Université Paris 7 - Denis Diderot LE DEUG SCIENCES mention ...

Programmes des UE et ECUE de PREMIERE ANNEE de DEUG MIAS
51MT122 : ALGEBRE ET ANALYSE ELEMENTAIRE II
Second semestre ; 10h de cours et de travaux dirigés intégrés par semaine.
Polynômes
- Degré d'un polynôme. Division euclidienne. Racine d'un polynôme.
Calcul intégral
- On admet l'existence de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment et les
propriétés de linéarité, positivité et additivité.
- Primitives d'une fonction continue sur un intervalle.
- Changement de variable. Intégration par parties.
- Calculs approchés d'intégrales par la méthode des rectangles ou des trapèzes. Sommes de
Riemann. Majoration d'une intégrale.
- Méthodes de calculs : primitives des fonctions rationnelles, primitives des fonctions usuelles,
primitives des fonctions rationnelles en sinus et cosinus.
- Intégrales impropres.
- Théorème de comparaison pour les fonctions positives. Convergence absolue.
Equations différentielles
- Equations linéaires d'ordre 1. Méthode de variation de la constante.
- Equations linéaires homogènes à coefficients constants d'ordre 2. Cas d'un second membre
produit d'une fonction polynôme par une exponentielle.
- Equations à variables séparées.
Algèbre linéaire sur R ou C
- Rappels : application linéaire, image et noyau, matrice d'une application linéaire.
- Rang d'une application linéaire, rang d'une matrice.
- Déterminant d'une matrice. Critère d'inversibilité.
Géométrie affine dans R n
- Sous-espaces affines de R n . Sous-espaces affines parallèles.
- Repère cartésien. Equation(s) d'une droite dans R 2 ou R 3 , équation d'un plan de R 3 .
- Barycentres. Applications affines ; translations, homothéties, projections et symétries.
51MT132 : ALGÈBRE ET ANALYSE ÉLÉMENTAIRES II
Second semestre ; 4 heures de cours, 6 heures de TD par semaine.
Groupes
- Groupe, sous-groupe. Homomorphisme, isomorphisme.
- Groupe des bijections d'un ensemble fini. Groupe symétrique.
L'anneau Z
- Division euclidienne. Plus grand commun diviseur. Identité de Bézout, théorème de Gauss.
- Nombre premier. Décomposition en facteurs premiers.
- Congruences. Petit théorème de Fermat.
L'anneau des polynômes à coefficients dans un corps
- Degré d'un polynôme. Division euclidienne.
- Plus grand commun diviseur. Identité de Bézout, théorème de Gauss.
- Fonction polynôme. Racine, racine multiple. Enoncé du théorème de d'Alembert-Gauss.
- Polynôme irréductible. Décomposition en produit de polynômes irréductibles.
Calcul intégral
- On admet l'existence de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment et les
propriétés de linéarité, positivité et additivité.
- Primitives d'une fonction continue sur un intervalle.
- Changement de variable. Intégration par parties.
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