Sophie Germain: mathématicienne extraordinaire - Scripps College

Sophie Germain: mathématicienne
extraordinaire
Aleksandra Stein
French Studies: Nathalie Rachlin, Advisor
Mathematics: Christopher Towse, Advisor
Submitted to Scripps College in Partial Fulfillment
of the Degree of Bachelor of Arts
April 21, 2006
Departments of Mathematics and French Studies

Abstract
Sophie Germain lived in Paris during the French Revolution. She educated
herself about circulating theories in what we now call number theory
by collecting lecture notes from the newly created École Centrale des
Travaux Publics in Paris, now called l’École Polytechnique, and by corresponding
with Gauss, Legendre, and other mathematicians–all under the
pseudonym, M. Le Blanc. Her contributions to the theory of vibrating elastic
plates has influenced the way we think about these surfaces even now.
In addition, Cases 1 and 2 of Fermat’s Last Theorem developed following
publications of Legendre’s version of Germain’s proof. She proved the first
case of Fermat’s Last Theorem for all primes under 100 and for primes p
where q = 2p + 1 is also prime; hers is considered one of the first “good
approaches” to Fermat’s Last Theorem.

Contents
Abstract
Acknowledgments
iii
vii
1 Introduction 1
2 La Femme 3
2.1 Sa Biographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Modestie supposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Ses Oeuvres, Ses Travaux 21
3.1 La mathématicienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Le philosophe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 La scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Mathematical Background 31
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 The First Attempts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 The First Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Sophie Germain 53
5.1 Case 1, Case 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 Sophie Germain’s Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3 What then . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 Conclusion 69
6.1 And Beyond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Bibliography 73

Acknowledgments
Special thanks go to Professors Christopher Towse and Nathalie Rachlin
for supporting, encouraging, and nudging this endeavor along. Thank
you, also, to the rest of the Scripps math gang for technical help and additional
advice including Professor Sanjai Gupta, Priya Prasad, and Natalia
St. Clair.

Chapter 1
Introduction
Marie-Sophie Germain est née le 1er avril 1776 à Paris de parents bourgeois.
Elle a treize ans quand la Revolution Française commence. Forcée
de rester à la maison, elle se trouve souvent dans la bibliothèque de son
père. Là, elle decouvre l’histoire de la mort célèbre du géomètre Archimède
qui, trop occupé avec ses desseins mathématiques, se fait tuer par un soldat
romain. Impressionée par cette passion si forte pour les mathématiques
qu’on puisse en perdre la vie, elle décide de s’y dédier.
En 1810, L’Institut des sciences mathématique publie un concours. C’était
son approche entièrement nouvelle qui lui a fait gagner le concours. De
même, c’était son approche à la théorie des nombres, et surtout au dernier
théorème célèbre de Fermat qui lui assure une place dans l’histoire des
mathématiques.
Elle est connue en tant que génie, mais aussi pour son caractère. Elle
était fort modeste, disent toutes les sources, la gentillesse même. Cependant,
à cette époque-là, elle n’était ni aussi obligeante ni aussi polie que

2
l’on décrit. Elle ne cachait ni sa colère ni son chagrain envers ses ennemis
(et n’en doutez pas, elle en avait quelques-uns!).
Nous allons étudier sa vie en bref puis nous nous focaliserons sur les
parties de sa correspondance qui montrent son vrai caractère. Ensuite, nous
examinerons l’histoire des mathématiques qui nous amène vers son travail
sur le dernier theorème de Fermat.
Son approche a encouragé d’autres
mathématiciens dont nous examinerons les travaux, tous inutiles à produire
une preuve élégante mais qui créent d’autres domaines mathématiques.
En 1995, de façon inattendue, Andrew Wiles accomplit l’impossible;
il presente une solution complexe et compliquée, nuancée des sujets et des
techniques que nous n’avons pas le moyen d’étudier. Enfin, nous verrons
un sommaire de cette preuve célèbre avant de conclure sur nos découvertes.

Chapter 2
La Femme
2.1 Sa Biographie
Marie-Sophie Germain, plus connue en notre siècle pour son théorème
mathématique sur les “nombres premiers Germain”, est née le 1er avril
1776. Sa famille est plus ou moins inconnue à l’histoire. Ambroise-François
Germain et Marie-Madeleine Gruguelu, ses parents, habitent à rue Saint-
Denis à Paris. Monsieur Germain est marchand de soie en bottes. Il devient
Député du Tiers-état pour la ville de Paris en 1789, et plus tard il est
l’un des directeurs de la Banque. Ses soeurs, l’aînée Marie-Madeleine et la
cadette Angélique-Ambroise, se marient. (Gray 47)
Il n’y a rien de remarquable dans son enfance jusquà la Revolution. Elle
a treize ans en 1789 mais on lui interdit de sortir de la maison. Elle cherche,
comme il est naturel pour une fille de son âge, à s’occuper et à s’amuser.
Voici l’ancecdote la plus connue de sa vie. Elle trouve la bibliothèque de
son père. Pendant son absence, elle y passe des heures. Elle lit tout ce

Sa Biographie 4
qu’elle y trouve; les oeuvres historiques, les livres sur la poésie, les compilations
d’essais philosophiques, et quelques textes scientifiques. L’un de ces
livres s’appelle l’Histoire des Mathématiques de Montucla. Sophie y découvre
l’histoire célebre de la mort d’Archimède, le géomètre. Archimède était
absorbé par un problème de géométrie et il ne s’est pas rendu compte que
les romains prenaient Syracuse. Il a mal répondu aux questions d’un soldat
romain, lui disant de ne pas toucher à ses circles dans le sable, et le soldat
le transperça d’un coup de lance.
On raconte qu’Archimède insensible au bruit occasionné par
un pareil événement, se livrait à son étude favorite, lorsqu’un
soldat Romain entra dans son appartement. Marcellus, pénétré
d’estime pour cet homme là, avait commandé que l’on l’épargnât.
Mais ces ordres furent mal exécutés, et soit que l’infortuné mathématicien
trop occupé dans sa méditation, eût lassé la patience
du soldat, soit qu’il eût le malheur de l’éblouir par les richesses
que semblait renfermer une cassette qu’il emportait, il fut tué,
et ne survécut pas à sa patrie. Cela arriva l’an 542 de Rome, 212
ans avant l’ère chrétienne. (Montucla 235)
Cette histoire l’inspire. Desormais, elle se passionne pour les mathématiques
qu’elle trouve ≪si attrayantes que les menaces les plus terribles
ne peuvent l’en détacher.≫ (Stupuy 6) Elle étudie la géometrie et l’algèbre,
la physique et l’astronomie. Sa mère commence à avoir peur que Sophie
étudie trop. Elle craint que sa fille se rende malade et que Sophie ne puisse
pas se marier plus tard. Ses parents essaient de la faire arrêter d’étudier les

Sa Biographie 5
maths et ils lui interdisent de lire. C’est en vain. Elle se cache et le fait la
nuit. Ses parents la découvrent. Ils éteignent le feu de sa chambre et lui confisquent
sa chemise de nuit pour qu’elle reste au lit. Elle cache des bougies
et s’habille dans ses draps et lit jusqu’à l’aube, même les nuits où l’encre
gêle dans son pot. Enfin, ses parents cèdent et la laissent étudier. Sophie apprend
le calcul différentiel de Cousin, mais le reste des livres n’étaient pas
facilement accessibles à Sophie, car ils étaient en latin. Elle ne se décourage
en aucune manière; elle apprend à lire le latin pour pouvoir lire les oeuvres
d’Euler et de Newton. (Bucciarelli 10)
Sophie n’a jamais eu d’éducation formelle, mais à dix-huit ans elle voit
l’ouverture de l’école centrale des travaux publics, qui s’appellera plus tard
l’école polytechnique.
Plusieurs remarquent sa persistance et son audace.
“Frappée de l’utilité d’un enseignement que son sexe lui interdisait de suivre
en personne, et voulant du moins en profiter, elle se procura les leçons
de divers professeurs, spécialement les cahiers de la chimie de Fourcroy,
ceux de l’analyse de Lagrange.” (Stupuy 11) Comme il est d’usage pour les
étudiants à cette époque, les jeunes hommes présentent un mémoire aux
professeurs à la fin des cours. Sophie présente à Lagrange, l’un des professeurs
à l’université, sous le pseudonyme M. Le Blanc, son mémoire sur
la matière de ses lectures. Lagrange, impressionné, la retrouve, découvre
qu’elle est une fille, et “devint [son] conseiller et [son] appui.” (Stupuy
11-12)
Elle fait la connaisance de la Théorie des nombres de Legendre à Paris et
les Disquisitiones arithmeticae de Gauss à Brunswick en Allemagne. Impressionnée
par leurs travaux, elle leur écrit, toujours sous le pseudonyme M.

Sa Biographie 6
Le Blanc. Quelques fois ses lettres et ses théories étaient justes et quelquefois
non. En tout cas, les deux mathématiciens sont flattés. Ils lui répondent
et les correspondances intermittentes continuent pendant des années.
(Stupuy 14-15)
En 1806, Sophie craint que la guerre en Allemagne ne menace la vie
de son correspondant. Avec l’aide d’un ami de sa famille, Sophie arrive
à protéger Gauss pendant l’occupation française de la ville de Brunswick.
Son amie connait bien un Général dans la campagne d’Iéna, celui-ci invite
Gauss à dînner. Le Général mentionne la demande d’une Mlle Germain,
un nom qui lui est inconnu. Sophie doit se révéler à Gauss qui, désormais,
l’admire d’avantage. (Stupuy 15-17)
Puis, un changement marque l’Académie:
Au début du XIX e siècle, la science mathématisée se lance à
la conquête de nouveaux domaines de phénomènes physiques
qui lui avait jusque là échappé.
Un ensembe de disciplines
restées à l’état de descriptions plus ou moins qualitatives et
“métaphysiques” devient l’objet de recherches qui veulent désormais
aboutir à l’écriture des équations de propagation de phénomènes
étudiés.
Parmi ses domaines figure la science de l’élasticité qui étudie
le processus de déformation petite des corps solides, soumis à
des forces extérieures et/ou intérieures, ou en état de mouvement
interne. (Dahan-Dalmedico 349)
En 1808, L’Academie invite l’ingénieur et acousticien allemand, Ernest

Sa Biographie 7
Florens Friedrich Chladni, à venir à Paris pour refaire ces expériences sur
les vibrations des surfaces élastiques. M. Chladni réalise ces éxperiences
sur les modes de vibrations devant les membres de la 1ère classe de l’Institut.
Des plaques plates de formes variées sont couvertes de sable fin. On tape
les plaques et elles vibrent; les vibrations poussent le sable à s’accumuler
sur les modes des plaques, sur les endroits immobiles des surfaces. Les
modes où des lignes du sable se concentrent forment certain dessins. En
1809, l’Academie annonce un grand Prix: ≪Donner la théorie mathématique
des surfaces élastiques et la comparer à l’expérience.≫ (Dahan-Dalmedico
354-355, Stupuy 19-20)
Sophie, encouragée par Legendre, s’y intéresse. Trois fois elle soumet
ses résultats, un rapport, un Mémoire au concours de l’Institut. Elle ne
reçoit rien, puis la fois suivante une mention honorable, et enfin le prix
extraordinaire. Elle était chaque fois la seule participante. (Stupuy 27-32)
Elle participe à la communauté scientifique, mais, à cause de son sexe,
elle reste marginalisée. En tant que femme, il lui est difficile de rencontrer
ses collègues facilement. Chaque conversation est un événement social qui
demande des invitations, des transports, des permissions. Elle ne peut pas
barvarder avec ses amis à l’Institut ni leur parler après le dinner quand ils
sortent les cigares et l’alcohol. A cet égard, Sophie est toujours en dehors,
comme un étranger, loin de la culture scientifique professionelle.
Le génie de Sophie Germain ne se réalise jamais complètement par
manque d’éducation formelle. En outre, son expérience clarifie une structure
entière d’expectations et de comportements sociaux–inconcients ou
non–qui éloignent la femme de l’activité professionelle. (Bucciarelli 8)

