2011 - IREM de Rennes

et suffisante pour que L f soit un homéomorphisme de l’espace des fonctions constantes sur lui-même ;le problème aborde cette équivalence dans le III-3.La recherche des solutions bornées d’une équation différentielle est intimement reliée à la recherche deses solutions presque-périodiques, qui sont les limites uniformes de combinaisons linéaires de fonctionscontinues périodiques de toutes périodes. De par leur définition, les fonctions presque-périodiques sontbornées, mais pour les solutions des équations différentielles, il y a des réciproques (sous certaineshypothèses). Par exemple, les solutions bornées d’un système linéaire autonome Y ′ = AY en sontexactement les solutions presque-périodiques, et ces dernières apparaissent lorsque A a des valeurspropres imaginaires pures. L’article de V. E. Slyusarchuk établit également que la condition est uneCNS concernant les solutions presque-périodiques.Les travaux de V. E. Slyusarchuk ont été étendus par P. Cieutat, par exemple dans son article Necessaryand sufficient conditions for existence and uniqueness of bounded or almost-periodic solutionsfor differentiel systems with convex potential, Differential and Integral Equations, vol. 18 (2005), nř4,pp. 361-378. Cet article étend tout d’abord les résultats à R N , où cette fois f est le gradient d’unefonction convexe, puis à des équations d’ordre deux.Suivre l’article original de Slyusarchuk aurait amené à utiliser un théorème du point fixe horsprogramme,avec des calculs assez lourds. Il a donc été choisi de n’aborder qu’une version allégée duthéorème, en supposant un peu plus que la stricte monotonie de f et en supposant f lipschitzienne,ce qui permet de travailler avec le théorème du point fixe des applications contractantes.4.4.2 Commentaires générauxLe problème a été largement abordé par une bonne partie des candidats, qui en a souvent traitésignificativement les quatre premières parties. Pour autant, la plupart des questions, y compris lespremières, ont été traitées avec plus ou moins de bonheur et ont permis de départager les candidats.Traiter intégralement trois parties sur les cinq assurait déjà une excellente note.Globalement, les copies sont bien présentées et le jury s’en félicite. Les copies illisibles ou faisant desallers-retours très réguliers entre les différentes parties (jusqu’à six allers retours sur une seule copiedouble) sont heureusement très rares. En revanche, il arrive que les candidats aient des difficultésà organiser leurs raisonnements : par exemple, seule une implication au lieu d’une équivalence esttraitée, les hypothèses ne sont pas toujours vérifiées, ou les conclusions des raisonnements sont parfoisabsentes. Nous recommandons aux futurs candidats d’être vigilants sur ces points.Même si plusieurs lacunes ont été relevées (cf. infra), le jury est satisfait de la prestation fournie parles candidats qui dépassent la barre d’admissibilité.4.4.3 Commentaires par questionI-1.a : beaucoup de candidats ont perdu des points sur la justification du fait que f ◦y est bornée, soiten raison de l’absence de justification, soit en raison de justifications très souvent inexactes ; ainsi,une fonction continue sur une partie fermée ou sur une partie bornée de R n’est pas nécessairementbornée (il y a des contre-exemples élémentaires) ; on avait réellement besoin d’une partie fermée etbornée de R, qui dans R est bien un compact. Les fonctions ne sont pas nécessairement croissantesou décroissantes.I-2.a : la justification de l’existence et de la dérivabilité de T g a parfois été omise des candidats, oubien elles ont souvent été justifiée de manière incorrecte. Il arrive que les candidats effectuent lescalculs puis justifient l’existence ex-post, constatant que l’expression finale a un sens. Indiquons quele fait que la convergence absolue de l’intégrale entraîne sa convergence est, dans le cadre de Riemannune propriété bien connue ou dans le cadre de Lebesgue une définition ; dans tous les cas, il ne peuts’agir du théorème de convergence dominée.– 21 –