n (0) = A n .<br />
g ′ n(t) + D a λ 2 n g n (t) = s n (t),<br />
La résolution de cette équation différentielle (par la méthode de la variation<br />
de la constante) conduit à l’expression :<br />
g n (t) = A n e −λ2 nD at + e −λ2 nD at<br />
∫ t<br />
0<br />
e +λ2 nD aτ s n (τ)dτ<br />
Le premier terme correspond à celui trouvé dans l’étude de la post-décharge<br />
et conduirait, s’il était seul, à l’extinction du plasma. Le second terme dépend<br />
du terme source (via les coefficients de Fourier s n ). C’est ce terme qui peut<br />
éventuellement conduire à un état stationnaire. Pour cela, il faut que la dépendance<br />
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temporelle du terme source contrebalance le facteur d’atténuation e −λ2 nD at .<br />
L’expression générale de la densité en présence d’un terme source quelconque<br />
s’écrit : 1 n(x, t) =<br />
∞∑<br />
n=1<br />
[<br />
A n e −λ2 n Dat +<br />
∫ t<br />
0<br />
]<br />
e −λ2 n Da(t−τ) s n (τ)dτ sin(λ n x)<br />
7.4 Température électronique d’entretien de la décharge<br />
Dans le cas des plasmas faiblement ionisés où l’on peut négliger la recombinaison<br />
des charges en volume, la contribution dominante au terme de source<br />
vient du terme d’ionisation, proportionnel à la densité électronique. On écrira<br />
donc :<br />
S(x, t) = ν I n(x, t),<br />
où ν I ≡ ν I (T e , p) est une fonction de la pression de neutres, p, et de la température<br />
électronique, T e .<br />
On a bien sûr que s n = ν I g n , et en utilisant le résultat de la section<br />
précédente, on trouve que g n vérifie l’équation différentielle :<br />
dont la solution est :<br />
g ′ n(t) = − ( D a λ 2 n − ν I<br />
)<br />
gn (t)<br />
g n (t) = A n e −(ν I−λ 2 nD a)t<br />
La contribution dominante à la densité aux temps longs s’écrit donc :<br />
n(x, t) ∼ A 1 e −(ν I−λ 2 1 Da)t sin (λ 1 x)<br />
On en déduit la condition de maintien du plasma en régime stationnaire :<br />
ν I − λ 2 1D a = 0 ⇐⇒ ν (<br />
I π<br />
) 2<br />
=<br />
D a 2L<br />
Dans le cadre de ce modèle cette relation s’appelle la condition de Schottky.<br />
Pour L et p données, montrons que cette relation fixe la température électronique<br />
au sein de la décharge. En effet, par définition, ν I ≡ n n K I (T e ) et D a ≡<br />
k B T e /(Mn n K in (T i )) où n n représente la densité de neutres (proportionnelle<br />
à la pression p de neutres) et où K I et K in représentent respectivement les<br />
taux des reactions d’ionisation et de collisions élastiques ions-neutres. Lorsque<br />
la températuure ionique T i est fixée, on en déduit que le rapport ν I /D a s’exprime<br />
sous la forme :<br />
ν I<br />
D a<br />
∝ n 2 ng(T e )<br />
1. Il ne faudrait tout de même pas que S soit non-linéaire en la densité, faute de quoi<br />
l’équation de la diffusion ne serait plus linéaire et l’expression ci-dessus ne serait plus valable.<br />
Notez que c’est le cas lorsque des termes de recombinaison (proportionnels à n 2 ) sont pris en<br />
compte dans le terme source.<br />
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où g est une fonction de T e . En combinant ce résultat avec la condition de<br />
Schottky, on en déduit que la température électronique ne dépend que de<br />
constantes et du produit pL :<br />
T e = f(pL)<br />
Il est remarquable que la température ne dépende que du produit de la pression<br />
et de la taille du plasma, et non pas de ces grandeurs séparément. Dans<br />
ce contexte, le produit pL est parfois appelé facteur de similarité. On pourra<br />
également noter, que sous les hypothèses retenues, la température électronique<br />
qui s’établit dans une décharge donnée ne dépend pas directement de la densité<br />
de charges au sein du plasma (ce ne serait pas le cas si le plasma était plus<br />
fortement ionisé).<br />
A titre d’illustration, on a reporté sur les figures suivantes, la dépendance<br />
de la température électronique en fonction du produit pL dans le cas de l’argon<br />
pour lequel on a avec une bonne approximation K I = 2.3410 −14 Te<br />
0.59 e −17.44/Te<br />
m 3 s −1 (avec T e en V), et la forme du profil stationnaire de densité maximum<br />
au centre de la décharge.<br />
Electron Temperature eV<br />
4<br />
3.5<br />
3<br />
2.5<br />
2<br />
1.5<br />
0 5 10 15 20 25<br />
Pressure⋆Length mTorr.m<br />
