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12èmes Journées Internationales de Thermique
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ETUDE DE LA CONVECTION NATURELLE THERMIQUE ET MASSIQUE DANS LA
COUCHE LIMITE AUTOUR D’UN TRONC DE CÔNE À PAROI SINUSOÏDALE.
M. SIABDALLAH a , B.Zeghmati b , M.Daguenet b
a, Département de physique, Université Mentouri, Constantine 25000, Algérie.
b,
L.T.E, Université de Perpignan, France.
E-mail : s_maayouf@ yahoo.fr
RESUME
Ce travail est consacré à une étude numérique de la
convection naturelle thermique et massique, laminaire et
permanente développée au voisinage d'un tronc de cône à
paroi sinusoïdale. Les équations régissant ces transferts sont
développés dans le cadre de l'approximation de la couche
limite laminaire. La surface non plane est transformée à
l'aide d'une transformation homotopique en une surface
plane. La discrétisation des équations de transfert et les
conditions aux limites par une méthode implicite aux
différences finies conduit à des systèmes d'équations
algébriques que l'on résout en utilisant la méthode itérative
de Gauss Seidel. L'influence du nombre de la force de
flottabilité Nf sur les paramètres des transferts thermique et
massique est étudie. Des corrélations permettant de décrire
le transfert de chaleur et de masse entre la paroi et le fluide,
incluant l'amplitude du profil sinusoïdale de la paroi sont
proposées.
Mots clé : convection naturelle, couche limite, transfert
thermique et massique, nombre de Nusselt, nombre de
Sherwood.
1. INTRODUCTION
Les transferts par convection naturelle au voisinage de
corps à symétrie de révolution ont fait l'objet de nombreux
travaux aussi bien théoriques qu'expérimentaux en raison de
leurs importances dans des nombreux domaines
technologiques (agroalimentaire, centrales thermiques, les
capteurs solaires, les échangeurs, …). Il est communément
admis que l'état de la surface d’une a paroi en contact avec
un fluide est l'un des paramètres géométriques qui
conditionne les qualités fonctionnelles de la surface et les
transferts dans le fluide. Quelques travaux tel que celui de
Pop et Tsung-Yen [1] ont montré que les transferts
thermiques pour un cône à paroi ondulé sont inférieurs à
ceux pour un cône à paroi lisse. En présence d’un transfert
de masse, les nombres de Nusselt et de Sherwood locaux
augmentent avec le nombre de flottabilité N f et diminue
lorsque le nombre de Lewis augmente[2, 3]. En outre, le
nombre de Nusselt local diminue lorsque le nombre de
Lewis augmente tandis que le nombre de Sherwood
augmente avec le nombre de Lewis.
Cet article présente une étude numérique de la convection
naturelle thermique et massique dans la couche limite
développée le long de la paroi d’un tronc de cône. La paroi
de ce tronc de cône n’est pas plane et est décrite par un
profil sinusoïdal. Nous analysons l’influence de l’amplitude
de cette sinusoïde et du rapport entre les forces de
flottabilité d’origine thermique à celles d’origines massiques
sur les transferts qui se déroulent dans la couche limite.
22. FORMULATION MATHEMATIQUE
2.1. Modèle Physique et hypothèses
Considérons, comme il est représente sur la figure (1), un
tronc de cône de rayon (r) et d’axe vertical, complètement
immergé dans un fluide newtonien. La forme de la paroi de
ce tronc de cône, maintenue à une température (To) et une
concentration (co) uniformes et constantes est décrite par
une sinusoïdale qui obéit à l’expression suivante :
f(x)=a.sin(2π (x-xo)/L) .
Nous posons les hypothèses suivantes :
-L’air, assimilé à un gaz parfait, est incompressible
-Les propriétés physiques de l’air sont constantes à
l’exception de sa masse volumique qui obéit à
l’approximation de Boussinesq,
-Les transferts sont bidimensionnels et s’effectuent en
régime laminaire et permanent,
- Les effets Dufour et Soret sont négligeables,
-La dissipation d’énergie visqueuse est négligeable,
-Les transferts par rayonnement sont négligeables.