Sa Biographie 8
Pourtant le fait de ne pas être éduquée comme d’autres savants lui permettait
d’approcher le probléme sans preconceptions et de la façon nouvelle
pour laquelle elle est plus connue! Plus tard, elle se concentre sur les
mathématiques, surtout, sur la théorie des nombres et le dernier théorème.
Nous en parlerons dans le chapitre suivant et en détail dans la deuxième
partie de cette thèse.
Sa mort très jeune n’est pas inattendue. ≪Dès 1829, Sophie Germain
avait ressenti les atteintes du mal terrible–un cancer–qui devait la conduire
au tombeau. Elle se savait perdue.≫ (Stupuy 66) Néanmoins, elle continue
sa vie et ses recherches jusqu’au bout. Son ami Gauss fait une recommendation
à la faculté de l’Université de Göttingen qui confère à Sophie un
doctorat honorable. Malheuresement, elle meurt le 27 juin 1831, avant qu’il
le lui soit offert. (Stupuy 66-67)

Modestie supposée 9
2.2 Modestie supposée
La caractéristique la plus connue de Sophie Germain, après son génie, est
sa modestie. Chaque auteur qui écrit sur elle décrit sa modestie. Ce mot
est inévitable à son égard. Mais peut-être que Marie-Sophie Germain n’était
pas vraiment modeste. Peut-être que l’on attribue certaines caractéristiques
ou excentricités á sa modestie, puisequ’elle est femme, au lieu de l’impolitesse.
Elle était peut-être timide, suggèrent certaines auteurs, ou bien elle
avait une désordre social, devinent d’autres. Ce qui est plutôt plausible
c’est que Sophie Germain se taisait, pour la plupart, quand elle se fâchait,
si elle pouvait se contrôler. Ainsi, personne ne voulait dire qu’elle se comportait,
de temps en temps, d’une façon peu appropriée à une femme. Nous
discuterons trois exemples de ce comportement possible dans les trois sections
ci-dessous; le plus reconnu est l’affaire Lalande, puis la rivalité entre
elle et Poisson, et ensuite, un secret entre elle et Legendre.
La modestie excessive que remarquent ses contemporains peut contenir
plusieurs éléments. D’un côté, il y avait une vraie timidité qui l’a incitée à
éviter toutes les rencontres et les situations sociales normales. Bucciarelli
et Dworsky insistent que, depuis l’âge de treize ans, elle se sauve dans la
bibliothèque pendant la guerre plutôt que de jouer avec ses soeurs.
De l’autre, elle avait un sens privé de la valeur supérieure de ses propres
entreprises – certainement supérieur à ceux de Lalande, et probablement
supérieur à ceux d’autres femmes en science, dont le travail n’était
pas indépendant, mais soumis aux hommes auxquels elles s’associaient.
Elle voit son travail comme une partie de la quête de la vérité et du progrès,

Modestie supposée 10
pas en tant qu’élément d’une scène sociale contemporaine.
Tandis que Sophie Germain s’impatientait avec les attentions sociales
des hommes instruits qui la trouvent singulière, elle était certainement gratifiée
par l’identification professionnelle des scientifiques sérieux. S’il le
fallait, elle pourrait échapper aux situations sociales non-désirées en étant
froide ou même impolie. (Bucciarelli 16)
Plus elle avait de succès et de réconnaissance, plus elle travaillait, plus
elle croyait en elle-même et se méfiait de ses collègues à l’Institut. Pendant
qu’elle travaillait, elle semble avoir été touchée par quelques changements
personnels. La dévotion du temps et de l’énergie, comblés en quelques
succès avec ses analyses des modèles de Chladni, lui a fait développer la
confiance en elle-même et en ses accomplissements. Quoiqu’elle fasse encore
des erreurs de calculation en établissant des détails, elle devient convaincue
que son approche de base au problème et son hypothèse sont corrects.
En même temps, elle commence à douter de la probité des juges ou
de leur capacité de bien juger. Elle a craint que la remarque de Lagrange sur
la difficulté du problème compromette la foi d’autres juges à identifier une
solution quand elle est trouvée. Lagrange lui-même, qui avait au moins
travaillé avec son hypothèse, saurait probablement accepter et apprécier
son travail, mais il est mort avant qu’elle soumette son deuxième mémoire.
L’heure de soumettre son mémoir approche; la confiance sentie par Sophie
en elle-même croît et la confiance qe’elle donne aux juges decroît. (Bucciarelli
60)

Modestie supposée 11
2.2.1 Lalande
L’affaire Lalande de Sophie Germain est le plus connue. J. Jérôme de Lalande
était astronome. Il a écrit un livre un peu “scientifique” pour les
femmes: ≪ un texte simplifié qui a pour but de leur introduire à l’éxcitation
d’étude serieux et de leur attrier de la frivolité.≫ (Bucciarelli 13) A la recommendation
d’un ami, le 4 novembre 1797, Lalande fait la connaisance de Sophie.
Pendant la rencontre, M. Lalande lui suggère de lire son livre. Sophie
était si insultée qu’elle ne lui a plus jamais parlé. En plus, elle n’allait jamais
nulle part où il était et elle refusait d’être associée en aucune manière
à lui, même dans un poème qui les complimente tous deux. Nous verrons
quelques extraits de ”la proscription fatale dont vous avez frappé un
célèbre astronome et ses amis,” que l’on trouve dans ses correspondances.
Nous verrons dans la lettre de M. Lalande à Sophie Germain à quel
degré il était choqué par son comportement:
Il était difficile, Mademoiselle, de me faire sentir plus que
vous ne l’avez fait hier, l’indiscrétion de ma visite et l’improbation
de mes hommages, mais il m’était difficile de le prévoir.
Je ne puis même encore le comprendre, et le concilier avec les
talents que mon ami Cousin m’a annoncé. Il me reste à vous
faire des excuses de mon imprudence; on apprend à tout âge,
et les leçons d’une personne aussi aimable et aussi spirituelle
que vous, se retiennent plus que les autres. Vous m’avez dit
que vous aviez lu le Système du monde de Laplace, mais que
vous ne vouliez pas lire mon Abrégé d’astronomie; comme je

Modestie supposée 12
crois que vous n’auriez pas entendu l’un sans l’autre, je n’y
vois d’autre explication que le project formé de me témoigner
l’indignation la plus prononcée, et c’est l’objet de mes excuses
et de mes regrets. (Stupuy 392)
Cette lettre est la seule oeuvre dans laquelle Sophie est décrite comme “spirituelle.”
Personne ne croit que Lalande parle de la réligion; personne ne
doute qu’à cet instant-là Sophie était furieuse. Jérôme de Lalande insinue,
dès qu’ils se connaissent, que Sophie appartient au cercle des femmes qui
s’intéressent aux sciences mais qui ne peuvent jamais les comprendre entièrement
et surtout jamais sans l’aide d’un homme. Nous ne pouvons pas
savoir si, après leur rencontre, Lalande a changé d’avis, mais nous pouvons
être certains qu’il avait honte de son comportement et qu’il le régrettait.
Sophie Germain êtait extrèmement fâchée plutôt qu’embarrassée. En
plus, elle n’était pas discr`te; elle faisait largement savoir que M. Lalande
ne devait pas être inclus parmi ses connaissances. On obéiait à cette ordre.
Dans ses correspondances, nous trouvons une invitation à une affaire
sociale, un dîner, envoyé par M. Tessier, un membre aîné de la première
classe de l’Institut. Tessier a fait de son mieux pour l’encourager à accepter,
l’informant que:
il y aura chez moi un dîner, pas de tous hommes. La majeure
partie des convives ne vous est point étrangère. Vour leur feriez
grand plaisir et vous combleriez de bontés le maître de la mais
on, si vous vouliez bien être la partie. Point de M. Lalande,
puisque vous ne vous êtes pas encore raccommodée avec lui.

Modestie supposée 13
(Bucciarelli 14, Stupuy 247-248)
Nous pouvons croir qu’à un moment donné, elle s’est calmée un peu.
Cela ne s’est jamais passé. Voici la preuve: un mathématicien, M. d’Ansse
de Villoison a écrit deux poèmes plusieurs années plus tard. Il y a fait un
éloge et de Sophie Germain et de M. Lalande. Notons-nous la réponse de
Sophie, donnée à travers sa mère dans une lettre de M. de Villoison:
Madame, je trouve en rentrant la lettre dont vous m’honorez
et m’empresse de vous donner sur-le-champ ma parole d’honneur
que vos ordres et ceux de Mademoiselle votre fille sont
déjà ponctuellement exécutés; que j’ai brûlé ma piéce de vers
grecs et voudrais pouvoir anéantir de mêmes les latins; que je
me contenterai d’admirer désormais Madamoiselle votre fille
dans le plus respectueux silence, et de vous regarder comme
la plus heureuse des mères, et la plus digne d’envie. (Stupuy
251-252)
Elle lui ordonne de bûler son oeuvre, son propre travail, parce qu’elle mentionne
toutes deux personnes sur la même page.
En ne jamais lui pardonant,
Sophie Germain nous montre qu’elle n’était pas si modeste qu’elle
acceptait de “l’aide” ou des compliments de quiconque; elle conaissait sa
propre valeur et elle demandait du respect.
Nous apercevrons dans la section suivante une demande pareille, même
de quelqu’un qu’elle reconnait comme supérieur mathématicien.

Modestie supposée 14
2.2.2 Poisson
Siméon Denis Poisson a, plus ou moins, volé ses idées sur la théorie élastique.
Il était juge à la deuxième submission de sa Mémoire, puis, il a pris
le resultat de son travail et l’a publié comme si c’était le sien. Elle s’est
fachée, naturellement. Elle n’était pas impressionnée par le mémoire, dit
original et sans hypothèse de base, de Poisson. Sophie Germain était obstinée
et entêtée et, en découvrant le mémoire de Poisson, probablement
fâchée et irritée aussi. Au lieu d’abandonner son travail dans le dégoût et
le désespoir, elle a saisi la première occasion de le reprendre. Elle a essayé
de réclamer le respect et peut-être même la reconnaissance de son originalité
de cet homme qui avait ignoré son travail complètement, sauf pour
l’utiliser à son propre compte. Ainsi elle a continué sur son propre chemin
vers un prix qui – malgré la modestie avec laquelle elle avait commencé –
elle sentait que l’on lui devait. (Bucciarelli 75-78)
En 1816, Sophie Germain s’est trouvée une nouvelle situation. Elle a
passé cinq ans dans une concentration presque totale sur le problème des
surfaces plates et elle a réçu le prix extraordinaire. D’une part, ceci lui donne
un sens du standing professionel, de l’autorité, et de la confiance-en-soi.
Elle travaillait – et pendant un bon moment elle était le seul – fructueusement
à la recherche des surfaces élastique vibrantes; or, son travail a gagné
une mesure de reconnaissance publique. D’autre part, le noyau de la communauté
scientifique, et Poisson en particulier, ne la respecte pas autant
qu’elle croit le mériter. Poisson ne daigne même pas l’engager au cours
des discussions professionnelles; en outre il a annoncé sa supériorité et

Modestie supposée 15
sa préséance à la théorie des surface plates. Au début de sa carrière professionelle,
plusieurs années plutôt elle était disposée à se voir comme la
débutante la plus modeste parmi la compagnie des sages, mais maintenant
elle a de la foi dans sa propre compétence et elle n’a pas de grande admiration
pour la contribution de son rival. (Bucciarelli 85) Après que Poisson la
critique d’une façon particuli`rement sévère et hypocrite, Sophie lui écrit:
Je ne crois pas m’être trompée dans la manière dont l’équation
générale a été déduite de l’hypothèse. Dans la vue de vous
éviter la peine de revoir la démonstration, j’ai reproduit dans la
note ci-jointe les raisonnements sur lesquels elle est fondée. Je
les ai écrits à mi-marge, afin qu’il vous soit plus facile de marquer
l’endroit où vous avez jugé que la chaîne du raisonnement
est interrompue. (Stupuy 307-309)
Nous ne trouvons aucune trace de modestie dans cette lettre. Elle s’exprime
avec beaucoup de force lui demandant un justificatif pour ses reproches. Il
n’est pas surprenant qu’il ne lui réponde jamais.
Cinq ans plus tard, quand elle publie l’un de ses mémoires, Legendre,
son ami et son mentor lui confie,
si l’on avait quelque chose à vous reprocher, ce serait les
compliments dont en quelque sorte vous accablez le géomètre
dont vous combattez l’opinion. Puisse-t-il répondre dignement
à cet assaut de civilité; c’est ce que je désire plus que je n’espère.
(Stupuy 313)

