Solutions de Viscosité et ´Equations Elliptiques du Deuxi`eme ... - lmpt

Le Principe du Maximum, classique pour les équations elliptiques non
linéaires du deuxième ordre, s’étend donc aux solutions de viscosité des
équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre.
L’hypothèse (H1) est naturelle dans ce type de résultat : dans le cas du
deuxième ordre, c’est une hypothèse standard qui permet d’éviter, en particulier,
la non-unicité provenant de l’existence de valeurs propres. Dans le
cas du premier ordre, elle exclut toute application du théorème 4.1 à des
équations du type lois de conservation qui ne rentrent pas du tout dans le
cadre de la théorie que nous présentons.
L’hypothèse (H2) est moins classique. Nous remarquons tout d’abord
que, si H est une fonction lipschitzienne en x pour tout u ∈ IR et pour tout
p ∈ IR N , (H2) est satisfaite si :
| ∂H
∂x (x, u, p)| ≤ C R(1 + |p|) ,
où C R > 0, pour tout x ∈ O, −R ≤ u ≤ R et p ∈ IR N (∀ 0 < R < +∞).
Cette version de (H2) est sans doute plus parlante.
Pour justifier (H2), considérons le cas de l’équation de transport
−b(x).Du + γu = f(x) dans O . (24)
Il est clair que l’hypothèse (H1) est satisfaite si γ > 0. Quant à (H2), il faut,
d’une part, que b soit un champ de vecteurs lipschitzien sur O et, d’autre
part, que la fonction f soit uniformément continue sur O.
Dans cet exemple, l’hypothèse de lipschitz sur b est la plus restrictive
et la plus importante pour avoir (H2) : nous verrons dans la preuve du
théorème 4.1 le rôle central du terme |x − y|.|p| dans (H2) qui provient justement
de cette hypothèse. Or il est bien connu que les propriétés de l’équation
(24) sont liées à celles du système dynamique
ẋ(t) = b(x(t)) . (25)
En effet, on peut théoriquement calculer les solutions de (24) en résolvant
cette équation différentielle ordinaire : il s’agit de la méthode des caractéristiques.
L’hypothèse de lipschitz sur b, qui est naturelle pour avoir existence
et surtout unicité pour (25), apparaît donc comme naturelle pour
avoir unicité pour (24) – bien qu’à ma connaissance aucun contre-exemple à
l’unicité n’existe si b n’est pas lipschitzien –.
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