Exercices d'intégration et d'analyse fonctionnelle - LMPT

Exercices d’intégration et d’analyse fonctionnelleAgrégation 2009-2010Exercice 1 : Montrez que si f : IR + → IR est uniformément continue et que∫ +∞0f(t) dtconverge alors f a pour limite 0 en +∞.Donnez un exemple de fonction g : IR + → IR continue, dont l’intégrale sur IR + convergemais qui ne tend pas vers 0 en +∞.Exercice 2 : Etudier la nature des intégrales impropres suivantes :∫ +∞1sin ttdt ,∫ +∞1sin 2 ∫t+∞t ln t dt et1sin tt(1 + sin t )ln tdt .Exercice 3 : Soient E et F deux ensembles, f : E → F une application et T une tribude F . Si F est une famille de parties de F , on posef −1 (F) = { f −1 (A) | A ∈ F }a) Montrer que f −1 (T ) est une tribu de E, appelée image réciproque de T par f.b) Montrer que si µ est une mesure sur f −1 (T ) alors l’application f(µ) définie sur T parf(µ)(A) = µ (f −1 (A)), pour tout A dans T , est une mesure sur T , appelée mesure imagede µ par f.Exercice 4 :1. Décrire la tribu de parties de IR engendrée par l’ensemble des singletons de IR. On noteS cette tribu.2. Soit f une fonction continue de IR dans IR. Démontrer que la fonction f est mesurablesur (IR, S) si et seulement si elle est constante.3. Soit µ la mesure sur IR de densité g(x) := (1 + x 2 ) −1 par rapport à la mesure deLebesgue. Déterminer, pour chaque t ∈ IR, la valeur de µ(] − ∞, t[). Démontrer que larestriction de µ à la tribu S ne prend que deux valeurs. Lesquelles ?Exercice 5 : Soit (E, T ) un espace mesurable et, pour tout n ∈ IN, soit (f n ) n une suited’applications mesurables de E dans IR. Démontrer que l’ensemble des points x de E pourlesquels la suite (f n (x)) n a une limite est un ensemble mesurable.1

Exercice 6 : Soit λ la mesure de Lebesgue sur IR.a) Vérifier que toute partie mesurable de IR dont l’intérieur n’est pas vide est de mesurestrictement positive.b) Démontrer qu’il existe un ensemble fermé E dans IR d’intérieur vide tel que λ(E) > 0.(Construire E comme l’ensemble triadique de Cantor en retirant au segment [0, 1], à lan-ième étape, 2 n−1 intervalles de longueur α3 −n où 0 < α < 1.)Exercice 7 : Démontrer queet quelimn→+∞∫ n1∫ +∞0+∞te t − 1 dt = ∑ 1k 2(1 − t n) nlog t dt =k=1∫ +∞1e −t log t dt.Exercice 8 : Soit (X, T, µ) un espace mesuré et f : X → IR une fonction intégrablepositive. Montrez que, pour tout n ∈ IN ∗ ,µ({f > n}) ≤ 1 ∫f dµ.nMontrez que, pour tout ɛ > 0, il existe θ > 0 tel que pour tout A ∈ T ,∫µ(A) < θ ⇒ f dµ < ɛ.(propriété d’absolue continuité).Exercice 9 : Soit f une fonction mesurable bornée sur un intervalle [a, b]. On poseM = limn→∞(∫ bMontrez que cette limite existe et que :aAX|f(x)| n dx) 1/n.M = inf{t ∈ IR / {|f| > t} est négligeable }.M est le suprémum essentiel de |f|.Quel est le sup essentiel de l’indicatrice des rationnels sur [0, 1] ?Exercice 10 : Soit f ∈ L 1 (IR 2 ) et soit T > 0. Montrer queCalculer, pour f ∈ L 1 (IR)∫ T ∫ t00f(s, t)dsdt =∫ T ∫ t00∫ T ∫ T0sf(s)dsdt.2f(s, t)dtds.

