Exercices d'intégration et d'analyse fonctionnelle - LMPT

(iii) Montrer que pour a proche de 0, l’équation :xe −ax = 10admet une solution. Donner un développement limité de cette solution à l’ordre 2.Exercice 28 : Soit (E, d) un espace métrique compact et F 1 , F 2 deux fermés de E telsque F 1 ∩ F 2 = ∅.(i) Montrer que d(F 1 , F 2 ) = min{d(x, y), x ∈ F 1 , y ∈ F 2 } > 0 . (ii) Soit (x n ) n unesuite d’éléments de E qui vérifie d(x n , x n+1 ) → 0. Montrer que X, l’ensemble des valeursd’adhérence de la suite (x n ) n est connexe.Exercice 29 : On note C([0, 1]) l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0, 1] et onconsidère les formes linéaires :( ∫ 1 1f ↦→ f , f ↦→ f(t)dt .2)(i) Ces formes linéaires sont-elles continues si on munit C([0, 1]) de la norme || · || 1 , || · || 2 ,|| · || ∞ ?(ii) On munit C([0, 1]) de la norme || · || 1 et pour g ∈ C([0, 1]), on considère la formelinéaire :F : f ↦→∫ 100f(t)dt .Montrer que F est une forme linéaire continue et que sa norme est ||g|| ∞ . (iii) Prouver demême que, si on munit C([0, 1]) de la norme || · || ∞ , F est une forme linéaire continue etque sa norme est ||g|| 1 .Exercice 30 : Soit E une espace vectoriel normé et soit K un sous-ensemble convexecompact de E. On considère une application f de K dans K vérifiant :||f(x) − f(y)|| ≤ ||x − y|| pour tout x, y ∈ K .Montrer que f admet un point fixe.(On pourra considérer la suite de fonctions définies par :où a ∈ K.)f n (x) = (1 − 1 n )f(x) + 1 n f(a) ,Exercice 31 : Soit (E, d) un espace métrique. À quelle condition sur la fonction φIR+ →IR + , φ(d) est-elle une distance ?Application : φ(d) =d , φ(d) = log(1 + d) sont-elles des distances ?1 + dExercice 32 : Soit (f n ) n une suite de fonctions dérivables sur [a, b] et telles qu’il existeK > 0 pour lequel :|f ′ n(x)| ≤ K pour tout x ∈ [a, b] .Montrer que si la suite (f n ) n converge simplement alors elle converge uniformément.7