Exemple : Calcul des propriétés de la section efficace d'un ... - cticm

FEUILLE DE CALCUL
Réf. document SX023a-FR-EU Feuill 1 de 9
Titre
Exemple : Calcul des propriétés de la section efficace d'un
profilé en C à bords tombés formé à froid en compression
Réf. Eurocode EN 1993-1-3
Réalisé par V. Ungureanu, A. Ruff Date Déc 2005
Vérifié par D. Dubina Date Déc 2005
Exemple : Calcul des propriétés de la section
efficace d'un profilé en C à bords tombés formé à
froid en compression
Cet exemple traite du calcul des propriétés efficaces d'une section en C à
bords tombés formé à froid soumis à la compression.
Pour le calcul pratique de sections à parois minces conformément à l'EN1993, les
projeteurs utiliseront généralement un logiciel ou consulteront les données fournies par le
fabricant. Cet exemple est présenté à titre d’illustration.
Données
Les dimensions de la section transversale et les propriétés du matériau sont les
suivantes :
Hauteur totale
h = 200 mm
Largeur totale de la semelle supérieure
Largeur totale de la semelle inférieure
Largeur totale du bord tombé
Rayon intérieur des arrondis
Epaisseur nominale
Epaisseur nominale de métal nu
Limite d'élasticité de base
b = 74 1
mm
b = 66 2
mm
c = 20,8 mm
r = 3 mm
t
nom
= 2 mm
t = 1,96 mm
f
yb
= 350 N
Module d'élasticité
E = 210000 N
Coefficient de Poisson ν = 0, 3
Coefficient partiel γ = 10
Les dimensions de la ligne moyenne de la section
sont les suivantes :
M0
,
mm
2
2
mm
EN1993-1-3
§ 3.2.4(3)
EN1993-1-3
§ 2(3)

FEUILLE DE CALCUL
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Titre
Exemple : Calcul des propriétés de la section efficace d'un
profilé en C à bords tombés formé à froid en compression
Réf. Eurocode EN 1993-1-3
Réalisé par V. Ungureanu, A. Ruff Date Déc 2005
Vérifié par D. Dubina Date Déc 2005
Hauteur de l'âme
Largeur de la semelle supérieure
Largeur de la semelle inférieure
Largeur du bord tombé
h
p
= h − tnom
= 200 − 2 = 198 mm
b
p1
= b1
− tnom
= 74 − 2 =
b
p2
= b2
− tnom
= 66 − 2 =
72 mm
64 mm
c = c − t 2 = 20,
8 − 2 2 = 19 8 mm
p nom
,
Vérification des proportions géométriques
La méthode de calcul de l'EN1993-1-3 peut être appliquée si les conditions
suivantes sont satisfaites :
b t ≤ 60 b t = 74 1,96 = 37,75 60 – OK
1
<
c t ≤ 50 c t = 20 ,8 1,96 = 10,61 < 50 – OK
h t ≤ 500 h t = 200 1,96 = 102,04 < 500 – OK
Pour assurer une rigidité suffisante et pour éviter le flambement du raidisseur
de bord, les dimensions de ce dernier devraient être comprises entre les
valeurs suivantes :
0,2
≤ c b ≤ 0,6 c b = 20,8 74 0, 28 0 ,2 < 0,28 < 0, 6 – OK
1
=
c b = 20,8 66 0,32 0 ,2 < 0,32 < 0, 6 – OK
2
=
EN1993-1-3
§ 5.2
L'influence des arrondis est négligée si :
r t ≤ 5 r t = 3 1,96 = 1,53 < 5 – OK
r b p
≤ 0,10 r b = 3 72 = 0,04 0, 10 – OK
p 1
<
EN1993-1-3
§ 5.1(3)
r b = 3 64 = 0,05 0,10 – OK
p 2
<
Propriétés de la section brute
A
br
2
( 2 c + b + b + ) = 1,96 × ( 2×
19,8 + 72 + 64 + 198) = 732 mm
= t
h
p
p1
p2
p
Position de l’axe neutre par rapport à la semelle supérieure :
z
2 2
[ c ( h − c 2)
+ b h + h 2 + c 2]
p p p p2 p p p
b1
=
=
A
br
t
96,88 mm