Exercice 11 : (divers calculs)(i) Calculer l’intégraleen intégrant de deux façon différentes∫ +∞0∫ +∞0e −x2 dxye −y2 (1+x 2) dxdy.(ii) Utilisez le Théorème de Fubini et la relation, valable pour tout x > 0,pour démontrer que∫1 +∞x = e −xt dt0∫ Asin xlimA→+∞0 x dx = π 2 .(iii) Soit :Calculez les deux intégrales suivantes :∫ 1(∫ 1)f(x, y)dy dx,x=0 y=0f(x, y) = x2 − y 2(x 2 + y 2 ) 2 .∫ 1y=0(∫ 1)f(x, y)dx dy.x=0Où est le problème ?Calculer les intégrales suivantes :(i) ∫ 1dx dy, où D = {(x, y) ∈ D x 2 y IR2 : x ≥ 1 et 1 ≤ y ≤ x} ;x(ii) ∫ D ae 2x+y dx dy, où D a = {(x, y) ∈ IR 2 : x ≤ a et x + y ≤ a} ;(iii) ∫ xydx dy.R+2 (1+x 2 +y 2 ) 2 (x 2 +y 2 )Exercice 12 : Pour tout vecteur x ∈ IR n , x = (x 1 , . . . , x n ), on pose |x| = (x 1 2 +· · ·+x n 2 ) 1 2 ,et B n = {x ∈ IR n / |x| < 1}. En posant f(x) = |x| p , à quelle condition sur le réel p a-t-onf ∈ L 1 (B n ) ? A quelle condition f ∈ L 1 (IR n \ B n ) ?Exercice 13 : Dans IR n , on définit le simplexe S n parS n = {(x 1 , . . . , x n ) ∈ IR n / ∀ 1 ≤ i ≤ n, 0 ≤ x i et x 1 + · · · + x n ≤ 1} .Montrez que pour tout n, le volume de S n est égal à 1/n!.Quel est le volume du simplexe construit sur les vecteurs linéairement indépendants X 1 ,. . .,X n de IR n , et défini parS = {x 1 X 1 + · · · + x n X n / ∀ 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ x i et x 1 + · · · + x n ≤ 1} .Exercice 14 : Soit f l’indicatrice de l’intervalle [−1, 1].3

– Calculez f ∗ f, f ∗ f ∗ f. Jusqu’à quel ordre ces fonctions sont-elles dérivables ?– Montrez que si g est continue sur IR, alors f ∗ g est dérivable sur IR et (f ∗ g) ′ (x) =g(x + 1) − g(x − 1).– Jusqu’à quel ordre f ∗ · · · ∗ f est-elle dérivable ?} {{ }n fois– On cherche à présent à résoudre l’équation f ∗ g = 2g. Montrez que si la fonction gest affine, elle est solution.– Montrez que si g est une solution continue, alors g est dérivable et sa dérivée estsolution.– Montrez qu’un polynôme de degré 2 ne peut être solution. En déduire toutes lessolutions polynômiales.– Plus généralement, montrez que si g a l’une de ses dérivées dans L 2 (IR) et vérifief ∗ g = 2g, alors g est l’une des solutions trouvées à la question précédente.Exercice 15 : Soit (X, T , µ) un espace mesuré. Soit 1 ≤ p ≤ +∞ et q l’exposant conjuguéde p. Montrer que si (f n ) n est une suite d’éléments de L p (µ) qui converge vers f dansL p (µ) et si (g n ) n est une suite d’éléments de L q (µ) qui converge vers g dans L q (µ) alorsla suite (f n g n ) n converge vers fg dans L 1 (µ).Exercice 16 : a) Démontrer que la fonction λ 1 : IR → IR définie par{0 si x ≤ 0,λ 1 (x) =e −1/x sinonest de classe C ∞ , nulle pour x ≤ 0, strictement positive pour x > 0.b) Démontrer qu’il existe une fonction λ 2 : IR → IR, positive, non identiquement nulle,de classe C ∞ , à support contenu dans l’intervalle fermé [0, 1].c) Démontrer qu’il existe une fonction λ 3 : IR → IR, de classe C ∞ , à valeurs dans [0, 1],telle que λ 3 (x) = 0 pour x ≤ 0, λ 3 (x) = 1 pour x ≥ 1. On pourra prendre la fonctiondéfinie, pour x ∈ [0, 1], par λ 3 (x) = ( ∫ xλ 0 2(t) dt) / ( ∫ 1λ 0 2(t) dt).d) Soient h et k des nombres réels tels que 0 < k < h. Démontrer qu’il existe unefonction λ 4 : IR → IR, de classe C ∞ , à valeurs dans [0, 1], dont le support est contenu dans[−h, h], et qui vaut 1 sur [−k, k].e) En conclure que l’adhérence C0 ∞ (IR) de C0 ∞ (IR) ⊂ L 1 (IR) (dans la norme L 1 )contient les indicatrices d’intervalles ouverts bornés. Est-ce aussi vrai dans les normes L p ,p ∈ [1, ∞] ?f) Conclure que C0 ∞ (IR) est dense dans L 1 (IR).Exercice 17 : (Inégalité de Hardy) Soit f un élément de L p ([0, +∞[, p > 1. On poseF (x) = 1 xOn souhaite montrer l’inégalité de Hardy :||F || p ≤∫ x0f(t) dt .pp − 1 ||f|| p4

