L'axiome du choix

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116 Logique (Patrick Dehornoy), IV. L’axiome du choix [version 2006-07]forment une chaîne finie. On dit alors qu’un élément x de T est de niveau n s’ilexiste une bijection de [0, n[ sur les prédécesseurs de x.⊲ Un ensemble fini totalement ordonné, ou encore (ω,
IV.2. Applications de l’axiome du choix 117chacun des L ik . Alors tous les e k sont dans L i , et, comme L i est libre, on déduit λ k = 0 pourtout k. Donc L ′ est libre, c’est un majorant pour la chaîne (L i ) i∈I , et (A L , ⊆) est inductif.Soit alors L ′ un élément maximal dans (A L , ⊆), qui existe par le lemme de Zorn. Parconstruction, L ′ est une partie libre de V incluant L et telle qu’aucune partie incluant L ′strictement ne soit libre. Soit e non nul dans V n’appartenant pas à L ′ . Alors, par hypothèse,L ′ ∪ {e} n’est pas libre, donc il existe une sous-famille finie {e i ; i < n} de B et des scalaires{λ i ; i < n} vérifiant λe + ∑ i
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