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Titre
Exemple : Calcul des propriétés de la section efficace d'un
profilé en C à bords tombés formé à froid en compression
Réf. Eurocode EN 1993-1-3
Réalisé par V. Ungureanu, A. Ruff Date Déc 2005
Vérifié par D. Dubina Date Déc 2005
Propriétés de la section efficace des semelles et des bords
comprimés
Il convient d’appliquer la procédure générale (itérative) pour calculer les
propriétés efficaces de la semelle et du bord comprimés (élément plan avec
raidisseur de bord). Le calcul s'effectue en trois étapes :
EN1993-1-3
§ 5.5.3.2
Première étape :
Obtention d'une section transversale efficace initiale pour le raidisseur en
utilisant les largeurs efficaces des semelles, lesquelles sont déterminées en
considérant que les semelles comprimées sont doublement soutenues, que le
raidisseur confère un maintien total ( K = ∞ ) et que la résistance de calcul
n'est pas réduite ( σ
com, Ed
= f
yb
/ γ
M 0
).
EN1993-1-3
§ 5.5.3.2 (3)
Largeur efficace des semelles comprimées
Le rapport de contraintes : ψ = 1 (compression uniforme), donc le coefficient
de flambement est : k σ
= 4 pour un élément interne en compression.
ε =
235 f yb
EN1993-1-3
§ 5.5.2 et
EN1993-1-5
§ 4.4
Pour la semelle supérieure :
L'élancement réduit :
λ
bp1
t
=
28,
4ε
kσ
=
28,
4 ×
72 196 ,
235 350 ×
= 0 789
4
p, b1
,
Le coefficient de réduction de la largeur est :
ρ
λ
− 0,
055
( 3+
ψ ) 0,
789 − 0,
055×
( 3+
1)
p,b1
1
=
=
,
2
2
λ
0,
789
p,b1
= 0 914
La largeur efficace est :
b = ρ b = 0,
914×
72 = 65 8 mm
eff1 1 p1
,
b = b = , 5b
= 0,
5×
65,
8 = 32 9 mm
e11 e12
0
eff1
,

FEUILLE DE CALCUL
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Titre
Exemple : Calcul des propriétés de la section efficace d'un
profilé en C à bords tombés formé à froid en compression
Réf. Eurocode EN 1993-1-3
Réalisé par V. Ungureanu, A. Ruff Date Déc 2005
Vérifié par D. Dubina Date Déc 2005
Pour la semelle inférieure :
L'élancement réduit :
λ
bp2
t
=
28,
4ε
kσ
=
28,
4 ×
64 196 ,
235 350 ×
= 0 702
4
p, b2
,
Le coefficient de réduction de la largeur est :
ρ
λ
− 0,
055
( 3+
ψ ) 0,
702 − 0,
055×
( 3+
1)
p,b2
2
=
=
,
2
2
λ
0,
702
p,b2
= 0 978
La largeur efficace est :
b = ρ b = 0,
978 × 64 = 62 6 mm
eff2 2 p2
,
b = b = , 5b
= 0,
5×
62,
6 = 313 mm
e21 e22
0
eff2
,
Largeur efficace du bord tombé
Pour le bord tombé supérieur :
Le coefficient de flambement est :
si b b ≤ 0 35 : k = 0 5
p, c p
,
si , 35 b b ≤ 0 6
0
p, c p
,
σ
,
2
σ p,c p
35
< : k = 0 , 5 + 0,
83
3 ( b b − 0,
)
EN1993-1-3
§ 5.5.3.2(5a)
b b = 19,
8 72 = 0,
275 < 0 35 donc k = 0 5
p, c p1
,
L'élancement réduit :
λ
cp
t
=
28,
4ε
kσ1
=
28,
4 ×
19,
8 196 ,
235 350 ×
σ1
,
= 0 614
0,
5
p, c1
,
Le coefficient de réduction de la largeur est :
λp,c1
− 0188 , 0,
614 − 0188 ,
ρ
1
=
=
= 113 , mais ρ ≤1
donc
2
2
1
1
λ
0,
614
=
p,c1
EN1993-1-5
§ 4.4
ρ
La largeur efficace est :
c = c ρ = 19,
8 × 1 = 19 8 mm
eff1 p 1
,
Aire efficace du raidisseur du bord supérieur :
s1
2
( b + c ) = 1 , 96×
( 32,
9 + 19,
8) 103,
3 mm
A = t
=
e12
eff1
EN1993-1-3
§ 5.5.3.2(5a)
§ 5.5.3.2(6)