Figure 7.2 – Température électronique en fonction du produit pL pour un<br />
plasma d’argon.<br />
Dans la section précédente, nous avons obtenu la solution générale de l’équation<br />
de diffusion en tout point de l’espace et du temps. A partir de cette approche<br />
générale, nous avons ainsi pu établir que la condition de Schottky est la condition<br />
d’entretien de la décharge en régime stationnaire. Il est évidemment possible<br />
de faire l’hypothèse de stationnarité dès le début. On vérifiera en particulier<br />
que la solution de l’équation différentielle :<br />
−D a ∂ 2 xxn(x) = ν I n(x)<br />
avec les conditions aux limites n(0) = n(2L) = 0 conduit bien au profil sinusoïdal<br />
avec la condition de Schottky.<br />
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1<br />
Normalized Densities<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1<br />
Normalized Length<br />
Figure 7.3 – Profil stationnaire de densité.<br />
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Chapitre 8<br />
Autres sujets traités sous<br />
forme de problèmes<br />
Dans ce chapitre, nous présentons sous forme de problèmes 4 sujets complémentaires<br />
concernant les plasmas faiblement ionisés.<br />
– En premier lieu, nous étudions l’expansion spatiale d’un plasma électropositif<br />
en régime stationnaire sous l’effet des seules forces qui agissent en son sein.<br />
– Dans un deuxième problème, nous présentons une généralisation du critère<br />
de Bohm étendu au cas des plasmas électronégatifs.<br />
– Le cas des décharges magnétisées est traité en détail dans un troisième<br />
problème.<br />
– Enfin, on étudie un modèle simplifié de plasma à 3 composantes où la<br />
dynamique des espèces neutres est explicitement prise en compte.<br />
73
Expansion d’un plasma dans le vide<br />
On considère un plasma partiellement ionisé, constitué d’électrons, de charges<br />
−e et de masse m, d’atomes neutres, et d’ions positifs monovalents, de masses<br />
M et de charges +e. Pour simplifier, on considèrera une situation unidimensionnelle<br />
: les variables dynamiques ne dépendent que d’une seule variable d’espace,<br />
disons x. Le taux d’ionisation est suffisamment faible pour que l’on puisse supposer<br />
la densité des neutres uniforme : n n = Cte, et négliger la (lente) dynamique<br />
des atomes : v n ≈ 0. On suppose en outre que le plasma n’est pas magnétisé :<br />
B = 0.<br />
Nous étudions l’expansion spatiale du plasma en régime stationnaire sous<br />
l’effet des seules forces qui agissent en son sein. On suppose, en outre, que la<br />
pression du gaz neutre est suffisamment faible pour que les termes de collisions<br />
ions-neutres puissent être négligés. Cette situation peut apparaître dans les<br />
plasmas spatiaux après la formation des nuages interstellaires, mais également<br />
dans certains régimes de fonctionnement des réacteurs à plasmas exploités industriellement<br />
à basses pressions de neutres.<br />
Le plasma est décrit dans le cadre d’un modèle à 2 fluides, et dépend donc<br />
des 5 variables suivantes : densités et vitesses électroniques, n e (x), v e (x), densités<br />
et vitesses ioniques : n i (x), v i (x), et potentiel électrostatique ϕ(x).<br />
∂ x (n e v e ) = +ν I n e ,<br />
∂ x (n i v i ) = +ν I n e ,<br />
0 = −k B T e ∂ x n e + en e ∂ x ϕ,<br />
M n i v i ∂ x v i = −en i ∂ x ϕ,<br />
ǫ 0 ∂ 2 xxϕ = −e(n i − n e )<br />
Dans ces expressions, ∂ x et ∂ 2 xx désignent une dérivée première et seconde par<br />
rapport à la variable x.<br />
Le système différentiel précédent est complété par les conditions aux limites<br />
suivantes :<br />
n e (0) = n i (0) = n 0 , ϕ(0) = 0, v e (0) = v i (0) = 0.<br />
1. Rappeler quelle est la dimension de la constante ν I et sa signification.<br />
2. Discuter succinctement mais précisément le contenu physique de chacune<br />
des équations précédentes. On soulignera en particulier quels sont les<br />
termes négligés dans cette modélisation 1 .<br />
3. L’étude du système d’équations est facilitée par un adimensionnement des<br />
variables. On pose :<br />
N i ≡ n i<br />
n 0<br />
,<br />
N e = n e<br />
n 0<br />
,<br />
V = v i<br />
u B<br />
,<br />
V e = v e<br />
u B<br />
, φ ≡ eϕ<br />
k B T e<br />
, X ≡ x λ I<br />
,<br />
1. L’emploi du terme de diffusion dans la situation présente est un peu abusive : les ions,<br />
