Fiche de révisions pour le brevet des collèges ... - Www5.ac-lille.fr
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M. Haguet<br />
<strong>Fiche</strong> <strong>de</strong> révisions <strong>pour</strong> <strong>le</strong> <strong>brevet</strong> <strong>de</strong>s collèges<br />
collège <strong>de</strong>s flandres : http://www5.ac-lil<strong>le</strong>.<strong>fr</strong>/~clgflandres/maths/mathsCOURS.html<br />
Pythagore et sa réciproque<br />
Le théorème <strong>de</strong> Pythagore<br />
Exercice 1:<br />
A<br />
Exercice 2:<br />
R<br />
Calcu<strong>le</strong>r AC<br />
2 cm<br />
B<br />
4,8 cm<br />
On utilise <strong>le</strong> théorème <strong>de</strong> Pythagore dans <strong>le</strong> triang<strong>le</strong> ABC<br />
rectang<strong>le</strong> en B.<br />
C<br />
Calcu<strong>le</strong>r RS<br />
T<br />
3,6 cm<br />
4,5 cm<br />
On utilise <strong>le</strong> théorème <strong>de</strong> Pythagore dans <strong>le</strong> triang<strong>le</strong> RST<br />
rectang<strong>le</strong> en R.<br />
S<br />
hypoténuse<br />
→ AC² = AB² + BC²<br />
AC² = 2² + 4,8²<br />
AC² = 4 + 23,04<br />
AC² = 27,04<br />
AC = 27,04<br />
AC = 4,8 cm<br />
hypoténuse<br />
→ ST² = RT²² + RS²<br />
4,5² = 3,6² + RS²<br />
20,25 = 12,96 + RS²<br />
20,25 – 12,96 = 12,96 + RS² – 12,96<br />
7,29 = RS²<br />
RS = 7,29<br />
RS = 2,7 cm<br />
La réciproque du théorème <strong>de</strong> Pythagore<br />
Exercice 3:<br />
Le triang<strong>le</strong> DEF est-il un triang<strong>le</strong> rectang<strong>le</strong> <br />
Le triang<strong>le</strong> KLM est-il un<br />
triang<strong>le</strong> rectang<strong>le</strong> <br />
K<br />
2,3 cm<br />
L<br />
D<br />
6,8 cm<br />
4 cm<br />
4,7 cm<br />
3,2 cm<br />
E<br />
6 cm<br />
F<br />
M<br />
[DF] est <strong>le</strong> plus grand côté<br />
[LM] est <strong>le</strong> plus grand côté<br />
DF² = 6,8² DE² + EF² = 3,2² + 6²<br />
DF² = 46,24 = 10,24 + 36<br />
= 46,24<br />
LM² = 4,7² KL² + KM² = 2,3² + 4²<br />
LM² = 22,09 = 5,29 + 16<br />
= 21,29<br />
On a :<br />
DF² = DE² + EF²<br />
On a :<br />
LM² ≠ KL² + KM²<br />
donc, d'après la réciproque du théorème <strong>de</strong> Pythagore, <strong>le</strong> triang<strong>le</strong><br />
DEF est rectang<strong>le</strong> en E<br />
donc, <strong>le</strong> triang<strong>le</strong> KLM n'est pas un triang<strong>le</strong> rectang<strong>le</strong> .<br />
Remarque : Dans ce cas, quand on n'a pas l'égalité, ce n'est pas<br />
la réciproque du théorème <strong>de</strong> Pythagore qui est utilisée.
Exercice 4: Pensez à gar<strong>de</strong>r <strong>le</strong>s va<strong>le</strong>urs exactes<br />
ABD est un triang<strong>le</strong> et [AC] sa hauteur issue <strong>de</strong> A.<br />
AB = 6 cm BC = 4 cm CD = 5 cm<br />
a) Calcu<strong>le</strong>r AC.<br />
On utilise <strong>le</strong> théorème <strong>de</strong> Pythagore dans <strong>le</strong> triang<strong>le</strong> ABC<br />
rectang<strong>le</strong> en C.<br />
hypoténuse<br />
b) Calcu<strong>le</strong>r AD.<br />
→ AB² = BC²² + AC²<br />
6² = 4² + AC²<br />
36 = 16 + AC²<br />
36 – 16 = 16 + AC² – 16<br />
20 = AC²<br />
AC = 20<br />
AC ≈ 4,5 cm<br />
5 cm<br />
D<br />
On utilise <strong>le</strong> théorème <strong>de</strong> Pythagore dans <strong>le</strong> triang<strong>le</strong> ACD<br />
rectang<strong>le</strong> en C.<br />
C<br />
hypoténuse<br />
→ AD² = AC² + CD²<br />
AD² = ( 20)² + 5²<br />
AD² = 20 + 25<br />
AD² = 45<br />
AD = 45<br />
AD ≈ 6,7 cm<br />
c) Démontrer que ABD est un triang<strong>le</strong> rectang<strong>le</strong>.<br />
B<br />
4 cm<br />
6 cm<br />
A<br />
[BD] est <strong>le</strong> plus grand côté<br />
BD² = 9² AB² + AD² = 6² + ( 45)²<br />
= 81 = 36 + 45<br />
= 81<br />
On a :<br />
BD² = AB² + AD²<br />
donc, d'après la réciproque du théorème <strong>de</strong> Pythagore, <strong>le</strong> triang<strong>le</strong><br />
ABD est rectang<strong>le</strong> en A