etude de la convection naturelle thermique et massique dans ... - iusti

12èmes Journées Internationales de Thermique
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2.2 EQUATIONS DE TRANSFERT
Nous avons adimensionnalisé les équations qui régissent
les transferts par convection naturelle dans la couche limite
développée autour du tronc de cône par les variables sans
dimensions suivantes :
x - xo y * r(x) a
X = ; Y = ; r = ; A =
L L L L
u v T−Tw
c−cw
U= ; V=
; θ=
; C=
ν ν To−Tw
co
−cw
L L
Ou:
r * (X)=X .sin (ϕ) +F(X). cos (ϕ) ; F(X) =A. sin (2πX)
Compte tenu des hypothèses simplificatrices formulées cidessus,
les équations de conservation de la masse, de
mouvement, de la chaleur et de diffusion s’écrivent dans le
repère (OXY) comme suit :
∂ (r * U) ∂ (r * V)
+ = 0
(1)
∂ X ∂ Y
U V U
U
∂ 2
∂ ∂
+ V = Gr (θ N C)
X Y Y 2 + +
(2)
f
∂ ∂ ∂
t
∂ 2
θ ∂θ
1 ∂ θ
+ V =
(3)
∂X
∂Y
Pr ∂Y
∂ 2
C ∂C
1 ∂
+ V =
C (4)
∂X
∂Y
Sc ∂Y
U
2
U
2
A ces équations, nous associons les conditions aux limites
suivantes;
Conditions aux limites
X ≥0 et Y=F(x) : U=0 ; V=0 ; θ =1 , C=1 (5a-d)
Y→∞ : U=V=0 ; θ=0 ; C=0 (6a-c)
Transformation des coordonnées
Pour transformer la surface non plane du tronc de cône
en une surface plane, nous utilisons la transformation
homotopique suivante :
ξ= X ; Y − f(X) Y − F( ξ )
η = =
1/4
1/4
X − f(X) ξ − F( ξ )
; (7a-b)
avec F( ξ ) = Acos(
2πξ)
X≥0 ; ξ≥0 et F(ξ) ≤ Y ≤ ξ 1/4 → 0 ≤ η ≤1
A l'aide de ces transformations, les équations (1-4) et les
conditions aux limites (5,6) sont réécrites dans le système de
cordonnées (ξ , η). Dans ce référentiel, les dérivées
partielles sont égales à
∂ξ
∂ξ
= 1 ; = 0
∂X
∂Y
−3/4
ξ
σ + η( −
x
)
∂η
x
σ
4
∂η
1
= -
; =
1/4
1/4
∂ξ
ξ − F
∂Y
ξ − F
Avec :
∂ ∂ ∂ξ
∂ ∂η
∂ ∂
= + = + η
∂X
∂ξ
∂X
∂η
∂X
∂ξ
ξ ∂η
∂ ∂ ∂ξ
∂ ∂η
∂
= + = η
∂Y
∂ξ
∂Y
∂η
∂Y
y ∂η
3. METHODE NUMERIQUE
La discrétisation des équations de transfert à l’aide d’une
méthode implicite aux différences finies conduit à un système
d’équations algébriques que nous avons résolue en utilisant la
méthode itérative de Gauss Seidel avec un coefficient de
relaxation [ 6-10]. Pour nos calculs, ce coefficient est égale à 0.2
pour la composante de la vitesse U, 0.4 pour la température θ et
0.1 pour la concentration C. La procédure itérative est supposée
convergée lorsque le test suivant est vérifié |(Φ k+1 -Φ k )/Φ k+1
| max ≤10 -5 ; Φ k représentant U, θ ou C et k est le nombre
d'itération. Nous avons validé notre code de calcul en
modélisant la convection naturelle thermique développée dans la
couche limite autour d’u tronc de cône à paroi lisse[4,5] conduit
à un bon accord quantitatif. Nous avons ensuite procédé à une
étude de sensibilité au maillage du domaine d’étude des nombres
de Nusselt et de Sherwood locaux. Cette étude nous a conduit à
retenir un maillage de 61 nœuds suivant la direction ζ et 191
nœuds dans la direction η ce qui correspond aux pas suivants :
∆ξ,= 10 -3 et ∆η= 5.10 -4
4. DISCUSSION DES RESULTATS
Nos calculs ont été effectués pour un tronc de cône d'angle
égal à 15°, une longueur d'onde de la sinusoïde décrivant la
forme de la paroi (longueur caractéristique) constante et égale à
0.2m , une amplitude adimensionnelle (A=0.05) et le nombre de
Grashof est fixé entre 10 4 et 10 7 . Cette valeur est inférieure à
10 9 qui correspond à la limite au-delà de laquelle le régime
devient turbulent.
La figure (2) illustre l’évolution des nombres de Nusselt et de
Sherwood locaux pour différentes valeurs du nombre N f le long
de la paroi du tronc de cône. Cette évolution montre que le
transfert de chaleur et de masse entre la surface et le fluide
augmente le long de la paroi et avec le rapport entre les forces
volumiques d’origine thermique et celles d’origine massique
(Fig : 2). Les transferts de chaleur et de masse sont d’autant plus
élevés que les nombres de Raleigh thermique et massique sont
importants (Fig : 3 et4). Ces derniers qui montrent que
l’intensité des forces volumiques qui génèrent la convection
naturelle est donc d’autant plus intense que les différences de
températures et de concentration de vapeur entre celles de la
paroi et du milieu ambiant sont élevées. Ces transferts diminuent
lorsque l’amplitude de la sinusoïde décrivant la forme de la paroi
augmente malgré l’accroissement de la surface d’échange entre
la paroi et le fluide (Fig : 5). Lorsque l’amplitude de la sinusoïde
augmente les transferts se déroulent dans le creux de cette
sinusoïde principalement par conduction. Nous avons établi des
corrélations pour exprimer ces transferts en fonction des
principales grandeurs caractéristiques de notre modèle en
utilisant la technique des moindres carrés.
Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005 292