froids et non collisionnels se comportent comme des particules. La diffusion suppose des collisions.<br />
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où u B ≡ (k B T e /M) 1/2 est la vitesse dite de Bohm, et λ I ≡ u B /ν I , la<br />
longueur d’ionisation.<br />
Montrer que les équations s’écrivent sous la forme :<br />
(N e V e ) ′ = +N e , (8.1)<br />
(N i V i ) ′ = +N e , (8.2)<br />
N e ′ = +N e φ ′ , (8.3)<br />
V i V i ′ = −φ ′ , (8.4)<br />
ǫ 2 φ ′′ = N e − N i , (8.5)<br />
avec ǫ ≡ λ D /λ I , et λ D , la longueur de Debye. L’apostrophe désigne une<br />
dérivée par rapport à la variable X ; par exemple : N ′ e ≡ dNe<br />
dX .<br />
1<br />
0.8<br />
Densités normalisées<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1<br />
Distance normalisée<br />
Figure 8.1 – Densité électronique, N e (tirets) et densité ionique, N i (traits<br />
pleins), lorsque ν I /ω pi = 0.001.<br />
4. Montrer que ǫ = ν I /ω pi , où ω pi est la fréquence plasma ionique.<br />
On rappelle que ν I = Kn g , où K est une constante et n g , la densité du<br />
gaz neutre. Estimer ǫ pour un plasma d’hydrogène tel que K = 10 −14<br />
m 3 /s, n g = 10 19 m −3 , n 0 = 10 15 m −3 , M = 1.67 10 −27 kg, e = − 1.6<br />
10 −19 C, et ǫ 0 = 8.85 10 −12 F/m.<br />
5. La résolution numérique du système d’équations (8.1-8.5) avec les conditions<br />
aux limites :<br />
N e (0) = N i (0) = 1, φ(0) = 0, V e (0) = V i (0) = 0. (8.6)<br />
et ǫ = 0.001 conduit aux résultats reportés sur les figures suivantes.<br />
En observant le schéma des densités, dire pour quelle raison la région centrale<br />
est considérée comme un plasma, tandis que la région périphérique<br />
est assimilée à une gaine?<br />
6. Les résultats numériques suggèrent l’approximation N e = N i ≡ N pour<br />
étudier la région plasma.<br />
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Etablir les 2 lois de conservation :<br />
V e = V i , (8.7)<br />
1<br />
2 V i 2 + lnN = 0 (8.8)<br />
2<br />
1.75<br />
1.5<br />
Vitesses normalisées<br />
1.25<br />
1<br />
0.75<br />
0.5<br />
0.25<br />
0.2 0.4 0.6 0.8 1<br />
Distance normalisée<br />
Figure 8.2 – Vitesse électronique V e (tirets) et vitesse ionique, V i (traits pleins),<br />
lorsque λ D /λ I = 0.001.<br />
7. Quelle interprétation physique peut-on donner de l’équation (8.8) ?<br />
On discutera en particulier les situations au centre et au bord du plasma.<br />
8. Posons V ≡ V e = V i . Le plasma est donc assimilable à un fluide unique<br />
de densité N et de vitesse V .<br />
Montrer que le plasma satisfait les 2 équations :<br />
(NV ) ′ = +N, (8.9)<br />
NV V ′ = −N ′ (8.10)<br />
9. Combiner ces 2 équations pour les écrire sous la forme :<br />
N ′ (V 2 − 1) = NV, (8.11)<br />
V ′ (V 2 − 1) = −1 (8.12)<br />
10. Utilisez le système différentiel précédent pour répondre aux questions suivantes<br />
:<br />
- A quelle vitesse physique la vitesse normalisée V = 1 correspond-elle?<br />
- Quel est le signe des gradients de densités et de vitesses au voisinage de<br />
X = 0 ?<br />
- Que peut-on dire des gradients de densités et de vitesses lorsque V → 1 ?<br />
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11. L’équation (8.12) s’écrit sous la forme différentielle : V 2 dV − dV = −dX.<br />
Intégrer cette équation et en déduire que la position ¯x où la vitesse vaut<br />
1 vérifie :<br />
¯x = 2 3 λ I<br />
Comparer avec les résultats numériques.<br />
12. Utiliser les équations (8.4) et (8.8) pour déterminer les variations de densités<br />
¯n/n 0 et de potentiel e¯ϕ à la position x = ¯x.<br />
0<br />
-0.2<br />
Potentiel normalisé<br />
-0.4<br />
-0.6<br />
-0.8<br />
0.2 0.4 0.6 0.8 1<br />
Distance normalisée<br />
Figure 8.3 – Potentiel électrostatique, φ, lorsque λ D /λ I = 0.001.<br />
13. Lorsque les ions sont créés sans vitesses initiales, l’équation de bilan de<br />
quantité de mouvement des ions doit être modifiée et écrite sous la forme :<br />
M n i v i ∂ x v i = −en i ∂ x ϕ − M v i (ν I n e )<br />
Les équations de ce modèle s’écrivent donc :<br />
∂ x (n i v i ) = +ν I n e ,<br />
0 = −k B T e ∂ x n e + en e ∂ x ϕ,<br />
M n i v i ∂ x v i = −en i ∂ x ϕ − M v i (ν I n e ),<br />
ǫ 0 ∂ 2 xxϕ = −e(n i − n e )<br />
Combiner ces équations et établir la relation :<br />
M n i v 2 i + k B T e n e − ǫ 0E 2<br />