Modestie supposée 16
Legendre rapproche Sophie pour son sarcasme publique et il la previent
qu’elle rencontrerait des consequences. Legendre et Sophie ont une relation
plus proche qu’elle a à aucun autre géomètre. Ainsi, ce n’est pas surprenant
s’ils abusent un peu leur prochité. Nous considerons ce cas dans la section
suivante.
2.2.3 Legendre
Adrien-Marie Legendre est l’un des premiers mathématiciens à faire la
conaisance à M. Le Blanc, c’est-à-dire, à Mlle. Germain. Presque immédiatement
Legendre devient son mentor. Ils n’ont pas de moyen à se contacter
tous les jours, donc ils échangent souvent des lettres. Nous examinerons
ci-dessous un complot d’entre eux pendant le concours sur la théorie des
surfaces plates, un concours qui est censé être anonyme. Nous lirons une
suite de quatre lettres de Legendre à Sophie puis, après chacun, nous les
analyserons.
le 22 octobre 1811
Votre Mémoire n’est pas perdu; il est le seul que l’on ait reçu
sur la question des vibrations des surfaces. On a nommé hier
cinq commissaires pour l’examiner. J’ai l’honneur d’en être un.
M rs Laplace, Lagrange, Lacroix et Malus sont les quatre autres.
Je n’ai rien dit; je vous conseille également de garder le silence
jusqu’au jugement définitif.
Je suis, avec tous les sentiments que vous me connaissez,
votre dévoué serviteur. (Stupuy 298-299)

Modestie supposée 17
Il est évident que Legendre et Sophie savent tous deux que le concours est
anonyme. Néanmoins, ils décident de ne rien dire et de participer de toute
façon en gardant leur secret. Est-ce Legendre lui indique qu’il lui rendrait
quelques petites services, en tant que juge, dans ses salutations finales
Est-il en train de lui rappeller qu’il n’est pas seulement son conseiller, mais
aussi son ami Ou est-ce qu’il l’avertit de l’importance de cacher son rôle
d’auteur puisque leur relation risque d’être révélée et de la disqualifier
le 10 novembre 1811
Madamoiselle, votre Mémoire est en circulation. M. Lacroix
l’avait entre les mains lundi dernier. Je m’informerai demain à
qui il l’a remis et j’y ferai joindre le supplément. Les commissaires
jugeront ensuite s’ils doivent tenir compte ou non de ce
supplément. Je ferait en sorte d’ailleurs que M. de Lagrange ne
tarde pas à lire tout. (Stupuy 299-300)
Maintenant, il n’y a pas de doute qu’ils trichent. Ces lettres témoignent à
un niveau d’amitié et de confiance entre ces deux qui n’est pas claire aux
autres de leur correspondances précédentes. Sophie Germain ne pourrait
pas avoir approché Legendre d’une manière purement intellectuelle au sujet
du mémoire; elle a dû lui faire confiance en tant qu’ami. Elle lui a énvoyé
un supplément à son ami le juge après la date finale de soumissions et Legendre
essaie de le faire accepter en tant que partie de soumission totale.
La réponse de Legendre accepte cette confiance et l’indique, d’un un certain
degré, en tant qu’escroquer-conspirateur. (Bucciarelli 53) Bien qu’il soit
parfaitement clair à quoi Legendre répond, il est difficile de déterminer ex-

Modestie supposée 18
actement ce qui c’est passé. A-t-elle soumis un mémoire essentiellement
non fini, comptant sur l’indulgence de Legendre pour pouvoir ajouter un
supplément Ceci semble possible puisque Legendre n’était pas surpris.
Ou peut-être après avoir terminé ses travaux, Sophie commence à souffrir
des doutes tandis qu’elle attend, ce qui la pousse à écrire un supplément
Quand on considère la réalité quotidienne de sa vie, ce dernier scénario
semble plus probable. Tellement peu de demandes se font sur son temps
et son énergie que, ayant terminé un morceau difficile et captivant de travail,
elle avait un grand sentiment vide pendant la période indéfinie où elle
devait attendre la décision finale des juges. (Bucciarelli 52-53)
le 4 décembre 1811
Mademoiselle, je n’ai pas de bonnes nouvelles à vous donner
de l’examen du Mémoire. On trouve que votre équation
principale n’est pas exacte, même en admettant l’hypothèse que
l’élasticité en chaque point . . . M. de Lagrange a trouvé que,
dans cette hypothèse, la vraie équation devrait être de la forme
d 2 z
dt 2 + k2 ( d4 z
dx 4 + 2
d4 z
dx 2 dy 2 + d4 z
dy 4 ) = 0,
en supposant d’ailleurs z très petit.
Je n’en rends pas moins justice à des efforts qui sont louables
en eux-mêmes, quoiqu’ils n’aient pas l’issue que j’aurais désirée;
mais c’est une raison de plus de garder l’incognito, et je vous
promets de mon côté de garder le plus profond silence.
J’imagine que la même question sera posée avec un nouveau

Modestie supposée 19
délai [. . . et] il faut plus que jamais songer à emporter la palme.
(Stupuy 300-303)
Le premier concours est perdu; son équation n’était pas correcte. Cependent,
Legendre previent Sophie qu’un autre concours aura lieu. Il lui conseille
de commencer à travailler avant que le concours soit déclaré officiellement.
En plus, il lui donne l’équation correcte et lui éxplique où elle peut
aller pour trouver un moyen de le déduire correctement. En lui promettant
de garder son secret, est-il en train de lui dire qu’il lui aiderait encore
pendant le concours suivant
le 4 décembre 1813
D’ailleurs le sort en est jeté, il n’y a plus rien à changer au
Mémoire, et avec toute ma bonne volonté je n’y pourrais rien
faire. . . . Si la commission de l’Institut était de cet avis, vous
pourriez au moins être mentionnée honorablement . . . Mais je
vous promets toujours le plus profond secret, et, si vous n’avez
pas commis d’ailleurs quelque indiscrétion, la chose sera comme
non avenue. (Stupuy 305)
Sophie n’a pas gagné le deuxième concours, non plus. Pourtant, Legendre
essaie d’influencer encore les quatre autres juges pour lui donner une mention
honorable.
Nous concluons que, oui, ils ont triché.
Peut-être mérite-elle, alors,
la mention que dans la plupart des cas nous n’aurions aucune évidence
d’une telle tricherie, puisqu’elle se produirait oralement entre d’amis qui se

Modestie supposée 20
voient facilement. En tout cas, le comportement de Sophie Germain n’est
pas celui d’une femme idéale. Ses sentiments hors de la loi ou des règes du
concours ne témoignent pas d’une modéstie célèbre.
2.2.4 Conclusion Modest
En somme, nous ne parlons pas d’une sainte. Sophie Germain se fâchait
comme tout le monde; elle insultait d’autres mathématiciens et elle les dédaignait.
Elle n’était pas une femme parfaite, mais elle a fait de travail
remarquable que nous étudierons pendant le reste de cette thèse.

Chapter 3
Ses Oeuvres, Ses Travaux
3.1 La mathématicienne
Madamoiselle Sophie Germain est plus connue pour ses travaux mathematiques.
Elle a divisé le dernier théorème de Fermat en deux cas. Avec l’aide
de Legendre, elle a prouvé le premier cas.
Sophie Germain’s work resulted in a contribution rightly acknowledged
by mathematicians. What she accomplished is embodied
in a theorem (now carrying her name) with which she
showed that for all prime numbers n less than 100, there are no
solutions to x n + y n = z n for the case in which none of the three
numbers x, y, and z is divisible by n. At a time when so little
had been achieved with respect to Fermat’s Last Theorem, her
contribution was clearly significant. (Bucciarelli 86)

La mathématicienne 22
Les nombres premiers avec lesquels elle travaillait, de la forme p où
q = 2p + 1 est aussi nombre premier, ont pris son nom, les nombres premiers
de Sophie Germain. Les trois chapitres suivants discuteront l’histoire
derrière ses travaux et les consequences jusqu’à aujourd’hui de ce qu’elle
a découvert. Son approche unique à la théorie des nombres nous touche
encore. C’était son travail sur le dernier théorème de Fermat qui a inspiré
Gauss à faire le preuve de n = 3 et Legendre et Dirichlet à faire n = 5. A
leur tour, ses preuves ont a inspiré le travail d’autres mathématiciens–qui
en fait, ont fait le travail préparatoire qui a ouvert la voie à tout ce que l’on
appelle maintenant la théorie des nombres. C’était Sophie Germain qui a
tout déclenché!
Après avoir réçu le prix extraordinaire pour son Mémoire sur les vibrations
des lames élastiques, Sophie Germain apprend que l’Institut a
etabli un autre concours sur le dernier théorème de Fermat. Avec l’aide de
Legendre et de Gauss, elle travaille sur ce théorème pendant des années.
Curieusement, personne ne soumet rien à l’Institut. Le concours a été renouvellé
en 1818 et finalement retiré en 1820 pour manque de propositions.
(Bucciarelli 85)
There is no evidence that Sophie Germain submitted any of
her work to the Academy for judgment over this four-year period.
The sole report of her achievement is found in Legendre’s
memoir, “Recherches sur quelques objets d’analyse indéterminé
et particulièrement sur le théorème de Fermat,” where it appears
in a footnote. (Bucciarelli 86)

Le philosophe 23
C’est un peu ironique que, dans tous ses oeuvres et tous ses mémoires
publiés, elle n’a rien publié de ses travaux sur la théorie des nombres. Cette
annotation de Legendre peut se voir en tant que symbole de son travail
en général. Elle fait une bonne démarche sur un sujet qui encourage les
autres à y travailler aussi. Son interêt et son approche sont les catalyseurs
qui permettent tout le progrés futur. C’est bien connu que c’est elle qui a
déclenché le mouvement, mais elle n’a jamais reçu le credit qu’elle mérite.
3.2 Le philosophe
Si elle n’a rien publié en mathématiques, elle a pourtant beaucoup écrit
sur les lettres et sur les sciences. H te Stupuy qui a organisé ses manuscrits
posthumes et qui a fait la compilation de ses oeuvres remarque, “Tandis
que tant de femmes ont trouvé la célébrité dans les écrits frivoles, [Sophie
Germain est] la seule femme française qui ait réussi dans les travaux
sévères, estimée des géomètres.” (1) Il fait une longue analyse detaillée de
son ouvrage philosophique sur l’imagination et la rasion, sur les fictions et
les vérités incontestables.
Il resume:
son oeuvre philosophique a précisément pour objet de faire
tomber, sous le poids d’une démonstration contraire, les barrières
fictives [. . .] entre l’imagination et la raison. Montrer la
raison dans l’esthétique et l’imagination dans la science [. . .] Sophie
Germain [. . . a] compris qu’un tel sujet ne pouvait pas être
utilement abordé avant que les opérations cérébrales eussent

