TD 3 : NOMBRES COMPLEXES ET EQUATIONS ... - LMPT

Université de Tours Année 2012-2013Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1TD 3 : NOMBRES COMPLEXES ET EQUATIONS ALGÉBRIQUESExercice 11) a) Écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes −2i, 4 − 4i et −2 + 2√ 3i.b) Représenter ces nombres dans le plan R × R.− 3i2) Écrire sous forme algébrique le nombre complexe i13 + 2i .3) Soit θ ∈ R. Calculer les parties réelle et imaginaire de z = 1 + eiθ, après avoir précisé pour1 − eiθ quelles valeurs de θ ce nombre complexe z est bien défini.4) Soit θ ∈ [−π, π]. Déterminer graphiquement un argument et le module de 1 + e iθ .Exercice 2On considère les trois nombres complexes z 1 = √ 2 + i √ 2, z 2 = √ 3 + i et z 3 = z 1z 2.1) Donner les formes trigonométriques de z 1 et z 2 .2) Donner les formes algébriques et trigonométriques de z 3 . En déduire cos π 12 et sin π 12 .Exercice 3Dans chacun des cas suivants, déterminer l’ensemble des points M d’affixe z satisfaisant laconditionz − ii) |z − 3| = |z − 3i| ii) |2 − 3i + z| = |2 + 2i| iii)z + i ∈ RExercice 4Montrer que pour tous z, z ′ ∈ C on a ||z| − |z ′ || ≤ |z − z ′ |.Exercice 51) Utiliser la formule de Moivre pour exprimer cos(3θ) en fonction de cos θ, et sin(3θ) enfonction de sin θ.2) “Linéariser” cos 4 θ et cos 3 θ sin 2 θ.Exercice 61) Donner la formule permettant de calculer la somme de nombres en progression géométrique,n∑c’est-à-dire z k où z est un nombre complexe et n est un nombre entier naturel.k=02) Soient ρ ∈]0, +∞[ et θ ∈ R. Calculer la somme 1 + ρ cos θ + ρ 2 cos 2θ + · · · + ρ n cos nθ.(Indication : appliquer la formule précédente à z = ρe iθ .)1

Exercice 7Résoudre les équations suivantesz 2 + 2z + 2 = 0 , z 2 = 2i , z 2 + 6iz − 13 = 0 , z 2 = −15 + 8i , z 2 − (5 + 3i)z + 7i + 4 = 0.Exercice 8 Déterminer une paire de nombres complexes dont la somme est égale à 2 et leproduit est égal à 9. Y en a-t-il d’autres ?Exercice 9Pour tout n ∈ N ∗ , on note U n l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité.1) Déterminer U 12 et représenter cet ensemble dans le plan complexe.2) Justifier les inclusions U 2 ⊂ U 4 ⊂ U 12 , U 3 ⊂ U 6 ⊂ U 12 et les identifier graphiquement.3) Résoudre dans C l’équation z 11 = ¯z.Exercice 101) Résoudre l’équation z 3 = −8.2) Soit n ∈ N. Résoudre dans C l’équation (z − i) n = (z + i) n .Exercice 111) Effectuer la division euclidienne du polynôme 3x 5 +2x 4 −x 2 +1 par le polynôme x 3 +x+2.2) Effectuer la division euclidienne du polynôme x 4 − x 3 + x − 2 par le polynôme x 2 − 2x + 1.Exercice 121) Écrire le polynôme B(x) = x2 − 2x − 1 comme produit de polynômes irréductibles.2) Effectuer la division euclidienne du polynôme A(x) = 2x 5 − 4x 4 − 2x 3 + 3x 2 − 5x − 4 parle poynôme B.3) En déduire la valeur de A(1 + √ 2).Exercice 13Pour chacun des polynômes suivants, déterminer les racines, factoriser en un produit de polynômesirréductibles complexes et factoriser en un produit de polynômes irréductibles réels.2x 3 + 11x 2 − 20x + 7 , x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 , (x 4 − 1) 2 , x 4 + 1 , x 2 − 2 cos α + 1.Exercice 14Soit n un nombre entier ≥ 2. Démontrer que le polynôme nx n+2 − (n + 2)x n+1 + (n + 2)x − nest divisible par le polynôme (x − 1) 3 .Exercice 15En utilisant la version 4 du théorème fondamental de l’algèbre, démontrer que tout polynômeréel de degré impair possède au moins une racine réelle.Exercice 16Soient P (z) et Q(z) deux polynômes de degré ≤ n, qui coïncident pour n + 1 valeurs distinctesde la variable z. Montrer que P = Q.Exercice 17Démontrer la formule de Taylor pour les polynômes.2