2<br />
= Cte,<br />
où E = −∂ x ϕ désigne le champ électrique.<br />
14. La relation (8.13) est valable dans tout le système (plasma et gaine).<br />
– Déterminer la dimension des grandeurs apparaissant dans (8.13), et en<br />
déduire la nature de cette relation de conservation.<br />
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– Interpréter physiquement chaque terme.<br />
– Quelles sont les contributions dominantes dans le plasma et dans la<br />
gaine ?<br />
– Représenter schématiquement chaque contribution de (8.13) en fonction<br />
de la position x.<br />
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Vitesse de Bohm dans un plasma électronégatif<br />
Un plasma électronégatif est un plasma qui comprend des électrons, des ions<br />
positifs et des ions négatifs. Le plasma est décrit par les équations suivantes :<br />
(n + v + ) ′ = S + , (8.13)<br />
(n e v e ) ′ = S e , (8.14)<br />
(n − v − ) ′ = S − (8.15)<br />
m + (n + v 2 +) ′ = −kT + n ′ + + n + eE − F + , (8.16)<br />
0 = −kT e n ′ e − n e eE, (8.17)<br />
0 = −kT − n ′ − − n − eE, (8.18)<br />
n + = n e + n − (8.19)<br />
où F + est une densité de force de collisions entre les ions et les neutres.<br />
1. Discuter succinctement le contenu physique de chaque équation.<br />
2. Etablir l’égalité :<br />
m + (n + v 2 +) ′ + kT + n ′ + + kT e n ′ e + kT − n ′ − = −F +<br />
3. Comment peut-on interpréter cette équation dans le cas où F + → 0 ?<br />
4. Dans une première étape, on cherche à éliminer le gradient de vitesse des<br />
ions positifs de l’équation précedente.<br />
Montrer que l’on peut écrire :<br />
(kT + − m + v 2 +)n ′ + = −2S + m + v + − kT e n ′ e − kT − n ′ − − F +<br />
5. Eliminer le champ électrique des équations (5), (6) et (7), et établir les<br />
relations qui lient les gradients de densité des espèces négatives avec le<br />
gradient de densité des ions positifs :<br />
n ′ e =<br />
n ′ − =<br />
kT − n e<br />
n ′<br />
kT e n − + kT − n<br />
+,<br />
e<br />
kT e n −<br />
n ′ +<br />
kT e n − + kT − n e<br />
6. En déduire que les gradients de densité deviennent singuliers (et le modèle<br />
n’est donc plus défini) lorsque la vitesse des ions positifs satisfait l’égalité :<br />
v+ 2 = kT ( )<br />
e T+ 1 + γ s<br />
+<br />
m + T e 1 + (T e /T − )γ s<br />
où γ s ≡ n − (x s )/n e (x s ) est calculé au point x = x s où les gradients deviennent<br />
infinis.<br />
7. Etudier cette expression dans les 2 limites distinctes suivantes :<br />
– γ s → 0,<br />
– γ s → ∞.<br />
Commentez.<br />
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Décharge magnétisée<br />
Dans ce problème on étudie une décharge limitée par deux électrodes planes<br />
et d’extensions infinies, en présence d’un champ magnétique axial ⃗ B uniforme<br />
et stationnaire.<br />
B<br />
B<br />
B<br />
⊖<br />
⊕<br />
⊕<br />
⊖<br />
⊖<br />
⊕<br />
⊕<br />
⊖<br />
– Pouvez-vous expliquer pour quelle raison physique la diffusion latérale du<br />
plasma (vers les électrodes) peut être significativement réduite en présence<br />
d’un champ magnétique axial ?<br />
– La réduction de diffusion latérale due au champ magnétique est-elle plus<br />
effective pour les électrons ou pour les ions (justifiez votre réponse)?<br />
– Pour des conditions de fonctionnement égales par ailleurs, les décharges<br />
magnétisées nécessitent-elles des températures électroniques plus élevées<br />
ou moins élevées que les décharges non magnétisées ?<br />
La décharge étudiée est un plasma constitué d’électrons et d’ions positifs<br />
monovalents ayant respectivement pour charges ±e, et pour masses m et M.<br />
Dans tout le problème, on suppose que seuls les électrons sont magnétisés, et on<br />
utilisera l’approximation plasma n e = n i = n (égalité des densités électroniques<br />
et ioniques en tout point).<br />
On utilise un système d’axe cartésien orthonormal Oxyz et on admettra que<br />
les symétries du problème sont telles que les différentes grandeurs physiques<br />
peuvent s’écrire :<br />
⃗B = B ⃗e z<br />
⃗E = E(x)⃗e x ≡ − dϕ(x)<br />
dx ⃗e x<br />
⃗v i = v ix (x)⃗e x<br />
⃗v e⊥ = v ex (x)⃗e x + v ey (x)⃗e y<br />
n = n(x)<br />
champ magnétique<br />
champ électrique<br />
vitesse des ions<br />
vitesse des électrons<br />
densité du plasma,<br />
et on utilisera les conditions aux limites suivantes :<br />
