Chapitre 1, section 1 : Notes de cours

ANNÉE 2013-2014
MATHÉMATIQUES
3 E SECONDAIRE
CHAPITRE 1
SECTION 1
La notation scientifique
Les lois des exposants
NOM : ____________________________________________ gr. : _______
1

La notation scientifique
CHAPITRE 1 – SECTION 1
La notation scientifique est universelle. Utilisée surtout en sciences, cette notation facilite
la lecture, l’écriture et la comparaison de très ______________ et de très ____________
__________________. On l’utilise seulement pour les nombres positifs, puisqu’elle ne sert
que dans les contextes de mesure. Écrire un nombre en notation scientifique, par exemple
3 050 000, c’est le décomposer en _______________ facteurs.
Premier facteur
(appelé « _____________________ »)
Deuxième facteur
Nombre décimal supérieur ou égal à 1,
mais inférieur à 10, formé de chiffres
significatifs.
3,05 X 10 6
Premier chiffre
significatif non nul
Autres chiffres
significatifs
conservés
►Si le nombre initial est supérieur à 1,
l’exposant est ___________________.
►Si le nombre initial est compris entre 0 et 1,
l’exposant est ___________________.
Les préfixes du système international d’unités (SI) sont souvent employés pour abréger l’écriture
des nombres. Le tableau suivant présente les préfixes les plus courants.
2
10 n Préfixe
français
Symbole Nom Nombre décimal Étymologienote
2
10 12 téra T Billion du grec τέρας, teras, « monstre ».
10 9 giga G Milliard du grec γίγας, gigas, « géant ».
10 6 méga M Million du grec µέγας, megas, « grand ».
10 3 kilo k Millier 1 000 du grec χίλιοι, chilioi, « mille ».
10 2 hecto h Cent 100 du grec ἑκατόν, hekaton, « cent ».
10 1 déca da Dix 10 du grec δέκα deka, « dix »
10 0 (aucun) (aucun) Unité 1 (aucune)
10 −1 déci d Dixième 1/10 = 0,1 du latin decimus, « dixième ».
10 −2 centi c Centième 1/100 = 0,01 du latin centus, « cent ».
10 −3 milli m Millième 1/1 000 = 0,001 du latin mille, « un millier ».
10 −6 micro µ Millionième du grec µικρός, mikros, « petit ».
10 −9 nano n Milliardième du grec νάνος, nanos, « nain ».
10 −12 pico p Billionième de l'italien piccolo, « petit ».

De la notation décimale vers la notation scientifique
Exemple 1:
≤ mantisse <
3245,28 = 3, 24528 10 3
3
L’exposant représente le nombre de
_____________________ entre la
« ____________________ » et
« ___________________ » virgule.
L’exposant est _________________
parce que le nombre au départ est
_________________________.
Exemple 2 :
≤ mantisse <
0,000 023 = 2,3 10 - 5
5
L’exposant représente le nombre de
_____________________ entre la
« ____________________ » et
« ___________________ » virgule.
L’exposant est _________________
parce que le nombre au départ est
compris entre _________________.
Notation scientifique vers notation décimale
3

De la notation scientifique vers la notation décimale
Exemple 1:
1,25 10 6 = 1 2 5 0 0 0 0
6 représente le nombre de
__________________
auxquelles la virgule doit
____________________.
On déplace la virgule vers la
___________________
parce que l’exposant est
___________________.
Exemple 2:
4,32 10 - 4 = 0,0 0 0 4 3 2
4 représente le nombre de
__________________
auxquelles la virgule doit
____________________.
On déplace la virgule vers la
___________________
parce que l’exposant est
__________________.
EXERCICES
1. Exprime les nombres suivants à l’aide de la notation décimale.
a) 1,3 × 10 6 : d) 2 × 10 2 :
b) 9,125 × 10 12 : e) 5,775 7 × 10 -10 :
c) 6,9 × 10 -3 : f) 6,452 × 10 -4 :
2. Exprime, à l’aide de la notation scientifique, les nombres suivants :
a) 43 100 000 : d) 0,000 000 000 019 :
b) 9 milliards : e) 275:
c) 0,000 399 : f) 34 600:
4