On suppose d’abord que f ∈ C c (]0, +∞[). Justifier l’égalité :∫ +∞0|F (x)| p dx = −p∫ +∞0|F (x)| p−2 F (x)xF ′ (x)dx .En déduire l’inégalité de Hardy dans ce cas puis l’étendre au cas où f ∈ L p ([0, +∞[Exercice 18 : Soit I un intervalle de IR et soit φ : I ↦→ IR. On suppose que l’applicationφ est convexe sur I, c’est-à-dire que, pour tout couple, (x, y) d’éléments de I et pour toutréel t ∈ [0, 1] on a :φ(tx + (1 − t)y) ≤ tφ(x) + (1 − t)φ(y) .a) Démontrer que si φ est convexe sur I alors l’ensemble E(φ) = {(x, y) ∈ I × IR | y ≥φ(x)} est un ensemble convexe de IR 2 .b) Démontrer que si x < y < z on a alorsφ(y) − φ(x)y − x≤φ(z) − φ(y)z − yc) En déduire que pour tout y dans I, il existe un nombre C tel que pour tout nombrez dans I, on a :φ(z) − φ(y) ≥ C(z − y),et que si φ est C 2 (I), on a nécessairement φ ′′ (z) ≥ 0 pour tout z ∈ I.d) Prouver que si φ est convexe sur I, elle est continue sur I et qu’elle est dérivablepresque partout sur I (on regardera les points où la demi-tangente à droite diffère de lademi-tangente à gauche)e) Soit (X, T , µ) un espace mesuré et f : X ↦→ I intégrable sur X. On suppose que deplus µ(X) = 1 et que φ ◦ f est intégrable. Montrer qu’alors :∫ ∫[Inégalité de Jensen] φ( f dµ) ≤ φ ◦ f dµ ,f) Redémontrer ainsi que si µ(X) < +∞, l’espace L 2 (X) ⊂ L 1 (X).Exercice 19 : Soient f et g deux fonctions localement intégrables. Montrer queexiste et est égale à la fonctionx ↦→ 1 IR +(x)X( 1 IR +f) ∗ ( 1 IR +g)∫ x0Xf(u)g(x − u)du.Exercice 20 : Calculer, pour x ∈ IR,∫ AlimA→+∞−Asin λte itx dt.t5

