Conception des fenetres de ponderation - PRIMA

Filtrage et traitement du signal
James L. Crowley et Antoine Rouef
Cours RICM-2- HR20MTS deuxième semestre 2000/2001
Séance 9 : 20 mars 2001
Conception des Fenêtres de Ponderation
Méthode de synthèse des filtres .............................. 2
Filtrage RIF avec les Fenêtres de Pondération............. 5
1) Fenêtre triangulaire ..............................................................6
2) Fenêtre de Von Hann............................................................7
3) Fenêtre de Hamming généralisée ............................................9

Conception des Fenêtres de Ponderation Séance 9
Méthode de synthèse des filtres
“méthode de la fenêtre” ou “méthode de la série de Fourier”.
1) On spécifie les caractéristiques souhaité en fréquence H s (ω) pour l’intervalle
–π < ω < π.
(H s (ω) est périodique avec période 2π pour h s (n) échantilloné.)
2) Les coefficients du filtre idéal sont donnée par la transformée de Fourier inverse :
h s (n) = 1
2π
∫
π
H s (ω) e jωn dω
–π
3) On determine la durée du filtre, N.
h(n) = h s (n) . w N (n)
4) On vérifie que H(ω) – H s (ω) est acceptable.
H(ω) = H s (ω) * W N (ω)
9-2

Conception des Fenêtres de Ponderation Séance 9
Exemple :
H s (ω)
1
H s (ω) =
⎪
⎧ 1 –π/2 ≤ ω ≤ π/2
⎨
⎩
⎪ 0 ailleurs
–π –π
2
π
2
π
h s (0) =
=
1
2π
∫
π
H s (ω) e jωn dω =
–π
1
π/2
2π ω ⎪ ⎪⎪⎪ –π/2 = 1
2
1
2π
π/2
∫ e jω0 dω =
–π/2
1
2π
π/2
∫ 1 dω
–π/2
h s (n) =
h s (n) =
1
2π
1
2π
∫
π
H s (ω) e jωn dω =
–π
1
2π
π/2
∫ e jωn dω
–π/2
1
π/2
j e–jωn ⎪ ⎪⎪⎪ –π/2 = 1
2πjn [ejπn/2 – e –jπn/2 ] = sin(πn/2)
πn
Limitation a N coefficients :
H(ω) = H s (ω) *
sin(ωN/2)
sin(ω/2)
(e –jω(N–1)/4 )
9-3

Conception des Fenêtres de Ponderation Séance 9
Pour notre exemple :
H s (ω)
–π –π
π
π
2
2
*
W(ω)
ω
–π π
=
H(ω)
ω
–π –π
π
π
2
2
ω
H(ω) = H s (ω) * W(ω) = rect(ω/π) * sin(Nω/2)
sin(ω/2)
. e –jω(N–1)/4 9-4

Conception des Fenêtres de Ponderation Séance 9
Filtrage RIF avec les Fenêtres de Pondération
Le but de pondération d’un signal est de modifier dans le bon sens l’effet néfaste de
sin(Nω/2)
la fonction
sin(ω/2)
.
Il sont utilisé dans les filtre RIF et sur les coefficients de la TFD pour une
interpolation.
Afin de comparer l'effet de différentes fenêtres, on définit un certain nombre de
paramètres que l'on appelle "figure de mérite de la fenêtre" :
• La largeur du lobe principal que caractérise la résolution en fréquence.
• L'amplitude maximum des oscillations des lobes secondaires qui caractérise
la dynamique du spectre utile.
• La décroissance des lobes secondaires en décibels/octave que donne un idée
de l'erreur en amplitude et en position que l'on commet sur l'analyse d'un
sinusoïde.
Par exemple : pour le fenetre rectangulaire :
w r (n)
⎪
⎧ 1 0 ≤ n < N
⎨
⎩
⎪ 0 n < 0 et n ≥ N
W r (f) = sin(πfN)
sin(πf)
Fenêtre
Largeur du
lobe
principal
Amplitude
des lobes
secondaires
en dB
rectangualaire 2/N -13 dB -6 dB
Décroissance
des lobes
secondaires
en dB/octave
L’influence des différentes fenêtres que l’on peut utiliser se traduit de deux façons :
• Elles réduisent le taux d’ondulations et ceci d’autant plus que leur spectre
présente des lobes secondaires atténuées.
• Atténuer les lobes secondaires élargit le lobe principal et se traduit, pour
un ordre N donné, par un élargissement de la bande de transition.
9-5