L
a
O
z
ro
r(x)
ϕ
X o
T o
Figure 1 : Modèle physique et système des coordonnées
c o
g
y
u
x
v
C W
T w
Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005 291

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2.2 EQUATIONS DE TRANSFERT
Nous avons adimensionnalisé les équations qui régissent
les transferts par convection naturelle dans la couche limite
développée autour du tronc de cône par les variables sans
dimensions suivantes :
x - xo y * r(x) a
X = ; Y = ; r = ; A =
L L L L
u v T−Tw
c−cw
U= ; V=
; θ=
; C=
ν ν To−Tw
co
−cw
L L
Ou:
r * (X)=X .sin (ϕ) +F(X). cos (ϕ) ; F(X) =A. sin (2πX)
Compte tenu des hypothèses simplificatrices formulées cidessus,
les équations de conservation de la masse, de
mouvement, de la chaleur et de diffusion s’écrivent dans le
repère (OXY) comme suit :
∂ (r * U) ∂ (r * V)
+ = 0
(1)
∂ X ∂ Y
U V U
U
∂ 2
∂ ∂
+ V = Gr (θ N C)
X Y Y 2 + +
(2)
f
∂ ∂ ∂
t
∂ 2
θ ∂θ
1 ∂ θ
+ V =
(3)
∂X
∂Y
Pr ∂Y
∂ 2
C ∂C
1 ∂
+ V =
C (4)
∂X
∂Y
Sc ∂Y
U
2
U
2
A ces équations, nous associons les conditions aux limites
suivantes;
Conditions aux limites
X ≥0 et Y=F(x) : U=0 ; V=0 ; θ =1 , C=1 (5a-d)
Y→∞ : U=V=0 ; θ=0 ; C=0 (6a-c)
Transformation des coordonnées
Pour transformer la surface non plane du tronc de cône
en une surface plane, nous utilisons la transformation
homotopique suivante :
ξ= X ; Y − f(X) Y − F( ξ )
η = =
1/4
1/4
X − f(X) ξ − F( ξ )
; (7a-b)
avec F( ξ ) = Acos(
2πξ)
X≥0 ; ξ≥0 et F(ξ) ≤ Y ≤ ξ 1/4 → 0 ≤ η ≤1
A l'aide de ces transformations, les équations (1-4) et les
conditions aux limites (5,6) sont réécrites dans le système de
cordonnées (ξ , η). Dans ce référentiel, les dérivées
partielles sont égales à
∂ξ
∂ξ
= 1 ; = 0
∂X
∂Y
−3/4
ξ
σ + η( −
x
)
∂η
x
σ
4
∂η
1
= -
; =
1/4
1/4
∂ξ
ξ − F
∂Y
ξ − F
Avec :
∂ ∂ ∂ξ
∂ ∂η
∂ ∂
= + = + η
∂X
∂ξ
∂X
∂η
∂X
∂ξ
ξ ∂η
∂ ∂ ∂ξ
∂ ∂η
∂
= + = η
∂Y
∂ξ
∂Y
∂η
∂Y
y ∂η
3. METHODE NUMERIQUE
La discrétisation des équations de transfert à l’aide d’une
méthode implicite aux différences finies conduit à un système
d’équations algébriques que nous avons résolue en utilisant la
méthode itérative de Gauss Seidel avec un coefficient de
relaxation [ 6-10]. Pour nos calculs, ce coefficient est égale à 0.2
pour la composante de la vitesse U, 0.4 pour la température θ et
0.1 pour la concentration C. La procédure itérative est supposée
convergée lorsque le test suivant est vérifié |(Φ k+1 -Φ k )/Φ k+1
| max ≤10 -5 ; Φ k représentant U, θ ou C et k est le nombre
d'itération. Nous avons validé notre code de calcul en
modélisant la convection naturelle thermique développée dans la
couche limite autour d’u tronc de cône à paroi lisse[4,5] conduit
à un bon accord quantitatif. Nous avons ensuite procédé à une
étude de sensibilité au maillage du domaine d’étude des nombres
de Nusselt et de Sherwood locaux. Cette étude nous a conduit à
retenir un maillage de 61 nœuds suivant la direction ζ et 191
nœuds dans la direction η ce qui correspond aux pas suivants :
∆ξ,= 10 -3 et ∆η= 5.10 -4
4. DISCUSSION DES RESULTATS
Nos calculs ont été effectués pour un tronc de cône d'angle
égal à 15°, une longueur d'onde de la sinusoïde décrivant la
forme de la paroi (longueur caractéristique) constante et égale à
0.2m , une amplitude adimensionnelle (A=0.05) et le nombre de
Grashof est fixé entre 10 4 et 10 7 . Cette valeur est inférieure à
10 9 qui correspond à la limite au-delà de laquelle le régime
devient turbulent.