3. Place les nombres suivants en ordre croissant.
A
B
C
D
E
F
2,9 × 10 -3 -1,3 × 10 2 9,07 × 10 5 6,75 × 10 5 -4,5 × 10 -3
9,99 × 10 -21
4. Exprime les nombres suivants en notation scientifique.
a) 123,567 89 : d) 0,13 % :
b) -0,000 000 000 345 : e) 1 350 % :
c) 34 627 319,214 5 : f) -27 % :
5. Exprime les nombres suivants à l’aide de la notation décimale.
a) 6,854 × 10 0 : e) 1,4 × 10 - 7 :
b) 5,698 541 2 × 10 5 : f) 3,56 × 10 8 :
c) 7,4501 × 10 - 8 : g) 6,203 × 10 9 :
d) 1,08 × 10 - 5 : h) 1,0101 × 10 10 :
6. Écris chacune des mesures suivantes en mètres à l’aide de la notation scientifique.
a) Le littoral du Canada est le plus long
du monde : il mesure environ
91 000 km.
________________
b) On estime que le diamètre de
l’Univers est de
800 000 000 000 000 000 000 000 km.
_________________
c) La grand-mère d’Emma a une
assiette plaquée d’une couche de
8 µm d’or.
__________________
d) Un acarien mesure environ 0,06 mm
de longueur.
___________________
7. Associe chacun des contextes ci-dessous à la mesure appropriée.
a) Le nombre de sièges dans le Stade olympique de Montréal
4,5 x 10 8 5 x 10 4
b) La population mondiale
c) L’âge, en secondes, d’une ou d’un élève de 3 e secondaire
7 x 10 9 2,5 x 10 5
d) La distance, en mètres, entre Montréal et Québec
e) La longueur d’un marathon, en mètres
4,22 x 10 4
5

Les lois des exposants
Rappel :
Notation exponentielle
4 2
-4 2
(-4) 2
2 3
-2 3
(-2) 3
7 0
2 -3
5 -2
Notation décimale
Voici des lois qui facilitent le calcul d’expressions comprenant des exposants. Ces lois
s’appliquent aussi aux exposants négatifs.
Produit de puissances de même base
Le résultat est la base affectée de la somme des exposants
des puissances.
a m a n = a m + n
Exemple
5 3 5 4
Quotient de puissances de même base
6 5 6 × 6 × 6 × 6 × 6
6 5 ÷ 63
= =
= 6 2
Le résultat est la base affectée de la différence des
6 3 6 × 6 × 6
exposants des puissances (exposant du dividende moins
6
exposant du diviseur).
5 ÷ 63
= 65−
3 = 6 2
a m ÷ a n = a m – n a ≠ 0
Puissance d’une puissance
Le résultat est la base affectée du produit des exposants.
(a m ) n = a mn
Puissance avec exposant négatif
Le résultat est l’inverse de la base affectée de l’opposé de
l’exposant.
(3 2 ) 3 =
(8 5 ) 2 = 8 4 x 8 4 x 8 4 x 8 4 + 4 + 4 = 8 12
(8 4 ) 3 = 8 4 x 3 = 8 12
2 -3 =
a
−m
=
1
a
m
1
−4
5
=
6

Attention!
Lorsqu’on te demande de simplifier une expression, tu dois exprimer les bases de l’expression à
l’aide de nombres premiers puis appliquer les lois des exposants.
Ex. 1 : 27 3 = Ex. 2 : 32 x 2 -3 x 64 =
Rappel :
Un nombre premier est un nombre entier qui se divise par 1 et par lui-même.
Les nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, …
Exercices
8. Exprime chaque résultat par une base affectée d’un seul exposant.
a) 5 -2 × 5 7 : d) 7 5 × 7 11 : g)
13
13
4
: − 4
b) 3 9 ÷ 3 3 : e) (11 3 ) 7 : h)
( 1) − 5
× ( ) 8
c) 2 -2 ÷ 2 -12 : f) (4 -5 ) 2 :
2
2 1 :
9. Vrai ou faux ? Si l’énoncé est faux, justifie ta réponse.
a) (-2) 2 = -2 2 :
b) (5 5 ) 2 =
25
5 :
c) 7 3 + 7 5 = 7 8 :
9
8
d)
3 =
3
8 :
8
e) 12 7 × 12 2 = 12 14 :
f) (7 2 ) 5 = 7 7 :
g) 9 5 – 9 2 = 9 3 :
10. Simplifie chacune des expressions suivantes :
a) 8 4 = d)
32 2 =
4
125
b) 25 3 = e)
2
5
−
=
5
9
c) 27 -2 = d)
2 =
81
7

