Exercices - Topologie des espaces vectoriels normés ... - Bibmath

Exercices - Topologie des espaces vectoriels normés :
énoncé
Normes
Exercice 1 - Pour commencer... - L2/Math Spé - ⋆
N : (x, y) ↦→ |5x + 3y| est-elle une norme sur R 2 ?
Exercice 2 - Les classiques ! - L2/Math Spé - ⋆
On définit sur R 2 les 3 applications suivantes :
√
N 1 ((x, y)) = |x| + |y|, N 2 ((x, y)) = x 2 + y 2 , N ∞ ((x, y)) = max(|x|, |y|).
Prouver que N 1 , N 2 , N 3 définissent 3 normes sur R 2 . Prouver que l’on a :
∀α ∈ R 2 , N ∞ (α) ≤ N 2 (α) ≤ N 1 (α) ≤ 2N ∞ (α).
N 1 , N 2 et N 3 sont-elles équivalentes ? Dessiner les boules unités fermées associées à ces normes.
Exercice 3 - Fonctions continues - L2/Math Spé - ⋆
Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs dans R. On définit pour
f ∈ E
‖f‖ ∞ = sup {|f(x)|; x ∈ [0, 1]} , ‖f‖ 1 =
∫ 1
0
|f(t)|dt.
Vérifier que ‖.‖ ∞ et ‖.‖ 1 sont deux normes sur E. Montrer que, pour tout f ∈ E, ‖f‖ 1 ≤
‖f‖ ∞ . En utilisant la suite de fonctions f n (x) = x n , prouver que ces deux normes ne sont pas
équivalentes.
Exercice 4 - Espace de matrices - L2/Math Spé - ⋆
On définit une application sur M n (R) en posant
N(A) = n max |a i,j | si A = (a i,j ).
i,j
Vérifier que l’on définit bien une norme sur M n (R), puis qu’il s’agit d’une norme d’algèbre,
c’est-à-dire que
N(AB) ≤ N(A)N(B) pour toutes matrices A, B ∈ M n (R).
Exercice 5 - Des polynômes - L2/Math Spé - ⋆
Soit E = R[X] l’espace vectoriel des polynômes. On définit sur E trois normes par, si
P = ∑ p
i=0 a iX i :
( p∑
p )
∑ 1/2
N 1 (P ) = |a i |, N 2 (P ) = |a i | 2 , N ∞ (P ) = max |a i |.
i
i=0
i=0
Vérifier qu’il s’agit de 3 normes sur R[X]. Sont-elles équivalentes deux à deux ?
Exercice 6 - Sup de deux normes - L2/Math Spé - ⋆
Soient N 1 et N 2 deux normes sur un espace vectoriel E. On pose N = max(N 1 , N 2 ). Démontrer
que N est une norme sur E.
Exercice 7 - Norme 2 ”perturbée” - L2/Math Spé - ⋆⋆
Soit a, b > 0. On pose, pour tout (x, y) ∈ R 2 , N(x, y) = √ a 2 x 2 + b 2 y 2 .
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Exercices - Topologie des espaces vectoriels normés :
énoncé
1. Prouver que N est une norme.
2. Dessiner la boule de centre 0 et de rayon 1.
3. Déterminer le plus petit nombre p > 0 tel que N ≤ p‖.‖ 2 et le plus grand nombre q tel
que q‖.‖ 2 ≤ N.
Exercice 8 - Normes sur les polynômes - L2/Math Spé - ⋆⋆
Soit a ≥ 0. Pour P ∈ R[X], on définit
∫ 1
N a (P ) = |P (a)| + |P ′ (t)|dt.
0
1. Démontrer que N a est une norme sur R[X].
2. Soit a, b ≥ 0 avec a ≠ b et b > 1. Démontrer que N a et N b ne sont pas équivalentes.
3. Démontrer que si (a, b) ∈ [0, 1], alors N a et N b sont équivalentes.
Exercice 9 - Drôle de norme ! - L2/Math Spé - ⋆⋆
Soit N l’application de R 2 dans R : (x, y) ↦→ sup t∈R
|x+ty|
√
1+t 2 .
1. Montrer que N est une norme sur R 2 .
2. La comparer à la norme euclidienne.
3. Expliquer.
Exercice 10 - Une norme ? - L1/Math Sup/Oral Centrale - ⋆⋆⋆
Soit E = C([0, 1], R). Pour f, g ∈ E, on pose N g (f) = ‖gf‖ ∞ .
1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur g pour que N g soit une norme.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur g pour que N g soit équivalente à la norme
infinie.
Exercice 11 - Oh les boules ! - L2/Math Spé - ⋆⋆
Soit E un espace vectoriel normé. Pour a ∈ E et r > 0, on note B(a, r) la boule fermée de
centre a et de rayon r. On fixe a, b ∈ E et r, s > 0.
1. On suppose que B(a, r) ⊂ B(b, s). Démontrer que ‖a − b‖ ≤ s − r.
2. On suppose que B(a, r) ∩ B(b, s) = ∅. Montrer que ‖a − b‖ > r + s.
Ouverts, fermés, adhérence, intérieur...
