Le filtrage numérique des signaux n'est pas qu'un filtre ... - Mesures

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Ateme
TRAITEMENT DU SIGNAL
Le filtrage numérique
des signaux n’est pas
qu’un filtre analogique
numérisé…
Étape essentielle d'une
chaîne d'acquisition de
données,le filtrage ne se
résume pas aux filtres
analogiques.Il existe les
filtres numériques,
implantés sur des DSP et
des FPGA.
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Quand on parle d’acquisition de données, on s’intéresse toujours au nombre d’entrées/sorties, à la conversion analogiquenumérique,
à l’aspect logiciel, mais plus rarement au filtrage. Pourtant, les filtres sont indispensables à la capture et au prétraitement
des signaux. Il y a évidemment le “célèbre” filtre analogique anti-repliement qui permet de respecter le théorème
de Shannon, les filtres passe-bas, passe-haut ou passe-bande aux consonances étrangères comme Tchebychev, Bessel,
Butterworth… Mais le filtrage ne se résume pas uniquement aux filtres analogiques. Il existe également les filtres numériques
qui profitent de l’évolution constante des composants spécifiques pour s’imposer. Les avantages du filtrage numérique?
Il est possible de faire n’importe quel filtre, même le plus exotique, avec peu d’erreurs…
de signaux physiques,
quels qu’ils soient, est
une opération souvent délicate.
L’acquisition
Un simple convertisseur analogique-numérique
permet de transformer
une tension ou un courant en une donnée
numérique. Cela suffirait si les valeurs physiques
n’étaient pas étroitement associées à
une kyrielle de signaux : autres signaux de
mesure, signaux parasites tels que le bruit
électronique, les décharges électrostatiques,
Pour l’essentiel
Le filtrage est une étape
essentielle dans une chaîne
d’acquisition de données.
Il permet d’isoler une
fréquence particulière ou
d’éliminer des fréquences
parasites.
Couramment utilisés, les
filtres analogiques manquent
de précision et sont limités
en types de gabarit
disponibles.
Le filtrage numérique n’a
pas ces limitations. Il utilise
des algorithmes de calcul
implémentés dans des DSP
ou des FPGA.
Avantages : pas de dérive,
filtres exotiques, filtres
facilement modifiables…
les fluctuations de la
tension d’alimentation.
Tous ces signaux se
combinent, s’interfèrent
et viennent “polluer”
le signal utile.
Afin de capturer correctement
le signal
recherché, un convertisseur
analogiquenumérique
est toujours
associé à des
convertisseurs, à des
amplificateurs ou à des
filtres. Le rôle de chacun
est de mettre en
forme les signaux pour
les rendre “propres” :
les convertisseurs transforment
des fréquences,
des courants, des impulsions en
tension, les amplificateurs adaptent l’amplitude
de la tension à la plage d’entrée du
convertisseur analogique-numérique. Le filtrage
permet, quant à lui, d’extraire une
partie de l’information liée à un signal (une
fréquence particulière, une ou des bandes
de fréquences utiles dans un signal complexe),
d’éliminer des fréquences parasites
indésirables.
Le filtrage peut être également vu comme
une forme de traitement de signal qui
modifie le spectre de fréquence et de phase
d’un signal. Le filtrage peut s’appliquer
à des signaux analogiques ou numériques.
Quand on parle de filtrage de
signaux de mesure, on pense immédiatement
au filtrage analogique. Par
exemple, le filtre anti-repliement, les
filtres passe-bas de Bessel ou de Tchebychev
(associant une résistance et une
capacité), le filtre passe-bande utilisant
un amplificateur opérationnel. Il existe
bien d’autres familles de filtres à base de
composants traditionnels : les filtres analogiques
passifs RLC qui utilisent des
résistances (R), des condensateurs (C) et
des inductances (L), les filtres passifs à
résonateurs à base de quartz, de résonateurs
céramiques ou à ondes de surface,
les filtres passifs à lignes imprimées, les
filtres analogiques actifs intégrant des
amplificateurs opérationnels ou des transistors,
les filtres analogiques à capacités
commutées.Tous ces filtres se distinguent
par une facilité de mise en œuvre, un
fonctionnement à des fréquences qui
peuvent atteindre quelques gigahertz. Le
revers de la médaille réside dans la sensibilité
de ces composants aux conditions
externes (température, humidité). La
non-maîtrise de leurs tolérances nuit également
à la précision du filtrage… surtout
dans le cas de filtres exigeants.