11. Quel est le signe de chacune des expressions suivantes ?
a) (-3) 4 b) -1 7 c) (-5) 8 d) - (-4) 6 e) (((-1) 3 ) 4 ) 5
12. Pour chacune des expressions ci-dessous, exprime les puissances dans la même base, puis
réduis l’expression obtenue.
a) 125 x 25 3 =
3
8
b) =
−2
16
c) − 3
9 × 27
2 =
8
1000×
10
d) =
3
10
13. Exprime, si possible, les expressions suivantes sous la forme d’une base affectée d’un seul
exposant.
a)
5
3 × 81
c)
=
3
3
1
2
( 27 ) 3 ×
2
3 − =
b)
−
5 2 5
d) 0
⎛ ⎞
× =
⎜ 12
7 ⎟
5 125
⎜ 4 ⎟
3
⎝ 5 ⎠
×
⎛
⎜
⎜
⎝
49 2 3
7
⎞
⎟
⎟
⎠
=
14. Compare les nombres à l’aide des symboles =, < ou >.
a) 9 2 4 3 d) 25 2 5 5 g) 6 3 15 2
b) 3 5 5 3 e) 16 2 2 4 h) 3 4 11 2
c) 2 6 8 2 f) 5 3 3 5 i) 10 3 2 3 × 5 3
15. Complète les énoncés suivants.
a) 125 est la puissance de 5.
b) 49 est la 2 e puissance de .
c) 169 est la puissance de 13.
d) est la 3 e puissance de 12.
e) ______ est la 5 e puissance de 5.
16. Laurie et Lucie ne s’entendent pas sur le résultat de 0 0 .
Selon Laurie, puisque 0 1 = 0 3 = 0 12 =0, il est logique que 0 0 = 0.
Lucie aborde plutôt la situation ainsi : 2 0 = 45 0 = 12,8 0 = 1, donc 0 0 = 1.
Selon toi, qui a tord? Justifie ta réponse.
8

17. Exprime les nombres suivants à l’aide de la notation décimale.
a) 4,8 × 10 2 = ________________ d) 7,32 × 10 -3 = _______________
b) 2 × 10 -2 = ________________ e ) 4 × 10 -6 = _______________
c) 3,5 × 10 3 = ________________ f) 5 × 10 6 = _______________
18. Exprime les nombres suivants en notation scientifique.
a) 56,35 = d) 7 594 300 =
b) 0,369 = e) 56 921 =
c) 52 640 000 = f) 309 000 =
19. Observe les nombres suivants et leurs unités.
a) Écris les nombres sous la forme décimale en utilisant l’unité de mesure indiquée.
b) Exprime en notation scientifique le nombre obtenu en a).
1) 0,002 435 gigamètre a) ______________ mètres
b) ______________ mètres
2) 82 300 microsecondes a) ______________ seconde
b) ______________ seconde
3) 0,000 42 kilomètre a) ______________ mètre
b) ______________ mètre
4) 4051,2 × 10 -2 litres a) ______________ litres
b) ______________ litres
5) 0,042 37 × 10 4 octets a) ______________ octets
b) ______________ octets
L’octet s’utilise en
électronique pour mesurer la
capacité de mémorisation.
Un octet correspond à la
mémorisation d’un caractère
(lettre, chiffre, etc.).
20. Dans chaque cas ci-dessous, donne la réponse en notation scientifique, puis arrondis à
l’unité.
a) Un podomètre sert à calculer le nombre de pas effectués par une personne. Le podomètre
de Marie l’informe qu’elle a fait 5760 pas dans une journée. Dans 50 ans, combien de pas
Marie aura-t-elle faits si elle conserve le même rythme chaque jour?
b) À quelle fraction d’une année une seconde correspond-elle?
15 9

