Rotation des contraintes et comportement des sols autour des ...

Fondations superficielles. Magnan et Droniuc (ed.) 2003, Presses de l’ENPC/LCPC, Paris
ROTATION DES CONTRAINTES ET COMPORTEMENT DES SOLS AUTOUR
DES FONDATIONS SUPERFICIELLES
STRESS ROTATION AND BEHAVIOUR OF SOILS CLOSE TO SHALLOW FOUNDATIONS
Philippe REIFFSTECK, Khaldoun NASREDDINE
Laboratoire Central des Ponts et Chaussées, 58, bd Lefebvre, F-75015 Paris
RÉSUMÉ – Cette communication discute de l’influence de la contrainte principale intermédiaire
sur l’estimation de la sécurité des ouvrages tels que les fondations superficielles, dans la
pratique de l’ingénieur. On s’appuie pour cela sur les nombreuses études expérimentales
consacrées à l’influence de la rotation des contraintes sur l’angle de frottement interne. Ces
observations suggèrent quelques conclusions sur la sécurité réelle de ces ouvrages.
ABSTRACT – This paper discusses the influence of the intermediate principal stress on the
estimated safety of structures such as shallow foundations, with reference to geotechnical
engineering practice. This is achieved by referring to the numerous experimental studies which
were devoted to the influence of the stress rotation on the friction angle. These observations
suggest some conclusions on the actual level of safety of these structures.
1. Étude du comportement des sols autour d’une fondation superficielle
1.1 Étude du comportement des sols autour d’une fondation superficielle à l’aide
d’essais en vraie grandeur
Historiquement, l’étude des fondations superficielles s’est faite à l’aide de dispositifs de
chargement constitués dans la majorité des configurations par (Deguillaume, 1948 ; CFMSP,
1956) :
- une poutre de réaction,
- un système de chargement,
- une semelle préfabriquée de la forme voulue,
- un système de mesure des efforts et des déplacements en surface.
La zone d’essai sur laquelle peut se déplacer la poutre de réaction est de forme
rectangulaire ou circulaire. Des études avec ce type de matériel ont été menées, par exemple,
aux États-Unis d’Amérique dans les années 1950 ou en Allemagne dans les années 1960
(Foster,1951 ; Muhs et al., 1969). Ces études de fondations superficielles relevées dans la
bibliographie ne sont pas atypiques ; elles reposent souvent sur l’analyse inverse d’ouvrages
qui ne sont pas équipés de capteurs spécifiques comme des capteurs d’efforts tangentiels ou
des capteurs placés sur des facettes particulières. Les mesures effectuées se limitent
généralement aux efforts appliqués globalement ou ponctuellement sous la zone de
chargement ainsi qu’aux déplacements en surface ou en profondeur sous et autour de la zone
de chargement.
Un exemple de station d’essai est la station d’essai représentée sur la figure 1. Elle a été
utilisée en France par le réseau des laboratoires des Ponts et Chaussées pour réaliser près de
120 essais sur différents sites durant les années 1980. Ces travaux ont fait l’objet de
nombreuses publications (Amar et al., 1984 ; Amar et al., 2001). Elle comporte :
- une poutre avec un chariot roulant qui peut se déplacer le long de la poutre de réaction,
- un vérin hydraulique inclinable ainsi qu’un groupe hydraulique,
- une semelle équipée de capteurs de contraintes,
- une centrale d’acquisition des efforts et des déplacements en surface.
441

