Quelques aspects de la modÃ©lisation en physique des plasmas froids

Quelques aspects de la 

modélisation en physique des 

plasmas froids 

Irving Langmuir, Schenectady Museum. 

M2 Physique des Plasmas - Plasmas Froids 2009 - Jean-Luc Raimbault


Chapitre 1 

Introduction à la physique des 

plasmas froids 

Les plasmas froids (ou plasmas de décharges) sont créés au sein de réacteurs 

initialement remplis de gaz neutres et alimentés par une source extérieure 

d’énergie électromagnétique. Par un phénomène d’avalanche électronique, les 

quelques électrons toujours présents dans un gaz neutre sont accélérés par les 

champs électromagnétiques extérieurs, et créent, par collisions avec les molécules 

du gaz, de nouveaux électrons et divers ions, qui constituent le plasma. 

Les paramètres extérieurs de contrôle d’une décharge comprennent donc le 

choix d’un gaz à une pression déterminée, les diverses longueurs qui fixent la 

géométrie du réacteur choisi, et les grandeurs physiques caractéristiques de la 

source d’énergie (fréquence caractéristique d’alimentation, tension d’alimentation 

ou puissance absorbée par le dispositif). 

Gaz 

Energie 

électromagnétique 

Volume 

Figure 1.1 – Schéma de principe d’un réacteur à plasma 

La nature des gaz utilisés dépend de l’application visée; parmi les plus 

simples, on peut citer, l’argon ou le xénon, souvent utilisés comme gaz modèles 

pour les études académiques, l’oxygène moléculaire, O 2 , et le fluorure de bore, 

BF 3 utilisés respectivement pour la croissance de films d’oxyde de silicium ou de 

dépôt de bore sur des substrats de silicium. L’ionisation du fluorure de carbone, 

CF 4 , par exemple, libère des atomes de fluor qui peuvent réagir avec un substrat 

de silicium pour donner un composé volatil, SiF 4 , qui pourra être facilement 

éliminé par pompage. 

3

Les gaz sont utilisés sur une large gamme de pression, typiquement du mTorr 

à la pression atmosphérique. Les unités courantes sont le Torr et le bar. On 

rappelle les correspondances : 

1 atm = 1.013 10 5 Pa = 760 Torr, 

1 bar = 10 5 Pa, 

1 Torr = 133.3 Pa. 

Plusieurs types de réacteurs, qui correspondent à différentes façons de coupler 

l’énergie électromagnétique au plasma ont été imaginés au cours du temps. Sans 

souci d’exhaustivité, mentionnons les réacteurs les plus fréquemment utilisés, 

à savoir les réacteurs dits capacitifs et inductifs, représentés schématiquement 

sur la figure suivante 1 : 

V (t) E ⃗ 

• 

Plasma I(t) E ⃗ ⃗E × 

Plasma 

Figure 1.2 – Schémas de principes des réacteurs capacitifs et inductifs 

Les puissances électriques injectées vont de quelques W (pour les microdécharges) 

à quelques kW. Hormis les réacteurs alimentés en DC, les réacteurs alimentés 

en alternatifs sont utilisés dans les gammes RF (10-100 Mhz), voire dans les 

micro-ondes pour les réacteurs ECR (2 GHz). Les champs magnétiques, lorsqu’ils 

sont utilisés, ne dépassent guère le kG. Les tensions appliquées dépendent 

des réacteurs et vont de quelques dizaines de V au kV. 

Selon le type de réacteur utilisé, les densités électroniques (ou ioniques) 

observées sont de l’ordre de 10 9 à 10 12 particules par cm 3 (voire davantage 

pour les microdécharges). Ces densités sont souvent très faibles par rapport à 

la densité des neutres qui sont les espèces majoritaires. Dans la plupart des 

plasmas froids, les taux d’ionisation sont très faibles, de 10 −5 à 10 −1 ; les taux 

d’ionisation les plus élevés sont observés dans les propulseurs à plasmas. On a 

donc en général : 

n e 

n n 

≪ 1 

Du fait du rapport des masses, les transferts de quantité de mouvement ou 

d’énergie sont très faibles entre les électrons et les neutres, et très efficaces 

(masses voisines) entre les ions et les neutres. En conséquence, les températures 

des espèces légères (électrons) et des espèces lourdes (ions, neutres) sont très 

différentes au sein d’un plasma froid (au moins sur des échelles de temps suffisamment 

courtes) : en général, les plasmas froids ne sont pas des milieux à 

l’équilibre thermodynamique, les températures des ions et du gaz sont voisines, 

1. Parmi les autres types de réacteurs également utilisés, on peut également signaler les 

réacteurs dits “hélicons” et ceux dits “ECR” (electron cyclotron resonance). 


et d’un à 2 ordres de grandeurs plus faibles que la température des électrons : 

T i ≈ T n 

et 

T i 

T e 

≪ 1 

Les densités d’énergies déposées dans les plasmas froids varient du W/cm 3 pour 

les décharges traditionnelles dans les réacteurs de grands volumes, jusqu’au 

kW/cm 3 dans le cas des microdécharges. Bien que l’on s’intéresse essentiellement 

dans ce cours aux plasmas froids hors-équilibre, notons toutefois, que 

l’on peut s’approcher de l’équilibre thermodynamique en augmentant la densité 

d’énergie déposée dans le milieu. Dans cette dernière situation, les atomes 

restituent l’énergie aux électrons par collisions dites superélastiques. 

Le plasma étant un milieu conducteur quasi-neutre aux échelles mésoscopiques, 

les champs électromagnétiques en son sein sont toujours très faibles ; une zone 

- la gaine - doit donc exister près des parois du réacteur, où les conditions aux 

limites sur les grandeurs électromagnétiques imposées de l’extérieur (potentiel, 

courant ...), doivent s’accorder avec le plasma quasi-neutre confiné au centre. 

Très schématiquement, il est utile de séparer le gaz ionisé en deux domaines : 

- le centre de la décharge, quasi-neutre (n e ≈ n i ) : “le plasma” (ou prégaine), 

- la périphérie de la décharge, non neutre, appelée “gaine”. 

Gaine 

Plasma 

Gaine 

Figure 1.3 – Plasma et gaine 

La taille des gaines dépend du type des dispositifs utilisés mais est en général 

très faible par rapport aux dimensions transversales du réacteur. Comme la 

constitution des gaines relève d’un mécanisme d’écrantage du champ électrique 

direct ou induit, la taille caractéristique des gaines est de quelques longueurs 

de Debye ou de London 2 . 

λ D ≡ 

( 

ǫ0 k B T e 

ne 2 ) 1/2 

, λ L ≡ c 

ω P 

avec 

λ L 

L ou λ D 

L ≪ 1 

On notera que dans ces deux cas, la taille de la gaine varie en n −1/2 : l’écrantage 

est d’autant plus fort que la densité du plasma est élevée. L’ordre de grandeur 

de la taille des gaines aux densités utilisées est de quelques centaines de microns 

dans les décharges RF. 

Les applications des plasmas froids peuvent être classifiées schématiquement 

en considérant le plasma comme un convertisseur de l’énergie électromagnétique 

reçue en diverses autres formes d’énergie. Citons en particulier : 

2. La longueur de London correspond à l’effet de peau non collisionnel. A plus forte pression, 

la longueur de Kelvin qui décrit l’effet de peau collisionnel doit être utilisée, la longueur 

d’écran dépend alors de la pression de neutres existant au sein du réacteur. 


Figure 1.4 – Conversion de l’énergie électromagnétique par les plasmas. 

– la conversion énergie électromagnétique/énergie lumineuse où l’on tente 

d’optimiser un processus d’excitation électronique particulier qui conduira 

à l’émission de photons (éclairage, écrans à plasmas ...) 

– la conversion énergie électromagnétique/énergie cinétique où le plasma est 

utilisé en tant que source de particules chargées (sources d’ions, faisceaux 

d’électrons, propulsion ionique ...) 

– la conversion énergie électromagnétique/énergie chimique où l’on exploite 

le fait qu’un plasma peut être la source d’espèces chimiquement actives 

(traitement des matériaux, stérilisation, dépollution ...) 

A ce niveau qualitatif de la description, on retiendra donc (tous les termes ont 

leur importance) que 

Les plasmas froids de décharges 

sont des plasmas faiblement ionisés, hors-équilibre, et confinés. 

Modélisation simplifiée des décharges 

Considérons une décharge très simple où les électrons et les ions sont produits 

selon le schéma simplifié : 

e − + n −→ i + 2e − 

Chaque réaction d’ionisation crée un couple électron-ion et provoque la disparition 

d’un atome neutre. Le plasma est donc constitué d’ions positifs monovalents, 

d’électrons et de neutres. On le supposera suffisamment peu ionisé, pour 

que la densité des neutres soit quasi-uniforme. Nous écrivons dans ce qui suit 

les équations correspondant à une modélisation fluide des décharges dans le cas 

non magnétisé. 


Les ions et les électrons vérifient les équations de conservation : 

∂ t n i + div (n i ⃗v i ) = S i , 

∂ t n e + div (n e ⃗v e ) = S e 

où n e et n i désignent les densités, ⃗v i ,⃗v e les vitesses fluides, et S α (⃗r, t) est un 

terme source qui comptabilise les particules créées ou détruites dans le volume 

de la décharge par unité de volume et de temps (ionisation, recombinaison ...). 

Les électrons, du fait de leur faible masse, ont le comportement dynamique 

d’un fluide placé dans un champ extérieur, et tendent à se distribuer selon une 

distribution de Boltzmann. Leur équation d’équilibre s’écrit donc : 

0 = −k B T e 

⃗ ∇ne − en e 

⃗ E ⇔ ne (⃗r) = n 0 e eϕ(⃗r)/(k BT e) 

où nous avons supposé la température électronique T e uniforme et où ϕ est le 

potentiel électrostatique relié au champ électrique par la relation ⃗ E = − ⃗ ∇ϕ . 

Notez que les termes d’inertie et de friction sont généralement négligés du fait 

de l’approximation m e → 0. 

A contrario, les ions sont des particules massives dont la température est 

plus faible d’un à 2 ordres de grandeurs que la température électronique. En 

conséquence la pression ionique peut en général être négligée. L’équation de 

bilan de quantité de mouvement s’écrit donc : 

n i 

D i (m i ⃗v i ) 

Dt 

= +n i e ⃗ E − n i 

⃗ Fc − m i ⃗v i S i 

où D i /Dt ≡ ∂ t + (⃗v i . ⃗ ∇ i ) est la dérivée convective qui suit la particule fluide 

au cours de son mouvement. ⃗ Fc est la force de frottements des ions avec les 

autres composantes du fluide. Dans un plasma faiblement ionisé, les collisions 

entre particules chargées sont peu fréquentes et les contributions dominantes 

sont généralement les collisions ions-neutres ⃗ F c ≈ ⃗ F in . Le dernier terme est 

la contribution à la quantité de mouvement des particules créées, lorsqu’on 

suppose que celles-ci sont apparues sans température et sans vitesse moyenne. 

Enfin, en absence de champ magnétique, le champ électrique self-consistant 

régnant dans la décharge satisfait l’équation de Maxwell-Gauss : 

ǫ 0 div ⃗ E = e(n i − n e ) 

Les équations précédentes, complétées par des conditions aux limites adaptées, 

définissent un problème dont les inconnues sont les champs scalaires n e , n i , ϕ et 

vectoriels ⃗v e ,⃗v i . Ainsi qu’on l’a souligné plus haut, tant que l’on ne considère 

pas la gaine, c’est-à-dire dans l’essentiel du volume du plasma, la décharge peut 

être considérée comme quasi-neutre : n e ≈ n i en tout point, et on peut donc se 

passer de la relation de Maxwell-Gauss. Cette approximation de quasi-neutralité 

est tellement universelle, qu’on l’appelle l’approximation plasma. Cette zone 

centrale de la décharge (la prégaine) sera étudiée en détail dans le chapitre 4. 

Dans la gaine, au contraire, la densité de charge n’est pas nulle et l’équation de 


Maxwell-Gauss est l’équation centrale. Nous présenterons quelques aspects de 

la physique des gaines dans le chapitre 5. 

L’approximation des électrons boltzmanniens est quasiment universelle dans 

les problèmes de décharges, et l’approximation des plasmas froids pour les ions 

(T i = 0) est souvent très satisfaisante. Les modèles se différencient ensuite selon 

le domaine de pression étudié. Ainsi, lorsque le libre parcours des ions est grand 

devant les dimensions caractéristiques du réacteur, les forces de frictions sont en 

général négligées par rapport aux contributions d’accélération. Cette situation 

correspond aux décharges d’assez basses pressions où l’équilibre ionique met 

en compétition l’inertie des ions avec les forces électriques. Si la pression est 

vraiment très basse, on peut mettre en doute la validité d’une approche fluide, 

et se tourner alors vers des modélisations cinétiques (cf. chapitre 2). Dans la 

limite opposée des pressions élevées, les accélérations ressenties par les ions 

restent modérées, et on est conduit à négliger ce terme par rapport aux forces 

de frictions. L’équilibre des ions dans ces plasmas dits collisionnels s’établit 

alors par compétition entre les forces électriques et les forces de frictions (cf 

chapitre 6). 

Notons enfin, que les plasmas froids ont bien souvent une structure beaucoup 

plus complexe du fait qu’ils peuvent comprendre plusieurs espèces ioniques 

(y compris des ions chargés négativement, ce qui modifie le bilan de quasineutralité), 

et qu’ils nécessitent parfois de prendre en compte un très grand 

nombre de réactions élémentaires pour décrire correctement les différents états 

d’excitation des espèces présentes au sein de la décharge. Le principe de la description, 

au moins au niveau fluide reste cependant celui exposé plus haut, avec 

la prise en compte additionnelle des forces de Laplace des autres équations de 

Maxwell pour les plasmas magnétisés. 

Bibliographie 

Presque tous les manuels généraux de physique des plasmas contiennent au 

moins un chapitre traitant des plasmas faiblement ionisés. Ainsi, dans les livres 

suivants, on pourra lire avec profit : 

– Francis F. Chen, 

Introduction to plasma physics, Plenum Press, 1984, Chapitres 5 et 8. 

– Jean-Loup Delcroix, 

Physique des Plasmas, InterEditions CNRS, 1994, Chapitres 5 et 12. 

– Jean-Marcel Rax, 

Physique des Plasmas, Dunod, 2005, Chapitres 4 et 6. 

Le nombre d’ouvrages spécialisés en physique des plasmas froids n’est pas très 

important. On peut citer en particulier : 

– Raoul N. Franklin, 

Plasma phenomena in gas discharges, Oxford University Press, 1976. 


– Blake E. Cherrington, 

Gaseous electronics and gas lasers, Pergamon Press, 1979. 

– Yuri P. Raizer, 

Gas discharge Physics, Springer-Verlag, 1991. 

– Michael A. Lieberman, Allan J. Lichtenberg, 

Principles of Plasma discharges and materials processing, Wiley, 1994. 

– J. Reece Roth, 

Industrial plasma engineering, 2 tomes, IOP, 1995. 

– Boris M. Smirnov, 

Physics of ionized gases, Wiley, 2001. 

– Francis F. Chen, Jane P. Chang, 

Lecture Notes on Principles of plasma processing, Plenum-Kluwer, 2002. 

– Collectif, 

Plasmas Froids : génération, caractérisation et technologies, Publications 

de l’Université de Saint-Etienne, 2004. 

– Michel Moisan, Jacques Pelletier, 

Physique des plasmas collisionnels, Grenoble Sciences, 2006. 

Sites et pages web 

– Réseaux plasmas froids http ://www.mrct.cnrs.fr/PF/ 

– Page personnelle de Michael Lieberman http ://www.eecs.berkeley.edu/ lieber/ 



Chapitre 2 

Modélisation fluide et 

cinétique pour les plasmas 

froids 

Dans la suite de ce cours, les plasmas froids seront étudiés dans le cadre 

simplifié d’une modélisation fluide. Dans ce chapitre, nous montrons comment 

obtenir les équations fluides à partir des équations de la théorie cinétique, et 

nous précisons la forme des termes de collisions utilisés dans le cadre de la 

physique des plasmas froids. Certaines notions de théorie cinétique seront approfondies 

dans le cadre du cours de théorie cinétique. 