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Titre
Exemple : Calcul des propriétés de la section efficace d'un
profilé en C à bords tombés formé à froid en compression
Pour le bord tombé inférieur :
Le coefficient de flambement est :
Réf. Eurocode EN 1993-1-3
Réalisé par V. Ungureanu, A. Ruff Date Déc 2005
Vérifié par D. Dubina Date Déc 2005
b b = 19,
8 64 = 0,
309 < 0 35 donc k = 0 5
p, c p2
,
L'élancement réduit :
λ
cp
t
=
28,
4ε
kσ2
=
28,
4 ×
19,
8 196 ,
235 350 ×
σ2
,
= 0 614
0,
5
p, c2
,
Le coefficient de réduction de la largeur est :
λp,c2
− 0188 , 0,
614 − 0188 ,
ρ
2
=
=
= 113 , mais ρ ≤1
donc
2
2
2
1
λ
0,
614
=
p,c2
EN1993-1-3
§ 5.5.3.2(5a)
EN1993-1-5
§ 4.4
ρ
La largeur efficace est :
c = c ρ = 19,
8×
1 = 19 8 mm
eff2 p 2
,
Aire efficace du raidisseur du bord inférieur :
s2
2
( b + c ) = 1 , 96×
( 313 , + 19,
8) 100,
2 mm
A = t
=
e22
eff2
EN1993-1-3
§ 5.5.3.2(5a)
§ 5.5.3.2(6)
Deuxième étape :
Utilisation de la section transversale efficace initiale du raidisseur pour
déterminer le coefficient de réduction, en tenant compte des effets du
maintien élastique continu.
EN1993-1-3
§ 5.5.3.2(3)
La contrainte critique de flambement élastique du raidisseur de bord est :
σ
cr,s
2
=
K E I
A
s
s
où :
K est la rigidité du support élastique par unité de longueur,
I s est le moment d'inertie de la section efficace du raidisseur.
EN1993-1-3
§ 5.5.3.2(7)

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Exemple : Calcul des propriétés de la section efficace d'un
profilé en C à bords tombés formé à froid en compression
Réf. Eurocode EN 1993-1-3
Réalisé par V. Ungureanu, A. Ruff Date Déc 2005
Vérifié par D. Dubina Date Déc 2005
Pour le raidisseur du bord supérieur :
La rigidité du support élastique est :
K
1
=
E t
3
⋅
2 2 3
4(1
−ν
) b1
hp
+ b1
+ 0,5b1
b2
hp
kf
1
EN1993-1-3
§ 5.5.3.1(5)
avec :
b
1
– distance entre la jonction âme-semelle et le centre de gravité de l'aire
efficace du raidisseur de bord (semelle supérieure)
b
b
−
( b
t b
2
) t
32,9 × 1,96×
32,9 2
= 72 −
(32,9 + 19,8) × 1,96
e12 e12
1
= bp1
=
e12
+ ceff
61,73 mm
b
2
– distance entre la jonction âme-semelle et le centre de gravité de l'aire
efficace du raidisseur (semelle inférieure)
b
b
−
( b
t b
2
) t
31,3 × 1,96×
31,3 2
= 64 −
(31,3 + 19,8) × 1,96
e22 e22
2
= bp2
=
e22
+ ceff2
54,41 mm
As2
100,
2
k
f
= = = 0,
97 pour une barre en compression axiale
A 103,
3
s1
K
1
= 0,331 N mm
2
Le moment d'inertie efficace :
I
I
s1
s1
b
=
2
2
3 3
2
2
e12
t ceff1
t ⎡ c ⎤ ⎡
eff1
c ⎡
eff1
c ⎤
eff1
e12
eff1
12 12 2( e12 eff1) 2 2( e12 eff1)
⎥ ⎥ ⎤
+ + b t⎢
⎥ + c t⎢
− ⎢
⎥
⎣ b + c ⎦ ⎢ ⎣ b + c ⎦⎦
= 3663 mm
4
ainsi, la contrainte critique de flambement élastique pour le raidisseur du bord
supérieur est
⎣
σ
cr, s1
2 ×
=
0,
331×
210000 × 3663
103,
3
= 309 N
mm
2