Conception des Fenêtres de Ponderation Séance 9
1) Fenêtre triangulaire
Aussi connue comme "Fenêtre de Bartlett"
f T (n)
⎪⎧
⎨
⎩⎪
n
N/2
0 ≤ n < N/2
N-n
N/2
N/2 ≤ n < N–1
0 ailleurs
16
14
12
10
8
6
4
2
0
f T (f) =
1 5 9 13 17 21 25 29
e –j2π(N/2-1)f ( sin(πfN/2)
sin(πf)
) 2
La fenêtre triangulaire peur être vue comme résultat de la convolution de deux
fenêtres rectangulaires de longueur N/2.
f TN (n) = w N/2 (n) * w N/2(n)
Fenêtre
Largeur du
lobe
principal
Amplitude
des lobes
secondaires
en dB
Décroissance
des lobes
secondaires
en dB/octave
triangulaire 4/N -27 dB -12 dB
9-6

Conception des Fenêtres de Ponderation Séance 9
2) Fenêtre de Von Hann
Ell est définie par :
f v (n)
⎪⎧ 0.5 [1-cos( 2πn
N
⎨
)]
⎩⎪
0 ≤ n < N
0 ailleurs
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
Pour la cas centré sur "0", N impaire :
f v (n)
⎪⎧ 0.5 [1+cos( 2πn
N
)] -N/2≤ n ≤ N/2
⎨
⎩⎪
0 ailleurs
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
La fenêtre de Hann peut être vue comme un cosinus sur une plateforme.
Son spectre est : F v (f) = 0.5 W N (f) – 0.25 W N ( f – 1 N ) – 0.25 W N( f + 1 N ) 9-7

Conception des Fenêtres de Ponderation Séance 9
Fenêtre
Largeur du
lobe
principal
Amplitude
des lobes
secondaires
en dB
Décroissance
des lobes
secondaires
en dB/octave
Von Hann 4/N -32 dB -18 dB
9-8

Conception des Fenêtres de Ponderation Séance 9
3) Fenêtre de Hamming généralisée
f v (n)
⎪⎧ α – (1 – α) cos( 2πn
N
⎨
)
⎩⎪
0 ailleurs
0 ≤ n < N
Son spectre est :
F v (f) = α W N (f) – 1–α
2 W N( f – 1 N ) – 1–α
2 W N( f + 1 N )
Cette fenêtre est une généralisation de la fenêtre de Von Hann qui permet de
parcourir l'ensemble des fenêtres de forme trigonométrique, partant de la fenêtre
rectangulaire pour α = 1 jusqu'a la fenêtre de Von Hann avec α = 0.5.
La fenêtre habiltuellement utilisée en tant que fenêtre de Hamming est obtenu pour
α = 0.54. Cette valeur correspond à une annulation quasi parfaite du premier lobe
secondaire de la fenêtre rectangulaire.
Resumé des paramètres associés aux fenêtres les plus courantes :
Fenêtre Largeur du Amplitude Décroissance
lobe des lobes des lobes
principal secondaires
en dB
secondaires
en dB/octave
rectangualaire 2/N -13 dB -6 dB
triangulaire 4/N -27 dB -12 dB
Von Hann 4/N -32 dB -18 dB
Hamming 4/N -43 dB -6 dB
9-9