2.1 Des équations cinétiques aux équations de bilan 

Soit f 1 (⃗r,⃗v, t) la fonction de distribution d’une des composantes. Rappelons 

que f 1 (⃗r,⃗v, t)d⃗rd⃗v comptabilise le nombre de particules comprises, à l’instant 

t, dans le domaine [⃗r,⃗r + d⃗r] × [⃗v,⃗v + d⃗v] de l’espace des phases. En intégrant 

sur l’ensemble des vitesses accessibles, on obtient donc la densité : 

∫ 

R 3 f 1 (⃗r,⃗v, t)d⃗v = n(⃗r, t) 

On en déduit en particulier que f 1 /n définie une densité de probabilité normalisée. 

11

2.1.1 Equation cinétique 

La première équation de la hiérarchie BBGKY 1 conduit à l’équation exacte : 

∂f 1 

∂t + ⃗v ∂f ∫ 

1 

∂⃗r + ⃗γ ∂f 1 

ext 

∂⃗v = − ⃗γ int (|⃗r − ⃗r ′ |) ∂f 2(⃗r,⃗r ′ ,⃗v,⃗v ′ , t) 

d⃗r ′ d⃗v ′ 

∂⃗v 

où : 

– ⃗γ ext ≡ ⃗ F ext /m est l’accélération due aux force extérieures. 

– ⃗γ int (|⃗r − ⃗r ′ |) ≡ ⃗ F int /m est l’accélération due aux forces d’interaction 

entre les particules situées en ⃗r et ⃗r ′ (on suppose que ces interactions 

ne dépendent pas de la vitesse, mais seulement de la distance |⃗r − ⃗r ′ | 

entre les particules). 

– f 2 (⃗r,⃗r ′ ,⃗v,⃗v ′ , t) est la fonction de distribution double associée à la probabilité 

de trouver une particule à l’instant t en ⃗r,⃗v sachant qu’il y en a une 

autre en ⃗r ′ ,⃗v ′ . 

Il est utile d’introduire la fonction de corrélation à 2 particules définie par la 

relation : 

g 2 (⃗r,⃗r ′ ,⃗v,⃗v ′ , t) ≡ f 2 (⃗r,⃗r ′ ,⃗v,⃗v ′ , t) − f 1 (⃗r,⃗v, t)f 1 (⃗r ′ ,⃗v ′ , t) 

L’intégration du terme sans corrélation s’effectue sans peine. On trouve : 

∫ 

⃗γ int (|⃗r−⃗r ′ |) ∂ [f 1(⃗r,⃗v, t)f 1 (⃗r ′ ,⃗v ′ , t))] 

d⃗r ′ d⃗v ′ = ∂f ∫ 

1(⃗r,⃗v, t) 

n(⃗r ′ , t)⃗γ int (|⃗r−⃗r ′ |)d⃗r ′ 

∂⃗v 

∂⃗v 

On notera que l’intégrale s’écrit comme un produit de convolution 

∫ 

n(⃗r ′ , t)⃗γ int (|⃗r − ⃗r ′ |)d⃗r ′ ≡ (n ⋆ γ int )(⃗r) 

qui représente le champ moyen créé par toutes les particules en ⃗r. En regroupant 

cette contribution de champ moyen et celle due au champ extérieur, on peut 

écrire : 

∂f 1 

∂t + ⃗v ∂f 1 

∂⃗r + ⃗γ ∂f 1 

= δf 

∂⃗v δt 

⃗γ(⃗r) ≡ ⃗γ ext (⃗r) + (n ⋆ ⃗γ int ) (⃗r), 

δf 

(⃗r,⃗v, t) ≡ 

δt − 

∫ 

⃗γ int (|⃗r − ⃗r ′ |) ∂g 2(⃗r,⃗r ′ ,⃗v,⃗v ′ , t) 

∂⃗v 

d⃗r ′ d⃗v ′ 

Insistons encore sur le fait que cette équation, écrite sous cette forme, est exacte. 

Dans la suite, nous appelerons le second membre δf/δt, “l’intégrale de collisions”. 

Si l’on néglige la contribution du second membre, cette équation s’identifie 

avec l’équation de Vlasov. Diverses approximations du second membre 

conduisent aux autres équations cinétiques, comme celles de Boltzmann, Landau 

ou Fokker-Planck. 

1. Il s’agit de la hiérarchie d’équations Born-Bogloiubov-Green-Kirkwood-Yvon (cf. cours 

de théorie cinétique) 


2.1.2 Moyennes, fluctuations et moments 

Quelle que soit la forme retenue pour δf/δt, il est possible d’obtenir des 

équations macroscopiques par intégration des degrés de liberté des vitesses. 

Dans un souci de simplification, on se limite désormais à considérer des 

situations physiques invariantes par translations selon Oy et Oz : ⃗r → x⃗e x et 

sans mouvement selon Oy et Oz : ⃗v → v⃗e x . L’équation cinétique prend alors la 

forme simple : 

∂f 1 

∂t + v ∂f 1 

∂x + γ ∂f 1 

∂v = δf 

(2.1) 

δt 

Considérons une fonction quelconconque, a, de la vitesse : a : v ↦→ a(v). Sa 

valeur moyenne, que nous noterons 〈a(v)〉 est définie à partir de la densité de 

probabilité normalisée f 1 /n : 

∫ 

〈a(v)〉 ≡ a(v) f 1 

n dv 

R 

Comme f 1 et n sont des fonctions de x et t, on remarquera que 〈a(v)〉 est 

également une fonction de x et t. On notera également l’identité triviale 〈1〉 = 1. 

En multipliant l’équation cinétique (2.1) par la fonction a(v) = v l pour 

l ∈ N et en effectuant les moyennes, on trouve aussitôt : 

∂ ( n〈v l 〉 ) 

+ ∂ ( n〈v l+1 〉 ) 

∫ 

− l nγ 〈v l−1 〉 = v l δf dv, (2.2) 

∂t ∂x 

δt 

où on a effectué une intégration par parties pour trouver le 3ème membre 

de gauche, et où on a supposé que la fonction de distribution f 1 vérifie : 

lim v→±∞ f 1 (x, v, t) = 0. 

Il est également intéressant de faire apparaître les fluctuations de vitesses 

u ≡ v − 〈v〉 par rapport à la vitesse moyenne 〈v〉. Posons pour ce faire : 

v = 〈v〉 + u 

Comme u 0 = 1 − 〈1〉 = 0 et u 1 = v − 〈v〉, on en déduit que 〈u 0 〉 = 〈u 1 〉 = 0. 

Les équations (2.2) correspondant aux cas l = 1 et l = 2 mettent en jeu les 

moyennes 〈v〉, 〈v 2 〉, 〈v 3 〉 et reliées aux fluctuations 〈u 2 〉, 〈u 3 〉 par les relations : 

〈v 2 〉 = 〈v〉 2 + 〈u 2 〉, 

〈v 3 〉 = 〈v〉 3 + 〈u 3 〉 + 3〈v〉〈u 2 〉 

Il convient désormais d’introduire 3 grandeurs physiques macroscopiques, V (x, t), 

Ψ(x, t) et Q(x, t) qui correspondent à ces premiers moments non nuls : 

∫ 

V (x, t) ≡ 〈v〉 = v f 1 

R n dv, 

∫ 

Ψ(x, t) ≡ nm 〈u 2 〉 = nm u 2 f 1 

R n dv, 

∫ 

Q(x, t) ≡ nm 〈u 3 〉 = nm u 3 f 1 

n dv, 

R 

R 


Ces 3 grandeurs représentent respectivement la vitesse moyenne du fluide (en 

m/s), la pression cinétique (en J/m 3 ), et le flux de chaleur (en J/(m 2 s)). Dans 

le cadre plus général d’un problème tridimensionnel, ⃗ V a un caractère vectoriel, 

tandis que ψ représente un tenseur du 2nd ordre (tenseur de pression cinétique) 

et Q représente le tenseur (du 3ème ordre) de flux de chaleur. 

Enfin, il convient de souligner qu’une température dite cinétique (le système 

n’est pas forcément à l’équilibre thermodynamique) peut être définie à partir 

de la pression cinétique : 

ψ(x, t) = n(x, t)k B T(x, t) 

Dans le cas des systèmes isotropes à 3D, on peut écrire, 

3k B T = m〈⃗u 2 〉 

qui rappelle le résultat obtenu par le théorème d’équipartition, lorsque le système 

est à l’équilibre thermodynamique. 

2.1.3 Equations de bilan 

En partant de l’équation (2.2), et en utilisant ces définitions, les 3 premières 

équations de bilan correspondant au cas l = 0, 1, 2 s’écrivent : 

∂ ( nmV 2 + Ψ ) 

∂t 

∂ (nmV ) 

∂t 

∂(nm) 

∂t 

+ ∂ ( nmV 2 + Ψ ) 

∂x 

+ ∂ ( nmV 3 + Q + 3ΨV ) 

∂x 

+ ∂ (nmV ) 

∂x 

= S 0 , 

− nmγ = S 1 , 

− 2nmγV = S 2 

où les termes sources sont définis par : 

∫ 

S l (x, t) ≡ m v l δf dv, pour l = 0, 1, 2. 

δt 

R 

Equations stationnaires 

Considérons la situation stationnaire qui sera celle principalement étudiée 

dans la suite. La première équation de bilan de masse s’écrit : 

∂ (nmV ) 

∂x 

= S 0 

Le flux de matière nV n’est donc conservé sous ces hypothèses que si le terme 

source s’annule, c’est-à-dire dans le cas où les interactions conservent le nombre 

de particules (ce n’est pas le cas, par exemple, lorsque l’ionisation est active). 

L’équation de bilan de quantité de mouvement s’écrit en régime stationnaire 

: 

∂ ( nmV 2 + Ψ ) 

− nmγ = S 1 

∂x 


ou de façon équivalente en utilisant l’équation de bilan de masse : 

nmV ∂V 

∂x = −∂Ψ ∂x + nmγ + S 1 − V S 0 

Enfin l’équation de bilan d’énergie peut s’écrire en éliminant les forces extérieures : 

∂ ( nmV 3 + Q + 3 ΨV ) 

− 2V ∂ ( nmV 2 + Ψ ) 

= S 2 − 2V S 1 

∂x 

∂x 

Il peut être utile d’éliminer les contributions d’inertie. Pour cela, on remarque 

que : 

∂ ( nmV 2) 

∂x 

∂ ( nmV 3) 

∂x 

On obtient donc, d’une part : 

Comme d’autre part : 

∂ ( nmV 3) 

∂x 

3 ∂ (ΨV ) 

∂x 

= V S 0 + nmV ∂V 

∂x , 

= V 2 S 0 + 2nmV 2 ∂V 

∂x , 

− 2V ∂ ( nmV 2) 

∂x 

− 2V ∂Ψ 

∂x 

= −V 2 S 0 

∂V 

= 3Ψ 

∂x + V ∂Ψ 

∂x 

on obtient le bilan d’énergie sous la forme équivalente suivante : 

3Ψ ∂V 

∂x + V ∂Ψ 

∂x + ∂Q 

∂x = S 2 − 2V S 1 + V 2 S 0 

En résumé, on utilisera selon les cas, soit le jeu d’équations : 

∂ (nmV ) 

= S 0 

∂x 

∂ ( nmV 2 + Ψ ) 

− nmγ = S 1 

∂x 

∂ ( nmV 3 + Q + 3 ΨV ) 

− 2V ∂ ( nmV 2 + Ψ ) 

= S 2 − 2V S 1 

∂x 

∂x 

soit le jeu d’équations 

∂ (nmV ) 

∂x 

= S 0 

nmV ∂V 

∂x 

= −∂Ψ ∂x + nmγ + S 1 − V S 0 

3Ψ ∂V 

∂x + V ∂Ψ 

∂x + ∂Q 

∂x = S 2 − 2V S 1 + V 2 S 0 

Effectuons quelques commentaires sur ces équations : 


1. Ce jeu d’équations doit être a priori écrit - sauf approximations particulières 

- pour les 3 composantes, électrons, ions et neutres, qui constituent 

un plasma partiellement ionisé. 

2. L’accélération due au champ de gravitation étant négligeable pour les plasmas 

de laboratoire, l’accélération ⃗γ se réduit aux contributions d’origines 

électromagnétiques, et prend la forme (vectorielle) suivante : 

⃗γ = q ( ) 

⃗E + V ⃗ × B ⃗ 

m 

Les champs électriques ⃗ E et magnétiques ⃗ B qui interviennent dans cette 

formule sont les champs totaux (extérieurs + ceux créés par le plasma en 

réaction) tels qu’ils sont donnés par les équations de Maxwell. Dans une 

approche complètement auto-cohérente, les équations fluides doivent être 

résolues simultanément avec les équations de Maxwell. 

3. A supposer que l’on dispose d’une approximation satisfaisante pour les 

termes sources, ce système n’est pas complet puisqu’il comporte plus d’inconnues 

que d’équations. En effet si on ne retient que les 2 premières 

équations, les inconnues sont les champs n(x, t), V (x, t) et Ψ(x, t). Une 

résolution n’est envisageable qu’au prix d’une hypothèse sur Ψ (par exemple, 

l’hypothèse (radicale) des plasmas froids Ψ ≡ 0). De même, si on ne retient 

que les 3 premières équations, il faudra faire une hypothèse sur le 

tenseur de flux de chaleur Q. C’est le problème général de la fermeture 

des équations fluides, sur lequel nous reviendrons. 

4. Les termes sources S l ne peuvent pas être calculés en général sans approximations 

et sont discutés dans la section suivante. 

2.2 Termes sources 

Comme on l’a déjà souligné plus haut, un calcul exact de l’intégrale de 

collision n’est en général pas accessible. Dans cette section, nous utiliserons 

la forme approchée de Boltzmann (cf. cours de théorie cinétique) pour le calcul 

des forces de friction dues aux collisions élastiques, tandis que nous nous 

contenterons de formes phénoménologiques pour les termes sources associés aux 

collisions inélastiques. 

2.2.1 Signification physique des termes sources 

Les interactions (collisions) entre les particules sont à l’origine des différents 

termes sources intervenant dans les équations de bilan. Plus précisément : 

1. S 0 comptabilise l’apport ou le défaut de masse par unité de volume et 

unité de temps, qui résulte des interactions des particules de la composante 

étudiée avec toutes les autres particules (de la même composante ou 

d’autres composantes). Cette quantité s’exprime en kg m −3 s −1 et correspond 

à des processus élémentaires inélastiques qui modifient, positivement 


ou négativement, le nombre de particules du système. Les interactions en 

cause sont associées aux réactions d’ionisation, de recombinaison ou d’attachement. 

2. S 1 comptabilise l’excès ou le défaut de quantité de mouvement par unité de 

volume et unité de temps pour la composante dont on fait le bilan. Cette 

quantité s’exprime en N m −3 . Selon les rapports de masse des particules 

en cause, les collisions élastiques peuvent être plus ou moins efficaces 

dans les transferts de quantité de mouvement. Notons également que les 

particules créées ou détruites (termes S 0 ) avec une vitesse différente de 

la vitesse fluide de la composante considérée, contribuent également au 

bilan d’impulsion. 

3. S 2 comptabilise l’excès ou le défaut d’énergie par unité de volume et 

unité de temps pour la composante dont on fait le bilan. Cette quantité 

s’exprime en W m −3 . Les collisions impliquées sont les mêmes que pour 

le bilan de quantité de mouvement. 

2.2.2 Termes sources correspondant aux collisions élastiques 

Pour traiter les collisions élastiques, partons de l’expression de l’intégrale 

de collisions à l’approximation de Boltzmann. On rappelle que cette approximation 

ne convient que pour des interactions binaires de courtes portées. Les 

collisions électrons-ions, en particulier, ne peuvent être modélisées par cette 

forme particulière de l’intégrale de collisions. 

Expression générale des termes sources 

Pour la composante α entrant en collision avec la composante β, définie à 

d⃗v β près, le terme de collision s’écrit à l”’approximation de Boltzmann : 

∫∫ 

δf α 

[fα 

δt (⃗r,⃗v α, t) = (⃗r,⃗v ′ α, t)f β (⃗r,⃗v ′ β , t) − f α(⃗r,⃗v α , t)f β (⃗r,⃗v β , t) ] v αβ σ αβ (v αβ )dΩ d⃗v β 

Rappelons que dans une collision élastique, le vecteur vitesse relative ⃗v α −⃗v β 

ne change pas de module mais seulement de direction. La rotation du vecteur 

dans l’espace est décrite par 2 angles résumés dans l’angle solide Ω. ⃗v ′ α (respectivement 

⃗v α ) et ⃗v ′ β (respectivement ⃗v β) représentent les vitesses des composantes 


α et β après la collision (respectivement avant la collision), σ αβ la section efficace 

de collision. On a également introduit la notation v αβ ≡ |⃗v α − ⃗v β | pour 

désigner la vitesse relative des deux particules. 