SCHAEV I TZ
centrale
hydraulique
capteurs de déplacement
conditionnement
des capteurs
1
0
vérin
capteur de force
ancrage
Figure 1. Station d’essai de chargement de fondations superficielles
du réseau des laboratoires des Ponts et Chaussées.
Ces expérimentations ne furent pas équipées de capteurs de contrainte interne au massif
car 93% des essais ont été faits sur des sols naturels et les techniques de mesure des efforts
horizontaux ou tangentiels sont difficilement insérables dans un massif vierge sans en
perturber l’état initial. Cette station est toujours utilisée au Maroc dans le cadre des essais
effectués à Ouarzazate par le LPEE (Ejjaaouani et al., 2003).
En Union Soviétique, dans les années 1970, une série d’essais de chargement in situ d’une
fondation sur des loess a été rapportée par Lomize et al. (1969a ; 1969b).
σ z (kPa)
q=300 kPa
σ r
(kPa)
q=25 kPa
σ θ (kPa)
q=300 kPa
τ zr (kPa)
q=25 kPa
24
170
375
185
153 150 80 10
10
50
160
193
135 120 22
16 120 300 300
37 140 250 320
115 180 70 15
182 165 85 22
1.R
15 80 140 115
12 72 132 182
87 60 45
40 47 25
1.R
44 135 212 285
52 117 183 250
196 148 85 24
185 128 77 26
2.R
14 60 109 196
16 50 85 185
30 42 24
22 25 22
2.R
59 102 150 192
147 100 67 28
18 39 61 147
14 18 23
3.R
3.R
4.R
4.R
56 54 59 76
2.R
1.R
AXE
60 50 40 24
1.R
2.R
Diagramme des contraintes verticales et
horizontales
5.R
16 16 16 60
2.R
1.R
AXE
2 5 11
1.R
2.R
Diagramme des déplacements verticaux et
horizontaux
5.R
Figure 2. Mesures effectuées sur le plot d’essais sur lœss (d’après Lomize et al., 1969).
La mesure des efforts a été complétée par la mesure des déplacements verticaux et radiaux
(figure 3). Les mesures présentées sur les deux figures correspondent à la charge ayant
provoqué la rupture de la fondation.
Comme on a pu le constater sur les figures précédentes, lors du chargement des fondations
superficielles, différentes combinaisons de contraintes normales σ z , σ r , σ θ et tangentielle τ zr
sont imposées au massif. Les axes principaux tournent à partir de leur état initial. Cette rotation
des contraintes peut être caractérisée par l’angle α. Lorsque les contraintes sont exprimées en
442

coordonnées cylindriques, l’angle α est obtenu à partir de la construction du pôle du cercle de
Mohr :
1 ⎛ 2τ
⎞
⎜
zr
α = .arctan ⎟
2
⎝ σ z − σ r ⎠
Ces résultats permettent de localiser une zone de rotation importante des contraintes
lorsque la charge de rupture est atteinte (figure 6). Toutefois, les études de Lomize
s’intéressaient à un sol spécifique, le lœss, sol affaissable, et le chargement comportait des
phases de submersion du site d’essai, ce qui rend difficile l’interprétation des résultats.
Une série d’essais très complète a été effectuée par la Waterways Experimental Station de
Vicksburg en 1949 sur un loess compacté (Foster et al., 1951). Nous avons représenté sur la
figure 4 les valeurs des contraintes principales σ 1 et σ 3 ainsi que leur inclinaison pour deux
valeurs de la charge.
(1)
∆v (mm)
q=300 kPa
∆u (mm)
q=25 kPa
206
400/703
703
v
u
0
41
0
50
184 487 541
49
58
1.R
39
47
130 259 323
29
30
2.R
15
20
72 110 148
3.R
3
5
31 37 52
4.R
2.R 1.R AXE
19 25 32
1.R
2.R
5.R
Figure 3. Mesures de déplacement effectuées sur le plot d’essais sur lœss
(d’après Lomize et al., 1969).
310,26 kPa
413,83 kPa
profondeur (pieds)
0
1
2
3
4
5
6
8
7
6
σ 3
5
4
206,8 kPa
68,9 kPa
137,9 kPa
13,8 kPa
68,9 kPa
34,5 kPa
0
1 1
2
2
3
3
4
5
distance à l'axe (pieds)
σ 1
6
7
8
profondeur (pieds)
0
1
2
3
4
5
6
8
7
6
σ 3
5
4
82,7 kPa
13,8 kPa
3
2
1
0
1
2
distance à l'axe (pieds)
344,7 kPa
206,8 kPa
68,9 kPa
3
34,5 kPa
4
5
σ 1
6
7
8
Figure 4. Mesures effectuées sur le plot d’essais sur lœss (d’après Foster et al., 1951).
443