v ex (0) = v ey (0) = v ix (0) = 0, n(0) = n 0 , ϕ(0) = 0<br />
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⃗v ex<br />
B<br />
Oz<br />
B<br />
⊕<br />
Ion<br />
⃗v ix<br />
⃗v ix<br />
⊕<br />
Ion<br />
Electron<br />
⊖<br />
⃗e z<br />
Electron<br />
⊖<br />
⃗v ex<br />
Ox<br />
⃗e x<br />
1. Utiliser les équations de bilan du nombre d’électrons et d’ions ainsi que<br />
les conditions aux limites pour montrer que les vitesses des électrons et<br />
des ions sont identiques selon la direction Ox :<br />
v ex (x) = v ix (x) ≡ v(x)<br />
(on considèrera que les termes sources des équations de bilan sont identiques<br />
pour les 2 espèces).<br />
2. Sous les hypothèses précédentes, la décharge est décrite par les 5 variables<br />
n(x), v(x), v ey (x), v ez (x), et E x (x).<br />
En régime stationnaire, on écrit les équations de bilan sous la forme :<br />
(<br />
M n ⃗v. ∇ ⃗<br />
⃗∇.(n⃗v) = ν I n, (8.20)<br />
0 = −enE ⃗ − en⃗v e × B ⃗ − k B T e ∇n ⃗ − m (νI + ν en ) n⃗v (8.21) e ,<br />
)<br />
⃗v = +enE ⃗ − k B T i ∇n ⃗ − M (νI + ν in ) n⃗v (8.22)<br />
(a) Quelles sont les grandeurs physiques représentées par les constantes<br />
ν en , ν in et ν I ?<br />
(b) A quels bilans ces équations correspondent-elles ?<br />
(c) Discuter succinctement mais précisément l’origine de chacun des<br />
termes des équations.<br />
(d) Quelles sont les approximations effectuées dans le cadre de cette<br />
description?<br />
3. (a) Projeter l’équation (8.21) sur les deux directions transverses à ⃗ B.<br />
(b) En déduire la relation qui relie les composantes v ex et v ey .<br />
On introduira la vitesse cyclotronique électronique que l’on notera<br />
ω c .<br />
4. (a) Montrer en utilisant le résultat précédent que le flux d’électrons Γ ex<br />
en direction des murs peut s’écrire sous la forme :<br />
Γ ex = −µ m nE − D m<br />
dn<br />
dx<br />
où µ m et D m sont des coefficients de transport que l’on définira.<br />
(b) Exprimer ces coefficients de transport en fonctions de ceux obtenus<br />
en absence de champ magnétique.<br />
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(c) Pour quelle raison dit-on parfois qu’imposer un champ magnétique<br />
est équivalent à une augmentation de la pression du gaz neutre ?<br />
5. On convient de noter par un ’ les dérivées par rapport à la variable x.<br />
Montrer que la décharge est décrite dans la direction latérale Ox par les<br />
3 équations :<br />
(nv) ′ = ν I n, (8.23)<br />
Mnvv ′ = +neE − k B T i n ′ − Mν i nv, (8.24)<br />
où on a introduit les constantes :<br />
0 = −neE − k B T e n ′ − α B mν e nv, (8.25)<br />
ν i ≡ ν I + ν in , ν e ≡ ν I + ν en , α B ≡ 1 +<br />
(<br />
ωc<br />
ν e<br />
) 2<br />
6. Eliminer le champ électrique entre les équations précédentes<br />
(a) Etablir l’expression des gradients de densités et de vitesses :<br />
n ′ = + 2ν I + ν in + α B (m/M)ν e<br />
v 2 − u 2 nv,<br />
B<br />
(8.26)<br />
v ′ = − ν I u 2 B + [ν I + ν in + α B (m/M)ν e ] v 2<br />
v 2 − u 2 B<br />
(8.27)<br />
où u B est une vitesse que l’on définira.<br />
(b) Qu’en déduisez vous sur le sens des variations de la densité et de la<br />
vitesse du plasma en direction des murs ?<br />
(c) Quelle est la vitesse maximale atteinte dans le cadre de ce modèle?<br />
Commenter.<br />
(d) La chute de densité entre le centre et le bord du plasma est-elle plus<br />
importante avec ou sans champ magnétique ? (on ne demande pas<br />
un calcul, mais si vous avez le temps, vous pouvez le faire).<br />
7. On étudie maintenant le champ électrique à travers la décharge.<br />
(a) Montrer que le champ électrique vérifie l’équation :<br />
eϕ ′ = k B T e<br />
n ′<br />
n + α Bmν e v<br />
(b) Que peut-on dire du comportement des électrons lorsque le terme<br />
proportionnel à k B T e domine le terme proportionnel à α B ?<br />
Dans cette situation, quel est le sens des variations du potentiel<br />
électrostatique ?<br />
(c) A contrario, que peut-on dire du comportement des électrons lorsque<br />
le terme proportionnel à α B domine le terme proportionnel à k B T e ?<br />
Dans cette situation, quel est le sens des variations du potentiel<br />
électrostatique ?<br />
(d) Montrer que les électrons ont toujours un comportement boltzmannien<br />
au voisinage de la lisière de gaine.<br />
M2 Physique des Plasmas - Plasmas faiblement ionisés 2010 - JL Raimbault