Soit g(⃗v α ), une fonction quelconque de ⃗v α . Les collisions élastiques étant 

réversibles, on peut échanger dans ( les sommes ) les variables avant collision 

(⃗v α ,⃗v β ) avec celles après collision ⃗v ′ α,⃗v ′ β 

: 

= 

= 

∫∫∫ 

∫∫∫ 

∫∫∫ 

g(⃗v α )f α (⃗r,⃗v ′ α, t)f β (⃗r,⃗v ′ β , t)v αβσ αβ (v αβ )dΩ d⃗v β d⃗v α 

g(⃗v ′ α)f α (⃗r,⃗v α , t)f β (⃗r,⃗v β , t)v ′ αβ σ αβ(v ′ αβ )dΩ d⃗v ′ β d⃗v ′ α 

g(⃗v ′ α)f α (⃗r,⃗v α , t)f β (⃗r,⃗v β , t)v αβ σ αβ (v αβ )dΩ d⃗v β d⃗v α 

La dernière égalité est obtenue en utilisant le fait que v ′ αβ = v αβ pour les 

collisions élastiques, et que le Jacobien de la transformation est égal à l’unité. 

Les termes sources dus aux collisions élastiques, Sl el , peuvent alors être calculer 

à partir de l’expression générale : 

∫ 

g(⃗v α ) δf ∫∫∫ 

α [g(⃗v 

δt d⃗v ′ 

α = 

α ) − g(⃗v α ) ] f α (⃗r,⃗v α , t)f β (⃗r,⃗v β , t)v αβ σ αβ (v αβ )dΩ d⃗v β d⃗v α 

1. Calcul de S el 

0 

Posons g(⃗v α ) ≡ m α lorsque l = 0. L’expression ci-dessus donne clairement 

une contribution nulle, ce qui traduit le fait que les nombre de particules 

n’est pas modifié lors des collisions élastiques : 

S el 

0 = 0 

2. Calcul de S el 

1 

Pour l = 1, c’est-à-dire pour le bilan de quantité de mouvement, nous 

posons g(⃗v α ) ≡ m α ⃗v α . Le transfert d’impulsion à la particule α lors d’une 

collision élastique avec la particule β conduit à l’expression : 

⃗v ′ α − ⃗v α 

1 

= − (1 − cos θ) ⃗v αβ , 

1 + m α /m β 

Introduisons la section efficace de transfert d’impulsion σαβ t , la fréquence 

de collision, ν αβ et le taux de réaction, K αβ : 

∫ 

σαβ t (v αβ) ≡ (1 − cos θ)σ αβ dΩ, 

ν αβ (v αβ ) ≡ 

n β σ t αβ v αβ, 

K αβ ≡ σ t αβ v αβ 

On peut alors écrire : 

∫∫ 

S1 el m α 

= − n α n β 

1 + m α /m β 

f α (⃗r,⃗v α , t) f β (⃗r,⃗v β , t) 

⃗v αβ K αβ d⃗v α d⃗v β 

n α n β 


De façon plus compacte, on posera : 

S el 

m α 

1 = − n α n β 〈⃗v αβ K αβ 〉 

1 + m α /m β 

où la moyenne doit être effectuée avec les 2 fonctions de distributions. 

3. Calcul de S2 

el 

Pour calculer S2 el nous posons g(⃗v α ) ≡ m α vα. 2 Le transfert d’énergie 

cinétique à la particule α lors d’une collision élastique conduit à l’expression 

: 

( ) 

m α v ′ 2 

α − vα 

2 

= − 2 m α/m β 

(1 + m α /m β ) 2 (1 − cos θ) [ m α v 2 α − m β v 2 β + (m β − m α )⃗v α ⃗v β 

] 

, 

En utilisant les mêmes notations que ci-dessus, on trouve aussitôt : 

S el 

2 = − 2 m α/m β 

(1 + m α /m β ) 2 n α n β 〈 ( m α v 2 α − m β v 2 β + (m β − m α )⃗v α ⃗v β 

) 

Kαβ 〉 

Cas des fréquences de collisions constantes 

Aux faibles vitesses (c’est-à-dire dans un régime de pression du gaz plutôt 

élevé), le mécanisme d’interaction dominant est du type interaction dipolaire; 

on montre alors que la section efficace décroît avec la vitesse relative : σ t αβ ∼ 

1/v αβ (section efficace de Langevin), de sorte que le taux de réaction et la 

fréquence de collision sont constantes : 

Polarisation : σ t αβ ∼ 1/v αβ =⇒ ν αβ = Cte 

Le calcul de S 1 et S 2 peut alors être facilement mené plus loin. 

K αβ étant indépendant des vitesses des composantes, on a 〈⃗v αβ K αβ 〉 = 

K αβ 〈⃗v αβ 〉 = K αβ 

( 

⃗Vα − ⃗ V β 

), et S el 

1 

m 

( α 

1 = − n α ν ⃗Vα αβ − 

1 + m α /m ⃗ ) 

V β 

β 

S el 

s’écrit simplement : 

(ν αβ indépendant de⃗v αβ ) 

Sous ces hypothèses restrictives, on notera que le préfacteur dépendant de la 

masse des particules vaut avec une très bonne précision, m e pour les collisons 

électrons-neutres et m i /2 pour les collisions ions-neutres (m e /m n ≪ 1 et 

m i /m n ≈ 1). 

De même, pour le calcul de S 2 , en introduisant la décomposition v α = 

V α + u α et v β = V β + u β , on trouve aussitôt 2 : 

[ 

S2 el = − 4 m α/m β 

(1 + m α /m β ) 2 n 3k B (T α − T β ) 

αν αβ + m αVα 

2 

2 2 

− m βV 2 

β 

2 

2. En remarquant que 〈⃗u α〉 = 〈⃗u β 〉 = 0 et 〈⃗u α⃗u β 〉 = ∑ i 〈uα,i〉〈u β,i〉 = 0. 

V 

+ (m β − m α ) ⃗ ] 

αVβ 

⃗ 

2 


où on a utilisé la relation de définition de la température T α et T β des composantes 

: m α 〈u 2 α〉 = 3k B T α et m β 〈u 2 β 〉 = 3k BT β . 

L’identification des différentes contributions correspond respectivement au 

transfert d’énergie thermique, non dirigée (1er terme), et aux transferts d’énergie 

cinétique, dirigée (3 derniers termes), entres les 2 composantes α et β. 

et Sel 2 

On remarquera que les contributions, S1 el 

peuvent s’écrire sous la forme synthétique suivante : 

S1 el /m α = −δm αβ n α ν αβ Vαβ ⃗ , 

S2 el = −δm αβ n α ναβ E E αβ, 

que l’on vient d’obtenir 

où δm αβ = m β /(m α + m β ), et où la fréquence de collisions, ναβ E , associée aux 

transferts d’énergie est telle que, ναβ E = 4m α/(m α + m β )ν αβ . 

Cette dernière remarque montre que les transferts d’énergie entre électrons 

et neutres sont plus faibles de plusieurs ordres de grandeurs que les transferts 

d’impulsion entre les mêmes particules (cf. figure 1). 

Figure 2.1 – Fréquences de transfert d’impulsion, d’énergie et d’ionisation pour 

des électrons dans l’argon, obtenues par résolution de l’équation de Boltzmann. 

Cas des libres parcours moyens constants 

Aux plus grandes vitesses (régime de pressions intermédiaires 3 ), les mécanismes d’interactions 

dominants sont du type sphères dures pour les collisions électrons-neutres, tandis 

que les collisions dominantes ions-neutres sont du type transfert de charge et sphères dures. 

Avec une bonne approximation, dans les domaines de températures considérés, ces 2 types 

3. Si la pression est trop faible, on entre dans un régime ballistique sans collision. La 

fréquence de collision n’est alors plus définie. 


de mécanismes correspondent à une section efficace quasi-constante σ ≡ σ 0, de sorte que la 

fréquence de collisions est proportionnelle à la vitesse moyenne 〈v αβ 〉 : 

Sphères dures ou transfert de charges : σ t αβ = σ 0 =⇒ ν c = 〈v αβ〉 

λ β 

où λ β ≡ 1/(n β σ 0) représente le libre parcours moyen des électrons ou des ions dans le gaz. 

Le calcul de la valeur moyenne nécessite la connaissance de la fonction de distribution des 

vitesses des électrons ou des ions, et donc un calcul de type cinétique. En présence d’un champ 

électrique, le caractère plus moins isotrope des fonctions de distributions dépend du poids 

relatif des termes d’origine entropique (proportionnels à la température et qui tendent à rendre 

les fd isotropes) et des termes d’origine électrique (qui tendent à rendre les fd anisotropes dans 

la direction du champ électrique). Le cas général est difficile, et nous nous contentons d’obtenir 

2 cas limites importants : 

– Lorsque l’énergie thermique (non dirigée) excède l’énergie transférée aux particules par 

le champ électrique E, i.e. lorsque : 

qEλ 0 ≪ k BT 

soit 

E 

p ≪ σ0 T 

, 

q T g 

où p = n g k BT g est la pression du gaz, les fonctions de distributions restent quasiisotropes 

et maxwelliennes. On en déduit aussitôt que la vitesse moyenne s’identifie 

avec la vitesse thermique des projectiles : 

E 

p ≪ σ0 T 

=⇒ 〈v〉 = v T ≡ 

q T g 

( ) 1/2 8kBT 

et donc ν c = vT 

πm 

λ 0 

Dans le cas d’une température uniforme, la fréquence de collision apparaît donc à 

nouveau comme une constante. 

– Dans la limite opposée, la vitesse d’entraînement des particules par le champ devient 

plus importante que la vitesse thermique des particules de sorte que la fonction de distribution 

f devient anisotrope. Pour la déterminer, considérons un plasma homogène 

et notons Oz la direction du champ électrique. Pour simplifier, supposons en outre 

que le champ est si fort que le mouvement des particules lui est entièrement parallèle. 

L’équation de Boltzmann en régime stationnaire s’écrit simplement sous la forme unidimensionnelle 

: 

qE df 

= −ν(v z) f(v z) = − vz 

f(v z) 

m dv z λ 0 

où ν(v z) est l’expression (non-moyennée dans cette approche cinétique !) de la fréquence 

de collisions. La solution de cette équation est évidemment donnée par l’expression : 

f(v z) = A e − mv2 z 

2qEλ 0 

avec la constante A donnée par la condition de normalisation ∫ ∞ 

f(v 

0 z) dv z = 1. 

On constate donc que la fonction de distribution des particules est une maxwellienne 

à une dimension de température effective T ∗ définie par la relation k BT ∗ = qEλ 0. On 

en déduit aussitôt que la vitesse moyenne s’identifie avec la vitesse fluide u E dans cette 

limite : 

∫ ∞ 

( ) 2kBT ∗ 1/2 ( ) 1/2 2qEλ0 

〈v z〉 = v zf(v z) dv z = = 

≡ u E 

0 

πm πm 

Une conséquence importante est que la fréquence de collision dans cette limite est une 

fonction de la vitesse fluide : 

E 

p ≫ σ0 T 

=⇒ ν c = 〈vz〉 = uE 

q T g λ 0 λ 0 

On notera encore que du fait de cette dépendance, la force de friction F des ions ou 

des électrons avec le gaz est une fonction non-linéaire de la vitesse fluide : 

( ) 1/2 2qEλ0 

u E = 

⇔ qE = π mu 2 E ⇒ F = − π mu 2 E 

πm 

2λ 0 2λ 0 


On peut également retrouver l’expression de la force de friction par un calcul direct à 

partir de l’équation de Boltzmann : 

∫ 

∫ 

qE df vz 

2 v z dv z = − f(v z) dv z ⇒ F ≡ − m 〈vz〉 

2 

m R + dv z R + λ 0 λ 0 

et donc, puisque f est une maxwellienne : 

F = − m 〈vz〉 2 = − m k BT ∗ 

λ 0 λ 0 m 

= − π mu 2 E 

2λ 0 

Ces 2 régimes de comportement où la mobilité déend ou non de la vitesse est attesté 

expériementalement comme le montre la figure 3.1. 

Figure 2.2 – Mobilités ioniques en fonction du rapport E/p à 1 torr et à 300 

K. 

Remarques 

1. Anisotropie des fonctions de distributions. En présence d’un champ électrique extérieur, 

les fonctions de distributions ne sont plus isotropes. 

2. Invariants de collisions pour particules identiques. 

2.2.3 Termes sources correspondant aux collisions inélastiques 

Pour les collisions inélastiques, nous nous contenterons de donner une forme 

effective phénoménologique pour les termes δf/δt dans le cas des réactions 

d’ionisation et de recombinaison électron-ion. 

La réaction correspondant à une ionisation en une étape s’écrit : 

e − + n −→ i + 2e − 

Cette réaction s’accompagne donc de la création d’un électron et d’un ion et 

de la disparition d’un neutre. Soit K I (en m +3 s −1 ) le taux de cette réaction, 

une forme phénoménologique acceptable pour le terme source S 0 correspondant 

s’écrit : 

S 0I = ± m(K I n g n e ) 

où m est la masse des particules de la composante étudiée et où le signe + 

vaut pour les composantes décrivant l’ion et l’électron, et le signe - pour la 

composante décrivant les neutres. On notera que le produit K I n g n’est autre 

que la fréquence d’ionisation ν I , éventuellement dépendante de la position et 

du temps si le gaz n’est pas homogène et stationnaire. 


Rappelons que le taux de réaction K I dépend très fortement de la température 

électronique T e . A partir d’expressions approchées de la section efficace d’ionisation, 

on peut montrer que : 

( 

K I = σ 0 v e 1 + 2k ) 

BT e 

e −E I/(k B T e) ≈ K I0 e −E I/(k B T e) 

E I 

où la section efficace, σ 0 ≡ π ( e 2 /4πǫ 0 E I 

) 2, la vitesse thermique électronique, 

v e ≡ (8k B T e /πm e ) 1/2 . A titre d’exemple, l’énergie d’ionisation K I et la constante 

K I0 valent respectivement 15.7 eV et 5 10 −14 m 3 /s pour l’argon. 

Dans le cas de la recombinaison électron-ion, la forme phénoménologique 

est comparable à celle utilisée pour l’ionisation, c’est-à-dire qu’elle est proportionnelle 

aux densités des espèces impliquées dans la collision. On écrit donc en 

général : 

S 0I = ± m(K r n i n e ) 

où K r est le taux de recombinaison électron-ion. On notera que comme n i ≈ n e , 

les termes de recombinaison contribuent par des termes non-linéaires en la densité. 

Mentionnons que la recombinaison entre ions positifs et ions négatifs peut 

également être significative dans le cas des décharges électronégatives (décharges 

contenant des espèces ioniques chargées négativement en plus des électrons et 

ions positifs). 

Les formes utilisées pour les termes de collisions inélastiques associés aux 

transferts d’impulsion, S1 inel. , et aux transferts d’énergie, S1 inel. , sont plus difficiles 

à préciser car ils dépendent des vitesses fluides et des températures des 

particules créées ou détruites. Ces vitesses et températures peuvent être approximées 

à partir d’approximations physiques ou obtenues par des calculs sophistiqués 

de théorie cinétique. Pour les contributions d’ionisation, par exemple, 

on utilise souvent pour les termes de collisions associés aux électrons une contribution 

de la forme 

S2I e = −m e K I n g E I 

puisque les électrons doivent perdre (au minimum) l’énergie d’ionisation E I 

dans chaque collision ionisante. A contrario, l’hypothèse que les ions sont créés 

avec la même température, T n que les neutres, conduit à introduire la contribution 

suivante : 

S i 2I = +m i 

3 

2 K In g k B T n 

2.2.4 Remarque 

L’importance relative des contributions élastiques et inélastiques dépend du 

gaz considéré. A titre d’exemple simple, la figure suivante présente les taux 

de réaction des réactions les plus importantes pour l’argon en fonction de la 

température électronique. On notera que pour ce gaz, les collisions élastiques 

sont dominantes dans le domaine de température pertinent (quelques eV). 