Le philosophe 24
fait retour à la méthode expérimentale [. . .] quoique préoccupée
du problème, [elle] se tai[t] pendant longtemps et, assistant,
pour ainsi parler, à l’éclosion de la biologie, se t[ient] au courant
de tout ce que se découvre et s’écrit à cet égard; [. . .] quand elle
prend la plume, elle débute par ces fermes paroles: ≪L’esprit
humain obéit à des lois; elles sont celles de sa propre existence≫.
(Stupuy 49-50)
Nous regarderons certaines citations de ses oeuvres pour comprendre
plus la femme complexe qu’est Sophie Germain. Certains scientifiques critiquent
son travail, disant qu’elle ne sait pas écrire, que sa grammaire est
mauvaise, ou qu’elle ne sait pas bien s’exprimer. Mais pour une femme si
peu eduquée, elle sait bien écrire et elle explique bien l’art d’écriture et de
la poésie et des mathémathiques.
En traçant son plan, le poète ne perdra jamais de vue l’idée
principale. Elle donnera à son travail l’unité d’intérêt et d’action,
source de toute beauté véritable. [. . .] un sentiment universel
[l’]a placé au premier rang entre les préceptes du goût et de la
raison. Il se complaira à en suivre le développement.
De son côté, le géomètre porte une attention soutenue vers
l’idée heureuse qui dirige ses recherches. Toutes les forces de
son intelligence seront employées à dérouler la chaîne des vérités
contenues dans cette vérité première; et l’unité de composition
ne sera nulle part ailleurs aussi sensible. (Stupuy 83-84)
Elle est aussi bien versée dans l’histoire scientifique. Elle ajoute les phé-

Le philosophe 25
nomènes qu’elle voit. Voici sa contribution à l’histoire du developpement
ou de l’évolution de la méthode scientifique et du langage scientifique.
Jusque-là, on avait toujours cherché les causes des phénomènes.
On commença alors à les considérer en eux-mêmes. Au
lieu du pourquoi, on voulut savoir le comment de chaque chose.
[. . .] Alors, et seulement alors, on commença à connaître la nature.
Auparavant, l’homme l’avait imaginée; il la vit pour la
premi`re fois. On tenta de mesurer tout ce qui est mesurable. A
la question du comment se joignit celle du combien. Les phénomènes,
mieux appriéciés, furent calculables; [. . .] l’esprit mathématique
a fait de tels progès que [. . .] la science des phénomènes
naturels qu n’appartiennent pas à l’histoire naturelle, a, pour
ainsi dire, disparu et s’est transformée en une des branches les
plus importantes des sciences exactes. [. . .] Il y a moins d’un
siècle, leur objet était circonscrit dans un petit nobmre de vérités
abstraites; les personnes les plus instruites regardaient l’algèbre
comme un langage barbare et indéchiffrable. Aujourd’hui, les
éléments de cette science entrent dans l’éducation; son esprit a
pénétré dans la masses des nations, et la raison publique y a
puisé des forces nouvelles. (Stupuy 124-126)
Elle cherche, avant tout autre, la vérité. Elle sait bien qu’on peut se
tromper facilement. La citation suivante vient-t-elle, peut-être, d’une époque
où l’Institut se méfie d’une de ses approches nouvelles qui contredit celle
qui existe depuis un bon moment.

La scientifique 26
Lorsque les connaissances sont un amas d’erreurs et de vérités,
indistinctement mêlées; lorsqu’une longue ignorance et beaucoup
de siècles leur ont laissé jeter des racines profondes, la
séparation en est difficile. L’ancienneté ne prouve rien; le respect,
la croyance de plusieurs âges ne sont que des préjugés;
le doute est d’un sage, et si le sage veut avoir une opinion, le
doute le conduit à l’examen. (Stupuy 197)
Nous voyons facilement à quel point elle était mathematicienne et philosophe
tout à la fois. Toutes ses pensées était fondées sur la logique des
mathématiques pures.
Le télescope doit être considéré comme un véritable microscope.
. . . L’homme les soumet également à son pouvoir, ils sont
tous deux vus au microscope.
S’il osa se faire le centre des
choses, la nature le justifie; elle l’a placé comme un milieu entre
la petitesse et la grandeur, elle le suspend entre deux infinis
dont il est enveloppé [. . . ] Le temps a seulement deux divisions
réels: le passé et l’avenir, puisque le présent n’est que la limite
des deux autres. (Stupuy 210, 235-236)
3.3 La scientifique
Sophie Germain devait présenter trois mémoires successifs en 1811, 1813,
et 1815. Le premier d’entre eux provoqua une contribution de Lagrange;
Poisson rédigea un deuxième mémoire en 1814. Bucciarelli fait une analyse
de son travail scientifique. Il parle de son rôle dans l’évolution de

La scientifique 27
la théorie d’élasticité. Il explique comment elle est au sein de la révolution
de la théorie analogue qui contredit celle de Poisson, la théorie moléculaire.
Aussi, il critique ses méthodes scientifiques. Comme le dit Dahan-
Dalmedico,
Sophie Germain, elle, a tenté de poursuivre [la méthode] traditionelle
là [. . . ]. Mais il lui manquait la maîtrise de tous les
instruments conceptuels. (360)
L’équation d’une surface plate, son résultat final, est correct, mais son
analyse n’est pas satisfaisante, et elle doit avoir apparue ainsi à ses contemporains
qui lui ont attribué le prix. Il lui manque de la sophistication
en discutant son hypothèse de base, et elle a négligé d’établir l’uniformité
d’une approximation faite au cours de sa dérivation. Le plus étonnant –
un manque de certaines qualifications techniques de base. Sa grammaire
mathématique, pour parler ainsi, était déficiente: “ la dame ne semble
pas avoir faisait attention au calcul de variations qui pourraient avoir été
prévues de l’étudiante de son grand inventeur Lagrange.” (Bucciarelli 7)
Cependant, si sa compréhension du calcul n’était pas aussi sophistiquée,
loin de la décourager, elle lui permet d’attaquer tout le labyrinthe des différentiels
partiels et des intégrales multiples sans hésitation. Des problèmes
résultants de deux dimensions spatiales ne la dissuadent pas. Son manque
d’éducation formelle était, enfin, ce qui lui a permis d’oser de tenter ou
d’essayer un tel problème. C’est aussi ce qui l’incite à attaquer le problème
d’une manière complètement nouvelle et de ne pas utiliser l’hypothèse
moléculaire qui était la plus acceptée. (Bucciarelli 41)

La scientifique 28
En somme, le premier mémoire de Sophie Germain indique ≪de l’audace,
de la spéculation, et de la maladresse≫. (Bucciarelli 55) Fondamentalement,
elle avait tort, comme la lettre de Legendre l’indique. Mais Legendre
a communiqué une équation à Sophie que Lagrange avait dérivé
de son travail – une équation qui montre un rapport différentiel correct –
et, avec des conditions initiales appropriés, fournit ce qui est aujourd’hui
la base pour analyser le comportement statique et dynamique des surfaces.
Lagrange n’avait pas trouvé cette équation indépendamment du travail de
Sophie Germain, mais il l’avait dérivée de son mémoire. (Bucciarelli 55)
Dans son deuxième mémoire, Sophie Germain démontrait que l’équation
de Lagrange, en fait, a fonctionné dans un certain nombre de cas spéciaux,
démontrant expérimentalement sa validité. Tandis que l’on pourrait
employer cette information pour s’encourager et se guider dans son propre
travail, les cinq juges n’ont pas dû penser sérieusement à Sophie Germain.
Apparemment, sa capacité mathématique n’était pas assez grande pour lui
permettre de dériver l’équation de Lagrange en aucune façon. La mention
honorable qui lui a été attribuée constitue la reconnaissance du travail utile
d’un inférieur, plutôt que des identifications d’un collègue. (Bucciarelli 77)
Il est évident que la façon dont Sophie Germain entreprend ses recherches
est très différente de celle que l’on peut attendre d’un “scientifique
professionnel” comme l’est par exemple Poisson. Maintenue à cette distance
de la vie scientifique, relativement isolèe, on comprend plus aisément
que Sophie Germain ait peu varié ses centres d’intérêt et ses méthodes
d’approcher des questions. Pourtant, si Poisson a refusé l’hypothèse de
Sophie Germain, il a accepté cette équation qui avait beaucoup gagné en

La scientifique 29
crédibilité, et voulait y aboutir. Sinon, il y a peu de raisons de penser qu’il
y serait arrivé directement par sa méthode. (Dahan-Dalmedico 355-361)
Nous entrons la deuxième partie de cette thèse, ses travaux mathématiques,
et nous ferons une synthèse à la fin du sixième chapitre.

Chapter 4
Mathematical Background
4.1 Introduction
4.1.1 Fermat’s Last Theorem
Pierre de Fermat (1601-1665) of Toulouse, France is the author of mathematics’
most famous margin note. In his copy of Oeuvres de Diophante he
wrote:
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in
duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra
quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere
cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc
marginis exiguitas non caperet.
(It is impossible to separate a cube into two cubes, or a biquadrate
into two biquadrates, or in general any power higher
than the second into powers of like degree; I have discovered

Introduction 31
a truly remarkable proof which this margin is too small to contain.)
This conjecture is generally known as Fermat’s Last Theorem and it is stated
in the following manner:
Fermat’s Last Theorem 1. The equation x n + y n = z n has no non-trivial positive
integer solutions for n > 2.
By trivial we mean (0, 0, 0), (0, 1, 1), and (1, 0, 1) which are always
solutions. Non-trivial solutions have no zeros so they can be characterized
by xyz ≠ 0.
Although the theorem had been proven for certain exponents, the general
theorem remained unsolved until Andrew Wiles’ proof in 1995. [19]
We will explore how to find solutions to the equation when n = 2 and why
there cannot be solutions when n = 4. We will also consider the implications
of the impossibility of n = 4 for other even exponents.
We note that for odd n and for any integer c, we have (−c) n = −c n , so
solution to the equation x n + y n = z n correspond to solutions to the equation
x n + y n + z n = 0. We will use either equation interchangeably for odd
exponents.
Without loss of generality, we may assume throughout this thesis that
our variables x, y, and z are relatively prime. This assumption is not integral
to the theorem but it simplifies our calculations. If there were a greatest
common factor a ∈ Z which divided solutions x 0 , y 0 , and z 0 , then we could
divide a n from the equation. This new equation would also yield integer
solutions, x 0
a
, y 0
a
, and z 0
a
which are now relatively prime.

Introduction 32
4.1.2 Early Examples
Pythagorean Triples. A Pythagorean Triple is a set of integers (a, b, c)
such that a 2 + b 2 = c 2 . Some examples of such triples are:
(3, 4, 5) : 3 2 + 4 2 = 5 2
(5, 12, 13) : 5 2 + 12 2 = 13 2
(7, 24, 25) : 7 2 + 24 2 = 25 2
If a, b, and c have no common factors greater than 1, then (a, b, c) is
called a primitive Pythagorean triple. One important observation to make
is that, if a, b, and c are relatively prime, exactly one of them is even. For
example, suppose a and b are odd. Then a 2 and b 2 are odd as well. The
sum of odd numbers must be even, so c 2 is even. Thus c is even. Similarly,
if any two of a, b, and c are odd, then the third is even. Clearly, no two can
be even.
It is well known that every Pythagorean Triple (a, b, c) can be represented
by,
a = 2st,
b = s 2 − t 2 ,
c = s 2 + t 2
where s and t are relatively prime of opposite parity and s > t > 0. Some
good examples can be found in the early chapters of [23].

