Exercices d'intégration et d'analyse fonctionnelle - LMPT

Exercice 11 : (divers calculs)(i) Calculer l’intégraleen intégrant de deux façon différentes∫ +∞0∫ +∞0e −x2 dxye −y2 (1+x 2) dxdy.(ii) Utilisez le Théorème de Fubini et la relation, valable pour tout x > 0,pour démontrer que∫1 +∞x = e −xt dt0∫ Asin xlimA→+∞0 x dx = π 2 .(iii) Soit :Calculez les deux intégrales suivantes :∫ 1(∫ 1)f(x, y)dy dx,x=0 y=0f(x, y) = x2 − y 2(x 2 + y 2 ) 2 .∫ 1y=0(∫ 1)f(x, y)dx dy.x=0Où est le problème ?Calculer les intégrales suivantes :(i) ∫ 1dx dy, où D = {(x, y) ∈ D x 2 y IR2 : x ≥ 1 et 1 ≤ y ≤ x} ;x(ii) ∫ D ae 2x+y dx dy, où D a = {(x, y) ∈ IR 2 : x ≤ a et x + y ≤ a} ;(iii) ∫ xydx dy.R+2 (1+x 2 +y 2 ) 2 (x 2 +y 2 )Exercice 12 : Pour tout vecteur x ∈ IR n , x = (x 1 , . . . , x n ), on pose |x| = (x 1 2 +· · ·+x n 2 ) 1 2 ,et B n = {x ∈ IR n / |x| < 1}. En posant f(x) = |x| p , à quelle condition sur le réel p a-t-onf ∈ L 1 (B n ) ? A quelle condition f ∈ L 1 (IR n \ B n ) ?Exercice 13 : Dans IR n , on définit le simplexe S n parS n = {(x 1 , . . . , x n ) ∈ IR n / ∀ 1 ≤ i ≤ n, 0 ≤ x i et x 1 + · · · + x n ≤ 1} .Montrez que pour tout n, le volume de S n est égal à 1/n!.Quel est le volume du simplexe construit sur les vecteurs linéairement indépendants X 1 ,. . .,X n de IR n , et défini parS = {x 1 X 1 + · · · + x n X n / ∀ 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ x i et x 1 + · · · + x n ≤ 1} .Exercice 14 : Soit f l’indicatrice de l’intervalle [−1, 1].3