Figure 2.3 – Taux des réactions de collisions élastiques, d’excitations et d’ionisations 

pour l’argon en fonction de la température électronique. 

2.3 Approximation d’équilibre thermodynamique local 

1. On a déjà insisté sur le fait que les plasmas froids sont des systèmes 

hors-équilibre thermodynamique. On doit donc s’attendre, en général, à 

ce que les fonctions de distribution des vitesses ne soient pas de simples 

maxwelliennes. Deux raisons physiques, au moins, peuvent conduire à des 

fonctions de distributions significativement différentes des maxwelliennes : 

(a) Les plasmas sont le siège d’un champ électrique, dirigé du centre de la 

décharge vers la périphérie qui, bien que généralement modéré dans 

la prégaine, introduit une anisotropie des fonctions de distributions, 

qui ne peuvent donc être des maxwelliennes, isotropes par nature. 

(b) Les collisions inélastiques, comme les collisions d’ionisation ou d’excitation, 

sont des collisions à seuils (la section effice est nulle en deça 

d’une certaine énergie seuil), ce qui contribue à dépeupler les queues 

de distributions. 

A titre d’exemple, la fonction de distribution en énergie des électrons dans 

le mercure est présentée sur la figure suivante. Le comportement linéaire 

(en échelles logarithmiques) est caractéristique d’un comportement maxwellien. 

Dans ce cas, tout se passe comme s’il y avait 2 régimes maxwelliens 

correspondant à 2 températures électroniques différentes. 

2. La figure précédente suggère qu’une approximation maxwellienne avec une 

température effective peut-être retenue en première approximation dans 

des domaines limités en énergie. 

On parle alors d’équilibre thermodynamique local lorsque les électrons 

(voire les autres composantes, ions et neutres) peuvent être considérés approximativement 

à l’équilibre avec une fonction de distribution qui prend 


Figure 2.4 – Fonction de distribution en énergie pour les électrons dans le 

mercure. 

la forme d’une Maxwellienne locale : 

( 

f 1 (⃗r,⃗v, t) = n(⃗r, t) 

m 

2πk B T(⃗r, t) 

) 3/2 

e − mv2 

2k B T(⃗r,t) 

où la température T(⃗r, t) est une fonction quelconque de la position et du 

temps, a priori différente pour chaque composante. On vérifiera, comme 

conséquence des propriétés des gaussiennes que cette distribution est bien 

normalisée à la densité n(⃗r, t). 

Exercice Utiliser cette fonction de distribution pour calculer la vitesse thermique, v th , 

le flux de particules, Γ n, atteignant un des côtés d’une surface (typiquement les murs 

du réacteur) et le flux d’énergie cinétique, Γ E, atteignant un des côtés d’une surface. 

∫ ( ) 1/2 

v th ≡ 〈|⃗v|〉 ≡ |⃗v| f1 8kBT 

R 3 n d⃗v = , 

πm 

∫ ∫ 

Γ n ≡ 〈nv z〉 = n f 1 

vz>0 

v z 

R 2 R + n d⃗v ⊥ dv z = n〈|⃗v|〉 , 

4 

〉 

m⃗v 

Γ E ≡ 

〈nv 2 

z = 2k BT Γ n 

2 

v z>0 

On prendra bien garde que les expressions précédentes ne doivent être utilisées que 

dans les situations d’équilibre thermodynamique local. 



Chapitre 3 

Gaine et pré-gaine : quelques 

résultats expérimentaux et 

numériques 

3.1 Résultats expérimentaux 

Analysons les résultats expérimentaux reportés sur les figures 3.1 et 3.2. 

Comme on le voit sur ces figures, la vitesse des ions croît en s’approchant 

Figure 3.1 – Fonctions de distribution de l’ion xenon en fonction de la distance 

z à l’électrode (Applied Physics Letters, 91, 041505, (2007)). 

de l’électrode, et passe de quelques centaines de mètres par seconde au centre 

de la décharge à des vitesses de 1 à plusieurs km/s (selon la masse des ions 

27

Figure 3.2 – Profils de vitesses ioniques et de potentiel électrostatique pour 

l’ion xenon (T e = 0.61 eV, p = 0.45 mTorr, n e = 5.4 10 9 cm 3 ), et pour l’ion 

argon (T e = 0.88 eV, p = 0.7 mTorr, n e = 3.5 10 9 cm 3 ), en fonction de la 

distance z à l’électrode (Applied Physics Letters, 91, 041505, (2007)). 

considérés). On notera également que les fonctions de distributions sont de plus 

en plus asymétriques au fur et à mesure que l’on s’approche de l’électrode. Le 

profil de potentiel quant à lui, est relativement plat loin des électrodes et atteint 

des valeurs négatives de quelques Volts au voisinage de l’électrode (ces mesures 

sont effectuées en potentiel flottant : l’électrode n’est pas polarisée). Un champ 

électrique significatif n’apparaît donc que dans la région proche des électrodes. 

Les profils de densités électroniques et ioniques (non représentés sur ces figures) 


décroissent du centre vers le bord et sont confondus dans la partie centrale de 

la décharge. Les densités ne diffèrent qu’au voisinage de l’électrode : la densité 

des ions dominant légèrement la densité électronique. 

Ainsi, la décharge peut être grossièrement divisée en 2 régions. Une région 

centrale étendue, la prégaine, quasi-neutre (n e ≈ n i ), où les densités (non reportées 

sur les figures) et le potentiel décroissent lentement, et une étroite région 

périphérique, la gaine, chargée positivement (n i > n e ), où les gradients de densités 

et de potentiels sont très abrupts. La lisère de gaine, c’est-à-dire le plan 

qui sépare la prégaine de la gaine, est définie comme le lieu des points où les 

ions atteignent une vitesse caractéristique, notée c S sur les figures, connue sous 

le nom de vitesse de Bohm 1 . 

Avant d’entrer dans le détail d’une modélisation plus précise, on peut comprendre 

quelques aspects de ces résultats par les remarques qualitatives suivantes 

: 

– La raison de la polarisation négative des parois en potentiel flottant vient 

de la grande mobilité des électrons qui diffusent plus rapidement que les 

ions vers les parois. Le potentiel négatif qui s’établit aux parois renvoit les 

électrons les moins énergétiques vers le plasma et accélère les ions vers les 

parois. Un équilibre peut ainsi s’établir qui permet au plasma de rester 

quasi-neutre. 

– L’équation de Poisson −ǫ 0 △ϕ = e(n i − n e ) montre qu’une courbure 

négative du potentiel impose la relation n i > n e . 

– Dans la zone de prégaine, la vitesse de dérive des ions est suffisamment 

faible pour que la différence de charges e(n i − n e ) soit négligeable ; en 

conséquence, le champ électrique reste modéré dans la prégaine. 

3.2 Modélisation fluide simplifiée 

Très schématiquement, dans une décharge, les ions sont froids (on a toujours 

T i ≪ T e ). Les ions ont le comportement dynamique de particules de masse M, de 

vitesse v, accélérées par le champ électrique, E, créés par impacts électroniques 

sur les neutres, et dissipant leur énergie par collisions avec ceux-ci. Les équations 

de bilan pour les ions s’écrivent : 

∂ t n i + ∂ x (n i v) = ν I n e , (3.1) 

Mn i (∂ t v + v ∂ x v) = en i E − (ν in n i + ν I n e )Mv (3.2) 

Dans ces équations, ν I et ν in représentent respectivement, la fréquence d’ionisation 

et la fréquence de transfert d’impulsion entre les ions et les neutres. Le 

terme −ν I n e Mv correspond à une perte de quantité de mouvement due à la 

création des ions avec une vitesse d’entraînement nulle. 

Les électrons au contraire, du fait de leur faible masse, ont le comportement 

dynamique d’un fluide placé dans un champ extérieur, et tendent à se distribuer 

1. Nous verrons plus loin que la vitesse de Bohm n’est autre que la vitesse acoustique 

ionique c s. 


selon une distribution de Maxwell-Boltzmann. Leur équation d’équilibre s’écrit : 

0 = −k B T e ∂ x n e − en e E (3.3) 

où nous avons utilisé l’approximation isotherme et fait tendre la masse des 

électrons vers 0 : m e → 0. 

Le champ électrique, quant à lui, obéit à l’équation de Maxwell-Gauss : 

ǫ 0 ∂ x E = e(n i − n e ) (3.4) 

Ces 4 équations complétées par des conditions aux limites adéquates constituent 

un système d’équations aux dérivées partielles non-linéaires dans les 4 champs 

n e (x, t), n i (x, t), E(x, t), v(x, t), qui ne peut être résolu que numériquement. 

Exercice Estimer l’ordre de grandeur de la vitesse acoustique ionique pour l’argon (M = 

40) et le xenon (M = 131), et comparer avec les valeurs reportés sur les Figures 3.1 et 3.2. 

3.3 Etude numérique du régime stationnaire 

L’étude numérique du système d’équations est grandement facilitée en régime 

stationnaire puisque le système devient un système d’équations différentielles. 

Introduisons les normalisations suivantes : 

N i ≡ n i 

n 0 

, 

N e = n e 

n 0 

, 

V = v 

u B 

, φ ≡ eϕ 

k B T e 

, 

E ≡ eEλ I 

k B T e 

, X ≡ x λ I 

, 

où u B ≡ (k B T e /M) 1/2 est la vitesse acoustique ionique, également appelée 

vitesse de Bohm dans les décharges, et λ I ≡ u B /ν I , la longueur d’ionisation. 

En notant par un ’, les dérivées par rapport à la variable X, le système 

s’écrit en régime stationnaire : 

(N i V ) ′ = e φ , 

( 

Ni V 2) ′ 

= N i E − ν in 

ν I 

N i V, 

( 

λD 

λ I 

) 2 

E ′ = N i − e φ , 

φ ′ 

= −E 

Le problème apparaît ainsi comme un système différentiel du 1er ordre ( ce qui 

est très adapté pour une résolution numérique), dépendant des 2 paramètres 

ν in /ν I et λ D /λ I . Pour finir de caractériser le système, on doit choisir un jeu de 

conditions aux limites, que l’on prend sous la forme : 

N(0) = 1, V (0) = 0, φ(0) = 0, E(0) = 0 

Le choix de l’origine des potentiels est en effet libre, les conditions sur la 


0.6 

0.5 

Densités normalisées 

0.4 

0.3 

0.2 

V⩵1 

N i ⩵0.503 

N i 

0.1 

N e 

0 

0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.6 

Distance normalisée 

6 

Vitesse des ions normalisée 

5 

4 

3 

2 

V⩵1 

1 

0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.6 


Figure 3.3 – Profils de densités et de vitesses ioniques au voisinage de la lisière 

de gaine. Dans tous les cas, ν in = 0, λ D /λ I = 0.001. Les normalisations sont 

celles du texte. La vitesse V = 1 correspond à une vitesse ionique égale à la 

vitesse de Bohm. 

vitesse des ions et le champ électrique respectent les symétries du problème. La 

quasi-neutralité est imposée au centre de la décharge 2 . 

Le système précédent est intégré numériquement à partir de l’origine lorsque 

ν in = 0 (régime non-collisionnel, donc plutôt adapté à une situation basse pression) 

et pour un rapport λ D /λ I = 0.001, ce qui est une valeur typique pour des 

décharges de quelques eV de température électronique et de densités de l’ordre 

de 10 10 -10 11 cm −3 . On pourra noter qu’il n’est pas nécessaire de spécifier a priori 

2. On peut montrer par des développements en série au voisinage de l’origine, que la condition 

aux limites pour la densité ionique devrait s’écrire N(0) ∼ 1+1.5(λ D/λ I) 2 . Comme le paramètre 

λ D/λ I est toujours très petit dans les cas pratiques, cette correction est négligeable, et 

n’altère pas significativement les résultats numériques. On retiendra cependant que la densité 

ionique est partout supérieure à la densité électronique (même dans la prégaine), la différence 

ne devenant importante que dans la gaine. 


la taille du domaine d’intégration, c’est-à-dire la taille du réacteur. Celle-ci sera 

déterminée a posteriori lorsque nous préciserons les conditions aux limites au 

niveau de l’électrode (cf. le chapitre sur la modélisation de la gaine). 

Les profils de densités et de potentiel sont présentés sur la figure 3.3. Le 

point où la vitesse des ions atteint la vitesse de Bohm est noté sur les figures 

(vitesse normalisée V = 1). On note, en accord avec les expériences, que la 

séparation de charge n’apparaît de façon significative que lorsque la vitesse de 

Bohm a été dépassée. 

Le même type de comportement apparaît sur les profils de potentiels et 

de champ électrostatique reportés sur la figure 3.4. Les valeurs numériques 

indiquées sur la figure seront comparées dans le chapitre suivant avec celles 

obtenues à partir d’un modèle simplifié de la prégaine. 

2000 

Champ électrique normalisé 

1500 

1000 

500 

E⩵19.96 

V⩵1 

0 

0 

0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.6 


Potentiel électrostatique normalisé 

-5 

-10 

-15 

-20 

V⩵1 

s ⩵0.694 

0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.6 


Figure 3.4 – Profils de champ électrique et de potentiel électrostatique, au 

voisinage de la lisière de gaine. Dans tous les cas, ν in = 0, λ D /λ I = 0.001. Les 

normalisations sont celles du texte. La vitesse V = 1 correspond à une vitesse 

ionique égale à la vitesse de Bohm. 


Chapitre 4 

Modélisation du plasma 

quasi-neutre (prégaine) 

Dans ce chapitre, nous résolvons les équations décrivant le transport dans la 

partie centrale de la décharge en effectuant l’approximation plasma : n e = n i . 

4.1 Linéarisation 

Une première approche consiste à effectuer la linéarisation du système différentiel 

présenté au chapitre précédent. 

Comme on le verra plus bas, cela revient essentiellement à négliger la contribution 

inertielle d’accélération des ions (i.e. le terme v ∂ x v). Par souci pédagogique, 

nous introduisons les différents termes progressivement, et traitons d’abord le 

système sans prise en compte des collisions et dans l’approximation plasma 

n i = n e = n. Ce modèle ne peut donc être valable dans la gaine où la séparation 

de charges apparaît mais doit pouvoir s’appliquer au cœur du plasma (lorsque 

les termes de collisions seront pris en compte). 

∂ t n + ∂ x (nv i ) = 0, 

Mn (∂ t v + v ∂ x v) = +en E, 

k B T e ∂ x n = −enE 

Si on se limite à de faibles perturbations, on peut considérer le système linéarisé 

autour d’un état de référence de densité uniforme et stationnaire tel que : n = 

n 0 , v = 0, E = 0. Le système linéarisé est obtenu en posant : 

n = n 0 + n 1 , 

v i = v 1 , 

E = E 1 

33

et en ne retenant que les grandeurs d’ordre 1. On trouve aussitôt : 

∂ t n 1 + n 0 ∂ x v 1 = 0, 

M n 0 ∂ t v 1 = +en 0 E 1 , 

k B T e ∂ x n 1 = −en 0 E 1 

En combinant les équations entre elles, on peut obtenir l’équation pour les 

perturbations de densités sous la forme 1 : 

∂ 2 ttn 1 − k BT e 

M ∂2 xx n 1 = 0 

Il s’agit manifestement de l’équation de propagation d’une onde de densité avec 

la vitesse (k B T e /M) 1/2 . 

Rappelons que dans un gaz neutre (à une seule composante), la vitesse de 

propagation du son c s est définie par la relation thermodynamique : 

c 2 s ≡ ∂p 

∂ρ∣ , 

ρ=ρ0 

où ρ ≡ nm est ici la densité de masse. Dans le cas du gaz parfait, p = 

(nm)k B T/m, et donc 

c 2 s = k BT 

m = p 

nm 

Les collisions de contact entre molécules sont à l’origine des ondes de pression 

dans un gaz neutre. Il est remarquable que de telles ondes puissent également 

exister dans un plasma sans collision. L’origine de ces ondes est maintenant à 

rechercher dans les interactions coulombiennes entre les électrons et les ions. La 

pression est essentiellement due aux électrons p = p e + p i ≈ k B T e n tandis que 

l’inertie dépend principalement des ions (M + m)n ≈ nM, ce qui conduit bien 

à une vitesse du son dite vitesse acoustique ionique : 

√ 

kB T e 

c si ≡ 

M 

En cherchant des solutions de l’équation d’onde sous la forme d’ondes progressives, 

on trouve aisément que la relation de dispersion s’écrit : 

ω 

ω 

k = c si 

c si 

k 

c 2 si ≡ k BT e 

M 

Les ondes acoustiques ioniques sont donc sans dispersion et les vitesses de 

phase et de groupe sont identiques. A la différence des perturbations électroniques 

1. La vitesse et le potentiel obéissent à la même équation. 


qui sont des ondes stationnaires de fréquence fixes (ω = ω pe ), les ondes acoustiques 

ioniques sont des ondes propagatives de vitesses constantes. 

