Exercices d'intégration et d'analyse fonctionnelle - LMPT

On suppose d’abord que f ∈ C c (]0, +∞[). Justifier l’égalité :∫ +∞0|F (x)| p dx = −p∫ +∞0|F (x)| p−2 F (x)xF ′ (x)dx .En déduire l’inégalité de Hardy dans ce cas puis l’étendre au cas où f ∈ L p ([0, +∞[Exercice 18 : Soit I un intervalle de IR et soit φ : I ↦→ IR. On suppose que l’applicationφ est convexe sur I, c’est-à-dire que, pour tout couple, (x, y) d’éléments de I et pour toutréel t ∈ [0, 1] on a :φ(tx + (1 − t)y) ≤ tφ(x) + (1 − t)φ(y) .a) Démontrer que si φ est convexe sur I alors l’ensemble E(φ) = {(x, y) ∈ I × IR | y ≥φ(x)} est un ensemble convexe de IR 2 .b) Démontrer que si x < y < z on a alorsφ(y) − φ(x)y − x≤φ(z) − φ(y)z − yc) En déduire que pour tout y dans I, il existe un nombre C tel que pour tout nombrez dans I, on a :φ(z) − φ(y) ≥ C(z − y),et que si φ est C 2 (I), on a nécessairement φ ′′ (z) ≥ 0 pour tout z ∈ I.d) Prouver que si φ est convexe sur I, elle est continue sur I et qu’elle est dérivablepresque partout sur I (on regardera les points où la demi-tangente à droite diffère de lademi-tangente à gauche)e) Soit (X, T , µ) un espace mesuré et f : X ↦→ I intégrable sur X. On suppose que deplus µ(X) = 1 et que φ ◦ f est intégrable. Montrer qu’alors :∫ ∫[Inégalité de Jensen] φ( f dµ) ≤ φ ◦ f dµ ,f) Redémontrer ainsi que si µ(X) < +∞, l’espace L 2 (X) ⊂ L 1 (X).Exercice 19 : Soient f et g deux fonctions localement intégrables. Montrer queexiste et est égale à la fonctionx ↦→ 1 IR +(x)X( 1 IR +f) ∗ ( 1 IR +g)∫ x0Xf(u)g(x − u)du.Exercice 20 : Calculer, pour x ∈ IR,∫ AlimA→+∞−Asin λte itx dt.t5