Si l’on rassemble sur le même graphique les rotations de contraintes pour deux valeurs
successives du chargement, on observe la plus grande évolution de l’angle α à proximité de la
zone du mécanisme de rupture classiquement proposé (figure 5).
q
103,4 kPa
137,9 kPa
profondeur (pieds)
0
1
2
3
4
5
68,9 kPa
6,8 kPa
34,5 kPa
q=310,26 kPa
q=413,83 kPa
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8
distance à l'axe (pieds)
Figure 5. Évolution de la rotation des contraintes entre deux chargements
(d’après Foster et al., 1951).
De même, l’observation des rotations de contraintes pour les deux expérimentations
présentées précédemment montre une évolution comparable de la rotation des contraintes
autour de la fondation (figure 6). Les valeurs élevées de la rotation loin de l’axe de la fondation
dans les essais de Foster peuvent être dues au mode de réalisation du massif par
compactage. Il s’agit sans doute des contraintes résiduelles apparues à proximité de la
frontière du massif (Foster et al., 1951).
0.R
0,5.R
1.R
1,5.R
2.R
2,5.R
angle α de
rotation des
contraintes
profondeur
40-50
30-40
20-30
10-20
0-10
0,66*R
1,33*R
2*R
profondeur
2,66*R
angle α de
rotation des
contraintes
100-110
90-100
80-90
70-80
60-70
50-60
40-50
30-40
20-30
10-20
0-10
3.R
0 1*R 1,5*R 2*R
distance à l'axe
distance à l'axe
a) b)
Figure 6. Isovaleurs de l’angle de rotation des contraintes
(d’après Lomize et al., 1969a ; Foster et al., 1951).
3,33*R
Les axes principaux tournent donc à partir de leur état initial et la position de la contrainte
principale intermédiaire σ 2 par rapport à celles dites majeure σ 1 et mineure σ 3 varie. Dans le
cas d’une fondation, la direction de la contrainte intermédiaire σ θ reste fixe. Nous pouvons donc
rester en deux dimensions et déterminer les contraintes principales σ 1 et σ 3 :
444

( σ
+ σ )
2
− σ
2
z r
z r 2
σ
1
= + ( )
σ
σ 2 = σ θ
( σz
+ σr
) σz
− σr
σ
3
= − ( )
2 2
2
+ τ
+ τ
2
rz
2
rz
et
b
σ
σ
2 3
= (2) et (3)
1
− σ
− σ
3
Nous pouvons alors représenter la variation du coefficient de la contrainte principale
intermédiaire. Ce changement peut être caractérisé par le paramètre b obtenu à l’aide de la
relation (3). La répartition pour l’essai de Lomize est donnée sur la figure 7.
0.R
coefficient b
0,5.R
1.R
0,8-1
0,6-0,8
0,4-0,6
0,2-0,4
0-0,2
1,5.R
profondeur
2.R
2,5.R
3.R
0 1*R 1,5*R 2*R
distance à l'axe
Figure 7. Isovaleurs du coefficient b de la contrainte principale intermédiaire
(d’après Lomize et al., 1969a).
1.2 Étude du comportement des sols autour d’une fondation superficielle à l’aide de
modèles physiques
Du fait de la difficulté d’instrumenter et de charger un massif de sol de grandeur réelle, de
nombreuses études ont été réalisées sur des modèles physiques :
- modèles photoélastiques (Habib et al., 1954),
- modèles analogiques avec rouleaux de Schneebeli (Faugeras, 1979),
- modèles réduits (Habib, 1951 ; Tcheng, 1957)
- modèles réduits avec gradient hydraulique (Tcheng, 1977)
- modèles réduits centrifugés (Garnier et al., 2003).
Du fait des incompatibilités entre les différents facteurs d’échelle, les modèles de
laboratoire, à l’exception des modèles à gradient hydraulique et des modèles réduits
centrifugés, ne correspondent à aucun ouvrage en vraie grandeur. Ces essais de laboratoire
ne sont pas des modèles réduits, c'est-à-dire qu'il n'est pas possible de prévoir le
comportement des ouvrages réels à partir de ces essais et de règles de similitude. Il s’agit de
prototypes à part entière où les paramètres sont généralement mieux contrôlés qu'en place. À
partir de l'instant où les mécanismes élémentaires sont établis pour des niveaux de contraintes
445

