Une preuve élémentaire du théor`eme limite central - lmpt

Dans la suite, on utilisera la caractérisation de la loi d’une variable aléatoireX par les valeurs moyennes (où espérances mathématiques) des variables aléatoiresde la forme f(X), où f est une fonction continue bornée. Pour Y suivantla loi de Gauss N (m, σ 2 ), l’espérance mathématique E(f(Y )) s’écrit, toujoursà l’aide de la densitéE(f(Y )) =∫ +∞−∞1f(y) √ e − 1 22πσ(y−m) 2σ 2La famille des lois de Gauss est stable par changement d’échelle affine : SiY suit la loi de Gauss N (m, σ 2 ), et a ≠ 0 et b sont des nombres réels, alorsY ′ = aY + b suit la loi de Gauss N (m ′ , σ ′2 ) de moyenne m ′ = am + b etde variance σ ′2 = a 2 σ 2 . Cela se vérifie aisément par changement de variabley ′ = ay + b dans l’intégrale de la définition ci-dessus.Nous pouvons maintenant donner un énoncé du théorème limite central.Théorème 1 (Théorème limite central) Soit une suite (X n ) n de variablesaléatoires indépendantes de même loi. On les suppose de moyenne m, et devariance σ 2 finie. Pour toute fonction f continue bornée, on a[ ( X1 + · · · + X n − nm)]E f √ → E[f(Y )]npour n tendant vers l’infini, où Y suit la loi de Gauss de moyenne nulle et devariance σ 2 .La question qui vient à l’esprit est alors : pourquoi la loi limite est la loi deGauss ? Une explication est que la loi de Gauss est la loi pour laquelle l’approximationque donne le théorème limite central devient vraie pour tout n (sanspassage à la limite), comme c’est exprimé par la proposition suivante.Proposition 1 (Stabilité de la loi de Gauss) Soit (Y k ) 1kn un vecteur a-léatoire dont les coordonnées sont des variables aléatoires indépendantes de loide Gauss de moyenne m, et de variance σ 2 . Alors la variable aléatoireY 1 + · · · + Y n − nm√ nsuit la loi de Gauss de moyenne nulle et de variance σ 2 .Ainsi, le théorème limite central peut être interprété comme un théorème depoint fixe.Pour finir cette introduction, notons que le théorème limite central admet lecorollaire intuitif suivant.Corollaire 1 Soit une suite (X n ) n de variables aléatoires indépendantes demême loi. On les suppose de moyenne m, et de variance σ 2 finie. Pour toutintervalle [a, b]( X1 + · · · + X n − nm)P √ ∈ [a, b] → P (Y ∈ [a, b])ndy.2

pour n tendant vers l’infini, où Y suit la loi de Gauss de moyenne nulle et devariance σ 2 .Ce corollaire se déduit du théorème limite central en encadrant, pour tout ε > 0,la fonction indicatrice de l’intervalle [a, b] entre deux fonctions continues bornéesf < 1 [a,b] < g telles que E(g(Y ) − f(Y )) < ε.On trouve énoncé et démonstration du théorème limite central dans touttraité de calcul des probabilités. Les démonstrations proposées reposent en généralsur l’analyse de Fourier. C’est aussi le cas dans la note de L. Gallado etE. Lesigne publiée par la RMS en 2005 (voir [1]). La démonstration présentée cidessousest différente. Celle-ci est une version simplifiée de celle de H. F. Trotter(voir [2]). Cette démonstration utilise la propriété de stabilité de la loi Gauss(proposition 1 ci-dessus) comme un ingrédient essentiel. La proposition 1 ellemêmeest démontré au paragraphe 3.2 Démonstration du théorèmeQuitte à remplacer X n par X n − m, on peut supposer les X n centrées. Onconsidère d’abord le cas d’une fonction f de classe C 2 à support compact. Soit(Y n ) n une suite de variables aléatoires indépendantes, de loi de Gauss N (0, σ 2 ),indépendante de la première suite. On pose[ ( X1 + · · · + X)] [ (nY1 + · · · + YI n (f) = E f √ − E f √ n)].n nComme, d’après la proposition ci-dessus, la loi de Y 1 + · · · + Y√ nest la loi denGauss N (0, σ 2 ), le théorème est prouvé si l’on montre que lim I n(f) = 0.n→∞Considérons U k = X 1 + · · · + X k + Y k+1 + · · · + Y n . On a par simplification( X1 + · · · + X) (n Y1 + · · · + Y)f √ n− f √ n n( Un) ( U0)= f √ − f √ n n=n∑k=1( Uk) ( Uk−1)f √ − f √ n nPour tout k, réécrivons le terme correspondant de la somme ci-dessus :( Uk) ( Uk−1) (f √ − f √ = f Z k + X ) (k√ − f Z k + Y )k√ n n n noù Z k = 1 √ n(X 1 + · · · + X k−1 + Y k+1 + · · · + Y n ). D’après la formule de Taylor-Lagrange il existe des quantités |s Xk ,Z k| |X k / √ n|, et |t Yk ,Z k| |Y k / √ n| tellesque cela soit encore égal à= f ′ (Z k ) X k√ + f ′′ (s Xk ,Z k)n 2X 2 kn − f ′ (Z k ) Y k3√ − f ′′ (t Yk ,Z k)n 2Y 2kn

