Exercices d'intégration et d'analyse fonctionnelle - LMPT

– Calculez f ∗ f, f ∗ f ∗ f. Jusqu’à quel ordre ces fonctions sont-elles dérivables ?– Montrez que si g est continue sur IR, alors f ∗ g est dérivable sur IR et (f ∗ g) ′ (x) =g(x + 1) − g(x − 1).– Jusqu’à quel ordre f ∗ · · · ∗ f est-elle dérivable ?} {{ }n fois– On cherche à présent à résoudre l’équation f ∗ g = 2g. Montrez que si la fonction gest affine, elle est solution.– Montrez que si g est une solution continue, alors g est dérivable et sa dérivée estsolution.– Montrez qu’un polynôme de degré 2 ne peut être solution. En déduire toutes lessolutions polynômiales.– Plus généralement, montrez que si g a l’une de ses dérivées dans L 2 (IR) et vérifief ∗ g = 2g, alors g est l’une des solutions trouvées à la question précédente.Exercice 15 : Soit (X, T , µ) un espace mesuré. Soit 1 ≤ p ≤ +∞ et q l’exposant conjuguéde p. Montrer que si (f n ) n est une suite d’éléments de L p (µ) qui converge vers f dansL p (µ) et si (g n ) n est une suite d’éléments de L q (µ) qui converge vers g dans L q (µ) alorsla suite (f n g n ) n converge vers fg dans L 1 (µ).Exercice 16 : a) Démontrer que la fonction λ 1 : IR → IR définie par{0 si x ≤ 0,λ 1 (x) =e −1/x sinonest de classe C ∞ , nulle pour x ≤ 0, strictement positive pour x > 0.b) Démontrer qu’il existe une fonction λ 2 : IR → IR, positive, non identiquement nulle,de classe C ∞ , à support contenu dans l’intervalle fermé [0, 1].c) Démontrer qu’il existe une fonction λ 3 : IR → IR, de classe C ∞ , à valeurs dans [0, 1],telle que λ 3 (x) = 0 pour x ≤ 0, λ 3 (x) = 1 pour x ≥ 1. On pourra prendre la fonctiondéfinie, pour x ∈ [0, 1], par λ 3 (x) = ( ∫ xλ 0 2(t) dt) / ( ∫ 1λ 0 2(t) dt).d) Soient h et k des nombres réels tels que 0 < k < h. Démontrer qu’il existe unefonction λ 4 : IR → IR, de classe C ∞ , à valeurs dans [0, 1], dont le support est contenu dans[−h, h], et qui vaut 1 sur [−k, k].e) En conclure que l’adhérence C0 ∞ (IR) de C0 ∞ (IR) ⊂ L 1 (IR) (dans la norme L 1 )contient les indicatrices d’intervalles ouverts bornés. Est-ce aussi vrai dans les normes L p ,p ∈ [1, ∞] ?f) Conclure que C0 ∞ (IR) est dense dans L 1 (IR).Exercice 17 : (Inégalité de Hardy) Soit f un élément de L p ([0, +∞[, p > 1. On poseF (x) = 1 xOn souhaite montrer l’inégalité de Hardy :||F || p ≤∫ x0f(t) dt .pp − 1 ||f|| p4