couvrant le domaine relatif aux ouvrages réels, savoir simuler le comportement d'un ouvrage
de laboratoire équivaut à savoir faire des calculs prévisionnels d'ouvrages réels, pourvu que les
mesures indispensables existent.
Les auteurs de ces essais s’intéressent principalement à l’identification du mécanisme de
rupture. Celui-ci est en accord avec les observations faites sur massif réel. Mais les principaux
écueils de ce type de modélisation proviennent de l’effet d’inclusion des capteurs, ainsi que
des effets d’échelle liés à la dilatance. La réalisation de la mesure de l’état de contrainte dans
le massif n’a donc généralement pas été effectuée, à part pour la photoélasticité ou pour le
massif analogique pour lesquels il est possible de réaliser une mesure indirecte.
La deuxième série d’expérimentations effectuée par Lomize et al. (1972) se fit sur modèle
réduit dans une cuve de sable de 200 cm par 120 cm de base et 180 cm de hauteur. Un
réseau de capteurs mesurait σ xx , σ yy et σ zz et σ xy dans le sol sableux. Les résultats obtenus
sont similaires à ceux des figures 2 et 3 mais avec une mesure plus précise des contraintes
tangentielles et radiales de cisaillement.
Le but de l’étude était d’obtenir une évaluation quantitative de l’erreur obtenue dans la
détermination des composantes des déformations et des contraintes dans la fondation en
comparant les valeurs mesurées avec celles obtenues à partir de la théorie de l’élasticité
linéaire et de mettre en évidence l’effet de la rotation des contraintes sur les relations
contraintes-déformations. Lomize (1972) a constaté qu’une zone de perturbation des
contraintes est créée sous la fondation et que l’anisotropie et la rotation des contraintes
principales provoquent un changement de l’état de déformations. Il conclut qu’il faut développer
un modèle numérique qui prend en compte ces phénomènes pour éviter une sous-estimation
de la sécurité des grands ouvrages.
2. Effet de la rotation des contraintes sur le comportement mécanique des sols
La rotation des contraintes observée expérimentalement sous les fondations superficielles a un
effet significatif sur la résistance des sols. Nous avons rassemblé sur la figure 8 quelques
résultats d’essais pour différents types de sols sous forme de courbes donnant la variation de
l’angle de frottement et donc de la pente de la droite d’état critique avec la rotation des
contraintes représentée par α.
45
40
angle de frottement Phi (°)
35
30
25
20
15
argile sableuse (Lomize)
argile noire (Hicher)
argile EPK (Lade)
Argile kaolinitique (Broms)
Kaolinite (Golcheh)
Argile Floride (Saada)
Argile Atchafalaya (Saada)
Kaolin reconstitué (Saada)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
alpha (°)
Figure 8. Relation entre la pente M de la droite d’état critique et la valeur de α (argiles)
446

Les essais sont effectués avec des chemins de chargement différents, qui sont détaillés
dans les articles suivants : Habib (1957), Saada et al. (1975), Broms et al., (1965), Lomize et
al. (1972) Reiffsteck et al. (2002a). Toutefois, on remarque par le regroupement des courbes
par faisceaux que ces résultats semblent dépendre de la nature du sol mais aussi des
conditions aux limites des essais. On observe dans le cas général des courbes avec une
concavité vers le bas. Cette tendance a également été constatée pour la cohésion avec une
concavité vers le haut (Habib, 1957 ; Mayne et al., 1982).
3. Étude d’une fondation superficielle par la méthode des éléments finis
La réalisation d’un calcul bidimensionnel en élastoplasticité par la méthode des éléments finis
permet de tracer les isovaleurs d’angle de rotation des contraintes à la charge appliquée lors
des expérimentations de Lomize. Ces isovaleurs sont très proches des résultats de Lomize et
de Foster présentés au paragraphe 1.1 (figure 9). Le résultat est moins probant pour les
isovaleurs du coefficient b. Cette conclusion peut être étayée par la comparaison des résultats
obtenus par la méthode des éléments finis avec les résultats de la solution analytique en
élasticité (Poulos et al., 1974).
q=300 kPa
q=25 kPa
0*R
1*R
angle α de rotation
des contraintes
90-100
80-90
70-80
60-70
50-60
q=300 kPa
q=25 kPa
0*R
1*R
coefficient b
0,8-1
0,6-0,8
0,4-0,6
0,2-0,4
0-0,2
profondeur
40-50
30-40
20-30
profondeur
2*R
10-20
0-10
2*R
3*R
0*R 1*R 2*R 3*R 4*R
distance à l'axe
0*R 1*R 2*R 3*R 4*R
distance à l'axe
Figure 9. Isovaleurs de l’angle α de rotation des contraintes et du coefficient b de la contrainte
principale intermédiaire lors de la modélisation en éléments finis 2D des essais de Lomize.
3*R
q=300 kPa
q=25 kPa
0*R
q=300 kPa
q=25 kPa
0*R
1*R
angle α de rotation
des contraintes
40-50
30-40
20-30
10-20
0-10
1*R
coefficient b
0,8-1
0,6-0,8
0,4-0,6
0,2-0,4
0-0,2
-0,2-0
2*R
profondeur
2*R
profondeur
3*R
3*R
4*R
0*R 1*R 2*R 3*R 4*R
distance à l'axe
4*R
0*R 1*R 2*R 3*R 4*R
distance à l'axe
Figure 10. Isovaleurs de l’angle α de rotation des contraintes (à gauche) et du coefficient b de
la contrainte principale intermédiaire (à droite) dans le cas élastique.
447