Exercice 12 - - L2/Math Spé - ⋆
Dire si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés :
A = {(x, y) ∈ R 2 | 0 < |x − 1| < 1},
B = {(x, y) ∈ R 2 | 0 ≤ x ≤ y},
C = {(x, y) ∈ R 2 | |x| < 1, |y| ≤ 1},
D = {(x, y) ∈ R 2 | x ∈ Q, y ∈ Q},
E = {(x, y) ∈ R 2 | x ∉ Q, y ∉ Q}, F = {(x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 < 4},
{
}
G = (x, y) ∈ R 2 ; x 2 − exp(sin y) ≤ 12 , H = {(x, y) ∈ R 2 ; ln |x 2 + 1| > 0}.
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Exercices - Topologie des espaces vectoriels normés :
énoncé
Exercice 13 - - L2/Math Spé - ⋆
On définit un sous-ensemble A de R 2 en posant
A = {(x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 2} \ {(x, y) ∈ R 2 | (x − 1) 2 + y 2 < 1}.
Déterminer l’intérieur, l’adhérence et la frontière de A.
Exercice 14 - Fermeture et adhérence d’un convexe - L2/Math Spé - ⋆⋆
Soit C une partie convexe d’un espace vectoriel normé. Démontrer que l’adhérence de C est
convexe, puis que l’intérieur de C est convexe.
Exercice 15 - Adhérence et intérieur d’un sous-espace vectoriel - L2/Math Spé - ⋆
Soit E un espace vectoriel normé, et V un sous-espace vectoriel de E.
1. Montrer que ¯V est un sous-espace vectoriel de E.
◦
2. Montrer que si V ≠ ∅, alors V = E.
Exercice 16 - Adhérence de boules - L2/Math Spé - ⋆
Soit E un espace vectoriel normé. Montrer que l’adhérence d’une boule ouverte est la boule
fermée de même rayon
Exercice 17 - - L2/Math Spé - ⋆⋆
Donner un exemple d’ensemble A tels que : A, l’adhérence de A, l’intérieur de A, l’adhérence
de l’intérieur de A et l’intérieur de l’adhérence de A sont des ensembles distincts deux à
deux.
Exercice 18 - Somme d’un ensemble et d’un ouvert - L2/Math Spé - ⋆⋆
Soit E un evn, et A et B deux parties de E. On définit :
A + B = {z ∈ E; ∃x ∈ A, ∃y ∈ B, z = x + y} .
Montrer que si A est ouvert, alors A + B est ouvert.
Exercice 19 - La frontière ! - L2/Math Spé - ⋆⋆
Soit A une partie d’un espace vectoriel normé E. On rappelle que la frontière de A est
l’ensemble Fr(A) = Ā− ◦ A. Montrer que :
1. Fr(A) = {x ∈ E | ∀ɛ > 0, B(x, ɛ) ∩ A ≠ ∅ et B(x, ɛ) ∩ C A ≠ ∅}
2. Fr(A) = Fr(C A )
3. A est fermé si et seulement si Fr(A) est inclus dans A.
4. A est ouvert si et seulement si Fr(A) ∩ A = ∅.
Exercice 20 - Diamètre d’une partie bornée - L2/Math Spé - ⋆⋆⋆
Soit E un espace vectoriel normé. Soit A une partie non vide et bornée de E. On définit
diam(A) = sup{‖y − x‖, x, y ∈ A}.
1. Montrer que si A est bornée, alors Ā et Fr(A) sont bornés.
2. Comparer diam(A), diam( ◦ A) et diam(Ā) lorsque ◦ A est non vide.
3. (a) Montrer que diam(Fr(A)) ≤ diam(A).
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Exercices - Topologie des espaces vectoriels normés :
énoncé
(b) Soit x un élément de A, et u un élément de E avec u ≠ 0. On considère l’ensemble
X = {t ≥ 0 | x + tu ∈ A}. Montrer que sup X existe.
(c) En déduire que toute demi-droite issue d’un point x de A coupe Fr(A).
(d) En déduire que diam(Fr(A)) = diam(A).
Exercice 21 - Dense ou fermé - L3/Math Spé/Oral Mines - ⋆⋆⋆
Soit E = C([0, 1], R) et F = {f ∈ E; f(0) = 0}.
1. Si N est une norme sur E, montrer que F est ou bien une partie fermée, ou bien une
partie dense de (E, N).
2. Donner un exemple de norme pour laquelle F est fermé, et un exemple pour laquelle F
est dense.
Espaces vectoriels normés de dimension finie
Exercice 22 - Sous-espaces vectoriels - L2/Math Spé - ⋆⋆
Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie. Montrer que tout sous-espace vectoriel
de E est fermé
Exercice 23 - Intégrale jamais nulle - L2/Math Spé/Oral Centrale - ⋆⋆
Soit n ≥ 1 et E n l’ensemble des polynômes de R[X] unitaires de degré n. Montrer que
∫
inf 1
P ∈En 0
|P (t)|dt > 0Ȧpplications
linéaires continues
Exercice 24 - - L2/Math Spé - ⋆
Soit E l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans R, définies, continues et dérivables sur
[0,1] et vérifiant f(0) = 0. On définit sur cet espace les deux normes suivantes :
N 1 (f) = ‖f‖ ∞ et N 2 (f) = ‖f ′ ‖ ∞ .