La figure (2) illustre l’évolution des nombres de Nusselt et de
Sherwood locaux pour différentes valeurs du nombre N f le long
de la paroi du tronc de cône. Cette évolution montre que le
transfert de chaleur et de masse entre la surface et le fluide
augmente le long de la paroi et avec le rapport entre les forces
volumiques d’origine thermique et celles d’origine massique
(Fig : 2). Les transferts de chaleur et de masse sont d’autant plus
élevés que les nombres de Raleigh thermique et massique sont
importants (Fig : 3 et4). Ces derniers qui montrent que
l’intensité des forces volumiques qui génèrent la convection
naturelle est donc d’autant plus intense que les différences de
températures et de concentration de vapeur entre celles de la
paroi et du milieu ambiant sont élevées. Ces transferts diminuent
lorsque l’amplitude de la sinusoïde décrivant la forme de la paroi
augmente malgré l’accroissement de la surface d’échange entre
la paroi et le fluide (Fig : 5). Lorsque l’amplitude de la sinusoïde
augmente les transferts se déroulent dans le creux de cette
sinusoïde principalement par conduction. Nous avons établi des
corrélations pour exprimer ces transferts en fonction des
principales grandeurs caractéristiques de notre modèle en
utilisant la technique des moindres carrés.
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Lettres Grecs
Nu x =0.4369(A) -0.052 (Ra x ) 0.238
pour 10 4

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35
30
25
20
A=0.05
Sc=0.6
1
2
3
30
25
20
A=0.05
Sc=0.6
1
2
3
Nu x
15
10
5
1- Nf=4
2- Nf=2
3 - N f= 0 .5
SH x
15
10
5
1- Nf=4
2- Nf=2
3 - N f= 0 .5
0
0 .0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
X
0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
X
(a)
(b)
Figure 2: Influence de Nf sur les nombres de Nusselt et de Sherwood locaux
(a): Nombre de Nusselt local , (b) : Nombre de Sherwood local
25
20
30
25
20
Pr=0.72
Nu
x
15
10
5
Nu x
=P1(A) P3 (R a x
) P3
P1= 0.43698 ±0.00940
P2= -0.0526 ±0.00875
P3= 0.23868 ±0.00178
Nu L
0
1 2 3 4 5 6 7 8 X10 6
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x10 7
Ra x
Ra L
15
10
5
Nu L
=P1(A) P2 (R a L
) P3
P1= 0.43404 ±0.0289
P2= -0.120 ±0.0223
P3= 0.2381 ±0.0386
(a)
(b)
Figure 3: Évolution du nombre de Nusselt en fonction du nombre de Raleigh.
(a) : Nombre de Nusselt local, (b) : Nombre de Nusselt moyen
25
20
Sc=0.6
A=0.05
Nf=0.5
30
25
15
20
Sh
x
10
5
S h(x)=P 1(A) p2 (xb.S c.G rx(i)) p3
P1= 0.4348 ±0.003199
P2= -0.07734 ±0.0033977
P3= 0.238 ±0.0004535
Sh(L)
15
10
5
Sh(x)=P 1(A) P2 (Sc.Grc) p3
P1= 0.43358 ±0.00453
P2= -0.12046 ±0.00704
P3= 0.238 ±0.00381
0
0 1 2 3 4 5 6
x10 6
X10 6
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Rac x
Grc L
(a)
(b)
Figure 4: Évolution du nombre de Sherwood en fonction du nombre de Raleigh.
(a) : Nombre de Sherwood local, (b) : Nombre de Sherwood moyen
23
Nu x
16
14
12
10
8
6
4
2
1- A=0
2- A=0.01
3- A=0.02
Pr=0.72
0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
X
1
3
2
Nu L
22
21
20
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
A
(a)
(b)
Figure 5 : Influence de l’amplitude de la sinusoïde sur le nombre de Nusselt.
(a) : Nombre de Nusselt local. (b) : Nombre de Nusselt moyen
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