The First Attempts 33
4.2 The First Attempts
We now return to our investigation of possible solutions to the equation
x n + y n = z n when n > 2. Historically, the very first attempts at proving
Fermat’s Last Theorem were made on n = 3, 4, and 5.
4.2.1 n=3
Leonhard Euler (1707-1783) gave a proof in 1753 that the equation x 3 + y 3 = z 3
has no non-trivial integer solutions. Euler used a variation on the method
of infinite descent, which we will discuss in detail below in section 4.2.2.
Fifty years later, it was discovered that Euler’s proof was actually incomplete.
This incomplete proof was available to Sophie Germain; she and Legendre
worked on the case where n = 5 in a very similar fashion as shown
below in section 4.3.1. It is reported that Lagrange “finished” Euler’s proof
as a consequence of some of his work in the 1830’s. [6]
4.2.2 n=4
Fermat wrote his conjecture in the margin of his Oeuvres de Diophante; he
never furnished a proof. Later, however, he illustrated his method of infinite
descent specifically for n = 4.
Infinite Descent.
The process of infinite descent begins with an equation,
for example, x n + y n = z m , and assumes that x 0 , y 0 , and z 0 are positive
integer solutions. From the first solution, one derives a second solution of
the same form, x n 1 + yn 1 = zm 1
where x 1, y 1 , and z 1 are again positive integer

The First Attempts 34
solutions, such that 0 < z 1 < z 0 .
Since the new solution is of the same form as the previous solution,
one can perform the same manipulations to derive yet a ‘smaller’ positive
integer solution of the same form.
Suppose we begin an infinite descent argument with an integer z 0 . Each
new descent decreases the previous values by some positive integer value.
After the first descent we have a new value z 1 , the second descent gives
us z 2 , etc., where z 0 > z 1 > z 2 > ... > 0, an infinite sequence of strictly decreasing
integer values. Since any initial integer solution (x 0 , y 0 , z 0 ) would
produce an infinite sequence of strictly decreasing yet positive integers–
an impossibility–there can be no such solution. Thus there are no integer
solutions.
Fermat’s Last Theorem 2 (for n=4). The equation x 4 + y 4 = z 4 has no nontrivial
integer solutions.
Proof.
Let x 0 , y 0 , z 0 be non-zero integers such that x 4 0 + y4 0 = z4 0 . Without
loss of generality, assume x 0 , y 0 , and z 0 are relatively prime.
We begin by considering the equation
x 4 0+ y 4 0 = z 4 0
(x 2 0) 2 + (y 2 0 )2 = (z 2 0) 2 ,
which tells us that (x 2 0 , y2 0 , z2 0 ) is a primitive Pythagorean triple. Thus x2 0 ,
y0 2, z2 0 can be written as a Pythagorean triple as described above in section

The First Attempts 35
4.1.2. Without loss of generality, we assume x 0 is even and we write
x 2 0 = 2st, (4.1)
y 2 0 = s 2 − t 2 , (4.2)
z 2 0 = s 2 + t 2 , (4.3)
with s and t relatively prime and of opposite parity, and with s > t > 0.
Equation (4.2) gives us y0 2 + t2 = s 2 , another Pythagorean triple with
integer solutions that can be similarly decomposed. We know that either y 0
or t must be even. Suppose that y 0 is even. Then x 0 and y 0 are both even so
they are not relatively prime. This is a contradiction, so y 0 cannot be even.
So there must be integers a and b such that
t = 2ab
y 0 = a 2 − b 2
s = a 2 + b 2
where a and b are relatively prime and of opposite parity, and with a > b > 0.
Then equation (4.1) can be rewritten as x 2 0 = 4ab(a2 + b 2 ).
Lemma 1. Relatively prime divisors of square are themselves squares. In fact,
relatively prime divisors of an nth power are themselves nth powers.
For a proof of this lemma some particularly good exercises can be found
in [5] or [22]. This proof uses the Fundamental Theorem of Arithmetic, that
every integer greater than 1 has a unique prime factorization. We will deal

The First Attempts 36
with Unique Factorization again in section 4.3.2. □
Returning to our proof we note that x 2 = 4ab(a 2 + b 2 ) is a square.
Recall that a and b are of opposite parity. Then ab is even and a 2 + b 2 is
odd.
By our lemma, since a, b, and a 2 +b 2 are relatively prime and ab(a 2 + b 2 )
is a square, then a is a square, b is a square, and (a 2 + b 2 ) is a square. We
write, a = X 2 and b = Y 2 . Then a 2 + b 2 = X 4 + Y 4 is a square, call it Z 2 .
We now have Z 2 = X 4 + Y 4 . Since a > b > 0, we know that Z 2 > 0.
Beginning this proof, we used the fact that z 4 0
was a square, ignoring
its quartic properties. That is, we said, for integers x 0 and y 0 , the integer
x 4 0 + y4 0 is a square which gives us new integers X and Y such that X4 + Y 4
is also a square. However, 0 < Z 2 = X 4 + Y 4 = a 2 + b 2 = s < s 2 + t 2 = z0 2,
that is, Z 2 < z0 2. So begining with a triple (x 0, y 0 , z0 2) such that x4 0 + y4 0 = (z2 0 )2 ,
we obtained a triple (X, Y, Z 2 ) such that X 4 + Y 4 = (Z 2 ) 2 and z 2 > Z 2 > 0.
So given any integer solution (x 0 , y 0 , z 0 ) with z 0 > 0, we get another
integer solution (x 1 , y 1 , z 1 ) such that z 0 > z 1 > 0. By the prinicple of infinite
descent, there can be no initial solution. Thus the sum of two fourth powers
can never be a square, much less a fourth power. Therefore, Fermat’s Last
Theorem for fourth powers (n = 4) is true. □
Now given any equation of the form x 4m + y 4m = z 4m , we may rewrite
it as
(x m ) 4 + (y m ) 4 = (z m ) 4 .

The First Attempts 37
If we substitute X = x m , Y = y m , and Z = z m , we get
X 4 + Y 4 = Z 4 .
This gives us the following corollaries:
Corollary 1. For any m ∈ N, the equation x 4m + y 4m = z 4m has no non-trivial
integer solutions.
Moreover, we consider any x m + y m = z m for even m. If m is even
then either 4|m or m ≡ 2 (mod 4). If 4|m, we have shown that there are no
integer solution to the equation. If 4 ∤ m but 2|m and m = 2d for some odd
integer d, we rewrite x 2d + y 2d = z 2d as
(x 2 ) d + (y 2 ) d = (z 2 ) d .
Corollary 2. If the equation x 2p + y 2p = z 2p has a non-trivial integer solution
x 0 , y 0 , and z 0 , then X p + Y p = Z p must also have integer solutions.
In particular, the solutions must be X 0 = x 2 0 , Y 0 = y0 2, and Z 0 = z0 2.
Thus, we need only consider Fermat’s Last theorem for n = d ≥ 3, an odd
integer.
If p is a prime and n = pm for some m ≥ 1, then consider any solutions
x 0 , y 0 , and z 0 to the equation x n + y n = z n . We can rewrite this equation as
(x m ) p + (y m ) p = (z m ) p , with solutions x m 0 , ym 0 , and zm 0
. Thus it suffices to
consider non-trivial integer solutions to the equation x p + y p = z p for all
primes p > 2.

The First Proof 38
Corollary 3. For any prime p such that the equation x p + y p = z p has no nontrivial
integer solutions, then x m + y m = z m has no non-trivial integer solutions
for any m divisible by p. That is, if Fermat’s Last Theorem is true for a prime p,
then it is true for every multiple of p.
4.3 The First Proof
4.3.1 The People
Adrien-Marie Legendre submitted a lengthy proof of Fermat’s Last Theorem
for n = 5 to the Paris Academy in 1825. Almost simultaneously to
Legendre’s publications, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet submitted
his proof of Fermat’s Last Theorem for n = 5 to the Paris Academy. His
submission was incomplete but a complete version of his proof was published
several months later. It is interesting to note the sequence of these
events. Legendre was one of the Academy judges of Dirichlet’s incomplete
proof in July. A couple of months later, Legendre published his proof of
n = 5. Dirichlet’s complete version of the proof was published shortly
after Legendre’s original publication. [6]
Sophie Germain consulted with Legendre specifically on n = 5 when
proving her theorem. The two mathematicians often worked together, each
influencing and piquing the interest of the other. Legendre did not mention
Sophie Germain’s work on Fermat’s Last Theorem in his proof. He did,
however, mentioned her contribution in a footnote of a later work. Sophie
Germain never published any of her own work on Number Theory. For
more information on Sophie Germain and her published works, please see

The First Proof 39
the previous 3 chapters.
4.3.2 The Problem
We will divide the proof of Fermat’s Last Theorem for n = 5 into two cases.
Recalling our standing assumption that x, y, and z are relatively prime, we
state the problem as follows:
Fermat’s Last Theorem 3 (for n=5).
Case 1. We want to prove that the equation X 5 + Y 5 + Z 5 = 0 has no non-trivial
integer solutions x, y, and z such that 5 ∤ xyz.
Case 2. We want to prove that the equation X 5 + Y 5 + Z 5 = 0 has no non-trivial
integer solutions x, y, and z such that 5|xyz.
In this case, since five divides the product xyz and since x, y, and z are
relatively prime, 5 divides exactly one of x, y, and z. We also know that
exactly one of x, y, and z is even as discussed above in the presentation of
Primitive Pythagorean Triples. Then either 5 and 2 divide the same number
or 5 and 2 divide different numbers. Thus we have two subcases of Case 2:
Case 2. A.
We want to prove that the equation X 5 + Y 5 + Z 5 = 0 has no
non-trivial integer solutions x, y, and z such that 5 divides one of x, y, or z
and that the number divisible by 5 is even. That is, 10 divides one of x, y,
or z.
Case 2. B.
We want to prove that the equation X 5 + Y 5 + Z 5 = 0 has no
non-trivial integer solutions x, y, and z such that 5 divides one of x, y, or z

The First Proof 40
and that the number divisible by 5 is odd. That is, 5 divides one of x, y, or
z and 2 divides another one of x, y, or z.
Proof of Case 1.
Case 1 was proved as a Corollary of Sophie Germain’s
Theorem which we will discuss in the next chapter. In fact, her theorem
was the inspiration in creating “Case 1” of Fermat’s Last Theorem for all
exponents n.
Proof of Case 2. A. We begin by considering the equation X 5 + Y 5 + Z 5 = 0.
Suppose there is a non-trivial integer solution x, y, and z. Without loss of
generality, assume z is divisible by 10, so x and y are odd. We write
x 5 + y 5 = z 5 . (4.4)
Let
x + y = 2p and let x − y = 2q.
Adding and subtracting the two equations we get
x = p + q and let y = p − q.
Then p and q are also relatively prime and have opposite parity.

The First Proof 41
We plug these equations into equation (4.4) to get
x 5 + y 5 = z 5
(p + q) 5 + (p − q) 5 = z 5 .
The binomial theorem says
(p + q) 5 = p 5 + 5p 4 q + 10p 3 q 2 + 10p 2 q 3 + 5pq 4 + q 5
(p − q) 5 = p 5 − 5p 4 q + 10p 3 q 2 − 10p 2 q 3 + 5pq 4 − q 5
So
z 5 = (p + q) 5 + (p − q) 5 = 2p(p 4 + 10p 2 q 2 + 5q 4 ). (4.5)
We have already assumed z to be divisible by 5, so 5|2p(p 4 + 10p 2 q 2 + 5q 4 ).
Thus 5|p or 5|(p 4 + 10p 2 q 2 + 5q 4 ).
If 5|p then 5 must divide (p 4 + 10p 2 q 2 + 5q 4 ) since all terms contain p or
5. Similarly, if 5|(p 4 + 10p 2 q 2 + 5q 4 ), then 5|p. We know that 5 cannot divide
both p and q since then 5|x and 5|y, which contradicts our assumption that
x, y and z are relatively prime. Thus we know that 5 divides p and not q.
Say p = 5r. Since p and q are relatively prime and have opposite parity, r
and q are also relatively prime and have opposite parity. Then
z 5 = 2 · 5r(5 4 r 4 + 10 · 5 2 r 2 q 2 + 5q 4 )
= (5 2 2r)(5 3 r 4 + 2 · 5 2 r 2 q 2 + q 4 ).