On introduit f ′′ (Z k ) pour réécrire cela sous la forme= f ′ (Z k ) X k − Y√ k+ f ′′ (Z k ) Xk 2 − Y k2+n 2 n+ f ′′ (s Xk ,Z k) − f ′′ (Z k ) Xk22n − f ′′ (t Yk ,Z k) − f ′′ (Z k )2Y 2kn .Comme f est de classe C 2 , et à support compact, f ′′ est uniformément continue.Soit ε > 0. Il existe donc un δ > 0 tel que, si |z−s| < δ, alors |f ′′ (z)−f ′′ (s)| < ε.Si |X k | < δ √ n, alors |s Xk ,Z k| < δ, et |f ′′ (Z k + s Xk ,Z k) − f ′′ (Z k )| < ε. Ainsi onobtient( Uk) ( Uk−1)f √ − f √ = f ′ (Z k ) X k − Y√ k+ f ′′ (Z k ) Xk 2 − Y k2+ R (1)n n n 2 noù la variable aléatoire R vérifie R ε2n (X2 k + Yk 2 ) si |X k |, |Y k | < δ √ n. Ennotant 1 |Xk |>δ √ n la variable aléatoire valant 1 si l’événement |X k | > δ √ n a lieu,et 0 sinon, et en notant ‖f ′′ ‖ ∞ = sup z |f ′′ (z)|, cela se réécrit|R| 1 ()[‖f ′′ ‖ ∞ X 2nk1 |Xk |>δ √ n + Yk 2 1 |Yk |>δ √ n + ε ]2 (X2 k + Yk 2 ) .Calculons l’espérance de ces variables aléatoires. Par indépendance des variablesaléatoires X k , Y k et Z k , et les égalités E(X k ) = E(Y k ) = 0 et E(Xk) 2 = E(Yk 2 ) =σ 2 , l’espérance des deux premiers termes du membre de droite de l’égalité (1)ci-dessus est nulle. Il reste[ (∣ Uk) ( Uk−1)]∣ ∣∣∣E f √ − f √ n n1[ ()‖f ′′ ‖ ∞ E X 2nk1 |Xk |>δ √ n + Yk 2 1 |Yk |>δ √ n + εσ 2] .Cela ne dépend pas de k. Donc pour la somme sur k = 1, . . . , n on a()|I n (f)| ‖f ′′ ‖ ∞ E(X1 2 1 √ |X1|>δ n) + E(Y1 2 1 √ |Y1|>δ n) + εσ 2 .Pour n tendant vers l’infini, on voit que, d’après le théorème de convergence dominée,lim |I n(f)| εσ 2 . Comme ε est aussi petit que l’on veut, la convergencen→∞souhaitée est démontrée pour les fonctions de classe C 2 à support compact. Lepassage aux fonctions continues à support compact se fait aisément par un argumentd’approximation uniforme. Pour le passage aux fonctions continues bornéeson remarque que, pour tout M > 0, l’inégalité de Bienaymé-Tchebycheff donneles majorations(∣ ∣∣ U∣ )(∣0 ∣∣P √ M σ2∣∣ U∣ )n ∣∣n M 2 et P √ M σ2n M 2 .Si f est continue bornée, et |g M | |f| est continue à support compact, et coincideavec f sur [−M, M], alors |I n (f)−I n (g M )| 4‖f‖ ∞ . Cette majorationσ 2M2est uniforme en n. La démonstration de théorème s’achève en laissant n puis Mtendre vers l’infini.4

3 Démonstration de la proposition 1La proposition 1 est une conséquance immédiate des propriétés de changementsd’échelles affines évoquées dans l’introduction, et de la proposition suivante.Proposition 2 Soient Y et Y ′ deux variables aléatoires suivant respectivementles lois de Gauss N (m, σ 2 ) et N (m ′ , σ ′2 ). Si elles sont indépendantes, alors lavariable aléatoire Y + Y ′ suit la loi de Gauss N (m + m ′ , σ 2 + σ ′2 ).Démonstration.— L’expression de la densité de la loi de Gauss a été rappeléedans la définition 1. Or la densité φ de la somme Y + Y ′ de deux variablesaléatoires Y et Y ′ indépendantes de densité respectivement ϕ et ψ est donnéepar le produit de convolution∫φ(u) = ϕ(u − v)ψ(v) dv. (2)vQuitte à remplacer Y et Y ′ par Y − m et Y ′ − m ′ , on peut supposer quem = m ′ = 0. D’après la formule (2) ci-dessus et l’expression de la densité de laloi de Gauss (voir définition 1), on aφ(u) = 12πσσ ′ ∫e − 1 2 ( (u−v)2σ 2 + v2σ ′2 ) dv.Or l’exposant de l’exponentiel se réécrit, au facteur −1/2 près :(u − v) 2σ 2donc φ(u) = e− 1 2+ v2u 2σ 2 +σ ′22πσσ ′reconnait, au facteur multiplicatifσ ′2 = σ′2 u 2 − 2σ ′2 uv + (σ 2 + σ ′2 )v 2σ 2 σ ′2u 2=σ 2 + σ ′2 + σ2 + σ ′2 ()σ ′2 σ 2 v − σ′2 2σ 2 + σ ′2 u( )∫2e − 1 σ 2 +σ ′22 σ ′2 σ 2 v− σ′2σ 2 +σ ′2 u√σ2 + σ ′2dv. Sous l’intégrale en v, on2πσ ′2 près, la densité d’une loi de Gaussσ2 (dont la moyenne dépend de u). L’intégrale d’une densité valant 1, on obtientfinalement1φ(u) = √ √ 12π σ2 + σ ′2 e− 2u 2σ 2 +σ ′2 .Donc U suit la loi N (0, σ 2 + σ ′2 ), ce qui démontre la proposition 2, et la proposition1.Références[1] L. Gallardo, E. Lesigne. Approximation gaussienne de la loi binomiale. RMS116, 1, (2005) pages 10-16[2] H. F. Trotter. An elementary proof of the central limit theorem. Arch. Math.10 (1959) pages 226–234.5