Exercices - Topologie des espaces vectoriels normés ... - Bibmath

Exercices - Topologie des espaces vectoriels normés :
énoncé
(b) Soit x un élément de A, et u un élément de E avec u ≠ 0. On considère l’ensemble
X = {t ≥ 0 | x + tu ∈ A}. Montrer que sup X existe.
(c) En déduire que toute demi-droite issue d’un point x de A coupe Fr(A).
(d) En déduire que diam(Fr(A)) = diam(A).
Exercice 21 - Dense ou fermé - L3/Math Spé/Oral Mines - ⋆⋆⋆
Soit E = C([0, 1], R) et F = {f ∈ E; f(0) = 0}.
1. Si N est une norme sur E, montrer que F est ou bien une partie fermée, ou bien une
partie dense de (E, N).
2. Donner un exemple de norme pour laquelle F est fermé, et un exemple pour laquelle F
est dense.
Espaces vectoriels normés de dimension finie
Exercice 22 - Sous-espaces vectoriels - L2/Math Spé - ⋆⋆
Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie. Montrer que tout sous-espace vectoriel
de E est fermé
Exercice 23 - Intégrale jamais nulle - L2/Math Spé/Oral Centrale - ⋆⋆
Soit n ≥ 1 et E n l’ensemble des polynômes de R[X] unitaires de degré n. Montrer que
∫
inf 1
P ∈En 0
|P (t)|dt > 0Ȧpplications
linéaires continues
Exercice 24 - - L2/Math Spé - ⋆
Soit E l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans R, définies, continues et dérivables sur
[0,1] et vérifiant f(0) = 0. On définit sur cet espace les deux normes suivantes :
N 1 (f) = ‖f‖ ∞ et N 2 (f) = ‖f ′ ‖ ∞ .
1. Montrer que N 1 (f) ≤ N 2 (f). En déduire que l’application identique de (E, N 2 ) vers
(E, N 1 ) est continue.
2. A l’aide de la fonction f n (x) = xn n , montrer que l’application identique de (E, N 1) vers
(E, N 2 ) n’est pas continue.
Exercice 25 - Sont-elles continues ? - L2/Math Spé - ⋆⋆
Déterminer si l’application linéaire T : (E, N 1 ) → (F, N 2 ) est continue dans les cas suivants :
1. E = C([0, 1], R) muni de ‖f‖ 1 = ∫ 1
0 |f(t)|dt et T : (E, ‖.‖ 1) → (E, ‖.‖ 1 ), f ↦→ fg où g ∈ E
est fixé.
2. E = R[X] muni de ‖ ∑ k≥0 a kX k ‖ = ∑ k≥0 |a k| et T : (E, ‖.‖) → (E, ‖.‖), P ↦→ P ′ .
3. E = R n [X] muni de ‖ ∑ n
k=0 a k X k ‖ = ∑ n
k=0 |a k | et T : (E, ‖.‖) → (E, ‖.‖), P ↦→ P ′ .
4. E = R[X] muni de ‖ ∑ k≥0 a kX k ‖ = ∑ k≥0 k!|a k| et T : (E, ‖.‖) → (E, ‖.‖), P ↦→ P ′ .
( ∫ )
5. E = C([0, 1], R) muni de ‖f‖ 2 = 1 1/2,
0 |f(t)|2 dt F = C([0, 1], R) muni de ‖f‖1 =
∫ 1
0 |f(t)|dt et T : (E, ‖.‖ 2) → (F, ‖.‖ 1 ), f ↦→ fg où g ∈ E est fixé.
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