(e) Discuter qualitativement dans quelles circonstances peut se produire<br />
un phénomène d’inversion du potentiel à travers la décharge.<br />
(f) Quelle interprétation physique pouvez-vous donner du phénomène<br />
d’inversion du potentiel ?<br />
8. On veut étudier numériquement la décharge dans le cas simplifié où ν in =<br />
ν en = 0.<br />
(a) A quel régime de pression cette approximation correspond-elle?<br />
(b) Montrer qu’il est possible de normaliser les grandeurs physiques de<br />
telle sorte que les équations (8.26) et (8.27) s’écrivent :<br />
où K B ≡ α B (m/M).<br />
N ′ (X) =<br />
(2 + K B )<br />
N(X)V (X)<br />
V 2 (X) − 1 ,<br />
V ′ (X) = − 1 + V 2 (X)(1 + K B )<br />
V 2 (X) − 1<br />
(c) Déterminer l’expression du champ électrique normalisé, en fonction<br />
de V , K B et du rapport T i /T e .<br />
(d) Les profils de densité, vitesse et potentiel sont représentés sur la<br />
figure 8.4 pour 2 valeurs de K B lorsque T i /T e = 0.07.<br />
Commentez.<br />
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1<br />
1<br />
0.9<br />
0.8<br />
Densités normalisées<br />
0.8<br />
0.7<br />
Densités normalisées<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.6<br />
0.2<br />
0.5<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5<br />
Distance normalisée<br />
0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175<br />
Distance normalisée<br />
0.8<br />
0.8<br />
Vitesse normalisée<br />
0.6<br />
0.4<br />
Vitesse normalisée<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0.2<br />
0<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5<br />
Distance normalisée<br />
0<br />
0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175<br />
Distance normalisée<br />
0<br />
0<br />
Potentiel Electrostatique normalisé<br />
-5<br />
-10<br />
-15<br />
-20<br />
Potentiel Electrostatique normalisé<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
-4<br />
-5<br />
-25<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5<br />
Distance normalisée<br />
0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15<br />
Distance normalisée<br />
Figure 8.4 – Profils de densité, de vitesse et de potentiel électrostatique lorsque<br />
K B = 0 et K B = 60. Le rapport des températures est fixée à T i /T e = 0.07.<br />
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Dynamique des neutres dans les plasmas faiblement<br />
ionisés<br />
Dans le cas des plasmas très faiblement ionisés, comme ceux considérés<br />
dans de nombreuses applications des plasmas froids, il est d’usage, dans les<br />
modélisations, de négliger la dynamique des espèces neutres, ⃗v n = ⃗0, et de<br />
considérer les densités correspondantes comme uniformes : ⃗ ∇n n = ⃗0.<br />
Dans ce problème, on étudie un modèle simplifié valable à des taux d’ionisation<br />
plus élevés où ces approximations ne sont pas retenues. Le système étudié<br />
comprend 3 composantes, les électrons de masse, m e = m et de charge q e = −e,<br />
un seul type d’ions, de charge q i = +e et de masse m i = M − m ≈ M, et une<br />
seule espèce neutre, de masse m n = M et de charge q n = 0.<br />
Les notations utilisées dans la suite sont celles du cours.<br />
On traite la dynamique des espèces (α = e, i, n) par les équations fluides<br />
suivantes :<br />
div ⃗ Γ α = S α ,<br />
⃗0 = −∇p ⃗ (<br />
α + n α q α ⃗E + ⃗vα × B ⃗ ) ∑<br />
− m α n α ν αβ (⃗v α − ⃗v β ),<br />
β≠α<br />
où ⃗ Γ α = n α ⃗v α est le flux de particules de la composante α.<br />
1. Discuter le contenu physique de chacun des termes de ces équations en<br />
précisant quelles sont les approximations retenues.<br />
2. A quel régime de pression ce type d’équations peut-il être appliqué ?<br />
3. Quelles relations existe-t-il entre les termes S e , S i et S n si l’on suppose que<br />
les seules contributions à ces termes viennent des réactions d’ionisations<br />
en volume décrites par l’équation simplifiée :<br />
e − + n −→ i + 2e −<br />
4. Montrer à partir des bilans de particules que l’on obtient les 2 relations :<br />
( ) ∑<br />
div m α<br />
⃗ Γα = 0, (8.28)<br />
α<br />
( ) ∑<br />
div q α<br />
⃗ Γα = 0 (8.29)<br />
α<br />
5. Quelle interprétation physique pouvez-vous donner de ces 2 équations ?<br />
6. Utiliser les bilans d’impulsions pour obtenir l’expression :<br />
