Une preuve élémentaire du théor`eme limite central - lmpt

pour n tendant vers l’infini, où Y suit la loi de Gauss de moyenne nulle et devariance σ 2 .Ce corollaire se déduit du théorème limite central en encadrant, pour tout ε > 0,la fonction indicatrice de l’intervalle [a, b] entre deux fonctions continues bornéesf < 1 [a,b] < g telles que E(g(Y ) − f(Y )) < ε.On trouve énoncé et démonstration du théorème limite central dans touttraité de calcul des probabilités. Les démonstrations proposées reposent en généralsur l’analyse de Fourier. C’est aussi le cas dans la note de L. Gallado etE. Lesigne publiée par la RMS en 2005 (voir [1]). La démonstration présentée cidessousest différente. Celle-ci est une version simplifiée de celle de H. F. Trotter(voir [2]). Cette démonstration utilise la propriété de stabilité de la loi Gauss(proposition 1 ci-dessus) comme un ingrédient essentiel. La proposition 1 ellemêmeest démontré au paragraphe 3.2 Démonstration du théorèmeQuitte à remplacer X n par X n − m, on peut supposer les X n centrées. Onconsidère d’abord le cas d’une fonction f de classe C 2 à support compact. Soit(Y n ) n une suite de variables aléatoires indépendantes, de loi de Gauss N (0, σ 2 ),indépendante de la première suite. On pose[ ( X1 + · · · + X)] [ (nY1 + · · · + YI n (f) = E f √ − E f √ n)].n nComme, d’après la proposition ci-dessus, la loi de Y 1 + · · · + Y√ nest la loi denGauss N (0, σ 2 ), le théorème est prouvé si l’on montre que lim I n(f) = 0.n→∞Considérons U k = X 1 + · · · + X k + Y k+1 + · · · + Y n . On a par simplification( X1 + · · · + X) (n Y1 + · · · + Y)f √ n− f √ n n( Un) ( U0)= f √ − f √ n n=n∑k=1( Uk) ( Uk−1)f √ − f √ n nPour tout k, réécrivons le terme correspondant de la somme ci-dessus :( Uk) ( Uk−1) (f √ − f √ = f Z k + X ) (k√ − f Z k + Y )k√ n n n noù Z k = 1 √ n(X 1 + · · · + X k−1 + Y k+1 + · · · + Y n ). D’après la formule de Taylor-Lagrange il existe des quantités |s Xk ,Z k| |X k / √ n|, et |t Yk ,Z k| |Y k / √ n| tellesque cela soit encore égal à= f ′ (Z k ) X k√ + f ′′ (s Xk ,Z k)n 2X 2 kn − f ′ (Z k ) Y k3√ − f ′′ (t Yk ,Z k)n 2Y 2kn