The First Proof 42
We take a detour here to prove that 5 2 2r and 5 3 r 4 + 2 · 5 2 r 2 q 2 + q 4 are
both fifth powers.
Claim 4. 1. The integers 5 2 2r and 5 3 r 4 + 2 · 5 2 r 2 q 2 + q 4 are relatively prime.
Proof of Claim 4.1.
Recall that q and r are relatively prime and have opposite
parity. Suppose that m is a prime such that m divides 5 2 · 2r and m
divides |5 3 r 4 + 2 · 5 2 r 2 q 2 + q 4 . Since m|5 2 · 2r, then either m = 5, m = 2,
or m|r. We know that 5 ∤ q, so 5 ∤ 5 3 r 4 + 2 · 5 2 r 2 q 2 + q 4 , so m ≠ 5. Since
q and r are relatively prime, if m|r then m ∤ q so m ∤ 5 3 r 4 + 2 · 5 2 r 2 q 2 + q 4 .
Thus it must be that m = 2. So 2|5 3 r 4 + 2 · 5 2 r 2 q 2 + q 4 . Since q and r have
opposite parity, 5 3 r 4 + 2 · 5 2 r 2 q 2 + q 4 must be odd, so 2 does not divide it.
Thus we have a contradiction. That is, our supposition that m is a prime
common divisor was wrong, and there are no primes which divide 2 · 5 2 r
and 5 3 r 4 + 2 · 5 2 r 2 q 2 + q 4 . Thus they are relatively prime. □
We return to our proof of n = 5. We know that the integers 5 2 2r and
5 3 r 4 + 2 · 5 2 r 2 q 2 + q 4 are relatively prime, and
z 5 = (5 2 2r)(5 3 r 4 + 2 · 5 2 r 2 q 2 + q 4 ). (4.6)
By Lemma 1, we can conclude that 5 2 2r and 5 3 r 4 + 2 · 5 2 r 2 q 2 + q 4 are
both fifth powers.
Let us consider the second factor further. Completing the square gives

The First Proof 43
us
5 3 r 4 + 2 · 5 2 r 2 q 2 + q 4 = (q 2 + 5 2 r 2 ) 2 − (5 4 r 4 ) − (5 3 r 4 )
= (q 2 + 5 2 r 2 ) 2 − 5(10r 2 ) 2
Let P 0 = (q 2 + 5 2 r 2 ) and let Q 0 = 10r 2 so that P 0 and Q 0 are both
positive integers such that
(q 2 + 5 2 r 2 ) 2 − 5(10r 2 ) 2 = P 2 0 − 5Q 2 0
= (P 0 + Q 0
√
5)(P0 − Q 0
√
5).
Now for something unexpected and exciting: we are leaving the integers.
We are in fact entering the ring of integers of the number field
Q( √ 5). Recall that from the Fundamental Theorem of Arithmetic, we have
unique factorization in the integers. That is, every integer m ≠ 0 can be
factored into a unique product of primes up to a unit. In the integers, our
units are ±1. Thus we say that every integer m ≥ 1 can be factored into a
unique product of positive primes. Similarly, we say that unique factorization
holds in a number field if every element can be factored into a unique
product of irreducible elements up to a unit. Naturally, we ask ourselves,
what does an element of a number field look like and how does it factor
Definition 1. The number field Q( √ p) where p is square free, is the set of elements
a + b √ p such that a and b are rational numbers.
In particular, we are interested in Q( √ 5) = {a + b √ 5 : a, b ∈ Q}.
We
can similarly define the ring Z[ √ 5] = {a + b √ 5 : a, b ∈ Z}. We would like

The First Proof 44
unique factorization to hold in Z[ √ 5], since this is where P 0 and Q 0 live.
Unfortunately, not all rings of this form have unique factorization. The
standard example is Z[ √ −5].
Example 1.
In the ring Z[ √ −5], we can factor 6 in two different ways:
6 = 2 · 3 and 6 = (1 + √ −5)(1 − √ −5),
where 2, 3, (1 + √ −5), and (1 − √ −5) are all irreducible elements. Clearly,
unique factorization does not hold in Z[ √ −5]. [24; 23]
In fact, it has been proven that unique factorization does not hold in
Z[ √ 5].[24]
Example 2.
In the ring Z[ √ 5], we can factor 4 in two different ways:
4 = 2 · 2 and 4 = (1 + √ 5)(−1 + √ 5),
where 2, (1 + √ 5), and (−1 + √ 5) are all irreducible elements. Clearly,
unique factorization does not hold in Z[ √ 5]. [24]
Fortunately for us, we can look at a slightly larger ring, the ring of integers
O √ 5 = { a+b√ p
2
: a, b ∈ Z}.
Since 5 ≡ 1 (mod 4), we write O √ 5 = { a+b√ p
2
: a, b ∈ Z}. Unique factorization
holds in O √ 5
. For an extremely thorough discussion of number
fields, see [18]. For a comprehensible study of number fields, see [24]. For
an entirely pertinent examination of number fields with interesting examples,
see [16].

The First Proof 45
Returning to the proof of Fermat’s Last Theorem for n = 5, we note
here that we are setting up an infinite descent argument. We have taken
the equation x 5 + y 5 + z 5 = 0 and have assumed that there exist non-trivial
integer solutions. From these solutions, we have found positive integers P 0
and Q 0 . We are going to show that P 0 and Q 0 are positive integers greater
than P 1 and Q 1 , respectively, which in turn are positive integers. That is,
we will demonstrate that P 0 > P 1 > 0 and Q 0 > Q 1 > 0. By the principle
of mathematical induction, we can continue finding P i and Q i such that
P i > P i+1 > · · · > 0 and Q i > Q i+1 > · · · > 0 for all i ∈ Z + . This will show
that no such initial solution could exist, finishing our proof.
Recall that we have P0 2 − 5Q2 0 = (P √ √
0 + Q 0 5)(P0 − Q 0 5).
Claim 4. 2. The integers P 0 = q 2 + 25r 2 and Q 0 = 10r 2 are relatively prime. In
particular, P 0 is not divisible by either 2 or 5.
Proof of Claim 4.2.
Suppose that m|P 0 and m|Q 0 for some prime m. Then
m|q 2 + 5 2 r 2 and m|10r 2 . So m = 2, m = 5, m|q or m|r. Recall that q and r
are relatively prime and have opposite parity and, in particular, 5 ∤ q. Since
q 2 + 5 2 r 2 is odd, thus m ≠ 2. Since 5 ∤ q, we know 5 ∤ q 2 + 5 2 r 2 , so m ≠ 5.
Thus m|q or m|r. But q and r are relatively prime, so if m|q, then m ∤ 10r 2
and if m|r, then m ∤ q 2 + 5 2 r 2 . So our supposition is wrong. Thus there
are no primes which divide P 0 and Q 0 , so they are relatively prime. In
particular, since Q 0 = 10r 2 is divisible by 2 and 5, P 0 is not divisible by
either 2 or 5. □
√
Continuing our proof of n = 5, we want to show that P 0 + Q 0 5 is a
fifth power.

The First Proof 46
Since we are in the ring of integers O √ 5 of Q(√ 5), which is a unique
factorization domain, the analogus statement to Lemma 1 applies.
Lemma 2. If a ring, R, is a unique factorization domain, then relatively prime
divisors of an nth power in R are themselves nth powers in R.
Then
So P 0 + Q 0
√
5 = (
α+β √ 5
2
) 5 where α and β are integers of same parity.
P 0 + Q 0
√
5 =
1
32 [(α5 + 50α 3 β 2 + 125αβ 4 ) + (5α 4 β + 50α 2 β 3 + 25β 5 ) √ 5],
so P 0 = 1
32 (α5 + 50α 3 β 2 + 125αβ 4 ) = α 32 (α4 + 50α 2 β 2 + 125β 4 ) and
Q 0 = 1
32 (5α4 β + 50α 2 β 3 + 25β 5 ) = 5β
32 (α4 + 10α 2 β 2 + 5β 4 ).
Suppose α and β are both odd. Then P 0 = α 32 (α4 + 50α 2 β 2 + 125β 4 ) implies
We know that P 0 = α 32 (α4 + 50α 2 β 2 + 125β 4 ) is a positive odd integer.
α 4 + 50α 2 β 2 + 125β 4
32
is an odd integer. Since P 0 is an integer, we know that α 4 + 50α 2 β 2 + 125β 4
is divisible by 32. We can check for every odd value of α and β modulo 32
that α 4 + 50α 2 β 2 + 125β 4 is always equivalent to 16 (mod 32), thus P 0 is not
an integer. This is a contradiction, so α and β cannot be odd.
So α and β are both even. Then we have α = 2A and β = 2B, so we can

The First Proof 47
write
P 0 = A 16 (16A4 + 50 · 16A 2 B 2 + 125 · 16B 4 )
= A(A 4 + 50A 2 B 2 + 125B 4 ) (4.7)
Q 0 = 5B
16 (16A4 + 10 · 16A 2 B 2 + 5 · 16B 4 )
= 5B(A 4 + 10A 2 B 2 + 5B 4 ) (4.8)
where A and B are integers. Then P 0 and Q 0 are in Z[ √ 5]. In fact, since
P 0 and Q 0 are both positive integers, then A and B must also be positive
integers.
Claim 4. 3. The integers A and B are relatively prime. In particular, A is not
divisible by either 2 or 5.
Proof of Claim 4.3. Let gcd(A, B) = n. So n divides A and n divides B.
Then n|A(A 4 + 50A 2 B 2 + 125B 4 ) = P 0 and n|5B(A 4 + 10A 2 B 2 + 5B 4 ) = Q 0 .
That is, n|P 0 and n|Q 0 . Since gcd(P 0 , Q 0 ) = 1, the only n that divides both
P 0 and Q 0 is 1, so gcd(A, B) = 1. In particular, P 0 = A(A 4 + 50A 2 B 2 + 125B 4 )
is odd and Q 0 = B(5A 4 + 50A 2 B 2 + 25B 4 ) is even, so A must be odd and B
must be even. If A were divisible by 5, then P 0 = A 5 + 50A 3 B 2 + 125AB 4
would also be divisible by 5. We know P 0 is not divisible by 5, thus A is not
divisible by 5. So A is not divisible by either 2 or 5. □
We return to our proof of Fermat’s Last Theorem for n = 5.

The First Proof 48
We know from (4.6) that 5 2 2r is a 5th power. Then
(5 2 2r) 2 = 5 4 · 4r 2
= 5 3 2 · 10r 2
= 5 3 2Q 0
is also a fifth power. So
5 3 2Q 0 = 5 3 2 · 5B(A 4 + 10A 2 B 2 + 5B 4 )
= 5 4 2B(A 4 + 10A 2 B 2 + 5B 4 ) (4.9)
is also a fifth power. But A and B are relatively prime and A is not divisible
by either 2 or 5, so 5 4 2B and A 4 + 10A 2 B 2 + 5B 4 are relatively prime. By
Lemma 1, they must both be fifth powers.
Let us consider our second factor. Again, we complete the square:
A 4 + 10A 2 B 2 + 5B 4 = (A 2 + 5B 2 ) 2 − 25B 4 + 5B 4
= (A 2 + 5B 2 ) 2 − 5(2B 2 ) 2 .
We now conclude our argument of descent. Let P 1 = A 2 + 5B 2 and let
Q 1 = 2B 2 . Since A and B are both positive integers, we know P 1 and Q 1

The First Proof 49
are positive integers. Then
P 1 = A 2 + 5B 2
P1 2 = (A 2 + 5B 2 ) 2
= A 4 + 10A 2 5B 2 + 25B 4
Q 1 = 2B 2
Q 2 1 = (2B 2 )
= 4B 4
So P1 2 < P 0 = A(A 4 + 50A 2 B 2 + 125B 4 ) and we know 0 < P 1 < P 0 . Similarly,
Q 2 1 < Q 0 = 5B(A 4 + 10A 2 B 2 + 5B 4 ) so 0 < Q 1 < Q 0 .
This argument can be repeated indefinitely. That is, we can always find
positive integers P n and Q n which are smaller than P n−1 and Q n−1 , respectively.
By the principle of infinite descent, there can be no initial integers
P 0 and Q 0 . Thus there are no non-trivial integer solutions to the equation
X 5 + Y 5 + Z 5 = 0 where 10|Z. This concludes subcase A. of Case 2.
Proof of Case 2. B.
We are not going to prove Case 2. B. since the techniques
are very similar to those used in Case 2. A. A complete proof can be
seen in [6].
We would begin by supposing that there is a non-trivial integer solution
x, y, and z to the equation X 5 + Y 5 + Z 5 = 0. Without loss of generality, we
would assume z is divisible by 5, so x and y have opposite parity.