Les résultats de la solution élastique présentés sur la figure 10 sont en accord avec les
résultats expérimentaux des figures 6 et 7. On notera que les valeurs élevées de b ne
pénètrent pas en profondeur dans le massif comme dans l’expérimentation de Lomize (1972).
Pour affiner ces premiers résultats, nous avons étudié une fondation superficielle avec
différentes techniques de modélisation : bidimensionnelle, axisymétrique et tridimensionnelle
(figure 11). Nous voulions observer si, lors de la modélisation 2D ou 3D, des écarts dus à
l’absence de la contrainte principale intermédiaire dans l’expression des critères de plasticité
apparaissaient.
Nous avons utilisé comme cas d’étude une fondation superficielle instrumentée de la station
d’essai de Jossigny, site expérimental du LCPC qui a fait l’objet de nombreux essais avec la
station d’essais de fondations superficielles des laboratoires des Ponts et Chaussées (Amar et
al., 1984).
Le site expérimental de Jossigny, situé à environ trente kilomètres à l’Est de Paris, repose
sur un limon dont les caractéristiques physiques et mécaniques sont données par Amar et al.
(1984) et Canepa et Depresles (1990).
3 D 2 D axisymétrie 2 D
Figure 8. Les types de modélisations réalisées.
De nombreux essais de caractérisation ont été réalisés : granulométrie, limite d’Atterberg,
densité, œdomètre, triaxiaux, pressiomètre Ménard, pressiomètre autoforeur, pénétromètres
statiques et dynamique, scissomètre.
La fondation étudiée est circulaire, avec un diamètre de 1 m et elle est encastrée dans le sol
d’une hauteur de 0,35 m. Une pression uniforme variant par paliers est appliquée au sol sous
la fondation, de manière à reproduire l’effet du chargement de la fondation.
Le maillage bidimensionnel représente une demi-section de cylindre de 6 m de hauteur et de
3,5 m de largeur en appliquant les recommandations classiques sur les dimensions des
maillages par rapport à celle de la zone sollicitée. Il comporte 496 nœuds et 223 éléments
triangulaires à six nœuds. La taille des éléments du maillage varie à proximité de la zone
d’application de la charge. Les conditions aux limites sont les suivantes :
- les déplacements horizontaux des limites latérales et de la limite inférieure sont bloqués ;
- les déplacements verticaux de la limite inférieure sont bloqués.
Le sol est modélisé par le modèle Cam-clay modifié. Les paramètres nécessaires au calcul
sont donnés dans le tableau 1.
448

Conditions aux limites
blocage en u
blocage en u et v
v
u
Figure 9. Maillage bidimensionnel en éléments finis de la fondation : conditions aux limites
imposées et exemple de déformée obtenue.
Tableau 1. Valeurs des paramètres de calcul.
Poids volumique Pression de préconsolidation
Indice des vides
initiale
initial
449
Pente de la
courbe de l’état
critique
Valeur retenue 17 kN/m 3 102 kPa e 0 = 0,56 M = 1,287
Formule
6sin
ϕ
M =
3 − sin ϕ
Origine oedomètre triaxial
Pente de la courbe
vierge
Pente des courbes
charges/décharges
Module d’Young Coefficient de
Poisson
Valeur retenue 0,0912 0,00912 31 MPa 0,33
Formule λ= C c /ln10 κ=λ/10 E=2(1+ν)G forfaitaire
Origine œdomètre œdomètre pressiomètre
autoforeur
corrélation
La nappe phréatique se situe entre 1 et 2 m sous le terrain naturel et le sol est saturé à 1,5
mètres au-dessus de celle-ci. Nous avons pris une pression de préconsolidation égale à celle
existant à 6 mètres de profondeur, ceci afin d’éviter d’avoir une zone sous-consolidée dans le
modèle.
Nous avons modélisé la fondation uniquement par une force répartie appliquée sur la
surface de la fondation. L’effet de l’encastrement de la fondation est simulé par une charge
répartie sur la surface du sol (sauf sur la zone de la fondation) de valeur correspondant au
poids de 0,35 m de sol, soit 17.0,35 = 5,95 kPa.
L’intensité du chargement varie jusqu’à une valeur maximale de 500 kPa suivant 11
incréments. La tolérance de convergence imposée est de 0,001.
Parmi les 43 essais de chargement de fondations réalisés sur le site de Jossigny par le
Laboratoire Régional de l’Est Parisien, nous avons choisi arbitrairement les résultats de l’essai
de chargement de fondation superficielle noté « essai 33 » dans le catalogue, comme
référence pour nos calculs (figure 13). On a superposé à titre de comparaison la courbe des
essais réalisés par Foster et al. et Lomize et al.
Les résultats de l’essai in situ et ceux de la modélisation numérique, tracés sur la figure 13,
montrent des courbes quasiment confondues au début de l’essai et qui s’éloignent