Les calculs avec des nombres exprimés en notation scientifique
La notation scientifique facilite le calcul d’expressions qui comprennent de très grands nombres
et de très petits nombres.
Voici les étapes de la multiplication de 2,5 x 10 8 et 4,8 x 10 5 .
Par commutativité de la multiplication, regrouper
les mantisses ensemble et les puissances de 10
ensemble.
Par associativité de la multiplication, calculer le
produit des mantisses et des puissances de 10.
Exprimer le résultat en notation scientifique.
On procède de façon similaire pour calculer le quotient de deux nombres exprimés en notation
scientifique.
Voici les étapes de la division de 2,7 x 10 12 et 3 x 10 4 .
Par associativité, regrouper les mantisses
ensemble et les puissances de 10 ensemble.
Calculer le quotient des mantisses et des
puissances de 10.
Exprimer le résultat en notation scientifique.
EXERCICES
21. Effectue les opérations suivantes et note chaque résultat en notation scientifique.
5
4,6 × 10
32
32
a) =
d) 7 ,11 × 10 • 8,9 × 10 =
2
−3
3
b) 3 × 10 • 2×
10 =
5
5
3
e) 4 × 10 • 2×
10 • 1,1 × 10 =
10 16
14
3,6 × 10
c) =
4
1,2 × 10
32
f) 2000 • 8,3 × 10 =
2
8×
10
g) =
4
1,6 × 10

22. Utilise la notation scientifique pour estimer les résultats suivants.
a) 6 397 217 × 62 943 602 b) 0,000 823 × 2 000 001
c) 8 434 684 926 ÷ 24 000 456 d) 0,046 7 ÷ 946 732 916
23. Effectue les multiplications suivantes et écris les réponses sous la forme d’une
puissance de 10.
× 10
1
100 000 000 000 100
10
10
10 000
1
10000 000
0,001
24. a) Parmi les produits suivants, entoure les notations scientifiques.
b) Écris en notations scientifiques les produits non entourés.
3,2 × 10 6 2 3 × 10 2
500,7 × 10 -7 135 000 × 10 -4
0,96 × 10 3
90 × 10 -4
1 010,8 × 10 -4
3,845 × 10 6 11
17

25. Le corps humain compte environ 6 x 10 13 cellules. Parmi ces cellules, environ 200 000 000
se renouvellent chaque jour.
a) Exprime en notation scientifique le nombre de cellules se renouvelant chaque jour.
b) Trouve la proportion de cellules se renouvelant chaque jour.
26. La surface totale de la Terre est de 5,1 × 10 8 km 2 . La proportion d’eau sur cette surface est
de 70 %. Exprime en notation scientifique la surface d’eau, en kilomètres carrés, recouvrant
la Terre.
27. La vitesse moyenne d’un avion est d’environ 1,2 × 10 6 m/h. Combien de kilomètres cet avion
pourrait-il parcourir en 9 heures 45 minutes ?
28. En 1957, la petite chienne russe Laïka fut le premier être vivant envoyé en orbitre autour de la
Terre. Elle fit 132 fois le tour du globe. Sachant que le diamètre de la Terre est de 12 758 km et que
Laïka se trouvait à 1600 km de la surface, détermine la distance qu’elle a parcourue. Donne ta
réponse en notation scientifique, puis arrondis à l’unité.
12 18

Voici comment on additionne ou on soustrait des nombres exprimés en notation scientifique.
Observation
5000 + 400 = 5400
Exemple
8 × 10 20 + 6 × 10 17 =
EXERCICES
29. Effectue les opérations suivantes.
a) 2,5 × 10 12 + 3 × 10 11
e) 7,5 × 10 –2 + 7,5 × 10 –3 + 7,5 × 10 – 4
b) 8, 4 × 10 7 + 5 × 10 1
f) 3,0 × 10 5 – 4,3 × 10 2 – 8,5 × 10 1
g) 1,26 × 10 6 – 3,87 × 10 2 + 5,7 × 10 3
c) 5 × 10 -6 + 6 × 10 -6
d) 9,0 × 10 –1 + 2,7 × 10 5 – 3,24 × 10 3 h) 9,85 × 10 5 + 5 × 10 4 + 4 × 10 2
30. Exprime les expressions suivantes sous la forme d’une base et d’un seul exposant.
a)
⎛
1 ⎞
⎜ ⎛ 3 ⎞ 2 ⎟
⎜100 ⎜
1
⎟ ⎟ ×
⎝ 10 ⎠
⎝ ⎠
⎛ 2 ⎞
⎜ 3
1000 ⎟ :
⎝ ⎠
b)
4
1
2 ×
3
16 ×
32
8 :
2
19 13