The First Proof 50
We would then show that we can find integers q and r such that
5 2 r(q 4 + 50r 2 q 2 + 125r 4 ) = 2 4 z 5 ,
where 5 2 r and q 4 + 50r 2 q 2 + 125r 4 are both relatively prime fifth powers.
We would then set up an infinite descent argument. We would show
that there are positive odd integers P 0 and Q 0 such that
( ) 2 P0
− 5
2
( ) 2 Q0
2
is a fifth power. Then
P 0
2 + Q 0
√
( A 5 =
2 2 + B √
) 5
5 ,
2
for some positive odd integers A and B.
Then, using the same process as above, we would find positive odd integers
P 1 and Q 1 of the same form, such that P 0 > P 1 > 0 and Q 0 > Q 1 > 0.
We would then conclude, by the principle of infinite descent, that no such
initial solution x, y, and z exists.
Thus we conclude Fermat’s Last Theorem for n = 5; the equation
X 5 + Y 5 + Z 5 = 0
has no non-trivial integer solutions. □

Chapter 5
Sophie Germain
5.1 Case 1, Case 2
Fermat’s Last Theorem states that the equation x n + y n = z n has no nontrivial
integer solutions when n > 2. Recall we may assume that x, y, and
z are relatively prime. Earlier, for n = 5, we broke this theorem down into
two cases. We can do this in general in the following manner:
Fermat’s Last Theorem 4 (By Cases).
Case 1. We claim that the equation x n + y n = z n has no non-trivial integer solutions
when n > 2 and n ∤ xyz.
In other words, if there did exist any positive integer solution (a, b, c) of
x n + y n = z n , then exactly one of a, b, or c is a multiple of n, since a, b, and
c are relatively prime.
Case 2. We claim that the equation x n + y n = z n has no non-trivial integer solutions
when n > 2 and n|xyz.

Sophie Germain’s Theorems 52
In other words, if there did exist any positive integer solution (a, b, c) of
x n + y n = z n , then none of a, b, or c are multiples of n.
5.2 Sophie Germain’s Theorems
These two cases developed following Sophie Germain’s Theorem:
Sophie Germain’s Theorem 1. Let p be an odd prime. Suppose there exists an
auxiliary prime q such that the following conditions hold:
1. n p ≢ p (mod q) for all integers n.
2. Whenever x p + y p + z p ≡ 0 (mod q) then q|xyz where x, y, and z are
relatively prime.
Then for any non-zero integers a, b, and c such that a p + b p = c p , it must be that
p|abc.
That is, suppose a prime p has an auxiliary prime q such that conditions
1 and 2 are met. If there exists non-zero integers a, b, and c for which
a p + b p = c p , then p divides a, b, or c.
Example.
Let us consider the primes p = 3 and q = 7. We check directly
conditions 1 and 2.
1. Is n 3 ≡ 3 (mod 7) for any integer n We can easily check this with a
table.

Sophie Germain’s Theorems 53
Cubes modulo 7
n n 3
0 0
1 1
2 8 ≡ 1
3 27 ≡ 6
4 64 ≡ 1
5 125 ≡ 6
6 216 ≡ 6
We can see that no n 3 (mod 7) is congruent to 3, so condition 1 is met.
2. Does x 3 + y 3 + z 3 ≡ 0 (mod 7) imply that 7|xyz Again, we check this
with a table.
Cubes modulo 7
x 3 y 3 z 3 x 3 + y 3 + z 3
0 0 0 0
0 0 1 1
0 0 6 6
0 1 1 2
0 1 6 0
0 6 6 12 ≡ 5
1 1 6 8 ≡ 1
1 6 6 13 ≡ 1
6 6 6 18 ≡ 4
The only instances when x 3 + y 3 + z 3 ≡ 0 (mod 7) occur when all of

Sophie Germain’s Theorems 54
x 3 , y 3 , and z 3 are congruent to 0 (mod 7) or when only x 3 ≡ 0 (mod 7).
This implies that either x, y, and z were not relatively prime and
were in fact all divisible by seven or that x is divisible by 7. Thus
x 3 + y 3 + z 3 ≡ 0 (mod 7) implies that 7|xyz and condition 2 is met.
Since 3 is prime with an auxiliary prime 7 which fulfills conditions 1 and
2, we can conclude that if the equation x 3 + y 3 = z 3 has non-trivial integer
solutions x 0 , y 0 , and z 0 , then one of x 0 , y 0 , or z 0 is divisible by 3.
Proof of Sophie Germain’s Theorem.
Let p be a prime with auxiliary
prime q such that condition 2 is satisfied. Suppose x, y, and z are nonzero
integer solutions of the equation X p + Y p + Z p = 0. Suppose further
that p does not divide any of x, y, or z. We will show that if none of x, y, or
z is divisible by p then condition 1 is not satisfied.
For any integers x, y, and z, if x p +y p +z p = 0, then x p + y p + z p ≡ 0 (mod q).
By condition 2, we know that q|xyz.
Assume without loss of generality that q divides x. Then we can write
(−x) p = y p + z p . Factoring out y + z, we get
(−x) p = (y + z)(y p−1 − y p−2 z + y p−3 z 2 + · · · − yz p−2 + z p−1 ).
Recall the following lemma from chapter 4:
Lemma 1.
Relatively prime divisors of an nth power are themselves nth powers.
We want to show that y+z and y p−1 −y p−2 z+y p−3 z 2 +· · ·−yz p−2 +z p−1
are pth powers, so need to show that they are relatively prime.

Sophie Germain’s Theorems 55
Claim 5. 1. For relatively prime integers y and z, the expressions y + z and
y p−1 − y p−2 z + y p−3 z 2 + · · · − yz p−2 + z p−1 are relatively prime.
Proof of Claim 5.1.
Suppose r is a prime which divides both y + z and
y p−1 − y p−2 z + y p−3 z 2 + · · · − yz p−2 + z p−1 . Then
y + z ≡ 0 (mod r)
y p−1 − y p−2 z + y p−3 z 2 + · · · − yz p−2 + z p−1 ≡ 0 (mod r).
Thus, z ≡ −y (mod r). Plugging z = −y into the second equation gives us
y p−1 − y p−2 z + y p−3 z 2 + · · · − yz p−2 + z p−1 ≡ py p−1 (mod r).
So py p−1 ≡ (mod r). Then either p ≡ 0 (mod r) or y p−1 ≡ 0 (mod r).
First suppose y p−1 ≡ 0 (mod r). Then y ≡ 0 (mod r). But z ≡ −y (mod r),
so z ≡ 0 (mod r). This implies that r divides z. This is a contradiction since
y and z are relatively prime. Thus r does not divide y p−1 .
Now suppose p ≡ 0 (mod r). Since p is prime, this means p = r. Then
y + z ≡ 0 (mod p)
y p−1 − y p−2 z + y p−3 z 2 + · · · − yz p−2 + z p−1 ≡ 0 (mod p).

Sophie Germain’s Theorems 56
So
(y + z)(y p−1 − y p−2 z + y p−3 z 2 + · · · − yz p−2 + z p−1 ) ≡ 0 (mod p)
y p + z p ≡ 0 (mod p)
(−x) p ≡ 0 (mod p).
This implies that p divides x. This is a contradiction since we have assumed
that p does not divide x, y, or z. Thus r ≠ p.
So no prime r can divide p or y p−1 , then it cannot divide both y + z
and y p−1 − y p−2 z + y p−3 z 2 + · · · − yz p−2 + z p−1 .
Therefore y + z and
y p−1 − y p−2 z + y p−3 z 2 + · · · − yz p−2 + z p−1 are relatively prime. □
We return to our proof of Sophie Germain’s Theorem.
Since y + z and y p−1 − y p−2 z + y p−3 z 2 + · · · − yz p−2 + z p−1 are relatively
prime divisors of a pth power, they are both pth powers.
Similarly, we can factor (−y) p = x p + z p and (−z) p = x p + y p to give us
(−y) p = (x + z)(x p−1 − x p−2 z + x p−3 z 2 + · · · − xz p−2 + z p−1 )
(−z) p = (x + y)(x p−1 − x p−2 y + x p−3 y 2 + · · · − xy p−2 + y p−1 ), respectively,
where each of these factors is a pth power.
Then, there must be non-zero integers a, b, c, α, β, and γ, such that
y + z = a p y p−1 − y p−2 z + y p−3 z 2 + · · · − yz p−2 + z p−1 = α p and x = −aα
x + z = b p x p−1 − x p−2 z + x p−3 z 2 + · · · − xz p−2 + z p−1 = β p and y = −bβ
x + y = c p x p−1 − x p−2 y + x p−3 y 2 + · · · − xy p−2 + y p−1 = γ p and z = −cγ

Sophie Germain’s Theorems 57
We have already assumed that x is divisible by q. Then
2x = (x + z) + (x + y) − (y + z) = b p + c p − a p ≡ 0 (mod q).
By condition 2, q|abc. Since q is prime, then q must divide exactly one of a,
b, or c.
Suppose q divides b. Then
−bβ ≡ 0 (mod q)
y ≡ 0 (mod q).
This implies that q|y, which contradicts our assumption that x, y, and z are
relatively prime. So b ≢ 0 (mod q).
Similarly, we find that c ≢ 0 (mod q), so q ∤ c.
Thus q|a. Then we have
a ≡ 0 (mod q)
a p ≡ 0 (mod q)
y + z ≡ 0 (mod q)
y ≡ −z (mod q)
Recall from the proof of Claim 5.1 that z = −y gives us
y p−1 − y p−2 z + y p−3 z 2 + · · · − yz p−2 + z p−1 ≡ py p−1 (mod q)
so, α p ≡ py p−1 (mod q).

Sophie Germain’s Theorems 58
Since x ≡ 0 (mod q), we can add multiples of x to get
py p−1 ≡ px p−1 − px p−2 y + px p−3 y 2 + · · · − pxy p−2 + py p−1 (mod q)
≡ p(x p−1 − x p−2 y + x p−3 y 2 + · · · − xy p−2 + y p−1 ) (mod q)
≡
pγ p (mod p).
We know γ ≢ 0 (mod p), since this would imply that z is divisible by p.
Then there must be an integer, g, the inverse of γ, such that gγ ≡ 1 (mod q).
Thus we have,
α p ≡ py p−1 (mod q)
≡
pγ p (mod q).
So
α p g p ≡ pγ p g p (mod q)
(αg) p ≡ p(γg) p (mod q)
(αg) p ≡ p (mod q).
This violates condition 1.
We have found an integer n = αg such that
n p ≡ p (mod q).
We have shown that if p has an auxiliary prime q such that condition 2
is satisified and if there are non-trivial integer solutions x, y, and z to the
equation X p + Y p + Z p such that p ∤ xyz, then condition 1 is not satisfied.
Thus, if p has an auxiliary prime q such that conditions 1 and 2 are satis-

Sophie Germain’s Theorems 59
fied and if there are integer solutions x, y, and z to the equation X p + Y p + Z p = 0,
then exactly one of x, y, or z is a multiple of p. This concludes our proof of
Sophie Germain’s Theorem. □
Sophie Germain found auxiliary primes q for all primes up 100, thus
proving Case 1 of Fermat’s Last Theorem for these 24 primes. She also
found that for primes p > 2 such that q = 2p + 1 is also prime, conditions
1 and 2 hold, as we will see below. These primes have come to be known
as Sophie Germain primes. Her theorem applies to all Sophie Germain
primes, thus proving Case 1 of Fermat’s Last Theorem for all odd primes p
such that q = 2p + 1 is also prime.
Sophie Germain Primes Theorem 2. Let p be an odd prime with the property
that q = 2p + 1 is also prime. Then conditions 1 and 2 hold. I.e.:
1. n p ≢ p (mod q) for all integers n.
2. x p +y p +z p ≡ 0 (mod q) implies that q|xyz where x, y, and z are relatively
prime.
Proof of the Sophie Germain Primes Theorem. Consider an integer n.
Clearly if n ≡ 0 (mod q), then, since q ∤ p,
n p ≡ 0 (mod q)
≢
p (mod q).
Fermat’s Little Theorem tells us that when q is an odd prime, n q−1 ≡ 1 (mod q)
for any integer n ≢ 0 (mod q).