Les termes sources et/ou les termes de collisions que nous avons négligés 

sont responsables de l’amortissement de ces ondes. Les équations de bilan des 

ions sont modifiées de la façon suivante : 

∂ t n + ∂ x (nv) = ν I n, 

Mn (∂ t v + v ∂ x v) = −k B T e ∂ x n − (ν in n + ν I n)Mv 

Dans ce cas le système d’équations linéarisées devient : 

∂ t n 1 + n 0 ∂ x v 1 = ν I n 1 , 

M n 0 ∂ t v 1 = −k B T e ∂ x n 1 − (ν in + ν I ) Mn 0 v 1 , 

En combinant ces équations entre elles, on trouve que l’équation d’onde correspondante 

s’écrit : 

∂ 2 ttn 1 − c 2 si ∂ 2 xxn 1 = (ν in + ν I ) ν I n 1 − ν in ∂ t n 1 

Le terme de dérivée temporelle du premier ordre est clairement responsable 

de l’amortissement des ondes tandis que le terme linéaire (qui dépend essentiellement 

de la fréquence d’ionisation) ne joue significativement que pour les 

longueurs d’ondes λ ≫ λ I ≡ u B /ν I . 

Exercice Etudier la relation de dispersion des ondes acoustiques ioniques lorsque la dissipation 

et/ou les effets de charge d’espace sont pris en compte. 

Ainsi, l’étude du système linéarisé montre que la vitesse acoustique ionique 

c si = (k B T e /M) 1/2 est la vitesse “ naturelle” de propagation de faibles perturbations 

extérieures. L’analyse du modèle quasi-neutre que nous présentons 

dans la suite, montre que cette vitesse joue encore un rôle important lorsque 

les effets non-linéaires sont pris en compte. 

4.1.1 Etude de la prégaine 

Dans cette section nous étudions la prégaine, c’est-à-dire la région quasineutre 

du plasma où les ions acquièrent l’énergie suffisante pour la formation des 

gaines. Dans un plasma quasi-neutre, la dissipation introduite par l’ionisation 

et/ou les collisions électrons-neutres, sont à l’origine de cette accélération des 

ions, ainsi que la chute des densités et du potentiel qui l’accompagne. 

Nous considérons donc le modèle dans sa limite quasi-neutre (n e = n i = 

n), avec des électrons boltzmanniens et des ions froids collisionnels, mais en 

retenant les termes d’inertie non-linéaires. Les équations du modèle s’écrivent 

en régime stationnaire : 

(nv) ′ = ν I n, (4.1) 

nv v ′ = −u 2 B n ′ − (ν I + ν in ) nv (4.2) 


(le ’ désigne encore une dérivée par rapport à la variable x). En combinant ces 2 

équations entre elles, on trouve facilement l’expression des gradients de densité 

et de vitesse : 

n ′ = − 2ν I + ν in 

u 2 nv, 

B 

− v2 

(4.3) 

v ′ = + ν I u 2 B + (ν I + ν in )v 2 

u 2 B − v2 (4.4) 

Tant que v densités décroissent (n ′ < 0) tandis que la vitesse des 

ions croît (v ′ > 0). Au centre de la décharge où v = 0, le gradient de densité 

s’annule, tandis que la fréquence d’ionisation, et elle seule, contrôle le gradient 

de vitesse : v ′ (0) = ν I . 

On notera que les gradients s’annulent en l’absence d’ionisation et de collisions 

électrons-neutres. Plus précisément, les 2 seules solutions sont n = n 0 , v = 

0, ou n = n 0 , v = u B . La seule solution continue compatible avec la condition 

v(0) = 0 au centre de la décharge est la première qui correspond à des ions 

immobiles et à une vitesse nulle dans toute la prégaine. L’autre solution, discontinue, 

correspondrait à un choc. Dans un plasma quasi-neutre, l’ionisation 

ou les collisions ion-neutres sont des conditions nécessaires pour l’accélération 

des ions dans la prégaine, et donc, in fine, pour la formation des gaines. 

L’équation d’équilibre des électrons : 

k B T e n ′ = enϕ ′ 

permet de déterminer le gradient de potentiel (i.e. le champ électrique au signe 

près) : 

ϕ ′ = − k BT e 2ν I + ν in 

e u 2 B − v 

v2 

Dans ce plasma quasi-neutre, le champ électrique part donc d’une valeur nulle 

au centre de la décharge (où v = 0), et croît jusqu’à diverger lorsque la vitesse 

des ions atteint la vitesse de Bohm. 

Les gradients de densités, vitesse, et potentiel divergent donc lorsque la vitesse 

atteint la vitesse de Bohm. Ce comportement singulier est une conséquence 

de l’approximation de quasi-neutralité (l’équation de Poisson n’est pas prise en 

compte). Les résultats numériques reportés sur les Figures 3.3 et 3.4 montrent 

clairement que cette singularité n’existe pas lorsqu’on résout le système complet 

d’équations. Si l’on ne force plus l’égalité des densités, on peut montrer que le 

gradient de densité ionique par exemple, s’écrit : 

n ′ i = 2ν In e v + ν in n i v − en i E/M 

v 2 

La singularité n’apparaît plus qu’en bord de domaine, ce qui ne pose pas de 

problème. Si l’approximation plasma ne permet pas un calcul approximatif du 

champ électrique en lisière de gaine (le champ est un gradient de potentiel), 

nous montrons dans la section suivante, que les variations de potentiel et de 


densités sont suffisamment lentes dans la prégaine pour obtenir une excellente 

approximation des densités et du potentiel à l’entrée de la gaine avec l’hypothèse 

de quasi-neutralité. 

Exercice Etablir l’expression du gradient obtenue ci-dessus. Montrer qu’une autre singularité 

apparaît à l’intérieur du domaine de résolution lorsqu’on prend en compte la contribution 

de pression des ions. Commenter. 

Chutes de densité et de potentiel dans la prégaine 

Le système d’équations différentielles précédent constitue un système différentiel 

non-linéaire dont la résolution est délicate. Il est cependant assez facile d’obtenir 

une estimation de la chute de la densité (ionique et électronique, puisqu’elles 

sont égales) dans la prégaine. On peut convenir de marquer la fin de la prégaine, 

et donc l’entrée dans la gaine, comme le point où le modèle quasi-neutre devient 

singulier, c’est-à-dire où la vitesse des ions atteint la vitesse de Bohm : v i ≡ u B . 

En effectuant le rapport des 2 équations (7.7) et (7.8), on obtient l’égalité : 

dn 

n + 2ν I + ν in 

2(ν I + ν in ) 

qui s’intègre immédiatement entre 0 et x : 

2(ν I + ν in )v 

ν I u 2 B + (ν I + ν in )v 2 dv = 0 

[ ( 

n(x) 

1 + 1 + ν ) 

in v 2 ] 

(x) 

2ν I +ν in 

2(ν I +ν in ) 

= 1 

n 0 ν I u 2 B 

Posons n s la densité de lisière de gaine obtenue lorsque v = u B . On trouve : 

( 

n s 

= 2 + ν ) 1+ν − in /2ν I 

1+ν 

in in /ν I 

n 0 ν I 

A l’aide de l’équation d’équilibre des électrons : eϕ(x) = k B T e ln(n(x)/n 0 ), on 

obtient aussitôt la chute de potentiel ϕ s dans la prégaine : 

ϕ s = − k BT e 

e 

( 

1 + ν in /2ν I 

ln 2 + ν ) 

in 

1 + ν in /ν I ν I 

Pour ν in = 0, on trouve n s /n 0 = 0.5, et pour ν in = ν I , on trouve n s /n 0 = 

3 −3/4 ≈ 0.44, tandis que le potentiel vaut respectivement eϕ s /(k B T e ) = − ln2 ≈ 

−0.694 et eϕ s /(k B T e ) = −3 ln3/4 ≈ −0.824 . L’accord avec les résultats 

numériques reportés sur la Figure 3.3 (dans le cas ν in = 0) est remarquable. 

On pourra donc retenir, comme ordre de grandeur, que la densité chute de 

moitié dans la prégaine, et le potentiel (en eV ) d’un peu plus de k B T e /2. 

Exercice Montrer que le système différentiel (6.1-4.2) peut-être résolu analytiquement en 

régime collisionnel lorsque le terme d’inertie nv v ′ est négligé avec les conditions aux limites 

n(0) = n 0, v(0) = 0. 



Chapitre 5 

Modélisation de la gaine 

5.1 Introduction 

Commençons par analyser les résultats numériques reportés sur les figures 

5.1 et 5.2, toujours dans la limite ν in = 0. Lorsque les ions passent la vitesse 

de Bohm, la densité totale de charges, e(n i − ne), devient significative, croît 

jusqu’à un maximum avant de tendre vers 0, la densité ionique dominant toujours 

la densité électronique. Dans le même temps, et de façon cohérente avec 

cette augmentation de charge d’espace, le champ et le potentiel électrostatique 

prennent de fortes valeurs. On notera également que l’augmentation de vitesse 

des ions est exactement compensée par la diminution de la densité ionique, de 

telle sorte que le flux se conserve dans la gaine. 

0.15 

Densité de charge normalisée 

0.125 

0.1 

0.075 

0.05 

0.025 

N iN e⩵0.003 

V⩵1 

0 

0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.6 


Figure 5.1 – Densité de charges au voisinage de la lisière de gaine. Les paramètres 

sont les mêmes que sur la Figure 3.3. 

En s’inspirant de ces résultats numériques, on voit que l’approximation 

plasma ne peut pas être utilisée dans la gaine, mais qu’en revanche, la densité 

électronique y est suffisamment faible, pour qu’on puisse négliger le terme 

39

0.5 

Flux ionique normalisé 

0.4 

0.3 

0.2 

V⩵1 

0.1 

0.2 0.4 0.6 0.8 1 


Figure 5.2 – Flux ionique dans la décharge. Les paramètres sont les mêmes 

que sur la Figure 3.3. 

source ν I n e dans l’équation de bilan du nombre de particules, de telle sorte que 

le flux ionique se conserve dans la gaine en régime stationnaire. Nous effectuerons 

donc la modélisation de la gaine en régime stationnaire à partir du jeu 

d’équations suivant : 

(n i v) ′ = 0, (5.1) 

Mn i v v ′ = −en i ϕ ′ , (5.2) 

k B T e n ′ e = +en e ϕ ′ , (5.3) 

−ǫ 0 ϕ ′′ = e(n i − n e ) (5.4) 

Comme on ne s’intéresse qu’à la gaine, il est commode d’effectuer un changement 

d’origine des coordonnées et de l’origine des potentiels. Désormais, la 

position x = 0 correspondra à la lisière de gaine, et on choisira l’origine du 

potentiel en ce même point, c’est-à-dire ϕ(0) = 0. 

5.2 Le critère de Bohm 

Commençons par montrer que la solution la plus naturellement attendue 

pour le potentiel électrostatique dans la gaine, à savoir un prolongement du 

régime de pré-gaine, c’est-à-dire une solution concave monotone décroissante, 

ne peut exister que si la vitesse des ions est suffisante à l’entrée dans la gaine. 

Le potentiel électrostatique qui s’établit au sein de la décharge dépend de 

la densité de charges ρ ≡ e(n i − n e ) via l’équation de Poisson : 

−ǫ 0 △ϕ = ρ[ϕ] 

L’équation de Poisson est donc une équation différentielle non-linéaire du second 

ordre pour laquelle il nous faut préciser 2 conditions aux limites. On a déjà 

précisé la condition à l’entrée du domaine ϕ(0) = 0. La condition à la périphérie, 


en x = L, est ϕ(L) ≡ ϕ L , où ϕ L est le potentiel négatif imposé de l’extérieur 

au plasma, ou le potentiel flottant (également négatif) qui s’établit en l’absence 

de contraintes et que nous estimerons un peu plus loin. 

Une telle équation différentielle peut admettre plusieurs types de solutions 

qualitativement différentes. Pour le voir développons la densité de charge autour 

de l’entrée de la gaine où ϕ ≡ 0, on a donc à 1D, 

−ǫ 0 ϕ ′′ = ρ[0] + ϕ dρ 

dϕ∣ + · · · 

ϕ=0 

Or le plasma est quasi-neutre au point où ϕ = 0, i.e. n i (0) = n e (0) = n s , on a 

donc d’une part : ρ[0] = 0. D’autre part, si ϕ est uniforme, partant de ϕ = 0 

et allant jusqu’à ϕ L < 0, on a nécessairement ϕ ≤ 0 (autrement dit le champ 

électrique est dirigé du plasma vers la paroi). On a également, ϕ ′′ ≤ 0 si le 

potentiel est concave. Le membre de gauche de l’équation devant être positif, 

on en déduit la contrainte : 

dρ 

dϕ∣ ≤ 0 

ϕ=0 

ou 

dn i 

dϕ 

∣ ≤ dn e 

∣ 

ϕ=0 

dϕ 

∣ 

ϕ=0 

qui constitue la forme générale du critère de Bohm qui traduit la réalité suivante 

: une solution monotone décroissante, concave, ne peut se développer à 

partir d’une prégaine quasi-neutre que si le critère de Bohm est vérifié. 

Comme aucune hypothèse n’a encore était faite sur la dépendance explicite 

des densités ioniques et électroniques en fonction de ϕ, ce critère peut être 

utilisé aussi bien dans le cadre d’une dérivation cinétique des densités que dans 

le cadre d’une dérivation fluide. 

Plaçons-nous dans ce dernier cas. L’équation du mouvement des ions est 

équivalente à la conservation de l’énergie totale, avec une contribution cinétique 

et une contribution potentielle : 

1 

2 Mv2 i + eϕ = Cte 

Soit v 0 la vitesse des ions à l’entrée de la gaine, les ions sont accélérés par le 

champ électrique et acquièrent la vitesse : 

√ 

v i = v 0 1 − eϕ 

Mv0 2/2 

Comme ϕ est négatif, les ions sont accélérés par la chute de potentiel. L’ionisation 

pouvant être négligée dans la gaine, le bilan sur le nombre d’ions est 

équivalent à la conservation du flux ionique : 

n i v i = n s v 0 

On en déduit les variations la densité avec le potentiel : 

n i [ϕ] = 

√ 

1 − 

n s 

eϕ 

Mv0 2/2 


Les électrons sont en équilibre avec le potentiel : 

n e [ϕ] = n s e + eϕ 

k B Te 

Ainsi, pour un plasma constitué d’électrons boltzmanniens et d’ions froids, les 

densités électroniques et ioniques décroissent toutes 2 avec le potentiel (négatif). 

On notera tout de même que la décroissance des ions est algébrique tandis que 

celle des électrons est exponentielle. Aux grandes distances, dans un potentiel 

négatif, les électrons sont toujours moins nombreux que les ions. 

La densité de charges totale s’écrit donc explicitement sous la forme : 

n s e 

ρ[ϕ] ≡ e(n i [ϕ] − n e [ϕ]) = √ − n 

1 − 

eϕ s ee + eϕ 

Mv0 2/2 Il est alors facile d’établir que les gradients des densités sont tous deux positifs 

et que l’inégalité du critère de Bohm n’est vérifiée que si la vitesse d’entrée des 

ions dans la gaine est au moins égale à la vitesse acoustique ionique. 

En effet, en utilisant les équations de bilan de particule et de quantité de 

mouvement, on a en tout point de la gaine : 

( 

dn i 

dϕ 

= −n i dv i 

v i dϕ = −n i 

− 

e ) 

= + en i 

v i Mv i Mvi 

2 > 0, 

dn e 

dϕ = en 0 

e + eϕ en 

k B Te e = > 0 

k B T e k B T e 

En utilisant ces 2 équations dans la contrainte dρ 

dϕ 

≤ 0 calculée en ϕ = 0. On 

trouve aussitôt : 

v 2 0 ≥ k BT e 

M i.e. v 0 ≥ c si 

L’inégalité v 0 ≥ c si est la forme particulière du critère de Bohm pour un plasma 

électro-positif considéré dans le cas d’une approche fluide. C’est dans ce contexte 

que la vitesse acoustique ionique est généralement appelée la vitesse de Bohm. 