Consolidation
1. Exprime les mesures suivantes en notation scientifique. Arrondis tes réponses au centième près.
a) 50 450 000 m = d) 0,035 × 10 6 cm =
b) 0,000 027 s = e) 5 600 × 10 -7 g =
c) 1 268 090 000 kg = f) 0,002 35 × 10 -8 $ =
2. Calcule la valeur de w pour chacune des égalités suivantes.
2
a) 4 w × 4 6 = 4 12 c) 2 5 –2 = w
5
6
b) 9 w ÷ 9 2 = 9 8 d) − 3 = 6 w
6
3. Effectue les opérations suivantes et exprime le résultat à l’aide de la notation scientifique.
a) (6 × 10 –6 ) • (3,1 × 10 –9 ) =
( )
2 12
4,2 × 10
b) 9
( 6 × 10 )
=
c) (8,06 × 10 15 ) – (2,15 × 10 14 ) =
d) 4,05 × 10 7 + 9,25 × 10 10 =
4. Exprime chacune des expressions ci-dessous sous la forme d’une base affectée d’un exposant
positif.
a) 27 × 9 3 × 3 –10 =
125
b) 2
25
− =
10000 × 10
c) −4
10
100
=
d) (8 2 ) 6 × (16 –3 × 2 –5 ) 2 =
1
e) 3
2 × 1
27 2 =
14
1
3
f) ( 5 ) 2 ×
1
⎛ ⎞
⎜25 2 ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
2
=

5. On estime qu’un cœur bat en moyenne 72 fois par minute. Calcule le nombre total de battements
de cœur après 90 ans. Donne ta réponse en notation scientifique.
6. La mémoire du nouveau lecteur MP3 d’Antoine a une capacité de 3 gigaoctets. Si une chanson occupe
en moyenne 1,5 mégaoctet d’espace mémoire, combien Antoine peut-il en télécharger dans son lecteur?
7. Voici la liste des 10 plus hauts gratte-ciel du monde. Classifie ces données en ordre décroissant
dans le tableau et exprime les hauteurs de façon à pouvoir les comparer.
Gratte-ciel Hauteur Classement
Empire State Building, New York, États-
Unis
3,81 × 10 11 nm =
Sears Tower, Chicago, États-Unis (3 2 × 7 2 ) m =
Petronas Twin Towers 1 et 2, Kuala
Lumpur, Malaisie
4,1 × 10 –7 Gm =
1
Taipei 101, Taipei, Taiwan 89 915 392 3
m =
La tour Burj Dubai, Dubai, Émirats arabes
unis
Two International Finance Center, Hong-
Kong, Chine
3 2 × 7 × 10 –2 km =
4,12 × 10 2 m =
1
Citic Plaza, Guangzhou (Canton), Chine 152 881 2
Shun Hing Square, Shenzhen, Chine (6 × 4 3 ) m =
m =
Jin Mao Tower, Shanghai, Chine 4,21 × 10 8 µm =
Central Plaza, Hong-Kong, Chine 37,4 dam =
8. a) La Lune est située à environ 384 402 000 m de la Terre. Combien de fois les 25 millions de
kilomètres de câbles à fibres optiques sur Terre pourraient-ils relier celle-ci à la Lune ?
b) Si la Terre était reliée à la Lune par des câbles à fibres optiques, on pourrait y envoyer des
courriers électroniques. Combien de secondes seraient nécessaires pour expédier un
courrier électronique sur la Lune à la vitesse de la lumière, soit 3 x 10 5 km/s ?
15

9. Il y a environ 2,45 x 10 4 km d’autoroutes au Canada et la population canadienne est environ
3,1 x 10 7 habitants. Serait-il possible de former, avec tous habitants du Canada, une chaîne
humaine qui s’étendrait sur toutes les autoroutes de Canada ?
En estimant qu’un
habitant mesure1m
de largeur d’une
main à l’autre.
10. SITUATION : LE LIÈVRE ET LA TORTUE
Sergio, un enseignant de mathématique, s’inspire de la fable de La Fontaine Le lièvre et la
tortue pour rédiger un problème à l’intention de ses élèves.
La vitesse maximale à laquelle peut se déplacer une tortue est environ de 6,94 × 10 -2 m/s et la
vitesse maximale que peut atteindre un lièvre est de 70 km/h. On suppose qu’un lièvre et une
tortue courent sans arrêt, à leur vitesse maximale, sur la circonférence de la Terre, à l’équateur.
Le rayon de la Terre est de 6,378 × 10 3 km.
Quelle distance (en kilomètres) aura parcourue la tortue lorsque le lièvre terminera son
premier tour de la Terre ? Donne ta réponse en notation scientifique
16