L'axiome du choix

IV.1. L’axiome du choix 107la forme {f(0), . . . , f(n − 1)}, et R la relation d’inclusion stricte sur C : dire que F 1 , F 2 sontdes éléments de C vérifiant F 1 R F 2 signifie qu’il existe deux entiers n 1 , n 2 avec n 1 < n 2 telsque le domaine de F i est {f(0), . . . , f(n i − 1)} et F 2 est compatible avec F 1 sur le domaine decelle-ci. L’argument de la démonstration de la proposition 1.3 montre que, pour tout F dans C,on peut toujours ajouter un point au domaine de F et, par conséquent, il existe F ′ vérifiantF R F ′ . L’axiome des choix dépendants garantit alors l’existence d’une suite (F n ) n∈ω tellequ’on ait F n R F n+1 pour tout n. Soit F := ⋃ n∈ω F n, c’est-à-dire F := ⋃ S, où S est la suite(F n ) n∈ω vue comme fonction, c’est-à-dire ensemble de couples. Par construction, le domainede F contient f(0) et, s’il contient f(n), il contient aussi f(n + 1), donc il contient f(n) pourtout n, et c’est donc A. Par ailleurs F est fonctionnelle, car les fonctions F n sont cohérentesentre elles. Donc F est une fonction de choix sur A, et, par conséquent, ACD entraîne AC ω .1.2. Variantes.◮ On introduit ici quelques variantes de l’axiome du choix, où l’énoncéoriginal est reformulé en des termes légèrement différents, respectivementen termes de sélecteur pour une relation binaire, de sections pourune surjection, et de produits d’ensembles.◭Si R est un ensemble de couples (c’est-à-dire une relation binaire), on note pr 1 (R)la première projection de R, c’est-à-dire l’ensemble des x tels qu’il existe au moinsun y vérifiant (x, y) ∈ R.Définition 1.10. (sélecteur) Supposons R ⊆ A × A. Un sélecteur pour R estune application f : pr 1 (R) → A vérifiant (x, f(x)) ∈ R pour tout x dans pr 1 (R).Comme le nom le suggère, un sélecteur choisit pour chaque x un élémentparticulier y en relation avec x dès qu’un tel élément existe (Figure 1).ARpr 1 (R)← fAFigure 1. Sélecteur pour R : une fonction qui choisit une valeur dès que celaest possible, à savoir sur pr 1 (R)Proposition 1.11. (sélecteur) L’axiome du choix est équivalent à l’énoncé:« Tout ensemble de couples 4 admet un sélecteur ».Démonstration. Soit R ⊆ A × A. Supposons que F est une fonction de choix sur P(A).On définit un sélecteur f pour R en posant f(x) := F ({y ; (x, y) ∈ R}).Inversement, soit A un ensemble quelconque. On pose R := {(x, y) ; x ∈ A \ {∅} et y ∈ x}.Par construction, R est un ensemble de couples dans A× ⋃ A, et pr 1 (R) est A\{∅}. Un sélecteurpour R est exactement une fonction de choix pour A.4 ou, si on préfère, toute relation binaire qui est un ensemble