Il est facile de se convaincre (faites le !), que la prise en compte de la 

température ionique, T i , conduit au critère de Bohm suivant : 

√ 

kB T e + k B T i 

v 0 > 

M 

k B Te 

Comme T e ≫ T i dans tous les plasmas froids, la correction est négligeable. 

L’exercice qui suit montre que le critère de Bohm peut également être obtenu, 

non pas en faisant une approximation à l’entrée de la gaine sur les densités, 

n i (0) ≈ n e (0), comme nous venons de faire, mais par une approximation sur le 

champ électrique à l’entrée de la gaine : ϕ ′ (0) ≈ 0. 

Exercice Après avoir multiplié l’équation de Poisson par ϕ ′ (x), 

montrer en l’intégrant que l’approximation d’un champ nul à l’entrée 

de la gaine : ϕ ′ (0) ≈ 0, permet de retrouver le critère de Bohm. 


5.3 Utilisation du potentiel de Sagdeev 

Le critère de Bohm tel qu’on vient de le présenter, peut être compris comme une condition 

nécéssaire pour obtenir une solution monotone de l’équation de Poisson compatible avec les 

conditions aux limites imposées. Dans un cadre plus général, le physicien soviétique R. Z. 

Sagdeev a proposé une approche qualitative de l’équation non-linéaire de Poisson qui permet 

une discussion des différentes formes de potentiel solutions de cette équation. Dans cette 

section, nous redérivons le critère de Bohm en utilisant cette approche. 

Le point de départ consiste à établir une analogie entre l’équation de Poisson et l’équation 

du mouvement d’une particule placé dans un potentiel V (x). La force dérivant du potentiel 

F(x) = −dV/dx, le principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule de masse 

unité s’écrit : 

d 2 x 

dt = −dV 2 dx 

Afin de s’affranchir de constantes inutiles, écrivons l’équation de Poisson dans un premier 

temps en variables sans dimensions : 

et λ D, la longueur de Debye. 

d 2 φ 

dX = −ρ[φ] 2 n 0e 

avec 

{ 

X ≡ 

x 

φ ≡ 

λ eϕ D 

k B T e 

Si on introduit le potentiel de Sagdeev, V [φ], défini par la relation 

V [φ] ≡ 

∫ φ 

L’équation de Poisson peut s’écrire sous la forme : 

0 

ρ[ψ] 

n 0e dψ, 

d 2 φ 

dX 2 = −dV dφ 

qui est formellement analogue au principe fondamental de la dynamique, pour peu qu’on 

identifie la position de la pseudo-particule, x(t), à l’instant t, avec la valeur du potentiel, 

φ(X), à la position X. 

Dans le cas du plasma electro-positif traité dans le cadre d’un modèle fluide, on a : 

ρ[φ] 

n 0e ≡ 1 

√ 

1 − 2φ/M 

2 a 

− e +φ 

où on a introduit le nombre de Mach en X = 0, défini par 

M a ≡ v0 

u B 

La forme du potentiel de Sagdeev dépend donc du nombre de Mach M a. L’intégration est 

évidente, on trouve : 

V [φ] = M 2 a 

( 

1 − √ ) ( ) 

1 − 2φ/Ma 

2 − e +φ − 1 

On notera que V [0] = 0, c’est-à-dire que l’origine du potentiel de Sagdeev est prise au point 

de quasi-neutralité (V ′ [0] ∝ ρ[0] = 0). Le potentiel de Sagdeev est représenté sur la Figure 5.3 

pour différentes valeurs du nombre de Mach. 

Le comportement du potentiel de Sagdeev au voisinage de l’origine est clairement déterminant 

pour la nature des solutions. Les développements de V et V ′ donnent 

( ) 1 φ 

2 

V [φ] = − 1 

Ma 

2 2! + O(φ3 ) 

( ) 

V ′ 1 

[φ] = − 1 φ + O(φ 2 ) 

M 2 a 


0.15 

Potentiel de Sagdeev, VΦ 

0.1 

0.05 

0 

-0.05 

-0.1 

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 

Potentiel Electrostatique, Φ 

Figure 5.3 – Potentiel de Sagdeev pour M a = 0.6 et M a = 0.8 (pointillés), 

M a = 1 (en gras) et M a = 1.2. 

Le comportement du potentiel électrostatique au voisinage de l’origine s’écrit donc 

( ) 

φ ′′ 1 

(x) + − 1 φ(x) ≈ 0 

Ma 

2 

Les solutions sont donc propagatives (le potentiel élecrostatique peut se développer spatialement) 

si M a > 1, et oscillante dans le cas contraire. Cette analyse locale permet donc de 

retrouver le critère de Bohm, qui implique donc une vitesse supersonique pour les ions afin 

qu’un potentiel électrostatique auto-cohérent puisse s’établir dans la décharge. 

Que se passe-t-il physiquement si M a < 1 Plaçons nous dans le cas un peu plus limite 

où M a ≪ 1. Alors, le vecteur d’onde d’oscillation, k, est telle que : 

k = ( M −2 

a 

− 1 ) 1/2 

≈ M 

−1 

a 

= uB 

v 0 

= 

( ) 1/2 kBT e 

≫ 1 

Mv 2 0 

Autrement dit les forces de rappel de pression sont plus grandes que les forces d’inertie, et le 

potentiel ne peut pas se développer spatialement. 

L’analyse de la forme du potentiel de Sagdeev loin de l’origine, pour M a > 1 permet de 

mettre en évidence une différence qualitative de comportement selon que le système développe 

un potentiel électrostatique positif ou négatif. 

– Dans le cas du potentiel négatif, on constate que celui-ci est monotone décroissant, et 

non borné inférieurement. 

– Dans le cas du potentiel positif, celui-ci repasse par un point de quasi-neutralité (lorsque 

V ′ [φ] s’annule) et tend vers la valeur limite M 2 a/2 (dans le cadre de ce modèle). 


5.4 La chute de potentiel dans la gaine en potentiel 

flottant 

La densité totale de courant mesurée à la paroi, J w , est la somme des contributions 

ioniques et électroniques : 

J w ≡ J iw + J ew 

Comme on l’a déjà dit les ions sont essentiellement froids, et leur flux est conservatif 

dans la gaine. La densité de charge ionique est donc celle à l’entrée de la 

gaine, soit : 

J iw = n e eu B 

Les électrons au contraire, du fait de leur faible masse, ont une vitesse fluide 

très faible par rapport à la vitesse thermique, v e ≪ v e,th . L’origine du flux 

électronique sur le mur est donc essentiellement cinétique, et a donc la même 

forme que dans le cas d’un gaz neutre : 

J ew ≈ − 1 4 n ewev ew = − 1 4 n see e(ϕw−ϕs) 

k B Te 

( ) 8kB T 1/2 

e 

πm 

Si les parois ne sont pas polarisées - on parle de situation en potentiel flottant 

- aucun courant n’est tiré au niveau des parois, et on doit donc avoir : 

J iw + J ew = 0 

Cette égalité fixe la chute de potentiel dans la gaine, ∆ϕ G : 

∆ϕ G ≡ ϕ w − ϕ s = − k BT e 

2e 

( ) M 

ln 

2πm 

Le logarithme variant peu avec le rapport M/m ≫ 1, la chute de potentiel dans 

la gaine est pour tous les gaz de quelques T e (en eV). Ainsi, pour l’hydrogène, on 

trouve ∆ϕ G ≈ −2.8 T e et pour l’argon, ∆ϕ G ≈ −4.7 T e . La chute de potentiel 

dans la gaine est donc la contribution dominante à la chute totale de potentiel 

(depuis le centre de la décharge), puisqu’on avait vu que la chute de potentiel 

dans la prégaine était de l’ordre de 0.5 T e . 

Pour bien comprendre cette situation et en apprécier les conséquences, nous 

avons reportés les flux ionique et électronique sur la Figure 5.4 (en haut). On 

constate bien que le flux ionique sature dès l’entrée dans la gaine, tandis que le 

flux électronique domine largement tant que la densité électronique est significative 

(i.e. dans la prégaine), puis s’effondre ensuite pour égaler le flux ionique, 

lorsque x/λ ≈ 0.5875. Cette équation relie donc la taille de la décharge, L, avec 

la longueur d’ionisation λ I : L ≈ 0.5875 λ I . Comme λ I est une fonction de la 

température électronique (à double titre par la dépendance en u B et en ν I ), et 

de la pression, la relation : 

L ≈ 0.5875 λ I ⇔ n n L ≈ 0.5875 u B(T e ) 

K I (T e ) 


10 

Gaine 

Flux normalisés 

8 

6 

4 

2 

i ⩵ e 

LIMITE DU DOMAINE x⩵L 

0 

0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 


-1 

Potentiel à l'entrée de la gaine φ s ⩵0.694 

Potentiel électrostatique normalisé 

-2 

-3 

-4 

-5 

Potentiel flottant au mur φ w ⩵3.53 

Gaine 

LIMITE DU DOMAINE x⩵L 

-6 

0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 


Figure 5.4 – Flux ionique et électronique (en haut), et potentiel dans la gaine 

(en bas), pour un plasma d’hydrogène. Les paramètres sont les mêmes que sur 

la Figure 3.3. 

fixe la température électronique, pour une taille de décharge et une pression 

de neutres (∝ n n ) données. Cette relation est l’analogue de la condition de 

Schottky valable pour les décharges haute pression. 

Une fois la taille de la décharge connue, l’analyse du profil de potentiel 

(Figure 5.4 (en bas)), permet de déterminer la chute de potentiel dans la gaine 

et la prégaine (on notera le bon accord avec les calculs effectués plus haut). Une 


estimation numérique de la taille de la gaine montre que celle-ci est de l’ordre 

de quelques longueurs de Debye. 

On retiendra donc, qu’en potentiel flottant, la chute de potentiel à travers 

la décharge est de quelques T e , et la taille de la gaine de quelques λ D . 

Exercice Etablir l’expression du flux électronique reportée plus 

haut. 

5.5 La taille de la gaine dans une décharge polarisée 

négativement 

Les électrodes qui confinent un plasma sont très souvent polarisées à un 

potentiel beaucoup plus important que les quelques T e caractéristiques des potentiels 

flottants. Dans ces conditions, la densité totale de courant qui circule 

dans les électrodes est non nulle et dépend de la valeur du potentiel imposée au 

mur, ϕ w . Nous nous limitons dans la suite à l’étude du cas ou ϕ w < 0. 

Comme nous sommes dans la limite |eϕ w |/(k B T e ) ≫ 1, on peut raisonnablement 

négliger la contribution de la densité électronique dans la gaine par 

rapport à la densité ionique. L’équation de Poisson dans la gaine s’écrit : 

−ǫ 0 ϕ ′′ (x) = n i e = 

n s e 

√ , 

1 + 2e(ϕs−ϕ) 

k B T e 

où la vitesse ionique a été choisie égale à u B à l’entrée de la gaine. Il est indiqué 

de poser : 

φ ≡ 2e(ϕ s − ϕ) 

, X = x 

k B T e λ Ds 

( ) 1/2 

où λ Ds ≡ ǫ0 k B T e 

2n se est la longueur d’onde de Debye à la lisière de gaine. 

2 

L’équation s’écrit donc : 

φ ′′ (X) = (1 + φ(X)) −1/2 

La solution de cette équation avec Φ(0) = 0 (i.e. ϕ = ϕ s à l’entrée de la gaine), 

et φ ′ (0) ≈ 0 (soit une condition de champ quasi-nul à l’entrée de la gaine, ce 

qui est consistant avec le fait d’avoir choisi v(0) = u B ), s’écrit (le vérifier par 

dérivation) : 

( 

2 2 + √ ) 

1 + φ(X) √ √1 

+ φ(X) − 1 = X 

3 

(le vérifier par dérivation) La relation entre la taille de la gaine s et le potentiel 

(normalisé) au mur, φ w est donc : 

2 ( 2 + √ ) √ 

1 + φ w √1 

+ φw − 1 = s 

3 

λ Ds 


Comme φ w ≫ 1, une bonne approximation de la taille de la gaine est donnée 

par la relation : 

s = 2 ( ) 3/4 

3 λ −2e∆ϕG 

Ds 

k B T e 

où on a encore noté ∆ϕ G ≡ ϕ w − ϕ s . 

On retiendra que la taille de la gaine dans une décharge fortement polarisée 

négativement est beaucoup plus grande que la longueur de Debye. 

Exercice Comparer le calcul précédent avec celui de la loi de 

Child-Langmuir qui donne la loi reliant courant et tension pour 

une diode plane, lorsque la densité de charges d’espace est prise 

en compte. 


Chapitre 6 

Plasmas collisionnels : 

relaxation et entretien 

Dans ce chapitre nous étudions les mécanismes de diffusion au sein d’un 

plasma quasi-neutre, partiellement ionisé, lorsque la pression de neutres est 

assez importante. Dans ce régime, les collisions étant fréquentes - on parle de 

“régime collisionnel” - le libre parcours moyen des espèces chargées est faible par 

rapport à la taille du réacteur, si bien que électrons et ions sont peu accélérés 

par les champs électromagnétiques. Cela nous autorise à négliger les termes 

d’inertie dans les bilans de quantité de mouvement, ce que nous ferons dans ce 

chapitre. 

Nous montrerons dans ces conditions, que les électrons et les ions tendent 

à diffuser ensemble : on parle de diffusion ambipolaire. Après avoir établi les 

équations caractéristiques de ce régime de diffusion, nous étudierons successivement 

l’évolution d’un plasma confiné en régime de postdécharge (sans sources 

d’ionisation), et les conditions d’entretien d’un plasma confiné (modèle de Schottky). 

Nous montrerons en particulier que la température électronique d’entretien d’un 

plasma collisionnel en régime stationnaire ne dépend que du produit de la pression 

de neutres par la “taille” du plasma, p n L. 

6.1 Diffusion ambipolaire 

Dans un plasma collisionnel, du fait des rapport de masses, les électrons 

diffusent plus rapidement que les ions. La densité de charges qui apparaît au 

cours du mouvement, crée un champ électrique qui tend à ralentir les électrons 

et à accélérer les ions. Les charges ont donc tendance à diffuser ensemble : on 

parle de diffusion ambipolaire. 

Dans cette partie nous traitons de la diffusion d’un plasma électron-ion 

quasi-neutre collisionnel en régime dépendant du temps. Pour simplifier, on 

considèrera une situation unidimensionnelle : les variables dynamiques ne dépendent 

49

que d’une seule variable d’espace, disons x. n e (x, t), v e (x, t) désignant respectivement 

la densité, la vitesse des électrons (n i (x, t), v i (x, t) pour les ions), les 

équations fluide du plasma s’écrivent : 

∂ t n e + ∂ x (n e v e ) = S, 

∂ t n i + ∂ x (n i v i ) = S, 

0 = −k B T e ∂ x n e − en e E − m e ν en n e v e , 

0 = −k B T i ∂ x n i + en i E − m i ν in n i v i , 

où ν αn sont les fréquences de collisions (transfert de quantité de mouvement) 

entre électrons et neutres ou entre ions et neutres. Rappelons que ν αn = n n K αn , 

où le taux de réaction K αn = 〈σ αn (v α − v n )〉 ≈ σ αn v th,α . Dans cette dernière 

expression, nous avons supposé la section efficace indépendante de la vitesse (de 

type sphère dure), et nous avons pris comme ordre de grandeur de la vitesse 

moyenne, la vitesse thermique. 

Les approximations suivantes ont été utilisées : 

– Le terme source des équations de conservation des électrons ou des ions 

est identique pour les 2 espèces : S e = S i = S(x, t) (réaction du type 

e − + n −→ i + 2e − ). 

– Les espèces chargées sont considérées dans l’approximation isotherme : les 

températures électronique, T e , et ionique, T i , sont supposées uniformes. 

– Les termes d’inertie sont négligés (plasmas collisionnels). 

Γ i 

Γ i 

Γ e 

E 

E 

Γ e 

Le plasma étant de dimensions largement supérieures à la longueur de 

Debye, on peut le considérer comme quasi-neutre et utiliser l’approximation 

plasma : 

n e = n i ≡ n 

Rappelons que cette approximation est pertinente pour la description de la 

partie centrale des réacteurs à plasmas, mais ne convient pas pour les parties 

du plasma directement en contact avec les murs confinants (région des gaines). 

