L'axiome du choix

IV.1. L’axiome du choix 109Proposition 1.15. (produit) L’axiome du choix est équivalent à l’énoncé :« Tout produit d’ensembles non vides est non vide ». L’axiome du choix dénombrableest équivalent à l’énoncé : « Tout produit dénombrable d’ensembles non videsest non vide ».Démonstration. Soit (A i ) i∈I une suite d’ensembles non vides. On introduit A commel’ensemble {{i} × A i ; i ∈ I}. L’existence de A est garantie par séparation puisque, si S est lasuite (A i ) i∈I vue comme ensemble de couples, on aA = {z ∈ P(DomS) × ImS ; ∃i∈DomS (z = {i} × S(i))}.Supposons que F est une fonction de choix sur A. On définit une suite (a i ) i∈I en posant quea i est la seconde composante de F ({i} × A i ). L’existence de cette suite s est garantie par ladéfinition par séparations = {(t, a) ∈ I × ⋃ i∈I A i ; a ∈ F ({i} × A i )} 6 ,son caractère fonctionnel par celui de F , et le fait qu’elle soit définie pout tout i par l’hypothèseque chacun des A i est non vide. Alors, par construction, s est dans ∏ i∈I A i, qui n’est donc pasvide. Par conséquent, AC entraîne que tout produit d’ensembles non vides est non vide.Inversement, soit A un ensemble ne contenant pas ∅. Par hypothèse, ∏ x∈Ax est le produitd’une suite d’ensembles non vides. Si s est un élément de ce produit, alors, par définition, s estune application de A dans A vérifiant s(x) ∈ x pour tout x non vide dans A : autrement dit, sest une fonction de choix sur A. Par conséquent, l’hypothèse que tout produit d’ensembles nonvides est non vide entraîne AC.L’argument est identique pour le cas dénombrable. Dans un sens, si (A n ) n∈ω est une suitedénombrable d’ensembles non vides, l’ensemble {{n}×A n ; n ∈ ω} est dénombrable, et AC ω estsuffisant pour garantir l’existence d’une fonction de choix sur cet ensemble. Dans l’autre sens,si A est dénombrable, alors ∏ x∈Ax est un produit dénombrable.1.3. Le théorème de Zermelo.◮ Une question laissée en suspens au chapitre II est l’existence d’unbon ordre sur tout ensemble. On montre ici qu’une réponse positive estéquivalente à l’axiome du choix.◭Lemme 1.16. Soit A un ensemble quelconque. Alors il y a équivalence entre :(i) il existe une fonction de choix sur P(A);(ii) il existe un bon ordre sur A.Démonstration. (figure 2) L’équivalence est triviale si A est vide, et on suppose désormaisA non vide. Supposons que F est une fonction de choix sur P(A). Soit a un ensemble quelconquen’appartenant pas à A. Alors, par la proposition III.3.4 (récursion ordinale généralisée), il existeune suite (x α ) α∈Ord d’éléments de A ∪ {a} indexée par les ordinaux et vérifiant⎧⎪⎨ F ({x ∈ A ; ∀β< α(x β ≠ x)})x α =⎪⎩as’il existe au moins un x dans A distinctde tous les x β pour β < α,sinon.Deux cas sont a priori possibles, suivant que a apparaît ou non dans la suite (x α ) α∈Ord .Supposons d’abord qu’on a x α ≠ a pour tout ordinal α. Par construction, la suite (x α ) α∈Ord ,qui est une certaine classe fonctionnelle S, est injective : on peut montrer à partir des axiomes6 soit encore s = {(i, a) ∈ DomS × ⋃ ImS ; a ∈ F ({i} × S(i))})