Des filtres avec des erreurs
connues et maîtrisées
Pour s’affranchir des limites des composants
traditionnels, il existe une alternative :
les filtres numériques. Les judicieux assemblages
de résistances, de capacités, d’amplificateurs
opérationnels des filtres analogiques
sont ici remplacés par des
algorithmes de calcul implémentés dans
des microprocesseurs DSP ou des composants
spécifiques du type FPGA. Les filtres
numériques travaillent sur des signaux
numérisés et sont donc placés en aval des
convertisseurs analogique-numérique. Le
signal analogique d’entrée est d’abord
échantillonné à un rythme élevé, à une fréquence
qui est au moins le double de la
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fréquence maximale contenue dans le
signal (sinon, une partie de l’information
est perdue). Les échantillons obtenus sont
ensuite numérisés et c’est sur ces échantillons
numériques que travaillent les filtres
numériques. Les algorithmes implémentés
dans les filtres sont caractérisés par un
ensemble de coefficients permettant de
déterminer la valeur d’un échantillon de
sortie en fonction des échantillons d’entrée
et/ou de sortie précédents. En quoi un
filtrage numérique prévaut-il face à un filtrage
analogique?
Tout d’abord, on n’a pas les erreurs liées
aux non-linéarités des amplificateurs opérationnels
ou aux mauvaises tolérances des
résistances, des capacités, que l’on trouve
sur les filtres analogiques. Les filtres numériques
ne sont pas pour autant parfaits, leurs
résultats sont entachés par d’autres sources
d’erreurs. L’une d’entre elles est liée à la
conversion analogique-numérique. La
numérisation consiste à capturer régulièrement
une valeur d’un signal analogique
pour la transformer en un nombre binaire.
Lors de cette étape, on introduit une
erreur d’arrondi, appelée bruit de quantification,
dont la valeur crête est parfaitement
connue (elle est égale au pas de quantification,
c’est-à-dire 1/2 n ).
Une autre source de bruit provient de l’architecture
des microprocesseurs à virgule
fixe. Prenons l’exemple d’un filtre avec des
coefficients valant en théorie 0,0001 et
0,9999 pour deux d’entre eux et implémenté
sur DSP à virgule fixe. Ce genre de
DSP autorise pour valeurs de paramètres
0, 0,1, 0,2… Il faut alors arrondir les coefficients
de l’algorithme aux valeurs possibles
du DSP. Cette opération implique
une erreur supplémentaire : c’est le bruit
de calcul. On retrouve le même phénomène
avec les résultats des opérations de
base (multiplication, addition, soustraction
et division).
Contrairement aux erreurs issues de la
non-linéarité des amplificateurs opérationnels
ou des tolérances des composants
(utilisés dans les filtres analogiques), les
bruits de quantification et de calcul sont
parfaitement connus et ils restent stables.
Résultat : les filtres numériques gagnent
en précision et en reproductibilité. Il est
même possible d’améliorer la précision
en réduisant le bruit de quantification.
Pour cela, il faut utiliser des microprocesseurs
disposant d’un nombre de bits plus
grand.Ainsi, le pas de quantification, donc
l’erreur entre la valeur réelle et l’arrondi,
seront plus petits. En ce qui concerne le
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bruit de calcul lié aux microprocesseurs à
virgule fixe, une solution consiste à utiliser
des FPGA à virgule flottante.Toutes les
valeurs des coefficients d’un filtre numérique
sont possibles sans arrondi, ce qui
rend le bruit de calcul négligeable. En
contrepartie, ces processeurs à virgule flottante
requièrent une puissance de calcul
plus importante, ralentissant les temps
d’exécution. Avec les évolutions technologiques
des composants, ce handicap s’estompe
progressivement.
Le filtrage numérique apporte d’autres avantages
par rapport aux filtres analogiques.