Introduisons les flux Γ α ≡ nv α (en m −2 s −1 ). Les équations se simplifient et 

prennent la forme : 

∂ t n + ∂ x Γ e = S, 

∂ t n + ∂ x Γ i = S, 

Γ e = −D e ∂ x n + nµ e E, 

Γ i = −D i ∂ x n + nµ i E, 

x 


où on a introduit les coefficients de diffusion et de mobilité définis par les relations 

(α = e, i) : 

D α ≡ k BT α 

m α ν αn 

, µ α ≡ q α 

m α ν αn 

, =⇒ µ α 

D α 

= 

q α 

k B T α 

La relation qui lie les 2 coefficients de transport est due à Einstein. 

En combinant les équations de conservations du nombre d’ions et d’électrons, 

on trouve aussitôt la conservation du flux : 

∂ x (Γ e − Γ i ) = 0 =⇒ Γ e − Γ i = Cte 

Cette égalité correspond à la conservation de la densité de courant, J ≡ e(Γ i − Γ e ). 

S’il existe un plan où le plasma est au repos, ou si aucun courant n’est tiré sur 

les parois du réacteur, on a Γ e (0) = Γ i (0) = 0 (ou J ≡ 0), et le courant total 

est nul en tout point. On pourra donc poser : 

Γ e = Γ i = Γ 

En combinant les équations de bilan de quantité de mouvement, il est alors facile 

de déterminer les expressions du champ et du flux ambipolaire. On trouve : 

avec le coefficient ambipolaire 

E = 

D e − D i ∂ x n 

µ e − µ i n , 

Γ = −D a ∂ x n 

D a ≡ µ ( 

iD e − µ e D i 

≈ D i 1 + T ) 

e 

≈ k BT e 

µ i − µ e T i m i ν in 

On remarquera le caractère mixte de ce coefficient : k B T e d’origine électronique, 

et m i ν in d’origine ionique. 

En associant les 2 équations ∂ t n + ∂ x Γ = S et Γ = −D a ∂ x n, on trouve 

aussitôt que la densité n(x, t) obéit à l’équation de diffusion suivante : 

( 

∂t − D a ∂xx 

2 ) 

n(x, t) = S(x, t) 

Pour un terme source donné et des conditions aux limites précisées, il est possible 

de résoudre cette équation aux dérivées partielles linéaire, ce que nous 

faisons dans 2 cas particuliers dans les 2 sections suivantes. 

6.2 Relaxation d’un plasma collisionnel confiné (régime 

de post-décharge) 

Rappelons que le terme source, S(x, t) correspond en général aux charges 

créées ou détruites en volume dans le plasma. Une première situation simple 


à considérer correspond au cas où S ≡ 0. Cette situation se présente dans le 

régime dit de post-décharge, lorsque qu’on coupe la source d’énergie électromagnétique 

qui avait engendrée le plasma. Nous étudions donc dans cette section la relaxation 

temporelle du profil de densité du plasma. 

Dans toutes les situations réalistes, le plasma est confiné. Considérons encore 

une situation unidimensionnelle où le plasma est compris entre deux parois 

situées en x = 0 et x = +2L. On considèrera les parois comme parfaitement 

absorbantes : toutes les charges qui les atteignent sont supposées perdues. 

⊕ 

⊕ 

⊖ 

⊖ 

0 L +2L x 

Le problème mathématique se ramène donc à étudier l’équation de diffusion : 

∂ t n − D a ∂ 2 xxn = 0, 

pour t > 0 et x ∈ [0, +2L], avec pour conditions aux limites et condition initiale : 

n(0) = n(+2L) = 0, 

n(x,0) = n 0 (x) 

n 0 (x) correspond au profil de densité (quelconque) existant juste avant que l’on 

fasse S ≡ 0. 

Cherchons la solution par la méthode de séparation des variables : n(x, t) = 

f(x)g(t). On trouve aisément que les fonctions f et g satisfont les équations 

différentielles : 

où λ est une constante réelle. 

f ′′ (x) + λ 2 f(x) = 0, 

g ′ (t) + λ 2 D a g(t) = 0, 

En utilisant les conditions aux limites, on trouve aussitôt qu’il existe une 

infinité de solution dépendant d’un nombre entier relatif n ∈ Z : 

avec λ n = nπ 

2L . 

f n (x) ∝ 

sin(λ n x), 

g n (t) ∝ e −λ2 nD at , 

L’équation de diffusion étant linéaire, la solution générale s’écrit comme une 

combinaison linéaire des solutions précédentes, soit : 

n(x, t) = 

∞∑ 

A n e −λ2 nD at sin(λ n x), 

n=1 


On remarquera que l’on n’a pas écrit la contribution n = 0 puisqu’elle est nulle, 

ni les contributions pour n < 0 qui sont équivalentes, au signe près, avec les 

contributions pour n > 0 (on ne doit sommer que des contributions linéairement 

indépendantes). Les constantes A n sont déterminées par la relation 

n 0 (x) = 

∞∑ 

A n sin(λ n x) 

n=1 

Noter que, comme il se doit, le comportement asympotique (t → ∞) de la 

densité, est le signal plat n(x, ∞) = 0, ∀x. En absence de terme source, le 

plasma ne se reforme pas par ionisation en volume, et finit par s’éteindre par 

diffusion vers les parois où le plasma est consommé. 

Aux temps longs, la contribution dominante dans la somme est celle pour 

n = 1 : 

n(x, t) ∼ A 1 e −π2 D at/(4L 2) ( πx 

) 

sin , quand t → ∞ 

2L 

Pour obtenir une expression explicite pour les constantes A n , il suffit de multiplier 

par sin(λ m x) et d’intégrer entre 0 et 2L : 

∫ +2L 

0 

n 0 (x) sin(λ m x)dx = 

∞∑ 

∫ +2L 

A n sin(λ m x)sin(λ n x)dx 

n=1 

0 

soit, en utilisant la relation d’orthogonalité ∫ +2L 

0 

sin(λ m x)sin(λ n x)dx = L δ mn , 

A n = 1 L 

∫ +2L 

0 

n 0 (x) sin(λ n x)dx 

Les coefficients A n sont donc les coefficients de Fourier du développement en 

série de Fourier (série de sinus) du profil initial n 0 (x). 

Une solution explicite du profil spatio-temporel en régime de post-décharge 

est donc donnée par les relations : 

n(x, t) = 

A n = 1 L 

λ n = nπ 

2L 

∞∑ 

A n e −λ2 nD at sin(λ n x), 

n=1 

∫ +2L 

0 

n 0 (x) sin(λ n x)dx, 

Illustrons ce résultat dans un cas particulier. Supposons que le profil initial n 0 

soit donné par l’expression : 

n 0 (x) = sin(πx) + 1 2 sin(3πx) + 1 4 sin(5πx) 

On lit directement sur cette expression, la valeur des coefficients A n : 

A 1 = 1, A 2 = 0, A 3 = 1 2 , A 4 = 0, A 5 = 1 4 , A n = 0, ∀n > 5 


La solution aux temps ultérieurs comprend donc également 3 termes, on obtient 

: 

n(x, t) = e −π2 D at/(4L 2) sin(πx)+ 1 2 e−9π2 D at/L 2 sin(3πx)+ 1 4 e−25π2 D at/(4L 2) sin(5πx) 

La figure suivante présente la relaxation du profil initial pour des temps croissants. 

On remarquera, comme attendu, que les harmoniques d’ordres élévés 

sont les premières à disparaître. Assez vite le comportement est donné par la 

première harmonique. 

Densité totale 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Figure 6.1 – Relaxation temporelle de la densité sans terme source pour t = 

0, 1, 10 lorsque D a = 0.005 et 2L = 1. 

6.3 Entretien d’un plasma confiné 

Nous venons de voir qu’en absence d’une source d’ionisation, le plasma 

s’éteignait par pertes des charges aux parois. Nous montrons maintenant qu’il 

est possible d’obtenir un profil stationnaire de densité en présence d’une source 

d’ionisation. Physiquement, le régime stationnaire résulte d’un bilan créationspertes 

nul : la production en volume des espèces est exactement compensée par 

les pertes aux parois. 

Considérons donc le plasma en présence d’un terme source S(x, t). Du point 

de vue mathématique, on doit donc maintenant considérer le problème inhomogène 

∂ t n − D a ∂ 2 xxn = S(x, t), 

pour t > 0 et x ∈ [0, +2L], toujours avec pour conditions aux limites et condition 

initiale : 

n(0) = n(+2L) = 0, 

n(x,0) = n 0 (x) 


Pour résoudre ce problème, on utilise la méthode de développement sur une base 

de fonctions propres. On cherche encore la solution sous la forme d’une série : 

n(x, t) = 

∞∑ 

g n (t)f n (x), 

n=1 

où les fonctions f n sont les fonctions (propres) que nous avons déterminées lors 

de la résolution du problème homogène qui satisfont l’équation : 

f ′′ 

n(x) = −λ 2 n f n (x), 

avec les conditions aux limites f n (0) = f n (+2L) = 0. 

On pourra donc écrire : 

n(x, t) = 

∞∑ 

g n (t) sin(λ n x), 

n=1 

où les fonctions g n de la variable t restent à déterminer. 

Les fonctions propres de l’opérateur d 2 /dx 2 peuvent également être utilisées 

comme base de développement du terme source : 

S(x, t) = 

∞∑ 

s n (t) sin(λ n x), 

n=1 

ce qui permet de déterminer les coefficients s n en fonction du terme source 

S(x, t) en utilisant les relations d’orthogonalités : 

s n (t) = 1 L 

∫ +2L 

0 

S(x, t) sin(λ n x)dx, 

Les coefficients s n (t) s’interprètent donc comme les coefficients du développement 

en série de Fourier du terme source S(x, t). 

En substituant les expressions de s n et S dans l’équation de diffusion, on en 

déduit que g n vérifie l’équation différentielle : 

avec la condition initiale g n (0) = A n . 

g ′ n(t) + D a λ 2 n g n (t) = s n (t), 

La résolution de cette équation différentielle (par la méthode de la variation 

de la constante) conduit à l’expression : 

g n (t) = A n e −λ2 nD at + e −λ2 nD at 

∫ t 

0 

e +λ2 nD aτ s n (τ)dτ 

Le premier terme correspond à celui trouvé dans l’étude de la post-décharge 

et conduirait, s’il était seul, à l’extinction du plasma. Le second terme dépend 

du terme source (via les coefficients de Fourier s n ). C’est ce terme qui peut 

éventuellement conduire à un état stationnaire. Pour cela, il faut que la dépendance 


temporelle du terme source contrebalance le facteur d’atténuation e −λ2 nD at . 

L’expression générale de la densité en présence d’un terme source quelconque 

s’écrit : 1 n(x, t) = 

∞∑ 

n=1 

[ 

A n e −λ2 n Dat + 

∫ t 

0 

] 

e −λ2 n Da(t−τ) s n (τ)dτ sin(λ n x) 

6.4 Température électronique d’entretien de la décharge 

Dans le cas des plasmas faiblement ionisés où l’on peut négliger la recombinaison 

des charges en volume, la contribution dominante au terme de source 

vient du terme d’ionisation, proportionnel à la densité électronique. On écrira 

donc : 

S(x, t) = ν I n(x, t), 

où ν I ≡ ν I (T e , p) est une fonction de la pression de neutres, p, et de la température 

électronique, T e . 

On a bien sûr que s n = ν I g n , et en utilisant le résultat de la section 

précédente, on trouve que g n vérifie l’équation différentielle : 

dont la solution est : 

g ′ n(t) = − ( D a λ 2 n − ν I 

) 

gn (t) 

g n (t) = A n e −(ν I−λ 2 nD a)t 

La contribution dominante à la densité aux temps longs s’écrit donc : 

n(x, t) ∼ A 1 e −(ν I−λ 2 1 Da)t sin (λ 1 x) 

On en déduit la condition de maintien du plasma en régime stationnaire : 

ν I − λ 2 1D a = 0 ⇐⇒ ν ( 

I π 

) 2 

= 

D a 2L 

Dans le cadre de ce modèle cette relation s’appelle la condition de Schottky. 

Pour L et p données, montrons que cette relation fixe la température électronique 

au sein de la décharge. En effet, par définition, ν I ≡ n n K I (T e ) et D a ≡ 

k B T e /(Mn n K in (T i )) où n n représente la densité de neutres (proportionnelle 

à la pression p de neutres) et où K I et K in représentent respectivement les 

taux des reactions d’ionisation et de collisions élastiques ions-neutres. Lorsque 

la températuure ionique T i est fixée, on en déduit que le rapport ν I /D a s’exprime 

sous la forme : 

ν I 

D a 

∝ n 2 ng(T e ) 

1. Il ne faudrait tout de même pas que S soit non-linéaire en la densité, faute de quoi 

l’équation de la diffusion ne serait plus linéaire et l’expression ci-dessus ne serait plus valable. 

Notez que c’est le cas lorsque des termes de recombinaison (proportionnels à n 2 ) sont pris en 

compte dans le terme source. 


où g est une fonction de T e . En combinant ce résultat avec la condition de 

Schottky, on en déduit que la température électronique ne dépend que de 

constantes et du produit pL : 

T e = f(pL) 

Il est remarquable que la température ne dépende que du produit de la pression 

et de la taille du plasma, et non pas de ces grandeurs séparément. Dans 

ce contexte, le produit pL est parfois appelé facteur de similarité. On pourra 

également noter, que sous les hypothèses retenues, la température électronique 

qui s’établit dans une décharge donnée ne dépend pas directement de la densité 

de charges au sein du plasma (ce ne serait pas le cas si le plasma était plus 

fortement ionisé). 

A titre d’illustration, on a reporté sur les figures suivantes, la dépendance 

de la température électronique en fonction du produit pL dans le cas de l’argon 

pour lequel on a avec une bonne approximation K I = 2.3410 −14 Te 

0.59 e −17.44/Te 

m 3 s −1 (avec T e en V), et la forme du profil stationnaire de densité maximum 

au centre de la décharge. 

Electron Temperature eV 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

0 5 10 15 20 25 

Pressure⋆Length mTorr.m 

Figure 6.2 – Température électronique en fonction du produit pL pour un 

plasma d’argon. 

Dans la section précédente, nous avons obtenu la solution générale de l’équation 

de diffusion en tout point de l’espace et du temps. A partir de cette approche 

générale, nous avons ainsi pu établir que la condition de Schottky est la condition 

d’entretien de la décharge en régime stationnaire. Il est évidemment possible 

de faire l’hypothèse de stationnarité dès le début. On vérifiera en particulier 

que la solution de l’équation différentielle : 

−D a ∂ 2 xxn(x) = ν I n(x) 

avec les conditions aux limites n(0) = n(2L) = 0 conduit bien au profil sinusoïdal 

avec la condition de Schottky. 


1 

Normalized Densities 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Normalized Length 

Figure 6.3 – Profil stationnaire de densité. 


Chapitre 7 

Problèmes 

7.1 Décharge magnétisée 

Dans ce problème on étudie une décharge limitée par deux électrodes planes 

et d’extensions infinies, en présence d’un champ magnétique axial ⃗ B uniforme 

et stationnaire. 

B 

B 

B 

⊖ 

⊕ 

⊕ 

⊖ 

⊖ 

⊕ 

⊕ 

⊖ 

– Pouvez-vous expliquer pour quelle raison physique la diffusion latérale du 

plasma (vers les électrodes) peut être significativement réduite en présence 

d’un champ magnétique axial 

– La réduction de diffusion latérale due au champ magnétique est-elle plus 

effective pour les électrons ou pour les ions (justifiez votre réponse) 

– Pour des conditions de fonctionnement égales par ailleurs, les décharges 

magnétisées nécessitent-elles des températures électroniques plus élevées 

ou moins élevées que les décharges non magnétisées 

La décharge étudiée est un plasma constitué d’électrons et d’ions positifs 

monovalents ayant respectivement pour charges ±e, et pour masses m et M. 

Dans tout le problème, on suppose que seuls les électrons sont magnétisés, et on 

utilisera l’approximation plasma n e = n i = n (égalité des densités électroniques 

et ioniques en tout point). 

