Traitement du Signal Bruit de la Numérisation - PRIMA

Traitement du Signal
James L. Crowley
Deuxième Année ENSIMAG première Semestre 2002/2003
Séance 5 : 21 octobre 2002
Bruit de la Numérisation
Formule du Jour : .......................................................................1
Bruit de Echantillonage et de Numerisation ..........................2
Bruit d'Echantillonage........................................................... 3
Quanitification:..................................................................... 5
Méthodes de conversion A/N...................................................9
Méthodes Indirect : VCO....................................................... 9
Convertiseeur parallèle. (Anglais “Flash Converteur”).............. 9
Approximation sucessive ....................................................... 10
Conversion Numérique-analogique......................................... 11
Formule du Jour :
La qualité d'un signal est souvent représentée par le "rapport signal/bruit"
(SNR en anglais).
pour x(t) = s(t) + b(t).
Le rapport signal sur bruit est défini par
ξ= W s
W n
où W s est l'énergie du signal s(t) et
W b est l'énergie du bruit b(t)
Le SNR est souvent représenté avec une échelle logarithmique appelée
décibels et noté dB.
ξ dB = 10 log 10 ξ
Un facteur de 3 dB est équivalent à un facteur de 2 en puissance

Bruit de la numérisation Séance 5
Bruit de Echantillonage et de Numerisation
Soit
echantillonage : s(n) = Echant{s(t)} (paramètre : T e )
quantification : s q (n) = Quant{s(n∆T)} (paramètres : V, q)
Conversions Analogique : s^(t) = Analog{s q (n)} (paramtres :T a ,V a q a }
Cas Continu :
s(t)
s(nT e )
s q (nT e )
s(t) ^
Echant{s(t)}
Quant{s(n)}
Analog{s q (n)} –
T e V, q V a , q a
e(t)
En signal continu, le bruit de numérisation peut être calculé comme :
e(t) = s(t) – s^(t)
Son energie est W T = ∫
0
Te(t) 2 dt
Pour le cas continue, l'etude des de la bruit est fait avec la theorie de la probabilité
en utilisant distribution continu des probabilité est les intégrales.
5-2

Bruit de la numérisation Séance 5
Bruit d'Echantillonage
Soit f e = 1 T e
= 1.
X e (f) = X(f) * δ fe(f) =
∞
∑ X(f – kfe )
k=–∞
Le "bruit" d'echantillonage est
W b 2
= 2
⌠
⎮
⎮
⌡
-f e /2
f e /2
∫ X e (f) 2 df
-f e /2
f e /2
∞
∑
k=1
X(f – kfe ) 2 df
Mais ceci est équivalent a tout l'energie au dela de f e
2
∞
∞
W b = 2 ∫ X e (f) 2 df = 2 ∫ X(f) 2 df
f e /2
f e /2
Exemple : Soit x(t) avec Tranformée X(f) = 1 pour | f | ≤ F max
Si l'echantillonage est fait à T e = 1 f e
tout energie entre f e
2 et F max devient bruit.
Après échantillonage, l'energie du signal : W s = 2 ∫
0
f e /2
X(f) 2 df
Energie du bruit
∞
: W b = 2 ∫ X e (f) 2 df= 2
f e /2
F max
∫ X(f) 2 df
f e /2
5-3

Bruit de la numérisation Séance 5
–F max
X(f)
–F e /2
F e /2
F max
f
Rapport ξ= W s
W n
=
f e /2
∫ X(f) 2 df
0
F max
∫X(f) 2 df
f e /2
L'information d'un signal, x(t), est donc assimilé a sa variance,
σ x
2 = E{(x(t)–µ x ) 2 }
Dans ce qui suit, nous suposons que a moyenne du signal, µ x = µ s = µ n = 0.
Donc σ x
2 = W x
La variance d'un signal est une caractéristique liée à la quantité de l'information
représentée.
Le rapport signal sur bruit est défini par
ξ q =
W s
W
= σ s 2
n σ n
2
où σ s 2 est la variance du signal s(t) et
σ n
2 est la variance du bruit n(t)
5-4

Bruit de la numérisation Séance 5
Quanitification:
Soit un signal x e (nT e ) de plage utile (le range dynamique) V.
Pour le suivant, nous laisserons T e = 1.
Le signal est décomposée en 2 B = V q
intervalles de largeur q, par
x q (n) = Max
k {(x e(nT e ) – k·q + q 2 < 0}
3q
2q
x q
q
s
Pour une quantifiaction uniforme, la densité de probabilité est uniforme p(e q ) = 1 q
Pour les valeurs quantifiées par arrondi, µ q = 0.
–q
–2q
–3q
e q = s e – s q
q
2
–q
2
s e
1
q
–q
2
p(e q )
q
2
e q
µ = 0 La variance reste σ 2 =
1
12 q2 5-5