Changer le gabarit d’un filtre (ondulation
dans la bande passante, ordre du filtre, affaiblissement
dans la bande de réjection) ou
même changer de filtre (passe-bas en passehaut)
revient à modifier les coefficients d’un
algorithme ou l’algorithme lui-même. Ces
opérations s’effectuent par logiciel. Il n’est
donc plus nécessaire d’enlever et d’assembler
différemment résistances, capacités, amplificateurs
opérationnels.
Filtres numériques IIR ou FIR ?
Derrière la notion de filtrage numérique, se
cachent deux grandes familles de filtres.Le filtre
numérique le plus général peut se décrire par
un algorithme de la forme :
y n
=a 1
.y n-1
+a 2
.y n-2
+...+a p
.y n-p
+b o
.x n
+b 1
.x n-1
+...+b q
.x n-q
.
Selon la forme de l’algorithme, on distingue
les filtres IIR et les filtres FIR.
Les filtres Infinite Impulse Response (IIR)
sont inspirés des techniques de filtrage analogique.
Ainsi, on trouve des filtres IIR de
Butterworth,Tchebychev, etc. L’idée est de
profiter dans le monde numérique de tout
le savoir-faire acquis dans le monde analogique.
Pour réaliser un filtre numérique
IIR, on établit d’abord un gabarit de filtre
analogique. Grâce à un outil mathématique
(la transformée bilinéaire), on transpose
la fonction du gabarit du domaine de la
transformation de Laplace (utilisée dans
l’univers analogique) à celui de la transformation
en Z (utilisée dans l’univers
“numérique”). Ce sont des filtres récursifs
(la valeur d’un échantillon de sortie est
fonction des échantillons d’entrée et de
sortie précédents) et leur réponse à une
impulsion s’annule au bout d’un temps
infini, d’où leur nom.
Avec les filtres Finite Impulse Response
(FIR), on accède au très haut de gamme
en matière de filtrage numérique. Leur
théorie s’appuie sur un modèle de filtre
idéal, une approche purement théorique
et mathématique. L’idée d’un filtre FIR est
de réaliser le filtrage numériquement au
moyen du produit de convolution. Cette
manière de procéder permet de réaliser
Filtrage numérique face au filtrage analogique
Avantages
Inconvénients
Filtrage numérique . Insensibilité aux conditions . Performances du filtre directement
(IIR et FIR) extérieures (chaleur, humidité, etc.) proportionnelles à la puissance de
. Pas de problème de dérive l’unité de calcul (DSP ou FPGA)
des composants
. Filtrage limité à 100 MHz
. Nombre d’opérations illimité . Nécessité d’un filtrage anti-repliement
. Filtres non réalisables en (analogique) à l’échantillonnage et
analogique (par exemple filtres FIR)
à la restitution
. Précision connue et contrôlée . Conversions analogique-numérique
. Reproductibilité, sans réglage et numérique-analogique obligatoires
. Filtres modifiables par logiciel . Alimentation nécessaire
. Filtrage adaptatif (filtres FIR) . Bande passante importante
. Systèmes intégrables . Limitation pour les signaux forts et
. Systèmes adaptés aux grandes séries faibles
Filtrage analogique passif . Réalisable jusqu’à des fréquences . Faibles tolérances des composants
(avec composants discrets élevées (quelques GHz) . Systèmes difficilement intégrables
ou piézoélectriques) . Pas d’alimentation
. Systèmes adaptés aux grandes séries
Filtrage analogique actif . Fréquence de coupure . Filtrage limité à quelques MHz
(filtres standards programmable (filtres à capacité commutée) . Alimentation nécessaire
ou à capacité commutée) . Systèmes intégrables (filtres à . Excursion de la tension de sortie limitée
capacité commutée)
. Nécessite des composants précis
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Avec les filtres numériques IIR et FIR,il est possible de réaliser n'importe quel gabarit,même le plus exotique.Extraire l'information
utile de signaux de mesure parasités ne pose alors plus aucun problème…
n’importe quel filtre, même le plus exotique
(un filtre ayant la forme d’un dos de
chameau, par exemple). Il “suffit” d’imaginer
un filtre donné dans le domaine
fréquentiel et de chercher sa réponse
impulsionnelle (la réponse à un signal
“impulsion”). Par simple convolution
de cette réponse, on arrive à filtrer
numériquement n’importe quel
signal. Voilà (brièvement) pour la
théorie.