⃗∇p = ρ ⃗ E + ⃗ J × ⃗ B (8.30)<br />
où p, ρ et ⃗ J représentent respectivement la pression totale, la densité de<br />
charge totale et la densité de courant total au sein de la décharge.<br />
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On traite désormais le cas unidimensionnel, quasi-neutre et non magnétisé.<br />
On pourra donc supposer que ⃗ B = ⃗0, n e = n i = n, et que toutes les grandeurs<br />
ne dépendent que d’une seule variable, x; l’invariance par translation<br />
le long de Oy et Oz garantit en outre que ∂ y = ∂ z = 0.<br />
Le modèle est étudié dans l’intervalle [0, L] (l’électrode qui confine le<br />
plasma est située en x = L) avec les conditions aux limites suivantes :<br />
Γ i (0) = Γ e (0) = Γ n (0) = 0,<br />
n(0) = n 0 , n(L) = 0<br />
n n (L) = n nw ,<br />
où n 0 et n nw sont des constantes.<br />
Dans tout le problème, on considérera que le taux d’ionisation est suffisamment<br />
faible pour que l’approximation :<br />
n(x)<br />
≪ 1, ∀x i.e. dans toute la décharge.<br />
n n (x)<br />
7. Utiliser les équations de bilan (8.28), (8.29) et les conditions aux limites<br />
pour établir les égalités :<br />
Γ ex = Γ ix = −Γ nx ,<br />
8. En déduire les résultats suivants sur les vitesses fluides :<br />
v ex = v ix ,<br />
v nx<br />
v ex<br />
≪ 1<br />
9. Utiliser l’équation (8.30) pour montrer que la pression totale se conserve<br />
au sein de la décharge.<br />
10. On suppose désormais que les températures de chaque composante sont<br />
uniformes : ⃗ ∇T α = ⃗0, ∀α et que les pressions partielles suivent la loi des<br />
gaz parfaits.<br />
(a) Déduire de la conservation de la pression totale que le rapport de<br />
la densité des neutres à l’électrode et au centre, n nw /n n0 vérifie<br />
l’égalité :<br />
n nw<br />
n n0<br />
= 1 + β 0<br />
T e + T i<br />
T n<br />
(8.31)<br />
où β 0 est un coefficient défini au centre de la décharge que l’on reliera<br />
au taux d’ionisation α 0 = n 0 /(n 0 + n n0 ) ≈ n 0 /n n0 mesuré au centre<br />
de la décharge.<br />
(b) Le rapport n nw /n n0 est une mesure du taux de “déplétion” des neutres<br />
au sein de la décharge.<br />
Donner une estimation quantitative de ce taux de déplétion pour des<br />
taux d’ionisation allant de 1/1000 à 1/100. Commenter.<br />
M2 Physique des Plasmas - Plasmas faiblement ionisés 2010 - JL Raimbault
( ) Γ 2 ( ) n 2<br />
+ = 1<br />
Γ w n 0<br />
(c) Représenter schématiquement le profil de densité de neutres au sein<br />
de la décharge.<br />
11. On suppose que le terme source S e prend la forme suivante :<br />
S e = K I n n n<br />
A quelle hypothèse physique cette forme correspond-elle?<br />
Que représente la constante K I ?<br />
Quelle est sa dimension?<br />
12. Montrer que :<br />
m ν en<br />
= m K en<br />
≪ 1<br />
M ν in M K in<br />
où K αn sont des grandeurs dont on rappellera le nom et la définition, et<br />
où l’inégalité sera établie par une estimation qualitative.<br />
13. On pose v ex = v ix = v et Γ ex = Γ ix = Γ.<br />
En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que les équations<br />
de bilan projetées sur l’axe Ox s’écrivent sous la forme :<br />
Γ ′ = K I n n n, (8.32)<br />
(k B T e + k B T i ) n ′ ≈ −MK in n n Γ, (8.33)<br />
n n<br />
= n nw − T e + T i<br />
T n<br />
n, (8.34)<br />
où les dérivées par rapport à x sont notées par un ’ :<br />
d<br />
dx ≡ ′ . On rappelle<br />
que toutes les températures, T e , T i , T n sont des constantes, et que v n /v ≪<br />
1.<br />
14. Combiner les équations (8.32) et (8.33), et en déduire l’existence de l’invariant<br />
:<br />
Γ 2 + K I<br />
K in<br />
(nu B ) 2 = Cte (8.35)<br />
où u B est une constante dont on rappellera le nom et la définition.<br />
15. Utiliser ce résultat et les conditions aux limites pour obtenir l’expression<br />
du flux sur l’électrode, Γ w ≡ Γ(L).<br />
En déduire que Γ w dépend de la température électronique.<br />
On se propose maintenant de déterminer la température électronique au<br />
sein de la décharge en présence de déplétion.<br />
16. Rappelez schématiquement quelles sont les variations de la température<br />
électronique avec la pression dans le cas sans déplétion, c’est-à-dire lorsque<br />
la densité de neutres est supposée uniforme dans la décharge.<br />
17. Montrer en utilisant les conditions aux limites que l’équation (8.35) prend<br />