progressivement à la fin de l’essai. Nous n’avons pas cherché une correspondance parfaite
entre les quatre, mais une bonne adéquation permettant d’extraire des résultats cohérents :
nous allons utiliser ces résultats pour l’étude de la rotation des contraintes dans le massif de
sol.
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
-30
Déplacement (mm)
-60
-90
-120
-150
Essai 33 à Jossigny Canepa et al.,1990
Essai Foster et al., 1951
Essai Lomize et al., 1969a
Déformations planes
Déformations axisymétriques
Modélisation tridimensionnelle
Chargement (kPa)
Figure 10. Comparaison des résultats des trois modèles avec les résultats expérimentaux
3.1. Étude de la rotation des contraintes
Un calcul avec le modèle bidimensionnel de la figure 12, jusqu’aux charges de 250 kPa et 500
kPa appliquées sur le terrain, permet de tracer les isovaleurs d’angle de rotation des
contraintes. Celles-ci présentent de très grandes similitudes avec les résultats de Lomize et de
Foster (paragraphe 1.1), avec cependant des rotations importantes loin de l’axe de la fondation
(figure 14). Par contre, la comparaison des isovaleurs du coefficient b n’est pas évidente, sans
doute du fait d’un niveau de charge appliqué à Jossigny encore insuffisant par rapport aux
expérimentations de Lomize (figure 15) et du fait de la plastification importante du modèle.
0*R
angle α de rotation
des contraintes
1*R
2*R
100-110
90-100
80-90
70-80
60-70
50-60
40-50
30-40
20-30
10-20
0-10
0*R
1*R
2*R
q= 250 kPa
3*R
0*R 1*R 2*R 3*R 4*R
distance à l'axe
profondeur
q= 500 kPa
3*R
0*R 1*R 2*R 3*R 4*R
distance à l'axe
profondeur
Figure 11. Isovaleurs de l’angle de rotation des contraintes.
450

