Université Paris 7 - Denis Diderot LE DEUG SCIENCES mention ...

Programmes des UE et ECUE de SECONDE ANNEE de DEUG MIAS
Géométrie euclidienne
Isométries affines du plan et de l'espace. Similitudes planes.
Angles de vecteurs, angles de droites.
Le cercle. Condition de cocyclicité de quatre points.
Division harmonique. Faisceau harmonique.
Application à des problèmes de géométrie plane. Points conjugués
par rapport à un cercle, pôles et polaires.
Coniques. Foyers, directrices, axes.
Equation en coordonnées polaires.
Introduction à la géométrie différentielle
Longueur d'une courbe.
Courbure et centre de courbure d'une courbe plane.
51MT282 : OPTION D'ALGEBRE : GROUPES ET
ARITHMETIQUE
Premier semestre ; 2h de cours, 3h de travaux dirigés par semaine
Groupes
- Sous-groupe, sous-groupe distingué. Groupe quotient.
- Groupe cyclique. Etude de groupes abéliens finis.
En TD, exemples de groupes cycliques, diédraux et symétriques.
Arithmétique élémentaire
- Division euclidienne. Plus grand commun diviseur. Identité de Bézout, théorème de Gauss.
- Congruences. L'anneau Z/nZ. Lemme chinois. Petit théorème de Fermat. Indicateur d'Euler,
théorème d'Euler.
- Structure du groupe des éléments inversibles de l'anneau Z/nZ.
- Résidus quadratiques. Loi de réciprocité quadratique.
51MT283 : METHODES ET HISTOIRE DE LA GEOMETRIE
Second semestre ; 5 heures de Cours T.D. par semaine
Le premier thème développe la géométrie euclidienne plane du triangle et du cercle, et expose en
particulier les inversions circulaire et triangulaire.
Le deuxième thème est celui des polyèdres réguliers et semi-réguliers, depuis Platon et Euclide,
via Descartes et Euler, jusqu’à Klein, Coxeter. A cette occasion on dessine et on calcule des
solutions d’inéquations linéaires.
Puis, troisième thème, on regarde les corps simples (polyèdres, sphères, cônes, cylindres) et leurs
intersections. Avec un accent sur le développement de l’étude des coniques, des ovales, et des
courbes cycliques. A cette occasion on calcule des perspectives et homographies, on pratique les
coordonnées homogènes, les coordonnées cartésiennes, polaires et bipolaires.
Ensuite seulement sont examinées les questions des principes, des fondements et des moyens de
constructions ou de calculs : la nature de l’espace, les dimensions, le parallélisme, les constructions
à la règle et au compas, le repérages et les coordonnées, les mouvements et les figures, les
transformations.
Cela a pour but d’instruire aussi bien des méthodes que de l’histoire des géométries noneuclidiennes,
et de conduire à la lecture du célèbre « programme d’Erlangen », où la géométrie est
réduite à la question des groupes et des invariants.
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