Mais la réponse impulsionnelle obtenue
est définie pour un temps infini. Aucun
produit de convolution ne peut être réalisé
numériquement avec un tel signal parce
qu’on aurait un nombre infini de paramètres
pour l’algorithme. On effectue un
fenêtrage pour obtenir un nombre limité
de paramètres. Différents types de fenêtres
peuvent être utilisés:fenêtre rectangulaire,
fenêtre de Hamming, fenêtre de Kaiser.
Précisons que, la période d’échantillonnage
du signal étant connue, on ne
parle plus de la durée de la fenêtre, mais
du nombre de “taps” du filtre. Plus un
filtre comporte de taps, plus sa fenêtre est
grande et plus le filtre se rapproche du
filtre idéal. A l’inverse, plus le nombre de
taps est grand, plus le produit de convolution
est long à effectuer.
Même en appliquant un fenêtrage, la
réponse impulsionnelle n’est pas causale.
Pour la rendre causale, c’est-à-dire pour
que f (x) = 0 pour x < 0, il faut “déplacer”
Les filtres numériques : FIR ou IIR ?
Avantages
Inconvénients
Filtres Infinite Impulse . Bien moins de calculs que pour un filtre FIR . Vérifier la stabilité des filtres
Response à performances équivalentes . Phase non linéaire, donc distorsion
de phase
Filtres Finite Impulse . Filtres toujours stables . Beaucoup de calculs par rapport
Response . Phase des signaux linéaire si à un filtre IIR à performances
symétrie des coefficients
équivalentes
. Pas de distorsion de phase
. Possibilité de réaliser toutes sortes
de filtres (standards et exotiques)
vers la droite la réponse. Ce qui entraîne un
déphasage dans le domaine fréquentiel et
un retard dans le domaine temporel. Malgré
tout et contrairement aux filtres IIR, les
filtres FIR n’entraînent pas de distorsion de
la phase, ce qui se traduit par une nondéformation
des signaux. De plus, ces filtres
sans contre-réaction sont donc toujours
stables, c’est-à-dire qu’une impulsion de
Kronecker delta appliquée à ces filtres a une
influence de durée limitée. C’est la raison
pour laquelle on appelle ces filtres Finite
Impulse Response. Leur stabilité signifie
qu’il n’y a jamais de saturation au niveau
du signal de sortie.
Des algorithmes pour déterminer
les coefficients
Cependant ces filtres FIR ne sont jamais
utilisés tels quels, car ils ne sont pas assez
efficaces. Pour une détermination optimale
des coefficients, on fait appel aux
algorithmes Parks-McClellan et Remez.
Cette méthode est basée sur une distribution
uniforme de l’ondulation sur l’ensemble
de la bande passante et de l’affaiblissement
sur toute la bande de réjection.
Les filtres FIR résultants ou filtres “equiripple”
sont nettement plus performants
que les filtres FIR fenêtrés et leur réponse
en phase est également linéaire. La
méthode recherche itérativement les paramètres
afin qu’avec un ordre minimal, le
gabarit soit respecté au mieux. Par rapport
à un filtre FIR fenêtré, l’ordre d’un
filtre FIR “equi-ripple” est nettement inférieur
(à gabarit identique). L’ondulation
dans la bande passante et l’affaiblissement
minimal dans la bande de réjection sont
configurables séparément.
Il existe une autre méthode basée sur un
algorithme des moindres carrés. Par rapport
à l’algorithme Parks McClellan, elle
présente une ondulation dans la bande passante
moindre et un affaiblissement minimal
dans la bande de réjection plus
accentué. La transition bande passante/bande
de réjection est cependant bien
moins rapide.
Toutes ces méthodes, tous ces algorithmes
ne doivent pas faire oublier l’essentiel. Le
filtrage numérique n’est pas la solution à
tous les problèmes. Et, dans l’idéal, rien ne
peut remplacer le filtrage analogique…
Cédric Lardière
Cet article a été réalisé en collaboration avec Denis Prêtre,
professeur HES au laboratoire “Signaux et réseaux” de
l’École d’Ingénieurs de Saint-Imier (EISI).
Ecole d’Ingénieurs de Saint-Imier (Suisse)
Tél : +41 (0) 32942 42 56
E-mail : denis.pretre@eisi.hes-be.ch
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