Bruit de la numérisation Séance 5
Soit un signal s(n), L'effet de la quantification est mesuré par :
q
s(n)
Re-Quant{s(n)}
+
+ e(n)
–
L'erreur est : e(n) = s(n) – s q (n)
N–1
Son energie est W N = ∑ e(n) 2 dt
n=0
Son valeur moyenne est Sa moyenne est
q/2
µ = E{p(e)} = ∫ p(e) · e de =
-q/2
q/2
⌠
= ⎮
⌡
-q/2
1
q . · e de = 1
q . 1 2 e2 ⏐ q/2
-q/2 = 1 q . 1 2 (q2 4 – q2
4 ) q2 = 0
Sa variance est σ 2 =
1
12 q2
σ 2 = E{p(e)} =
=
=
q/2
⌠
⎮
⌡
-q/2
1
q/2
∫ p(e) · (e–µ) 2 de)
-q/2
1
q . · (e – q 2 )2 de) =
3q [( q 2 – q 2 )3 – ( – q 2 – q 2 )3 ]
1
q · 1 3 (e – q 2 )3 ⏐ q/2
-q/2
=
1
3q
q3
[(
8 ) + ( q3
8 ) ] =
1
3q (q3 4 ) =
1
12 q2 5-6

Bruit de la numérisation Séance 5
Le rapport signal sur bruit de quantification est défini par
ξ q = W s
W n
N 2s
L'energie W s (N 1 , N 2 ) = ∑ 2(n).
n=N1
Si on suppose que E{s} = 0, la variance vaut l'energie moyenne.
σ s
2 =
Si E{n q } = 0,
1
N 1 –N 2
W s =
1
N 1 –N 2
N 2s(n)
∑ 2.
n=N1
σ q
2 =
1
N 1 –N 2
W q =
Dans ce cas, ξ q = W s
W n
=
1
N 1 –N 2
σ s
2
σ q
2 .
N 2eq
∑ (n) 2 .
n=N1
Donc, le rapport Signal-Bruit peut être estimé par les densité de probabilité.
Par la formule précèdent :
ξ q = σ s 2
q 2
12
12 σ s 2
q 2
et en décibels :
ξ qdB = 10 log 10 ξ q = 10 log 10 (12 σ x 2
q 2 ) = 2 . 10 log 10 ( σ x
q ) + 10 log 10(12) dB
≈ 20 log 10
σ x
q
+ 10.8 dB
Si la plage utile V du signal est décomposée en 2 B intervalles de largeur q,
2 B = V q ⇔ q = V 2 B ⇔ log 10{ σ x
V/2 B} = 10 log 10{2 B } + 20 log 10 { σ x
V } 5-7

Bruit de la numérisation Séance 5
et donc la réduction en rapport Signal-bruit entrainée par la numérisation est
ξ qdB =
10.8 + B 10 log 10 (2) – 20 log 10
V
σ x
dB
ξ qdB =
6B + 10.8 – 20 log 10
V
σ x
dB
Ainsi, pour un convertisseur analogique-numérique, où B représente le nombre de
bits des valeurs de sortie, le rapport signal sur bruit de une quantification mesuré en
décibels varie linéairement avec B et augmente de 6 decibel avec chaque bit
supplémentaire.
5-8

Bruit de la numérisation Séance 5
Méthodes de conversion A/N
Méthodes Indirect : VCO
La valeur de la tension du signal d’entrée est convertie en une fréquence par une
oscilateur commandé en tension. en anglais : Voltage Controlled Oscillateur (VCO).
La fréquence est proportionnelle à la tension.
Ensuite on compte le nombre de passage à zéro pendant ∆T.
Convertiseeur parallèle. (Anglais “Flash Converteur”).
La tension x(n∆T) d’entré est comparé à 2 B – 1 valeurs du type : k U 0
2 B
déduite d’une tension de référence U 0 .
Le résultat est traduite en mot binaire par un décodeur logique.
U 0
(tension de référence)
x(t)
R
+
–
2 n –1 comparateurs
R
•
•
•
R
+
–
décodeur
Logique
Sortie
numérique
(codée
en
binaire)
+
–
R
+
–
R
Utiliser pour la vidéo, radar, etc.
5-9

Bruit de la numérisation Séance 5
Avantage : Rapide est simple.
Inconvenance : Manque de précision.
Approximation sucessive
La tension d’entrée est comparé successivement à une succesion de 2 B – 1 valeurs
de référence pondérées k U 0
2 N.
C’est un système bouclé qui inclut un convertisseur numérique-analogique :
x(t)
+
Σ
–
+
–
Horloge et logique
de commande
interne
• • •
} Sortie
numérique
Convertisseur
N/A
Tension de
Référence U 0
5-10

Bruit de la numérisation Séance 5
Conversion Numérique-analogique
Un convertisseur numérique-analogique est un dispositif produisant une grandeur
de sortie y qui possède 2 N valeurs distinctes. Il est à loi uniforme si ces valeurs
sont régulièrement réparties sur une plage de valeurs allant de zéro à 2 N · q selon la
loi :
y = q (d 1 2 B-1 + d 2 2 B-2 + ... + d B 2 0 )
où q est le pas de quantification.
Des interrupteurs commandés par les variables binaires d k (d k = 0 interrupteur
ouvert, d k = 1 interrupteur fermé) contrôlent le passage de courants pondérés I 0 / 2 N
provenant de source de cournat dépendant d’une référence I 0 vers un point de
sommation.
I 0 /2 d 1
•
•
•
I 0 /4 d 2
I = d 1 I 0 /2 + d 2 I 0 /4 + ... + d B I 0 /2 B
•
•
I •
0 /2 B d B
Dans la pratique, tous les interrupteurs ne réagissent pas exactement au même
instant. Il ne résulte des parasites de commutations (“Glitches” en anglais) qui
doivent être éliminés par filtrage.
5-11