0*R
1*R
coefficient b
0,8-1
0,6-0,8
0,4-0,6
0,2-0,4
0-0,2
0*R
1*R
profondeur
profondeur
2*R
2*R
q= 250 kPa q= 500 kPa
3*R
3*R
0*R 1*R 2*R 3*R 4*R
0*R 1*R 2*R 3*R 4*R
distance à l'axe
distance à l'axe
Figure 15. Isovaleurs du coefficient b de la contrainte principale intermédiaire
Étudions maintenant le point défini sur la figure 16, situé à proximité de la bande de
cisaillement dans le schéma de rupture classique et dans la zone de cisaillement le plus
important. On peut y attendre une influence de la contrainte principale intermédiaire
significative. En modélisation bidimensionnelle, en déformations planes et en déformations
axisymétriques, les points étudiés sont en plasticité à partir du 6 ème incrément pour des
paramètres valant respectivement (α = 37,8 degrés ; p’ = 82,3 kPa ; q = 86,1 kPa) et (α = 19,5
degrés; p’ = 60,9 kPa ; q = 67,9 kPa). En modélisation tridimensionnelle, la plasticité est
obtenue à partir du 5 ème incrément pour (α = 37,1 degrés; p’ = 63,4 kPa ; q = 75,9 kPa). La
figure 17 permet de comparer l’évolution des contraintes principales et de l’angle α en fonction
du chargement dans les trois modèles pris en exemple. On observe que le résultat obtenu en
2D axisymétrique est plus réaliste que celui obtenu en 2D et se rapproche du résultat en 3D.
fondation
π/4-ϕ/2
sol
point étudié
Figure 12. Situation de la zone étudiée.
3.2. Obtention de la plasticité d’après l’intersection entre les chemins de contrainte et la
surface de charge tridimensionnelle (p, q, α)
Pour les trois calculs 2D, 2D axisymétrique et 3D, nous avons relevé les chemins de contrainte
suivis, qui correspondent à l’ensemble des valeurs des contraintes principales et de l’angle α
en fonction du chargement, pour les nœuds précédents.
Nous comparons la surface de charge calculée précédemment et les chemins de contraintes
étudiés dans l’espace (p’, q, α). Pour cela, nous déterminons la surface de charge dans
l’espace (p, q, α) en introduisant dans l’équation du critère Cam-Clay modifié l’équation
donnant la variation de la pente de la droite critique en fonction de l’angle de rotation des
contraintes (Reiffsteck et al., 2002b) :
M= -1,21.10 -4 .α² + 0,017.α + 1,287 (4)
451

Il s’agit de la courbe moyenne des relations présentées au paragraphe 2.1 pour les argiles,
recalée par les caractéristiques obtenues à l’essai triaxial pour le limon de Jossigny. Les
résultats montrent que :
pour la modélisation 2D déformations planes, le nœud 356 est plastifié pour (α = 37,5
degrés ; p’ = 85,4 kPa et q = 87,9 kPa)
pour la modélisation 2D axisymétrique, le nœud 356 atteint la plasticité pour (α = 25,1
degrés ; p’ = 67,1 kPa ; q = 73,5 kPa)
en 3D, au nœud 727, la plasticité est atteinte pour (α = 36,2 degrés ; p’ = 70,4 kPa et q =
79,5 kPa).
(a) (b) (c)
Figure 13. Tracé des contraintes principales pour les trois cas étudiés :
a) 2D, déformations planes ; b) 2D axisymétrique ; c) 3D.
q
p
α
Figure 14. Intersection entre les chemins de contraintes suivis pour les nœuds
étudiés et la surface de charge
Pour les nœuds étudiés, si l’on utilise la surface de charge tridimensionnelle (p’, q, α), et que
l’on cherche l’intersection entre le chemin de contrainte suivi et la surface, la plasticité est
atteinte plus tard que si l’on utilise le critère de rupture classique de l’espace (p’,q). Ainsi en
déformations planes, la plasticité est obtenue au 5 ème incrément, en axisymétrie au 5 ème
incrément, et en 3D au 4 ème incrément, ce qui donne des différences sur le déviateur maximal,
452

égal respectivement à 2%, 8% et 5%. Ceci signifie que, lorsqu’on ne tient pas compte de
l’évolution de la surface de charge en fonction de la rotation des contraintes α, on détecte
l’apparition de la plasticité prématurément.
L’atteinte anticipée ou retardée de la plasticité est régie par l’évolution de la pente de la
droite d’état critique avec la rotation des contraintes. On voit d’après la bibliographie (Arthur et
al., 1977 ; Lade et Duncan, 1973 ; Sutherland et Mesdary, 1969 ; Symes, 1983) et sur la figure
1 que ce comportement n’est pas équivalent suivant le sol d’assise. Certains résultats de la
bibliographie proposent des courbes avec la concavité vers le haut, ce qui laisse présager un
déficit de sécurité lors des calculs.
4. Conclusions
Les fondations superficielles sont un type d’ouvrage où apparaissent des rotations importantes
des contraintes. Nous n’avons dans cette communication fait qu’effleurer le cas de ce type
d’ouvrage et nous n’avons pu étudier les différents types de géométrie. Nous avons été
confrontés à des difficultés pour obtenir des évolutions du coefficient de la contrainte principale
intermédiaire en adéquation avec les résultats expérimentaux. Nous avons constaté également
que la surface de charge devrait être atteinte plus tard quand on prend en compte la variation
du critère de plasticité avec la rotation des contraintes. Cependant, nous n’avons pu caler le
modèle rhéologique proposé qu’à partir de résultats d’essais extraits de la bibliographie.
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