1. Montrer que N 1 (f) ≤ N 2 (f). En déduire que l’application identique de (E, N 2 ) vers
(E, N 1 ) est continue.
2. A l’aide de la fonction f n (x) = xn n , montrer que l’application identique de (E, N 1) vers
(E, N 2 ) n’est pas continue.
Exercice 25 - Sont-elles continues ? - L2/Math Spé - ⋆⋆
Déterminer si l’application linéaire T : (E, N 1 ) → (F, N 2 ) est continue dans les cas suivants :
1. E = C([0, 1], R) muni de ‖f‖ 1 = ∫ 1
0 |f(t)|dt et T : (E, ‖.‖ 1) → (E, ‖.‖ 1 ), f ↦→ fg où g ∈ E
est fixé.
2. E = R[X] muni de ‖ ∑ k≥0 a kX k ‖ = ∑ k≥0 |a k| et T : (E, ‖.‖) → (E, ‖.‖), P ↦→ P ′ .
3. E = R n [X] muni de ‖ ∑ n
k=0 a k X k ‖ = ∑ n
k=0 |a k | et T : (E, ‖.‖) → (E, ‖.‖), P ↦→ P ′ .
4. E = R[X] muni de ‖ ∑ k≥0 a kX k ‖ = ∑ k≥0 k!|a k| et T : (E, ‖.‖) → (E, ‖.‖), P ↦→ P ′ .
( ∫ )
5. E = C([0, 1], R) muni de ‖f‖ 2 = 1 1/2,
0 |f(t)|2 dt F = C([0, 1], R) muni de ‖f‖1 =
∫ 1
0 |f(t)|dt et T : (E, ‖.‖ 2) → (F, ‖.‖ 1 ), f ↦→ fg où g ∈ E est fixé.
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Exercices - Topologie des espaces vectoriels normés :
énoncé
Exercice 26 - Applications linéaires sur les polynômes - L2/Math Spé - ⋆⋆
Soit E = R[X], muni de la norme ‖ ∑ i a iX i ‖ = ∑ i |a i|.
1. Est-ce que l’application linéaire φ : (E, ‖.‖) → (E, ‖.‖), P (X) ↦→ P (X + 1) est continue
sur E ?
2. Est-ce que l’application linéaire ψ : (E, ‖.‖) → (E, ‖.‖), P (X) ↦→ AP , où A est un élément
fixé de E, est continue sur E ?
Exercice 27 - - L2/Math Spé - ⋆
Soit E = C([0, 1], R). Pour f ∈ E, on pose
‖f‖ 1 =
∫ 1
0
|f(t)|dt,
dont on admettra qu’il s’agit d’une norme sur E. Soit φ l’endomorphisme de E défini par
φ(f)(x) =
∫ x
0
f(t)dt.
1. Justifier la terminologie : ”φ est un endomorphisme de E.”
2. Démontrer que φ est continue.
3. Pour n ≥ 0, on considère f n l’élément de E défini par f n (x) = ne −nx , x ∈ [0, 1]. Calculer
‖f n ‖ 1 et ‖φ(f n )‖ 1 .
‖φ(f)‖
4. On pose ‖|φ‖| = sup 1
f≠0E ‖f‖ 1
. Déterminer ‖|φ‖|.
Exercice 28 - Formes linéaires sur les polynômes - L2/Math Spé - ⋆
On munit R[X] de la norme suivante :
‖
n∑
a k X k ‖ = sup{|a k |; 0 ≤ k ≤ n}.
k=0
Pour c ∈ R, on définit la forme linéaire φ c : (R[X], ‖ · ‖) → (R, | · |), P ↦→ P (c). Pour quelles
valeurs de c la forme linéaire φ c est-elle continue ? Dans ce cas, déterminer la norme de φ c .
Exercice 29 - Jamais continue - L2/Math Spé - ⋆⋆
Soit E = C ∞ ([0, 1], R). On considère l’opérateur de dérivation D : E → E, f ↦→ f ′ . Montrer
que, quelle que soit la norme N dont on munit E, D n’est jamais une application linéaire
continue de (E, N) dans (E, N).
Exercice 30 - Opérateurs positifs - L2/Math Spé - ⋆⋆
Soit I = [a, b] un intervalle de R. On munit C(I) de la norme ‖.‖ ∞ . On dit qu’une forme
linéaire u : C(I) → R est positive si u(f) ≥ 0 pour tout f ∈ C(I) vérifiant f(x) ≥ 0 si x ∈ I.
1. Démontrer que, pour toute forme linéaire u : C(I) → R positive, |u(f)| ≤ u(|f|).
2. Soit e la fonction définie par e(x) = 1 pour tout x ∈ I. Déduire de la question précédente
que toute forme linéaire positive est continue, et calculer ‖u‖ en fonction de u(e).
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