Une preuve élémentaire du théor`eme limite central - lmpt

3 Démonstration de la proposition 1La proposition 1 est une conséquance immédiate des propriétés de changementsd’échelles affines évoquées dans l’introduction, et de la proposition suivante.Proposition 2 Soient Y et Y ′ deux variables aléatoires suivant respectivementles lois de Gauss N (m, σ 2 ) et N (m ′ , σ ′2 ). Si elles sont indépendantes, alors lavariable aléatoire Y + Y ′ suit la loi de Gauss N (m + m ′ , σ 2 + σ ′2 ).Démonstration.— L’expression de la densité de la loi de Gauss a été rappeléedans la définition 1. Or la densité φ de la somme Y + Y ′ de deux variablesaléatoires Y et Y ′ indépendantes de densité respectivement ϕ et ψ est donnéepar le produit de convolution∫φ(u) = ϕ(u − v)ψ(v) dv. (2)vQuitte à remplacer Y et Y ′ par Y − m et Y ′ − m ′ , on peut supposer quem = m ′ = 0. D’après la formule (2) ci-dessus et l’expression de la densité de laloi de Gauss (voir définition 1), on aφ(u) = 12πσσ ′ ∫e − 1 2 ( (u−v)2σ 2 + v2σ ′2 ) dv.Or l’exposant de l’exponentiel se réécrit, au facteur −1/2 près :(u − v) 2σ 2donc φ(u) = e− 1 2+ v2u 2σ 2 +σ ′22πσσ ′reconnait, au facteur multiplicatifσ ′2 = σ′2 u 2 − 2σ ′2 uv + (σ 2 + σ ′2 )v 2σ 2 σ ′2u 2=σ 2 + σ ′2 + σ2 + σ ′2 ()σ ′2 σ 2 v − σ′2 2σ 2 + σ ′2 u( )∫2e − 1 σ 2 +σ ′22 σ ′2 σ 2 v− σ′2σ 2 +σ ′2 u√σ2 + σ ′2dv. Sous l’intégrale en v, on2πσ ′2 près, la densité d’une loi de Gaussσ2 (dont la moyenne dépend de u). L’intégrale d’une densité valant 1, on obtientfinalement1φ(u) = √ √ 12π σ2 + σ ′2 e− 2u 2σ 2 +σ ′2 .Donc U suit la loi N (0, σ 2 + σ ′2 ), ce qui démontre la proposition 2, et la proposition1.Références[1] L. Gallardo, E. Lesigne. Approximation gaussienne de la loi binomiale. RMS116, 1, (2005) pages 10-16[2] H. F. Trotter. An elementary proof of the central limit theorem. Arch. Math.10 (1959) pages 226–234.5