Exercices d'intégration et d'analyse fonctionnelle - LMPT

Exercice 6 : Soit λ la mesure de Lebesgue sur IR.a) Vérifier que toute partie mesurable de IR dont l’intérieur n’est pas vide est de mesurestrictement positive.b) Démontrer qu’il existe un ensemble fermé E dans IR d’intérieur vide tel que λ(E) > 0.(Construire E comme l’ensemble triadique de Cantor en retirant au segment [0, 1], à lan-ième étape, 2 n−1 intervalles de longueur α3 −n où 0 < α < 1.)Exercice 7 : Démontrer queet quelimn→+∞∫ n1∫ +∞0+∞te t − 1 dt = ∑ 1k 2(1 − t n) nlog t dt =k=1∫ +∞1e −t log t dt.Exercice 8 : Soit (X, T, µ) un espace mesuré et f : X → IR une fonction intégrablepositive. Montrez que, pour tout n ∈ IN ∗ ,µ({f > n}) ≤ 1 ∫f dµ.nMontrez que, pour tout ɛ > 0, il existe θ > 0 tel que pour tout A ∈ T ,∫µ(A) < θ ⇒ f dµ < ɛ.(propriété d’absolue continuité).Exercice 9 : Soit f une fonction mesurable bornée sur un intervalle [a, b]. On poseM = limn→∞(∫ bMontrez que cette limite existe et que :aAX|f(x)| n dx) 1/n.M = inf{t ∈ IR / {|f| > t} est négligeable }.M est le suprémum essentiel de |f|.Quel est le sup essentiel de l’indicatrice des rationnels sur [0, 1] ?Exercice 10 : Soit f ∈ L 1 (IR 2 ) et soit T > 0. Montrer queCalculer, pour f ∈ L 1 (IR)∫ T ∫ t00f(s, t)dsdt =∫ T ∫ t00∫ T ∫ T0sf(s)dsdt.2f(s, t)dtds.