la forme d’une équation de cercle dans les variables réduite Γ/Γ w et n/n 0 :<br />
M2 Physique des Plasmas - Plasmas faiblement ionisés 2010 - JL Raimbault
18. Cette équation suggère de chercher les solutions sous la forme :<br />
n(x) = n 0 cos f(x)<br />
et Γ(x) = Γ w sin f(x)<br />
où f(x) est une fonction à déterminer.<br />
En utilisant l’équation (8.32), établir l’équation différentielle à laquelle<br />
obéit la fonction f.<br />
Quelles sont les valeurs prises par f en x = 0 et en x = L?<br />
19. On rappelle le résultat :<br />
∫<br />
(<br />
df<br />
1 − δ cos f = 2 1 + δ<br />
√ arctan √ tan f )<br />
1 − δ 2 1 − δ 2 2<br />
pour δ ≤ 1<br />
Intégrer l’équation différentielle et montrer que :<br />
( )<br />
2 1 + b<br />
n nw L =<br />
a √ 1 − b arctan √ 2 1 − b 2<br />
(8.36)<br />
où a et b sont des constantes dépendant (entre autres) de T e dont on<br />
donnera les expressions.<br />
20. Quelle interprétation physique de l’équation (8.36) pouvez-vous donner<br />
lorsque b → 0 ?<br />
La température électronique augmente-t-elle ou diminue-t-elle en présence<br />
de déplétion ?<br />
Qu’en concluez-vous sur la valeur du flux à l’électrode en présence de<br />
déplétion ?<br />
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Table des matières<br />
1 Introduction à la physique des plasmas faiblement ionisés 3<br />
2 Modélisation fluide : première approche 9<br />
2.1 Equations du modèle fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
2.2 Plasmas collisionnels : mobilité et diffusion . . . . . . . . . . . . 13<br />
2.3 Plasmas non collisionnels : inertie et équilibre . . . . . . . . . . . 16<br />
2.3.1 Equilibre thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
2.3.2 Mouvement inertiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
2.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
2.5 Ecrantages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
2.5.1 Ecrantage électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
2.5.2 Ecrantage magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
2.6 Modélisation simplifiée des décharges . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
3 De la théorie cinétique à la modélisation fluide 25<br />
3.1 Des équations cinétiques aux équations de bilan . . . . . . . . . . 25<br />
3.1.1 Equation cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
3.1.2 Moyennes, fluctuations et moments . . . . . . . . . . . . . 26<br />
3.1.3 Equations de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
3.2 Termes sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
3.2.1 Signification physique des termes sources . . . . . . . . . 30<br />
3.2.2 Termes sources correspondant aux collisions élastiques . . 31<br />
3.2.3 Termes sources correspondant aux collisions inélastiques . 36<br />
3.2.4 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
89
3.3 Approximation d’équilibre thermodynamique local . . . . . . . . 38<br />
4 Gaine et pré-gaine : quelques résultats expérimentaux et numériques 41<br />
4.1 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
4.2 Modélisation fluide simplifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
4.3 Etude numérique du régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
5 Modélisation du plasma quasi-neutre (prégaine) 47<br />
5.1 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
5.1.1 Etude de la prégaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
6 Modélisation de la gaine 53<br />
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
6.2 Le critère de Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
6.3 Utilisation du potentiel de Sagdeev . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
6.4 La chute de potentiel dans la gaine en potentiel flottant . . . . . 59<br />
6.5 La taille de la gaine dans une décharge polarisée négativement . 61<br />
7 Plasmas collisionnels :relaxation et entretien 63<br />
7.1 Diffusion ambipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />
7.2 Relaxation d’un plasma collisionnel confiné (régime de post-décharge) 65<br />
7.3 Entretien d’un plasma confiné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
7.4 Température électronique d’entretien de la décharge . . . . . . . 70<br />
8 Autres sujets traités sous forme de problèmes 73<br />
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