Examen d'Analyse-UE 301-Session 1-Durée 2h00 Exercice ... - LMPT

Université de Tours-L2 Mathématiques et Informatique-2009-10.
Examen d’Analyse-UE 301-Session 1-Durée 2h00
Attention! Documents, calculatrices et matériels électroniques interdits.
Exercice 1. Soit (f n ) n∈N ∗ la suite de fonctions définies par
∀(n, x) ∈ N ∗ × [0, 1], f n (x) = x n ln(cos(x)) .
1. Montrer que la suite de fonctions (f n ) n∈N ∗ converge simplement mais pas uniformément
sur [0, 1].
2. Soit 0 < a < 1. Montrer que (f n ) n∈N converge uniformément sur [0, a].
3. En déduire la limite de ∫ a
0 f n(x) dx lorsque n tend vers +∞.
4. Montrer que
Exercice 2.
∫ 1
0
x n ln(cos(x)) dx → 0 quand n → +∞ .
1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑ n≥0
f(x) sa somme.
2. Montrer que f vérifie l’équation différentielle
xf ′ (x) + f(x) = (x + 2)e x .
n + 2
(n + 1)! xn . On désigne par
3. Montrer que pour tout x ∈ R, on a
∫ x
0
tf(t)dt = x(e x − 1).
4. En déduire l’expression explicite de f(x).
Exercice 3.
On pose
f(x) =
∞∑
n=1
1
n 2 + n 4 x 2 .
1. Montrer que cette relation définie bien une fonction f continue sur R (on rappelle qu’il
faut citer correctement le théorème utilisé).

2. Montrer que pour tout x ≠ 0,
et en déduire
lim f(x).
x→∓∞
f(x) ≤ 1 x 2
∞
∑
n=1
1
n 4
3. Montrer que ∫ +∞
f(x) dx converge et que pour tout rel a > 0, on a
−∞
∫ a
0
f(x)dx =
+∞∑
n=1
arctan na
n 3 .
4. Pour tout a > 0, montrer que f est de classe C 1 sur ]a, +∞[ (on rappelle qu’il faut citer
correctement le théorème utilisé). En déduire que f est de classe C 1 sur R ∗ .
On se propose d’étudier la dérivabilité de f en 0.
1. Montrer que pour tout x ≠ 0,
f(x) − f(0)
x
= −x
∞∑
n=1
1
1 + n 2 x 2
2. On pose s n (x) =
n∑
k=1
1
. Montrer que pour tout x ∈ R,
1 + k 2 x2 ∫ n
3. En déduire que pour tout x ∈ R,
1
1
1 + t 2 x dt ≤ s n(x) ≤ 1 ∫ n
2 1 + x + 1
2 1 + t 2 x dt . 2
arctan(nx) − arctan x ≤ xs n (x) ≤
1
x + arctan(nx) − arctan x
1 + x2 4. Montrer que f est dérivable à droite et à gauche en 0 et calculer les valeurs de ses dérivées
à gauche et à droite en 0. f est-elle dérivable en 0
5. Représenter graphiquement f (On donnera le tableau de variations de f et on utilisera
∞∑ 1
que
n = 2 π2 /6).
n=1