Exercice 21 : Calculer la transformée de Fourier de la fonction x ↦→ e −αx2 , avecα > 0. Existe-t-il une valeur de α pour laquelle la fonction et sa transformée de Fouriercoïncident ?Exercice 22 :a) Calculer la transformée de Fourier de la fonction indicatrice d’un intervalle.b) Pour n ∈ IN ∗ , soit g n la fonction indicatrice de [−n, n] et h la fonction indicatrice de[−1, 1]. Calculer explicitement g n ∗ h. Montrer que g n ∗ h est la transformée de Fourierd’une fonction f n que l’on déterminera.c) Montrer que f n ∈ L 1 (IR) et quelim ‖f n‖ 1 = +∞.n→+∞d) En déduire que l’application f → ˆf envoit L 1 (IR) dans un sous-espace propre de C 0 (IR).Exercice 23 : Soient f ∈ L p (IR) et g ∈ L q (IR), p et q étant conjugués. On poseh = f ∗ g. Montrer que h est uniformément continue. Montrer que si 1 < p < +∞,h ∈ C 0 (IR). Montrer que ce résultat disparaît si p = 1 et q = +∞.Exercice 24 : Soit m > 0 et soit f(x) = e −m|x| .1) Déterminer ˆf.2) Calculer :∫ +∞en fonction des réels p et a ≠ 0.0ˆf(t) cos xtdt puisExercice 25 : Soit f(x) = (4 − x 2 ) 1 [−2,2] (x).1) Déterminer la transformée de Fourier de f.2) En déduire la valeur de∫ +∞0∫ +∞2x cos 2x − sin 2xx 30cos puu 2 + a 2 ducos x 2 dx.Exercice 26 : Calculer la transformée de Fourier de la fonction f : x ↦→ 1 [−1,1] (x)(1−|x|)et en déduire la valeur de∫sin 4 xdxx 4(on pourra remarquer que f = 1 [−12 , 1 2 ] ∗ 1 [−12 , 1 2 ]).Exercice 27 :(i) Déterminer les extrémas de x + 2y sous la contrainte x 2 + xy + y 2 = 1.(ii) Résoudre le problème d’optimisation :IRmin2x + 3y = 0x + y + z = 0(x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + xz + 1 ) .6

(iii) Montrer que pour a proche de 0, l’équation :xe −ax = 10admet une solution. Donner un développement limité de cette solution à l’ordre 2.Exercice 28 : Soit (E, d) un espace métrique compact et F 1 , F 2 deux fermés de E telsque F 1 ∩ F 2 = ∅.(i) Montrer que d(F 1 , F 2 ) = min{d(x, y), x ∈ F 1 , y ∈ F 2 } > 0 . (ii) Soit (x n ) n unesuite d’éléments de E qui vérifie d(x n , x n+1 ) → 0. Montrer que X, l’ensemble des valeursd’adhérence de la suite (x n ) n est connexe.Exercice 29 : On note C([0, 1]) l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0, 1] et onconsidère les formes linéaires :( ∫ 1 1f ↦→ f , f ↦→ f(t)dt .2)(i) Ces formes linéaires sont-elles continues si on munit C([0, 1]) de la norme || · || 1 , || · || 2 ,|| · || ∞ ?(ii) On munit C([0, 1]) de la norme || · || 1 et pour g ∈ C([0, 1]), on considère la formelinéaire :F : f ↦→∫ 100f(t)dt .Montrer que F est une forme linéaire continue et que sa norme est ||g|| ∞ . (iii) Prouver demême que, si on munit C([0, 1]) de la norme || · || ∞ , F est une forme linéaire continue etque sa norme est ||g|| 1 .Exercice 30 : Soit E une espace vectoriel normé et soit K un sous-ensemble convexecompact de E. On considère une application f de K dans K vérifiant :||f(x) − f(y)|| ≤ ||x − y|| pour tout x, y ∈ K .Montrer que f admet un point fixe.(On pourra considérer la suite de fonctions définies par :où a ∈ K.)f n (x) = (1 − 1 n )f(x) + 1 n f(a) ,Exercice 31 : Soit (E, d) un espace métrique. À quelle condition sur la fonction φIR+ →IR + , φ(d) est-elle une distance ?Application : φ(d) =d , φ(d) = log(1 + d) sont-elles des distances ?1 + dExercice 32 : Soit (f n ) n une suite de fonctions dérivables sur [a, b] et telles qu’il existeK > 0 pour lequel :|f ′ n(x)| ≤ K pour tout x ∈ [a, b] .Montrer que si la suite (f n ) n converge simplement alors elle converge uniformément.7