Sophie Germain’s Theorems 60
For Sophie Germain primes p, we know q = 2p + 1 so q − 1 = 2p. In
particular,
n q−1 ≡ n 2p (mod q)
≡ (n p ) 2 (mod q)
≡
1 (mod q).
We can then write (n p ) 2 − 1 ≡ 0 (mod q) which we factor to get
(n p − 1)(n p + 1) ≡ 0 (mod q). We now see that n p ≡ ±1 (mod q) for all integers
n such that n ≢ 0 (mod q).
We need to show that p ≢ ±1 (mod q)
Claim 5. 2. For a Sophie Germain prime pair p and q = 2p + 1, we know that
p ≢ ±1 (mod q).
Proof of Claim 5.2.
Assume p ≡ ±1 (mod q). Then p ± 1 ≡ 0 (mod q), so
q divides p ± 1. But we defined p and q such that q = 2p + 1 = p + p + 1, so
q > p + 1 > p − 1. Thus q does not divide p ± 1 and p ≢ ±1 (mod q). □
We return to our proof of the Sophie Germain Primes Theorem. We
know n p ≡ ±1 (mod q) ≢ p (mod q) for all integers n ≢ 0 (mod q).
Now suppose n ≡ 0 (mod q). Then n p ≡ 0 (mod q) ≢ p (mod q).
Thus condition 1 holds for all integers n if p is a Sophie Germain Prime.
Let us consider the integer solutions x, y, and z. We showed above that

Sophie Germain’s Theorems 61
if none of x, y, or z are congruent to 0 (mod q), then
x p ≡ ±1 (mod q)
y p ≡ ±1 (mod q)
z p ≡ ±1 (mod q).
This tells us that x p + y p + z p ≡ ±1 ± 1 ± 1 (mod q). This sum can never
be 0 (mod q). Thus if q ∤ xyz, then x p + y p + z p ≢ 0 (mod q). Condition 2 of
Sophie Germain’s theorem holds. □
Legendre published his version of the proof of Sophie Germain’s Theorem
in 1879. His mémoir expands the list of primes to include the 43
odd primes p up to 193.
In this publication, he proved Case 1 of Fermat’s
Last Theorem for primes p such that q = 2kp + 1 is also prime where
k ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8}. See Table 1.

Sophie Germain’s Theorems 62
Table 1.
Odd primes p up to 193 with q = 2kp + 1 prime for k ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8}
p k q=2kp+1 p k q=2kp+1 p k q=2kp+1
3* 1 7 59 7 827 131* 1 263
5* 1 11 61 8 977 137 4 1097
7 2 29 67 2 269 139 2 557
11* 1 23 71 4 569 149 4 1193
13 2 53 73 2 293 151 5 1511
17 4 137 79 2 317 157 5 1571
19 5 191 83* 1 167 163 2 653
23* 1 47 89* 1 179 167 7 2339
29* 1 59 97 2 389 173* 1 347
31 5 11 101 4 809 179* 1 359
37 2 149 103 5 1031 181 5 1811
41* 1 83 107 4 857 191* 1 383
43 2 173 109 5 1091 193 2 773
47 7 659 113* 1 227
53* 1 107 127 2 509 *Germain prime
5.2.1 Germain Primes
Are there infinitely many Sophie Germain primes Even today, many number
theorists ponder this question. Data are being compiled, books are being
written, and computer programs are running even as you read this,
searching for new and larger Germain primes. The largest known Sophie

What then 63
Germain prime, discovered in 2005, is
p = 7068555 · 2 121301 − 1,
with q = 2p + 1 = 7068555 · 2 121302 − 1 also prime.
[2; 20] Sophie Germain primes are not the largest known primes. In fact,
they are not even on the list of the 100 largest known primes. Mersenne
primes of the form 2 p − 1 are the “easiest” primes to find and constitute 6
of the top 10 largest known primes. The other 4 are Fermat primes, primes
p such that q = 2kp + 1 is also prime. [2]
5.3 What then
What possibilities are excluded
While Sophie Germain’s Theorem does
not exclude all prime exponents from possibly having integer solutions
which are relatively prime to the exponent, it does put a damper on the
number of primes allowed to have such solutions. Legendre’s 1879 list of
primes which can be implemented in Sophie Germain’s Theorem has been
added to over the years so that it now includes most primes p such that
q = 2kp + 1 is also prime.
There are still some exceptions; the expanded list excludes primes p
where q = 6p + 1, 12p + 1, . . . are prime, that is, when q = kp + 1 is prime
and k is a multiple of 6. For example, Legendre’s list of primes stopped
at 197; if p = 197, then q = 6p + 1 = 1183 is its smallest auxiliary prime.
Andrew Granville in his article “Sophie Germain’s Theorem for Prime Pairs

What then 64
p, 6p + 1” [9] explains why these pairs are exceptional and how to prove
Case 1 of Fermat’s Last Theorem for such primes.
What possibilities are left
In general, Sophie Germain’s Theorem precludes
most solutions x, y, and z to the equation X n +Y n = Z n where none
of the integers x, y, or z is divisible by n. We have already discussed the
impossibility of equations where n is divisible by 4. We have also seen that
when n is divisible by 2, any the squares of any solutions to the equation
X n +Y n = Z n are solutions to X n 2 +Y n 2
= Z n 2 . So we consider the non-zero
integer solutions to the equation
X P + Y P + Z P = 0
where P is a product of primes greater than 2.
We know that one of X, Y , or Z is divisible by P , without loss of generality
we assume X = aP for some integer a. Then (aP ) P + Y P + Z P = 0.
There are a few good number theoretic tools which help narrow down
possible solutions. We will consider only Fermat’s Little Theorem and the
Chinese Remainder Theorem, but there are other interesting approaches,
many of which are discussed at length in [23].
We recall Fermat’s Little Theorem,
a p ≡ a (mod )
for any integer a where p is prime.

What then 65
This means that if P is a prime,
(aP ) P + Y P + Z P ≡ aP + Y + Z (mod P )
≡ 0 + Y + Z (mod P )
≡ Y + Z (mod P )
≡ 0 (mod P ),
so Y ≡ −Z (mod P ).
In fact, by Chinese Remainder Theorem, if P is a product of different
primes, we get exactly the same results.
Chinese Remainder Theorem.
Let b, c, m, and n be integers such that m and
n are relatively prime. Then the simultaneous congruences
x ≡ b (mod m) and x ≡ c (mod n)
have exactly one solution with 0 ≤ x < mn.
In particular, if x ≡ b (mod m) and x ≡ b (mod n), then x ≡ b (mod mn).
Since P is a product of different primes p i and aP ≡ 0 (mod p i ) for all i,
then aP ≡ 0 (mod P ) and Y ≡ −Z (mod P ).
Therefore, if X P + Y P + Z P = 0 has non-trivial integer solutions, x, y,
and z when P is a product of unique primes, then x is divisible by P and
y = bP − z for some integer b.
This typical number theoretical approach to Fermat’s Last Theorem is
possible due to the consequences of Sophie Germain’s Theorem. Her ap-

What then 66
proach gave hope to many mathematicians that, given the limitations on
possible remaining solutions, Fermat’s Last Theorem would soon have an
elegant, attainable solution. While many attempts were made and new
methods invented, no solution came for over 200 years.

Chapter 6
Conclusion
6.1 And Beyond
In 1825, Legendre and Dirichelet’s proofs of n = 5 were the first complete
and correct proofs in existence of exponents for which Fermat’s Last Theorem
was true. Seven years later, Dirichlet proved n = 14 using similar
methods of descent. He was actually attempting to prove n = 7, but never
published a complete proof. The case of Fermat’s Last Theorem for n = 7
was picked up by Lamé. In order to solve n = 7, Lamé turned towards
new methods, presenting his proof in 1839. Emboldened by his success,
Lamé erroneously claimed to the Paris Académie on March 1, 1847, that
he had found a proof of Fermat’s Last Theorem. His proof required linear
factoring of the equation x n + y n = z n over the complex numbers. There
was a snag; unique factorization, though true over the integers, does not
work over all rings. [6] See the proof of Fermat’s Last Theorem for n = 5 in
section 4.3.

And Beyond 68
In 1847, Kummer published a paper which showed that unique factorization
does indeed fail over certain number rings. He then presented a
new type of element, ideals, which he proved do have unique factorization.
This new approach did not lead to a final solution of Fermat’s Last
Theorem, but it created a new branch of mathematics, the field of Algebraic
Number Theory. [6]
Wiles’ Proof (The bare bones).
In 1986, it was found that the Shimura-
Taniyama conjecture on elliptic curves was related to Fermat’s Last Theorem.
Most elliptic curves are give by equations of the form:
E : y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c,
where a, b, and c ∈ Q. Elliptic curves have the structure of an abelian group.
That is, given any rational point on the curve, it is possible to find another
rational point, should such points exist. In addition, given a prime p under
certain conditions (i.e., not a bad prime), one can reduce certain elliptic
curves modulo p which produce certain patterns of rational numbers. [23]
In 1993 Andrew Wiles announced his proof of Fermat’s Last Theorem
as a corollary to his proof that semistable elliptic curves exhibit Modularity
Patterns. A result is that certain elliptic curves, in particular, the Frey curve:
E A,B : y 2 = x(x + A p )(x − B p )
must be modular. Ken Ribet had earlier proved that the Frey curve cannot
be modular. A curve cannot be both modular and non-modular, so

Conclusion 69
the Frey curve must not exist. The Frey curve, however, is constructed
by starting with any non-trivial rational solution (A, B, C) of the equation
x p + y p = z p . Since the Frey curve cannot exist, it follows that no non-trivial
integer solutions to the equation x n + y n = z n can exist. [12]
6.2 Conclusion
Few believe that Fermat actually had a correct general proof and none
imagine that he could have had Wiles’ proof in mind. Andrew Wiles’ proof
of over 120 pages incorporates many highly nuanced and extremely specialized
mathematical techniques which were unavailable a century ago,
much less in the early 1600’s. For many, this is the end; the unsolved intrigue
which drew so many mathematicians has now been solved. Others
are still left unsatisfied, feeling intuitively that there should be a much more
accessible proof for such a seemingly simple theorem. John Conway, a colleague
of Wiles, sums it up, “I’m sad in some ways. Fermat’s Last Theorem
has been responsible for so much. What will we find to take its place”[12]
6.2.1 Synthesis
Sophie Germain is considered the first woman to contribute to “the advancement
of mathematical knowledge” by conducting research. [4] In addition,
her findings set in motion further exploration of fields which had
previously been ignored–or perhaps more accurately, were untouched due
to the daunting nature of such materiel. [1; 3] Her lack of formal education
was likely they key factor leading to her original approaches and conse-

Conclusion 70
quently to their success. She was not intimidated by complex computations
and her approaches can be considered rather basic, working literally from
the fundamental principles of mathematics rather than from the contrived
approaches of others. [1; 3].
We can be sure that it was not her acclaimed modesty which kept her
name off of the list on the Eiffel Tower. Of the 79 male scientist who contributed
to the advancement of science knowledge which permitted the
construction of the tower, her contribution to the theory of elasticity was
one of the most pivotal. [7] Unfortunately, like her contribution to number
theory, much of her work went unpublished for years, eventually becoming
just a theory in the works of “great mathematicians” like Poisson and
Legendre. Nevertheless, Sophie Germain earned her way into the history
of mathematics; she deserves to be remembered, not as an amazing woman,
but as a hard-working mathematician whose work paved the way for many
future mathematicians.

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Révolution Française: Recherches Historiques. Ed. Roshdi Rashed. Paris,
France: Librarie Scientifique et Technique Albert Blanchard, 1988.
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rend compte de leurs progès depuis leur origine jusqu’à nos jours où l’on
expose le tableau et le développement des principales découvertes dans toutes
les parties des Mathématiques, les contestations qui se sont élevées entre
les Mathématiciens, et les principaux traits de las vid des plus célèbres.
Nouvelle édition, consiérablement augmentée, et prolongée jusque ver
l’époque actuelle. Paris, France: A. Blanchard,1968.
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18 September 2005.