On utilise un système d’axe cartésien orthonormal Oxyz et on admettra que 

les symétries du problème sont telles que les différentes grandeurs physiques 

59

peuvent s’écrire : 

⃗B = B ⃗e z 

⃗E = E(x)⃗e x ≡ − dϕ(x) 

dx ⃗e x 

⃗v i = v ix (x)⃗e x 

⃗v e⊥ = v ex (x)⃗e x + v ey (x)⃗e y 

n = n(x) 

champ magnétique 

champ électrique 

vitesse des ions 

vitesse des électrons 

densité du plasma, 

et on utilisera les conditions aux limites suivantes : 

v ex (0) = v ey (0) = v ix (0) = 0, n(0) = n 0 , ϕ(0) = 0 

⃗v ex 

B 

Oz 

B 

⊕ 

Ion 

⃗v ix 

⃗v ix 

⊕ 

Ion 

Electron 

⊖ 

⃗e z 

Electron 

⊖ 

⃗v ex 

Ox 

1. Utiliser les équations de bilan du nombre d’électrons et d’ions ainsi que 

les conditions aux limites pour montrer que les vitesses des électrons et 

des ions sont identiques selon la direction Ox : 

⃗e x 

v ex (x) = v ix (x) ≡ v(x) 

(on considèrera que les termes sources des équations de bilan sont identiques 

pour les 2 espèces). 

2. Sous les hypothèses précédentes, la décharge est décrite par les 5 variables 

n(x), v(x), v ey (x), v ez (x), et E x (x). 

En régime stationnaire, on écrit les équations de bilan sous la forme : 

( 

M n ⃗v. ∇ ⃗ 

⃗∇.(n⃗v) = ν I n, (7.1) 

0 = −enE ⃗ − en⃗v e × B ⃗ − k B T e ∇n ⃗ − m (νI + ν en ) n⃗v (7.2) e , 

) 

⃗v = +enE ⃗ − k B T i ∇n ⃗ − M (νI + ν in ) n⃗v (7.3) 

(a) Quelles sont les grandeurs physiques représentées par les constantes 

ν en , ν in et ν I 

(b) A quels bilans ces équations correspondent-elles 

(c) Discuter succinctement mais précisément l’origine de chacun des 

termes des équations. 

(d) Quelles sont les approximations effectuées dans le cadre de cette 

description 


3. (a) Projeter l’équation (7.2) sur les deux directions transverses à ⃗ B. 

(b) En déduire la relation qui relie les composantes v ex et v ey . 

On introduira la vitesse cyclotronique électronique que l’on notera 

ω c . 

4. (a) Montrer en utilisant le résultat précédent que le flux d’électrons Γ ex 

en direction des murs peut s’écrire sous la forme : 

Γ ex = −µ m nE − D m 

dn 

dx 

où µ m et D m sont des coefficients de transport que l’on définira. 

(b) Exprimer ces coefficients de transport en fonctions de ceux obtenus 

en absence de champ magnétique. 

(c) Pour quelle raison dit-on parfois qu’imposer un champ magnétique 

est équivalent à une augmentation de la pression du gaz neutre 

5. On convient de noter par un ’ les dérivées par rapport à la variable x. 

Montrer que la décharge est décrite dans la direction latérale Ox par les 

3 équations : 

(nv) ′ = ν I n, (7.4) 

Mnvv ′ = +neE − k B T i n ′ − Mν i nv, (7.5) 

où on a introduit les constantes : 

0 = −neE − k B T e n ′ − α B mν e nv, (7.6) 

ν i ≡ ν I + ν in , ν e ≡ ν I + ν en , α B ≡ 1 + 

( 

ωc 

ν e 

) 2 

6. Eliminer le champ électrique entre les équations précédentes 

(a) Etablir l’expression des gradients de densités et de vitesses : 

n ′ = + 2ν I + ν in + α B (m/M)ν e 

v 2 − u 2 nv, 

B 

(7.7) 

v ′ = − ν I u 2 B + [ν I + ν in + α B (m/M)ν e ] v 2 

v 2 − u 2 B 

(7.8) 

où u B est une vitesse que l’on définira. 

(b) Qu’en déduisez vous sur le sens des variations de la densité et de la 

vitesse du plasma en direction des murs 

(c) Quelle est la vitesse maximale atteinte dans le cadre de ce modèle 

Commenter. 

(d) La chute de densité entre le centre et le bord du plasma est-elle plus 

importante avec ou sans champ magnétique (on ne demande pas 

un calcul, mais si vous avez le temps, vous pouvez le faire). 

7. On étudie maintenant le champ électrique à travers la décharge. 


(a) Montrer que le champ électrique vérifie l’équation : 

eϕ ′ = k B T e 

n ′ 

n + α Bmν e v 

(b) Que peut-on dire du comportement des électrons lorsque le terme 

proportionnel à k B T e domine le terme proportionnel à α B 

Dans cette situation, quel est le sens des variations du potentiel 

électrostatique 

(c) A contrario, que peut-on dire du comportement des électrons lorsque 

le terme proportionnel à α B domine le terme proportionnel à k B T e 

Dans cette situation, quel est le sens des variations du potentiel 

électrostatique 

(d) Montrer que les électrons ont toujours un comportement boltzmannien 

au voisinage de la lisière de gaine. 

(e) Discuter qualitativement dans quelles circonstances peut se produire 

un phénomène d’inversion du potentiel à travers la décharge. 

(f) Quelle interprétation physique pouvez-vous donner du phénomène 

d’inversion du potentiel 

8. On veut étudier numériquement la décharge dans le cas simplifié où ν in = 

ν en = 0. 

(a) A quel régime de pression cette approximation correspond-elle 

(b) Montrer qu’il est possible de normaliser les grandeurs physiques de 

telle sorte que les équations (7.7) et (7.8) s’écrivent : 

où K B ≡ α B (m/M). 

N ′ (X) = 

(2 + K B ) 

N(X)V (X) 

V 2 (X) − 1 , 

V ′ (X) = − 1 + V 2 (X)(1 + K B ) 

V 2 (X) − 1 

(c) Déterminer l’expression du champ électrique normalisé, en fonction 

de V , K B et du rapport T i /T e . 

(d) Les profils de densité, vitesse et potentiel sont représentés sur la 

figure 7.1 pour 2 valeurs de K B lorsque T i /T e = 0.07. 

Commentez. 


1 

1 

0.9 

0.8 


0.8 

0.7 


0.6 

0.4 

0.6 

0.2 

0.5 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 


0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 


0.8 

0.8 

Vitesse normalisée 

0.6 

0.4 

Vitesse normalisée 

0.6 

0.4 

0.2 

0.2 

0 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 


0 

0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 


0 

0 

Potentiel Electrostatique normalisé 

-5 

-10 

-15 

-20 

Potentiel Electrostatique normalisé 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-25 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 


0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 


Figure 7.1 – Profils de densité, de vitesse et de potentiel électrostatique lorsque 

K B = 0 et K B = 60. Le rapport des températures est fixée à T i /T e = 0.07. 

7.2 Expansion d’un plasma dans le vide 

On considère un plasma partiellement ionisé, constitué d’électrons, de charges 

−e et de masse m, d’atomes neutres, et d’ions positifs monovalents, de masses 

M et de charges +e. Pour simplifier, on considèrera une situation unidimensionnelle 

: les variables dynamiques ne dépendent que d’une seule variable d’espace, 

disons x. Le taux d’ionisation est suffisamment faible pour que l’on puisse supposer 

la densité des neutres uniforme : n n = Cte, et négliger la (lente) dynamique 

des atomes : v n ≈ 0. On suppose en outre que le plasma n’est pas magnétisé : 

B = 0. 

Nous étudions l’expansion spatiale du plasma en régime stationnaire sous 

l’effet des seules forces qui agissent en son sein. On suppose, en outre, que la 

pression du gaz neutre est suffisamment faible pour que les termes de collisions 

ions-neutres puissent être négligés. Cette situation peut apparaître dans les 

plasmas spatiaux après la formation des nuages interstellaires, mais également 

dans certains régimes de fonctionnement des réacteurs à plasmas exploités in- 


dustriellement à basses pressions de neutres. 

Le plasma est décrit dans le cadre d’un modèle à 2 fluides, et dépend donc 

des 5 variables suivantes : densités et vitesses électroniques, n e (x), v e (x), densités 

et vitesses ioniques : n i (x), v i (x), et potentiel électrostatique ϕ(x). 

∂ x (n e v e ) = +ν I n e , 

∂ x (n i v i ) = +ν I n e , 

0 = −k B T e ∂ x n e + en e ∂ x ϕ, 

M n i v i ∂ x v i = −en i ∂ x ϕ, 

ǫ 0 ∂ 2 xxϕ = −e(n i − n e ) 

Dans ces expressions, ∂ x et ∂ 2 xx désignent une dérivée première et seconde par 

rapport à la variable x. 

Le système différentiel précédent est complété par les conditions aux limites 

suivantes : 

n e (0) = n i (0) = n 0 , ϕ(0) = 0, v e (0) = v i (0) = 0. 

1. Rappeler quelle est la dimension de la constante ν I et sa signification. 

2. Discuter succinctement mais précisément le contenu physique de chacune 

des équations précédentes. On soulignera en particulier quels sont les 

termes négligés dans cette modélisation 1 . 

3. L’étude du système d’équations est facilitée par un adimensionnement des 

variables. On pose : 

N i ≡ n i 

n 0 

, 

N e = n e 

n 0 

, 

V = v i 

u B 

, 

V e = v e 

u B 

, φ ≡ eϕ 

k B T e 

, X ≡ x λ I 

, 

où u B ≡ (k B T e /M) 1/2 est la vitesse dite de Bohm, et λ I ≡ u B /ν I , la 

longueur d’ionisation. 

Montrer que les équations s’écrivent sous la forme : 

(N e V e ) ′ = +N e , (7.9) 

(N i V i ) ′ = +N e , (7.10) 

N e ′ = +N e φ ′ , (7.11) 

V i V i ′ = −φ ′ , (7.12) 

ǫ 2 φ ′′ = N e − N i , (7.13) 

avec ǫ ≡ λ D /λ I , et λ D , la longueur de Debye. L’apostrophe désigne une 

dérivée par rapport à la variable X ; par exemple : N ′ e ≡ dNe 

dX . 

4. Montrer que ǫ = ν I /ω pi , où ω pi est la fréquence plasma ionique. 

On rappelle que ν I = Kn g , où K est une constante et n g , la densité du 

gaz neutre. Estimer ǫ pour un plasma d’hydrogène tel que K = 10 −14 

m 3 /s, n g = 10 19 m −3 , n 0 = 10 15 m −3 , M = 1.67 10 −27 kg, e = − 1.6 

10 −19 C, et ǫ 0 = 8.85 10 −12 F/m. 

1. L’emploi du terme de diffusion dans la situation présente est un peu abusive : les ions, 

froids et non collisionnels se comportent comme des particules. La diffusion suppose des collisions. 


1 

0.8 


0.6 

0.4 

0.2 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 


Figure 7.2 – Densité électronique, N e (tirets) et densité ionique, N i (traits 

pleins), lorsque ν I /ω pi = 0.001. 

5. La résolution numérique du système d’équations (7.9-7.13) avec les conditions 

aux limites : 

N e (0) = N i (0) = 1, φ(0) = 0, V e (0) = V i (0) = 0. (7.14) 

et ǫ = 0.001 conduit aux résultats reportés sur les figures suivantes. 

En observant le schéma des densités, dire pour quelle raison la région centrale 

est considérée comme un plasma, tandis que la région périphérique 

est assimilée à une gaine 

6. Les résultats numériques suggèrent l’approximation N e = N i ≡ N pour 

étudier la région plasma. 

Etablir les 2 lois de conservation : 

V e = V i , (7.15) 

1 

2 V i 2 + lnN = 0 (7.16) 

7. Quelle interprétation physique peut-on donner de l’équation (7.16) 

On discutera en particulier les situations au centre et au bord du plasma. 

8. Posons V ≡ V e = V i . Le plasma est donc assimilable à un fluide unique 

de densité N et de vitesse V . 

Montrer que le plasma satisfait les 2 équations : 

(NV ) ′ = +N, (7.17) 

NV V ′ = −N ′ (7.18) 

9. Combiner ces 2 équations pour les écrire sous la forme : 

N ′ (V 2 − 1) = NV, (7.19) 

V ′ (V 2 − 1) = −1 (7.20) 


2 

1.75 

1.5 

Vitesses normalisées 

1.25 

1 

0.75 

0.5 

0.25 

0.2 0.4 0.6 0.8 1 


Figure 7.3 – Vitesse électronique V e (tirets) et vitesse ionique, V i (traits pleins), 

lorsque λ D /λ I = 0.001. 

10. Utilisez le système différentiel précédent pour répondre aux questions suivantes 

: 

- A quelle vitesse physique la vitesse normalisée V = 1 correspond-elle 

- Quel est le signe des gradients de densités et de vitesses au voisinage de 

X = 0 

- Que peut-on dire des gradients de densités et de vitesses lorsque V → 1 

11. L’équation (7.20) s’écrit sous la forme différentielle : V 2 dV − dV = −dX. 

Intégrer cette équation et en déduire que la position ¯x où la vitesse vaut 

1 vérifie : 

¯x = 2 3 λ I 

Comparer avec les résultats numériques. 

12. Utiliser les équations (7.12) et (7.16) pour déterminer les variations de 

densités ¯n/n 0 et de potentiel e¯ϕ à la position x = ¯x. 

13. Lorsque les ions sont créés sans vitesses initiales, l’équation de bilan de 

quantité de mouvement des ions doit être modifiée et écrite sous la forme : 

M n i v i ∂ x v i = −en i ∂ x ϕ − M v i (ν I n e ) 

Les équations de ce modèle s’écrivent donc : 

∂ x (n i v i ) = +ν I n e , 

0 = −k B T e ∂ x n e + en e ∂ x ϕ, 

M n i v i ∂ x v i = −en i ∂ x ϕ − M v i (ν I n e ), 

ǫ 0 ∂ 2 xxϕ = −e(n i − n e ) 

Combiner ces équations et établir la relation : 

M n i v 2 i + k B T e n e − ǫ 0E 2 

2 

= Cte, 


0 

-0.2 

Potentiel normalisé 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

0.2 0.4 0.6 0.8 1 


Figure 7.4 – Potentiel électrostatique, φ, lorsque λ D /λ I = 0.001. 

où E = −∂ x ϕ désigne le champ électrique. 

14. La relation (7.21) est valable dans tout le système (plasma et gaine). 

– Déterminer la dimension des grandeurs apparaissant dans (7.21), et en 

déduire la nature de cette relation de conservation. 

– Interpréter physiquement chaque terme. 

– Quelles sont les contributions dominantes dans le plasma et dans la 

gaine 

– Représenter schématiquement chaque contribution de (7.21) en fonction 

de la position x. 



Table des matières 

1 Introduction à la physique des plasmas froids 3 

2 Modélisation fluide et cinétique pour les plasmas froids 11 

2.1 Des équations cinétiques aux équations de bilan . . . . . . . . . . 11 

2.1.1 Equation cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.1.2 Moyennes, fluctuations et moments . . . . . . . . . . . . . 13 

2.1.3 Equations de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.2 Termes sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

2.2.1 Signification physique des termes sources . . . . . . . . . 16 

2.2.2 Termes sources correspondant aux collisions élastiques . . 17 

2.2.3 Termes sources correspondant aux collisions inélastiques . 22 

2.2.4 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

2.3 Approximation d’équilibre thermodynamique local . . . . . . . . 24 

3 Gaine et pré-gaine : quelques résultats expérimentaux et numériques 27 

3.1 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

3.2 Modélisation fluide simplifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

3.3 Etude numérique du régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . 30 

4 Modélisation du plasma quasi-neutre (prégaine) 33 

4.1 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

4.1.1 Etude de la prégaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

5 Modélisation de la gaine 39 

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

69

5.2 Le critère de Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

5.3 Utilisation du potentiel de Sagdeev . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

5.4 La chute de potentiel dans la gaine en potentiel flottant . . . . . 45 

5.5 La taille de la gaine dans une décharge polarisée négativement . 47 

6 Plasmas collisionnels :relaxation et entretien 49 

6.1 Diffusion ambipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

6.2 Relaxation d’un plasma collisionnel confiné (régime de post-décharge) 51 

6.3 Entretien d’un plasma confiné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

6.4 Température électronique d’entretien de la décharge . . . . . . . 56 

7 Problèmes 59 

7.1 Décharge magnétisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

7.2 Expansion d’un plasma dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Quelques aspects de la modÃ©lisation en physique des plasmas froids

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