Exercices d'intégration et d'analyse fonctionnelle - LMPT

Exercice 21 : Calculer la transformée de Fourier de la fonction x ↦→ e −αx2 , avecα > 0. Existe-t-il une valeur de α pour laquelle la fonction et sa transformée de Fouriercoïncident ?Exercice 22 :a) Calculer la transformée de Fourier de la fonction indicatrice d’un intervalle.b) Pour n ∈ IN ∗ , soit g n la fonction indicatrice de [−n, n] et h la fonction indicatrice de[−1, 1]. Calculer explicitement g n ∗ h. Montrer que g n ∗ h est la transformée de Fourierd’une fonction f n que l’on déterminera.c) Montrer que f n ∈ L 1 (IR) et quelim ‖f n‖ 1 = +∞.n→+∞d) En déduire que l’application f → ˆf envoit L 1 (IR) dans un sous-espace propre de C 0 (IR).Exercice 23 : Soient f ∈ L p (IR) et g ∈ L q (IR), p et q étant conjugués. On poseh = f ∗ g. Montrer que h est uniformément continue. Montrer que si 1 < p < +∞,h ∈ C 0 (IR). Montrer que ce résultat disparaît si p = 1 et q = +∞.Exercice 24 : Soit m > 0 et soit f(x) = e −m|x| .1) Déterminer ˆf.2) Calculer :∫ +∞en fonction des réels p et a ≠ 0.0ˆf(t) cos xtdt puisExercice 25 : Soit f(x) = (4 − x 2 ) 1 [−2,2] (x).1) Déterminer la transformée de Fourier de f.2) En déduire la valeur de∫ +∞0∫ +∞2x cos 2x − sin 2xx 30cos puu 2 + a 2 ducos x 2 dx.Exercice 26 : Calculer la transformée de Fourier de la fonction f : x ↦→ 1 [−1,1] (x)(1−|x|)et en déduire la valeur de∫sin 4 xdxx 4(on pourra remarquer que f = 1 [−12 , 1 2 ] ∗ 1 [−12 , 1 2 ]).Exercice 27 :(i) Déterminer les extrémas de x + 2y sous la contrainte x 2 + xy + y 2 = 1.(ii) Résoudre le problème d’optimisation :IRmin2x + 3y = 0x + y + z = 0(x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + xz + 1 ) .6