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Réalisé par V. Ungureanu, A. Ruff Date Déc 2005
Vérifié par D. Dubina Date Déc 2005
Pour le raidisseur du bord inférieur :
La rigidité du support élastique est :
K
2
=
E t
3
⋅
2 2 3
4(1
−ν
) b2
hp
+ b2
+ 0,5b1
b2
hp
kf
1
,
K
2
= 0,406 N mm
2
Le moment d'inertie efficace :
I
I
s2
s2
b
=
2
2
3 3
2
2
e22
t ceff2
t ⎡ c ⎤ ⎡
eff2
c ⎡
eff2
c ⎤
eff2
e22
eff2
12 12 2( e22 eff2
) 2 2( e22 eff2
) ⎥ ⎥ ⎤
+ + b t⎢
⎥ + c t⎢
− ⎢
⎥
⎣ b + c ⎦ ⎢ ⎣ b + c ⎦⎦
= 3618 mm
4
ainsi, la contrainte critique de flambement élastique pour le raidisseur du bord
inférieur est :
⎣
σ
cr, s2
2×
=
0,
406×
210000×
3618
100,
2
= 350,
7 N
mm
2
Coefficient de réduction de l'épaisseur χ d pour le raidisseur de bord
Pour le raidisseur du bord supérieur :
L'élancement réduit :
λ = f σ = 350 309 = 1 064
d1 yb cr,s1
,
Le coefficient de réduction sera :
si λ ≤ 0 65 χ = 10
d
,
d
,
si 0, 65 < λ
d
< 1,
38 χ
d
= 1, 47 − 0,
723λd
si ≥ 138
λ
d
,
χ
d
= 0,
66 λd
0, 65 < λ
d1
= 1,
064 < 138 , donc χ = 1, 47 − 0,
723×
1064 , = 0 701
d1
,
EN1993-1-3
§ 5.5.3.2(3)
Figure 5.10d
EN1993-1-3
§ 5.5.3.1(7)
EN1993-1-5
§ 4.4(2)
Pour le raidisseur du bord inférieur :
L'élancement réduit sera :
λ = f σ = 350 350,
7 = 0 999
d2 yb cr,s2
,
Le coefficient de réduction sera :
0, 65 < λ
d2
= 0,
999 < 138 , donc χ = 1, 47 − 0,
723×
0,
999 = 0 748
d2
,

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Exemple : Calcul des propriétés de la section efficace d'un
profilé en C à bords tombés formé à froid en compression
Réf. Eurocode EN 1993-1-3
Réalisé par V. Ungureanu, A. Ruff Date Déc 2005
Vérifié par D. Dubina Date Déc 2005
Troisième étape :
Etant donné que le coefficient de réduction pour le flambement du raidisseur
est χ d < 1, procéder par itérations pour en affiner la valeur.
Les itérations sont exécutées sur la base des valeurs modifiées de ρ ,
lesquelles sont obtenues en utilisant :
σ
com, Ed,i
= χd
f
yb
γ
M0
et λ
p, red
= λp
χd
EN1993-1-3
§ 5.5.3.2(3)
Figure 5.10e
EN1993-1-3
§ 5.5.3.2 (10)
Le processus d'itération s'arrête lorsque la valeur du coefficient de réduction
χ converge.
Pour le raidisseur du bord supérieur :
Valeurs initiales (première itération) : Valeurs finales (itération n) :
χ = 0 701
χ = χ = 0 683
d1
,
d1 d1,n
,
b
e12
= 32,
9 mm
b = b 36 mm
e12 e12,n
=
c
eff1
= 19,
8 mm
c = c = 19 8 mm
eff1 eff1,n
,
Pour le raidisseur du bord inférieur :
Valeurs initiales (première itération) : Valeurs finales (itération n) :
χ = 0 748
χ = χ = 0 744
d2
,
d2 d2,n
,
b
e22
= 313 , mm
b = b 32 mm
e22 e22,n
=
c
eff2
= 19,
8 mm
c = c = 19 8 mm
eff2 eff2,n
,
Les valeurs finales des propriétés de la section efficace pour les semelles et
les bords comprimés sont :
Pour la semelle et le bord supérieurs :
χ
d1
= 0,
683 b
e12
= 36 mm c
eff1
= 19,
8 mm
et b = 32 9 mm
e 11
,
Pour la semelle et le bord inférieurs :
χ
d2
= 0,
744 b
e22
= 32 mm c
eff2
= 19,
8 mm
et b = 313 mm
e 21
,

