Une preuve élémentaire du théor`eme limite central - lmpt

On introduit f ′′ (Z k ) pour réécrire cela sous la forme= f ′ (Z k ) X k − Y√ k+ f ′′ (Z k ) Xk 2 − Y k2+n 2 n+ f ′′ (s Xk ,Z k) − f ′′ (Z k ) Xk22n − f ′′ (t Yk ,Z k) − f ′′ (Z k )2Y 2kn .Comme f est de classe C 2 , et à support compact, f ′′ est uniformément continue.Soit ε > 0. Il existe donc un δ > 0 tel que, si |z−s| < δ, alors |f ′′ (z)−f ′′ (s)| < ε.Si |X k | < δ √ n, alors |s Xk ,Z k| < δ, et |f ′′ (Z k + s Xk ,Z k) − f ′′ (Z k )| < ε. Ainsi onobtient( Uk) ( Uk−1)f √ − f √ = f ′ (Z k ) X k − Y√ k+ f ′′ (Z k ) Xk 2 − Y k2+ R (1)n n n 2 noù la variable aléatoire R vérifie R ε2n (X2 k + Yk 2 ) si |X k |, |Y k | < δ √ n. Ennotant 1 |Xk |>δ √ n la variable aléatoire valant 1 si l’événement |X k | > δ √ n a lieu,et 0 sinon, et en notant ‖f ′′ ‖ ∞ = sup z |f ′′ (z)|, cela se réécrit|R| 1 ()[‖f ′′ ‖ ∞ X 2nk1 |Xk |>δ √ n + Yk 2 1 |Yk |>δ √ n + ε ]2 (X2 k + Yk 2 ) .Calculons l’espérance de ces variables aléatoires. Par indépendance des variablesaléatoires X k , Y k et Z k , et les égalités E(X k ) = E(Y k ) = 0 et E(Xk) 2 = E(Yk 2 ) =σ 2 , l’espérance des deux premiers termes du membre de droite de l’égalité (1)ci-dessus est nulle. Il reste[ (∣ Uk) ( Uk−1)]∣ ∣∣∣E f √ − f √ n n1[ ()‖f ′′ ‖ ∞ E X 2nk1 |Xk |>δ √ n + Yk 2 1 |Yk |>δ √ n + εσ 2] .Cela ne dépend pas de k. Donc pour la somme sur k = 1, . . . , n on a()|I n (f)| ‖f ′′ ‖ ∞ E(X1 2 1 √ |X1|>δ n) + E(Y1 2 1 √ |Y1|>δ n) + εσ 2 .Pour n tendant vers l’infini, on voit que, d’après le théorème de convergence dominée,lim |I n(f)| εσ 2 . Comme ε est aussi petit que l’on veut, la convergencen→∞souhaitée est démontrée pour les fonctions de classe C 2 à support compact. Lepassage aux fonctions continues à support compact se fait aisément par un argumentd’approximation uniforme. Pour le passage aux fonctions continues bornéeson remarque que, pour tout M > 0, l’inégalité de Bienaymé-Tchebycheff donneles majorations(∣ ∣∣ U∣ )(∣0 ∣∣P √ M σ2∣∣ U∣ )n ∣∣n M 2 et P √ M σ2n M 2 .Si f est continue bornée, et |g M | |f| est continue à support compact, et coincideavec f sur [−M, M], alors |I n (f)−I n (g M )| 4‖f‖ ∞ . Cette majorationσ 2M2est uniforme en n. La démonstration de théorème s’achève en laissant n puis Mtendre vers l’infini.4