Exercices - Topologie des espaces vectoriels normés ... - Bibmath

Exercices - Topologie des espaces vectoriels normés :
énoncé
1. Prouver que N est une norme.
2. Dessiner la boule de centre 0 et de rayon 1.
3. Déterminer le plus petit nombre p > 0 tel que N ≤ p‖.‖ 2 et le plus grand nombre q tel
que q‖.‖ 2 ≤ N.
Exercice 8 - Normes sur les polynômes - L2/Math Spé - ⋆⋆
Soit a ≥ 0. Pour P ∈ R[X], on définit
∫ 1
N a (P ) = |P (a)| + |P ′ (t)|dt.
0
1. Démontrer que N a est une norme sur R[X].
2. Soit a, b ≥ 0 avec a ≠ b et b > 1. Démontrer que N a et N b ne sont pas équivalentes.
3. Démontrer que si (a, b) ∈ [0, 1], alors N a et N b sont équivalentes.
Exercice 9 - Drôle de norme ! - L2/Math Spé - ⋆⋆
Soit N l’application de R 2 dans R : (x, y) ↦→ sup t∈R
|x+ty|
√
1+t 2 .
1. Montrer que N est une norme sur R 2 .
2. La comparer à la norme euclidienne.
3. Expliquer.
Exercice 10 - Une norme ? - L1/Math Sup/Oral Centrale - ⋆⋆⋆
Soit E = C([0, 1], R). Pour f, g ∈ E, on pose N g (f) = ‖gf‖ ∞ .
1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur g pour que N g soit une norme.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur g pour que N g soit équivalente à la norme
infinie.
Exercice 11 - Oh les boules ! - L2/Math Spé - ⋆⋆
Soit E un espace vectoriel normé. Pour a ∈ E et r > 0, on note B(a, r) la boule fermée de
centre a et de rayon r. On fixe a, b ∈ E et r, s > 0.
1. On suppose que B(a, r) ⊂ B(b, s). Démontrer que ‖a − b‖ ≤ s − r.
2. On suppose que B(a, r) ∩ B(b, s) = ∅. Montrer que ‖a − b‖ > r + s.
Ouverts, fermés, adhérence, intérieur...
Exercice 12 - - L2/Math Spé - ⋆
Dire si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés :
A = {(x, y) ∈ R 2 | 0 < |x − 1| < 1},
B = {(x, y) ∈ R 2 | 0 ≤ x ≤ y},
C = {(x, y) ∈ R 2 | |x| < 1, |y| ≤ 1},
D = {(x, y) ∈ R 2 | x ∈ Q, y ∈ Q},
E = {(x, y) ∈ R 2 | x ∉ Q, y ∉ Q}, F = {(x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 < 4},
{
}
G = (x, y) ∈ R 2 ; x 2 − exp(sin y) ≤ 12 , H = {(x, y) ∈ R 2 ; ln |x 2 + 1| > 0}.
http://www.bibmath.net 2