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Exemple : Calcul des propriétés de la section efficace d'un
profilé en C à bords tombés formé à froid en compression
Réf. Eurocode EN 1993-1-3
Réalisé par V. Ungureanu, A. Ruff Date Déc 2005
Vérifié par D. Dubina Date Déc 2005
t
red,1
= tχd1
= 1,96 × 0,683 = 1.34 mm
t
red,2
= tχd2
= 1,96 × 0,744 = 1,46 mm
EN1993-1-3
§ 5.5.3.2(12)
Propriétés de la section efficace de l'âme
Le rapport de contraintes : ψ = 1 (compression uniforme), donc le coefficient
de flambement est : k σ
= 4 pour un élément sollicité en compression.
ε =
235 f yb
L'élancement réduit :
λ
hp
t
=
28,
4ε
kσ
198 196 ,
=
28,
4×
235 350 ×
= 2171
4
p, h
,
EN1993-1-3
§ 5.5.2
et
EN1993-1-5
§ 4.4
Le coefficient de réduction de la largeur est :
λ
ρ =
p,h
− 0,
055
λ
2
p,h
( 3 + ψ ) 2171 , − 0,
055×
( 3 + 1)
=
2171 ,
2
= 0,
414
La largeur efficace de l'âme est :
heff = ρ hp
= 0,
414 × 198 =
82 mm
h
e1
= he2
= 0,
5heff
= 0,
5×
82 = 41 mm
Propriétés de la section efficace
Aire efficace de la section transversale :
eff
[ b + b + h + h + ( b + c ) χ + ( b c ) χ ]
A = t
+
eff
e11
e21
A = 436,7 mm
2
e1
e2
Position de l’axe neutre par rapport à la semelle supérieure :
e12
eff1
d1
e22
eff2
d2
z
G1
⎡
t⎢c
=
⎣
eff2
⎛
χd2⎜h
⎝
z
G1
= 98,
44 mm
p
c
−
2
eff2
⎞
⎟ + h
⎠
p
( b χ + b )
e22
d2
A
e21
eff
+ h
e2
⎛
⎜h
⎝
p
2
e1
he2
⎞ h
− ⎟ +
2 ⎠ 2
Position de l’axe neutre par rapport à la semelle inférieure :
z = h − z = 198 − 98,
44 = 99 56 mm
G2 p G1
,
c
+
2
eff1
χ
2
d1
⎤
⎥
⎦

Enregistrement de la qualité
Exemple : Calcul des propriétés de la section efficace d'un profilé en C à bords
tombés formé à froid en compression
SX023a-FR-EU.doc
TITRE DE LA RESSOURCE
Exemple : Calcul des propriétés de la section efficace d'un profilé en
C à bords tombés formé à froid en compression
Référence(s)
DOCUMENT ORIGINAL
Nom Société Date
Créé par V. Ungureanu, A. Ruff BRITT Ltd. Timisoara,
Roumanie
Contenu technique vérifié par D. Dubina BRITT Ltd. Timisoara,
Roumanie
05/12/2005
08/12/2005
Contenu rédactionnel vérifié par
Contenu technique approuvé par les
partenaires :
1. Royaume-Uni G W Owens SCI 12/04/06
2. France A Bureau CTICM 12/04/06
3. Suède B Uppfeldt SBI 11/04/06
4. Allemagne C Müller RWTH 11/04/06
5. Espagne J Chica Labein 12/04/06
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G W Owens SCI 11/09/06
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