L'axiome du choix

112 Logique (Patrick Dehornoy), IV. L’axiome du choix [version 2006-07]est une fonction de choix sur A. Si l’existence d’un tel élément maximal est garantie, il existeune fonction de choix sur A. 82. Applications de l’axiome du choix◮ Les applications de l’axiome du choix, c’est-à-dire les résultats mathématiquesdont la démonstration requiert une des formes de l’axiome duchoix, forment une famille beaucoup trop vaste pour qu’on puisse espérerêtre exhaustif. On se borne ici à mentionner quelques résultats typiquesdans des domaines variés.◭2.1. Dénombrement.8 On peut démontrer le lemme de Zorn à partir de l’axiome du choix sans passer par uneinduction ordinale, mais au prix de l’argument suivant qui est moins lumineux : on mesurerasur cet exemple le bénéfice de disposer des définitions récursives. On part toujours de (A, ≺)ordonné inductif, et on suppose que F est une fonction de choix sur P(A). Pour X ⊆ A eta ∈ A, on note X a pour ∀x∈X (x a), et de même avec ≺. Pour toute chaîne C, on pose{C + C ∪ {F ({a ; C ≺ a})} s’il existe a vérifiant C ≺ a,=Csinon.Soit C une chaîne quelconque. L’ensemble (A, ) étant inductif, il existe a vérifiant C a. Sia n’est pas maximal dans (A, ), il existe b vérifiant a ≺ b, et donc C ≺ b. Par conséquent,si C est une chaîne telle que {a ; C ≺ a} soit vide, c’est-à-dire vérifiant C + = C, il existe unélément maximal dans A. On va construire une telle chaîne.Pour cela, appelons close toute famille K de chaînes de (A, ≺) telle que C ∈ K entraîneC + ∈ K, et que, si J est une partie de K formée de chaînes deux à deux comparables pourl’inclusion, alors ⋃ J appartienne à K. La famille de toutes les chaînes de (A, ) est close, ettoute intersection de familles closes est close. Il existe donc une plus petite famille close K, àsavoir l’intersection de toutes les familles closes. PosonsK ′ = {C ∈ K ; ∀D∈K (C ⊆ D ou D ⊆ C}.On va montrer K ′ = K, c’est-à-dire que K est composée de chaînes deux à deux comparablespour ⊆. Supposant ceci démontré, posons C = ⋃ K. Par définition, on a C ∈ K, et doncC + ∈ K. Or, par construction, on a D ⊆ ⋃ K = C pour toute chaîne D dans K. Donc, enparticulier, on a C + ⊆ C, donc C + = C, comme souhaité.Puisque K est la plus petite famille close, et qu’on a K ′ ⊆ K, il suffit, pour montrerK ′ = K, de montrer que K ′ est close. Soit C ∈ K ′ . On veut montrer C + ∈ K ′ . Or posonsK C = {D ∈ K ; D ⊆ C ou C + ⊆ D}, et supposons D ∈ K C . Si on a C + ⊆ D, on a a fortioriC + ⊆ D + . Pour C = D, on a trivialement C + = D + . Supposons D ⊄ = C. Par hypothèse, D +est dans K, et C dans K ′ , donc on a D + ⊆ C ou C ⊄ = D + . Le second cas est incompatibleavec D ⊄ = C puisque D + \ D est un singleton. Donc, dans tous les cas, D ∈ K C entraîneD + ∈ K C . Supposons maintenant que J est un sous-ensemble de K C formé de chaînes deux⋃à deux comparables pour l’inclusion. Ou bien on a D ⊆ C pour tout D dans J, et alors on aJ ⊆ C, ou bien il existe D dans J vérifiant C + ⊆ D, et alors on a C + ⊆ ⋃ J : dans les deuxcas, ⋃ J est dans K C . Donc K C est une famille close, donc K C est égale à K, ce qui montreque C + est dans K ′ dès que C y est.Finalement, supposons que J est un sous-ensemble de K ′ formé de chaînes deux à deuxcomparables pour l’inclusion. Soit D une chaîne quelconque dans K. Ou bien on a C ⊆ D pourtoute chaîne C dans J, et alors on déduit ⋃ J ⊆ D, ou bien il existe C dans J vérifiant D ⊆ C,et on déduit D ⊆ ⋃ J. Donc, dans tous les cas, ⋃ J est dans K ′ . Il en résulte que K ′ est close,et donc on a K ′ = K.